第一章-勾股定理 单元检测 -2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 教学质量监测 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确) 1.在Rt△ABC中,∠A=90°,a,b,c分别表示∠A,∠B,∠C的对边,则下列各式中,正确的是 ( ) 2.在下列各组数中，是勾股数的一组是 ( ) B.5,6,7 C.0.3,0.4,0.5 D.5,12,13 3.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是 ( ) A. a:b:c=3:5: B.∠A:∠B:∠C=2:2:5 D.∠A=∠B+∠C 4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=4,则BC的长为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.3 5.如图，某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.2km后，再向北飞行0.9 km抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为 ( ) A.1.0km B.1.5km C.1.8km D.2.1 km 6.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是 ( ) 7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,AB=10,AC=6,BD=5,则点D到AB 的距离是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图，已知钓鱼杆AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC的长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线 B'C'的长为8m，则BB'的长为 () A.4m B.3m C.2m D.1m 9.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问：水深、葭长各几何?”这道题的意思是：“有一个水池，水面是一个边长为l丈(1丈=10尺)的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺(如图).如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度与这根芦苇的长度各是多少?”该题所求的水池的深度为 ( ) A.9尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺 10.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和 ll，则c的面积为 ( ) A.6 B.5 C.11 D.16 11.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为 图3 中空白部分的面积为 S₂，则下列表示S₁，S₂的等式成立的是 ( ) 12.如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点 A 处.若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为 ( ) A.9 cm B.10 cm C.18 cm D.20 cm 二、填空题(每小题4分，共16分) 13.在△ABC中,∠C=90°,a=9,b=12,则c= . 14.如图，在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B 相距8 m，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2m,则河的宽度AB是 m. 15.如图,在 中， C于点D，E为AD上任一点，则( 16.如图,在长方形ABCD中,AD=3,AB=4,，点E是AB 边上与点A 和点B 不重合的任意一点，小明把长方形ABCD沿DE 折叠，使点A落在点F 处，连接BF，当线段DF+BF的值最小时，AE的长度为 . 三、解答题(本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)若a,b,c分别是 的三边长，且a，b，c满足等式 |c—13|=0. (1)求a,b,c的值; (2)△ABC是直角三角形吗?请说明理由. 18.(本题满分10分)如图,点E在正方形ABCD 内,AE=6,BE=8,AB=10..试求出阴影部分的面积S. 19.(本题满分10分)如图，对任意符合条件的 Rt△ABC，绕其锐角顶点 A 逆时针旋转90°得到△AED，所以∠BAE=90°，延长 BC，DE交于点 F，则四边形ACFD 是一个正方形，且它的面积与四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于 Rt△BAE与 Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法. 20.(本题满分10分)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=20，D为AB上一点，CD=16，BD=12. (1)判断△BCD的形状，并说明理由； (2)求△ABC的周长. 21.(本题满分10分)如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB=25m，现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN=12m，BM=15m. (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道AM的长. (2)试说明：∠BMA=90°. 22.(本题满分10分)定义:如图,点M,N把线段AB 分割成线段AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N是线段AB 的勾股分割点. (1)若AM=2.5,MN=6.5,NB=6,，则点 M，N是线段AB 的勾股分割点吗?请说明理由. (2)已知点M，N是线段AB 的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=14,AM=4,,求 NB的长. 23.(本题满分12分)【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同.在进行《勾股定理》这一章的学习时，老师带领同学们进行如下探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形(两条直角边长分别为a，b(b>a),，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形. 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形.请你利用图2验证勾股定理. (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中 和 都是直角，才是合格零件.如图4，工人师傅测得零件∠ m，这个零件符合要求吗?请判断并说明理由. 24.(本题满分12分)某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表(不完整). 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长:××× 组员:×××,××× ,××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段AB 表示学校旗杆，AB垂直地面于点B，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点 D 处，用皮尺测出 BD 的长度. 测量数据 测量项目 数值 图 1中 BC 的长度 1米 图 2 中 BD 的长度 5.2米 … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度. (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可). 25.(本题满分12分)如图,在△ABC中, ，若点 P 从点A 出发以l cm/s的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为 (1)若点 P在AC上,且满足PA=PB时,求出此时t的值; (2)若点 P恰好在∠BAC的平分线上(但不与点A 重合)，求t的值. 学科网（北京）股份有限公司 第一章 勾股定理 教学质量监测 1. C2. D 3. B 4. B 5. B 6. C7. A8. C 9. C 10. A 11. B 12. C13. 15 14.15 15.5 16. 17.解:(1)由题意,得a-5=0,b-12=0,c-13=0, 所以a=5,b=12,c=13. (2)△ABC是直角三角形.理由如下：因为 所以 故△ABC是直角三角形. 18.解:在△ABE中,因为AE=6,BE=8,AB=10,且 所以△ABE是直角三角形. 所以 =76. 故阴影部分的面积S是76. 19.解：由题意，得 所以 整理，得 20.解:(1)△BCD 是直角三角形.理由如下： 因为BC=20,CD=16,BD=12,且 所以 BC². 所以△BCD是直角三角形. (2)设AD=x,则AC=AB=AD+BD=x+12, 由(1),得∠BDC=90°,所以∠ADC=90°. 在 Rt△ADC 中,由勾股定理,得 即 解得 所以 所以△ABC的周长为AB+AC+ 21.解:(1)由题意,得 MN⊥AB. 所以∠BNM=∠ANM=90°. 在 Rt△BNM 中,由勾股定理,得 所以BN=9m. 所以AN=AB-BN=25-9=16(m).在 Rt△ANM 中,由勾股定理,得 所以AM=20m. 所以供水点 M到喷泉A 需要铺设的管道AM的长为20 m. (2)因为 AM=20 m,BM=15 m,AB=25m, 所以 AB². 所以△AMB 是直角三角形，且∠BMA=90°. 22.解:(1)点 M,N是线段AB 的勾股分割点.理由如下： 因为 所以 所以以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形， 所以点 M，N是线段AB 的勾股分割点. (2)设NB=x,则MN=AB-AM-NB=10-x. ①当MN为最长线段时，根据题意，得MN²=AM²+NB²,即( 解得x=4.2. ②当NB为最长线段时，根据题意，得 即 解得x=5.8. 综上所述,NB的长为4.2或5.8. 23.解：(1)根据图2，大正方形面积可表示为c²或 所以 即 所以 (2) 这个零件符合要求.理由如下：在Rt△ABD中, 在△BCD中, 225, 所以 所以△BCD是直角三角形,∠C=90°. 又因为∠ABD=90°, 所以这个零件符合要求. 24.解：(1)由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆 AB 的高度为x 米，则绳子AD的长度为(x+1)米. 由图2,可得在Rt△ABD中, 即 解得x=13.02. 答:旗杆AB的高度为13.02米. (2)旗杆的高度.(答案不唯一，合理即可) 25.解:(1)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm, 由勾股定理，得 所以AC=8cm. 由题意,知PA=PB= tcm,则PC=(8—t) cm. 在 Rt△PCB 中,由勾股定理,得 即 t²,解得 (3) 如图,过点 P 作PE⊥AB于点E.则∠AEP=90°. 因为 AP 平分∠BAC,∠ACP =∠ACB=90°, 所以∠CAP=∠EAP,PE=PC=(t—8) cm. 又因为∠ACP = ∠AEP, 所以△APC≌△APE. 所以AE=AC=8cm. 所以BE=AB-AE=2(cm). 此时BP=(14-t) cm. 在 Rt△BEP 中,由勾股定理,得 即 解得 学科网（北京）股份有限公司 $