26.4第二课时：实际问题与二次函数(2)学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次函数解决实际问题，核心为最大利润问题。课堂导入从已学的最大高度、面积问题过渡，引导学生梳理销售中总价、利润等量的关系，搭建前后知识联系的学习支架。 资料特色在于分涨价、降价两种情况探究，通过变式训练巩固建模过程，归纳解题步骤。注重培养学生用数学眼光抽象变量关系，用数学思维规范运算与推理，提升模型意识和应用能力，助力学生掌握最优化问题解决方法。

人教版九年级数学上册第26章二次函数 26.4第二课时：实际问题与二次函数(2)学案 一、素养目标 1.能从利润、面积类实际问题中提炼变量，构建二次函数数学模型； 2.熟练运用二次函数性质求解最值，规范运算并检验自变量取值范围； 3.学会用函数思维分析实际问题，提升运用知识解决生活问题的能力. 二、教学重点、难点 重点：掌握销售问题中变量间的二次函数关系，能建立二次函数模型解决最大利润问题. 难点：经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型. 三、教学过程 课堂导入 利用二次函数的性质，可以解决生活中的一些最大值(或最小值)问题，如例1的最大高度，例2的最大面积.下面我们再来看一个最大利润问题. 一.销售利润问题几个量之间的关系: 1.总价、单价、数量的关系： 总价＝单价×数量 2.利润、售价、进价的关系： 利润＝售价－进价 3.总利润、单件利润、数量的关系： 总利润＝单件利润×数量 总利润＝总售价－总进价 二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？ 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ ◆涨价销售 ① 每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 建立函数关系式：y＝(20＋x)(300－10x) 即：y＝－10x2＋100x＋6000 ② 自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300－10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30，x为整数. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y＝－10x2＋100x＋6000 (0≤x≤30，x为整数) ∵ －10＜0 ∴ 当x＝＝5时 y最大值＝－10×52＋100×5＋6000＝6250 也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元. ◆降价销售 ① 每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 建立函数关系式：y＝(20－x)(300＋20x) 即：y＝－20x2＋100x＋6000 ② 自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑销售价格就可以，故20－x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20，x为整数. ③ 降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y＝－20x2＋100x＋6000 (0≤x≤20，x为整数) ∵ －20＜0，且＝＝2.5 ∴ 当x＝2或3时，y最大值＝6120 也就是说，在降价的情况下，降价2元或3元，即定价58元或57元时，利润最大，最大利润是6120元. 综合以上两种情况可知，涨价5元，即定价为65元时，才能使利润最大，最大利润为6250元. 变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y＝－2x＋180.为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件. (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式； (2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？ 解：(1)由题意可得w＝(x－45－5)(－2x＋180)＝－2x2＋280x－9000 (2)w＝－2x2＋280x－9000＝－2(x－70)2＋800 ∵ 销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件 ∴ 75≤x≤90 ∵ －2＜0，∴ 当75≤x≤90时，w随x的增大而减小 ∴ 当x＝75时，有最大利润，最大利润为750元 归纳总结 求解最大利润问题的一般步骤： 1.建立利润与价格之间的函数关系式：总利润＝单件利润×销售量(总利润＝总售价－总成本) 2.结合实际意义，确定自变量的取值范围； 3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 课堂练习 1.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 参考答案： 1、 解：设旅行团的人数为x人，营业额为y元，则y=x（2700-30x),当x=45时，最大营业额是60750元。 2、 解：设产量为x件，利润y=x(50-x/8)-500-10x,当x=160时，最大利润是2700元。 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本课聚焦利润类实际问题探究二次函数应用，课堂引导学生梳理售价、销量与利润间的关联，尝试建立函数关系式。多数学生可套用基础公式列式，但灵活分析数量变化关系存在欠缺，确定自变量取值范围时常出现疏漏。部分学生计算过程粗心，最值判定思路不够清晰。后续将多结合生活化案例拆解题意，加强关系式推导训练，侧重易错点讲解，搭配梯度习题练习，稳步提升学生建模解题的综合能力。 6、 课堂检测 1、某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件. 那么，涨价多少元时，一个月内利润最大，最大利润是多少？ 2、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点．（1） 求出抛物线的解析式.（2）抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD，求线段CD的长； （2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标； （3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由． 参考答案： 1、解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，根据题意，得 y=(30-20+x)(180-10x) 即：y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960 ∵ -10＜0，∴ 当x=4时，y取最大值1960元 答：涨价4元时，一个月内利润最大，最大利润为1960元. 2、（1）将点，代入， 得： ，解得： ∴抛物线的解析式为 ； （2） 分两种情况；当Q在下方和当Q在上方，构造全等三角形求出点H的坐标，再联立方程组求解： ①当Q在下方时，如图，过P作于H，过H作轴， 交y轴于M，过P作于N， ∴， ∵， ∴△PHC是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，由于，, ∴，解得 ， ∴, 设直线的解析式为 ， ∴，解得， ∴直线的解析式为 ， 联立直线与抛物线解析式得 ，解得或 ， ∴； ②当Q在上方时， 如图，过P作.于H，过H作轴， 交y轴于M，过P作于N， 同理可得. 综上，存在，点Q的坐标为或． 3、解：（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K， 当x=0时，y=， ∴C（0，）， y=﹣x2﹣x+=﹣（x+）2+， ∴D（﹣，）， ∴DK=，CK=﹣=， ∴CD===；（4分） （2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，则﹣x2﹣x+=0， 解得：x1=﹣3，x2=， ∴A（﹣3，0），B（，0）， ∵C（0，）， 易得直线AC的解析式为：y=， 设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+）， ∴PF=﹣x2﹣x+，EF=， Rt△ACO中，AO=3，OC=， ∴AC=2， ∴∠CAO=30°， ∴AE=2EF=， ∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE）， =﹣﹣x+[2﹣（）]， =﹣﹣x﹣x， =﹣（x+2）2+，（5分） ∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），（6分） ∴PC=2， ∵O1B1=OB=，∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小， 如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1， 再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1=P2B1， ∴PO1+B1C=P2B1+B1C， ∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1， ∴B1（﹣，0）， 将B1向左平移个单位长度即得点O1， 此时PO1+B1C=P2C==， 对应的点O1的坐标为（﹣，0），（7分） ∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3；（8分） （3）O2M的长度为或或2+或2．（12分） 理由是：如图3，∵H是AB的中点，∴OH=， ∵OC=， ∴CH=BC=2，∴∠HCO=∠BCO=30°， ∵∠ACO=60°， ∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上， ∴∠B2CA=∠CAB=30°， ∴B2C∥AB， ∴B2（﹣2，）， ①如图4，AN=MN， ∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3， 由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1， ∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°， 过C1作C1E⊥B2C于E， ∵B2C=B2C1=2， ∴=B2O2，B2E=， ∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1， ∠B2O2M=∠C1EC=90°， ∴△C1EC≌△B2O2M， ∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣； ②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=， ③如图6，AM=MN， ∵B2C=B2C1=2=B2H，即N和H、C1重合， ∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°， ∴O2M=AO2=； ④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E， ∴∠NMA=∠NAM=30°， ∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，∴C1B2∥AC， ∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°， ∵∠C1EC=90°， ∴四边形C1EO2B2是矩形， ∴EO2=C1B2=2，，∴EM=， ∴O2M=EO2+EM=2+， 综上所述，O2M的长是或或2+或2． 学科网（北京）股份有限公司 $