云南玉溪师范学院附属中学2025-2026学年高二下学期第二次校测数学试题

**基本信息** 高二下学期数学校测试卷，以口罩过滤效率检测、冬奥会志愿者分配等真实情境为载体，通过函数单调性证明、椭圆存在性探究等问题，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配月考综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项式定理、向量、直线旋转、排列组合等|结合双曲线离心率计算考查几何直观| |多选题|3/18|三角函数图像变换、球的内接外切几何体、概率|以球的内接正四面体棱长计算体现空间观念| |填空题|3/15|导数计算、抛物线中点问题、条件概率|流感疫苗感染率问题考查数据意识| |解答题|5/77|频率分布直方图与分布列、数列、立体几何、椭圆、函数证明|口罩检测分层抽样与分布列设计，考查应用意识；函数单调性证明与不等式探究，突出逻辑推理|

高二下学期第二次校测数学答案 1.C 2.D 3.D 4.c 5.A 6.A 7.D8.C 9.AD 10.AD 11.BCD 12.3 13.3 14将 15.解：(1)由频率分布直方图得， m=1-(0.15+0.20+0.30+0.10)=0.25, 所以估计这一批口罩中优等品的概率为0.25+0.1=0.35. (2)由频率分布直方图得， 这一批口罩中的过滤效率位于区间[98,99)、[99,100]中的频率为0.25、0.1， 0.25 则用分层抽样的方法从[98,99)和[99,100]两组中抽取的个数应为7×025+0=5,7-5=2， 所以X的可能取值为1、2、3， 所以Px=)-警=P0x=习-譬-专P0x=)-等-号 所以X的分布列为： 123 o142 灾 故x的期望EC)=1×+2×+3×号=克 16.解：(1)因为在数列a}中，2Sm=3n2-5n, 当n≥2时，2Sm-1=3(n-1)2-5(m-1),两式相减得2an=6n-8,即a=3n-4(m≥2)， 当n=1时，a1=S1=-1,符合上式，所以an=3n-4(n∈N*): (2)由(1)知，b1=a2=2,b2=a4=8,因为数列bn}是等比数列，设公比为q, 所以q=是=号=4，所以b=2×41=2n-1,所以2a-3b=23m-4-3x, 所以Tn=2(a1+a2+…+an)-3(b1+b2+…+bn) 2n(a1+an)3 2 -2(4+42+43+…+4) -(1+9-2x=9 =3n2-5n-2×4m+2. 第1页，共4页 17.解：(1)证明：yEA=EB,M是AB的中点， ∴.EM⊥AB, 平面ABE⊥平面ABCD, 平面ABE∩平面ABCD=AB,EAC平面ABE, ∴.EM⊥平面ABCD, 又ACC平面ABCD, .EM⊥AC; (2)EM1平面ABCD,MCC平面ABCD,EM⊥MC, .△ABC是正三角形，M是AB的中点， MC⊥AB, ∴.MB,MC,ME两两垂直， 以M为原点，MB,MC,ME所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系M-xyz, -->D B ℃ 则M(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,V3,0),E(0,0,V3): BC=(-1,V3,0),BE=（-1,0,V3), 设m=(x,y,z)是平面BCE的一个法向量， 则m·8C=-x+V3y=0 m·BE=-x+√3z=0 令z=1,得m=（V3,1,1) y轴与平面ABE垂直，∴.元=(0,1,0)是平面ABE的一个法向量 c0s元，利=刷而=5×=5， 设二面角A-BE-C的平面角为0，结合图形可知0为能角，故c0s90-写 二面角A-BE-C的余弦值为写 第2页，共4页 18,解：()设椭圆6的标准方程为号+3=1(a>b>0, 因为焦距为4， 所以2c=4, 所以c=2, 因为点P(2,V2)在椭圆E上， 所+1，相=8 (a2-b2=4 (b2=4' 所以椭圆：的标准方程为+苫-1， (2)假设存在点M(m,0)满足条件， 因为直线AB与坐标轴不垂直， 设过点N(-V石，0)的直线AB的方程为y=k(x+√⑥)(k≠O), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 如图： 珠 M 时O 2 （y=k(x+V⑥) 联立 +-1 得(1+2k2)x2+4W6k2x+12k2-8=0, 因为N(-√6,0)在椭圆内，所以4>0， 1+2k2,七x3=12k28 则x+名2=-4y2 1+2k2 因为kAM+kBM=O, 则1十y2=0, x1-m x2-m 即2-m+21-m=0, (x1-m)(x2-m) 即y1x2-m)+y2(x1-m)=0, 即k(x1+V6)x2-m)+k(x2+V6)x1-m)=0 整理得2x1x2+(V6-m)x1+x2)-2W6m=0 第3页，共4页 则2x+(6〕×() 2√6m=0 整理得16-2V6m=0, 1+2k2 解得m=-4v6 3 所以存在点M 使得kAM十kBM=O. 19.解：0f)=11=1号，x>0, 当0<x<1时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增，当x>1时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减， 故函数在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， (I)证明：由lna-lnb=a-b,得lna-a=mb-b, 令x1=a,x2=b, 则x1,x2是f(x)=k的两根，其中k∈(-∞，-1) 不妨令x1E(0,1),x2∈(1，+∞)，则0<名<1,0<<1， 要证ab<1,即证x<号即证fc)=fx,)<f() 令h(x)=fx)-f白，(x>1), 则h(x)=fx)-f白=2nx+是-x, h'=是克-1=+24=-2≤0， x2 x2 所以h(x)在(1，+o)上单调递减， 所以h(x)<h(1)=0, 所以f)<f孕 所以ab<1. 第4页，共4页 高二下学期第二次校测数学试卷 出题人 石玉 审题人 邓敬也 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1.在的展开式中，的系数为(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 3.已知直线，将绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为(    ) A. B. C. D. 4.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5.已知双曲线：，顶点到渐近线的距离为，则离心率(    ) A. B. C. D. 6.已知，为正实数且，则的最小值为    ． A. B. C. D. 7.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(    ) A.    B. C. D. 8.的内角，，的对边分别为，，若的面积为，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则(    ) A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10.已知球的半径为，则下列结论正确的是(    ) A. 球的表面积为 B. 球的内接正方体的棱长为 C. 球的外切正方体的棱长为 D. 球的内接正四面体的棱长为 11.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则          ． 13.直线过点，且与抛物线交于，两点若，则线段的中点到轴的距离是          ． 14.接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩．按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到及以上为合格，及以上为优等品．某部门为了检测一批口罩对细菌的过滤效率，随机抽检了个口罩，将它们的过滤效率百分比按照，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图． 求图中的值并估计这一批口罩中优等品的概率； 为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从和两组中抽取个口罩，再从这个口罩中随机抽取个口罩做进一步检测，记取自的口罩个数为，求的分布列与期望． 16.本小题分 已知数列的前项和为，且． 求数列的通项公式； 若等比数列满足，，求数列的前项和． 17.本小题分 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，是的中点．    求证：； 求二面角的余弦值． 18.本小题分 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． 求椭圆标准方程； 若直线与坐标轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 19.本小题分 已知函数． Ⅰ讨论函数的单调性； Ⅱ设，为两个不相等的正数，，证明：． 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $