26.4第二课时：实际问题与二次函数(2)学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册第26章二次函数

26.4第二课时：实际问题与二次函数(2)学案

一、素养目标

1.能从利润、面积类实际问题中提炼变量，构建二次函数数学模型；

2.熟练运用二次函数性质求解最值，规范运算并检验自变量取值范围；

3.学会用函数思维分析实际问题，提升运用知识解决生活问题的能力.

二、教学重点、难点

重点：掌握销售问题中变量间的二次函数关系，能建立二次函数模型解决最大利润问题.

难点：经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型.

三、教学过程

课堂导入

    利用二次函数的性质，可以解决生活中的一些最大值(或最小值)问题，如例1的最大高度，例2的最大面积.下面我们再来看一个最大利润问题.

   

一.销售利润问题几个量之间的关系:
1.总价、单价、数量的关系： 总价＝单价×数量
2.利润、售价、进价的关系： 利润＝售价－进价
3.总利润、单件利润、数量的关系： 总利润＝单件利润×数量
                                  总利润＝总售价－总进价
二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？

 

探究1

    某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？

◆涨价销售

① 每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：

建立函数关系式：y＝(20＋x)(300－10x)
    即：y＝－10x2＋100x＋6000

② 自变量x的取值范围如何确定？

营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300－10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30，x为整数.

 

 

③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？

  y＝－10x2＋100x＋6000 (0≤x≤30，x为整数)

∵ －10＜0

∴ 当x＝＝5时

y最大值＝－10×52＋100×5＋6000＝6250

也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.

 

◆降价销售

① 每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：

  

建立函数关系式：y＝(20－x)(300＋20x)
    即：y＝－20x2＋100x＋6000

② 自变量x的取值范围如何确定？

营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑销售价格就可以，故20－x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20，x为整数.

③ 降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？

y＝－20x2＋100x＋6000 (0≤x≤20，x为整数)

∵ －20＜0，且＝＝2.5

∴ 当x＝2或3时，y最大值＝6120

也就是说，在降价的情况下，降价2元或3元，即定价58元或57元时，利润最大，最大利润是6120元.
    综合以上两种情况可知，涨价5元，即定价为65元时，才能使利润最大，最大利润为6250元.

 

变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y＝－2x＋180.为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件.
(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；
(2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？

解：(1)由题意可得w＝(x－45－5)(－2x＋180)＝－2x2＋280x－9000
(2)w＝－2x2＋280x－9000＝－2(x－70)2＋800
∵ 销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件
∴ 75≤x≤90
∵ －2＜0，∴ 当75≤x≤90时，w随x的增大而减小
∴ 当x＝75时，有最大利润，最大利润为750元

 

归纳总结

求解最大利润问题的一般步骤：
1.建立利润与价格之间的函数关系式：总利润＝单件利润×销售量(总利润＝总售价－总成本)
2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；

3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.

课堂练习

1.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？

 

 

 

 

2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？

 

参考答案：

1、解：设旅行团的人数为x人，营业额为y元，则y=x（2700-30x),当x=45时，最大营业额是60750元。

2、解：设产量为x件，利润y=x(50-x/8)-500-10x,当x=160时，最大利润是2700元。

 

 

四、课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

五、教学反思

本课聚焦利润类实际问题探究二次函数应用，课堂引导学生梳理售价、销量与利润间的关联，尝试建立函数关系式。多数学生可套用基础公式列式，但灵活分析数量变化关系存在欠缺，确定自变量取值范围时常出现疏漏。部分学生计算过程粗心，最值判定思路不够清晰。后续将多结合生活化案例拆解题意，加强关系式推导训练，侧重易错点讲解，搭配梯度习题练习，稳步提升学生建模解题的综合能力。

六、课堂检测

1、某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件. 那么，涨价多少元时，一个月内利润最大，最大利润是多少？

2、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点．（1） 求出抛物线的解析式.（2）抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．