专题02 期末真题百练通关（69题13考点压轴题型）（高效培优期末专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

**基本信息** 聚焦期末13个压轴考点，以69道真题构建“方法提炼-知识迁移-综合应用”体系，强化代数变形与几何动态探究能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |完全平方公式变形|10题|换元法、配方法、几何面积法|从公式变形到实际应用，体现代数与几何融合| |因式分解综合|2题|规律探究、公式法|从特殊到一般，构建连续整数乘积模型| |平行线拐点模型|10题|辅助线添加、角平分线性质|从静态模型到动态旋转，培养空间观念| |不等式组应用|9题|不等关系建模、参数讨论|结合实际场景，发展模型意识与推理能力|

专题02 期末真题百练通关（69题13考点压轴题型） 考点01 完全平方公式变形求值（最难代数压轴） 考点08 动态平行线探究（最难几何压轴） 考点02 因式分解综合压轴（大题必考） 考点09 含参不等式（组）解的情况（填空压轴） 考点03分式方程解的范围压轴 考点10不等式组实际应用（期末解答压轴） 考点04 分式定义新运算、分式规律探究压轴 考点11不等式组与分式方程实际应用（解答压轴） 考点05 分式方程实际应用（压轴大题） 考点12新定义不等式压轴（阅读材料难题） 考点06平行线拐点模型（几何压轴第一梯队） 考点13跨章节综合压轴 考点07平行线+角平分线综合证明（证明压轴） 考点01 完全平方公式变形求值（最难代数压轴）（共10小题） 1．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)已知实数、、满足，下列结论正确的是（    ） A．可能为 B．若、、中有两个数相等，则 C．若，则 D．若，则 2．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七下·安徽阜阳颍上县·)【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，则， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 4．(24-25七下·安徽合肥厚德中学·期末)阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． 迁移应用： (1)若x满足，求的值； (2)如图，在长方形中，，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 5．(24-25七下·安徽合肥瑶海区行知中学·期末)[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：______； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 6．(24-25七下·安徽合肥四十六中南校区·期末)用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形． (1)用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式： ；利用上面所得的结论解答：已知，，求的值． (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， ①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ． ②利用上面所得的结论解答：，，求的值． 7．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； (3)已知长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． 8．(24-25七下·安徽安庆桐城·期末)拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 9．（25-26七年级下·安徽六安·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)将变形为的形式，并求出代数式的最小值； (3)代数式有最大值还是最小值？求出最值． 10．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）【阅读材料】 材料一：“配方法”是将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，是解决数学问题常用到的方法． 材料二：，，求的值． 解：∵，，∴． 材料三：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴当时，有最小值，即代数式的最小值是． 【问题解决】 (1)已知，，求的值； (2)代数式是否有最大值，或有最小值？若有，求出它的最大值或最小值，并写出此时x的取值；若没有，请说明理由 【问题拓展】 (3)若，求的值． 考点02 因式分解综合压轴（大题必考）（共2小题） 11．(24-25七下·安徽合肥蜀山区·期末)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方”的问题． (1)指导教师引导学生从特殊情形出发进行列式计算，得到部分信息如下： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： ……． 按以上规律，完成下列问题： （Ⅰ）______=______； （Ⅱ）______=______；（用含的式子表示） (2)受上述过程启发，小明同学做了如下的推理： 设，、是连续的正整数， ；，____________． 一定是正数的平方数． 阅读上述过程，并在横线上补全缺的内容． 12．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)写出一个30到50之间的“正巧数”； (2)设两个连续正奇数为和（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)m，n为正整数，且，若是“正巧数”，求的值． 考点3 分式方程解的范围压轴（共3小题） 13．(24-25七下·安徽合肥厚德中学·期末)若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)4．关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 15．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)已知关于的方程 （1）若，则方程的解是___________． （2）若方程无解，则a的值是___________． 考点4 分式定义新运算、分式规律探究压轴（共3小题） 16．(24-25七下·安徽安庆大观区第四中学·期末)6．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 17．(24-25七下·安徽安庆太湖县·期末)观察下列式子： ， ， ， ， ……． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_________； (2)解分式方程：． 18．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)分子为1的分数叫做单位分数，如．任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，， (1)根据对上述式子的观察，你会发现，其中，则___________，___________． (2)写出你猜想的第n个等式：___________；（用含有n的等式表示） (3)请说明（2）中等式成立的道理． 考点5 分式实际应用（压轴大题）（共2小题） 19．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)根据以下信息，探索解决问题： 背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1500件新产品进行加工后再投放市场．每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息． 信息1 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍； 信息2 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息3 每天满工作量情况下，甲工厂加工1天，乙工厂加工2天共需要10000元；甲工厂加工2天，乙工厂加工3天共需要16100元． 问题解决 问题1 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息1可得： 乙工厂每天加工数量为______件（请用的代数式表示）． 问题2 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？ 问题3 公司将1500件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数．请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？ 20．(24-25七下·安徽合肥厚德中学·期末)某足球特色学校在商场购进、两种品牌的足球，已知购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元， (1)分别求、品牌的足球的单价； (2)由于喜欢足球的人数增加，学校再次购进与第一次购买数量相同的、两种品牌足球，同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，则此次购买足球比第一次费用高还是低？ 考点6 平行线拐点模型（期末几何压轴第一梯队）（共10小题） 21．(24-25七下·安徽安庆·期末)如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，其中点都在射线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)已知直线AB//CD，点E是AB上一点，点O、F是CD上不同的两点，且∠AEO=38°，作OM⊥OE，ON⊥OF，则∠MON的度数是____________． 23．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C，D的落点分别是，，交BC于G，再将四边形沿FG折叠，点，的落点分别是，，交EF于H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填写序号）． 24．(24-25七下·安徽合肥四十六中南校区·期末)如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则_______． 25．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)5．如图1，，点在直线上，点在直线上，，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若直线平分，直线平分交于点，求的度数． 26．(24-25七下·安徽安庆潜山·期末)（1）【问题发现】 ①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 27．(24-25七下·安徽合肥厚德中学·期末)如图，，点E，F分别为直线上的点，点M在两平行线与之间，连接，，的平分线交于点N．    (1)如图1，过点M作，若，，求的度数； (2)如图2，的平分线的反向延长线交于点P． ①成立吗？请说明理由； ②请直接写出与的数量关系． 28．(24-25七下·安徽合肥肥东县兴国实验学校·期末)如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 29．(24-25七下·安徽安庆大观区第四中学·期末)【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． (1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． (2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． (3)【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数． 30．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)如图1，，的平分线交于点G，． (1)试说明：； (2)如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分； (3)如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值． 考点7 平行线+角平分线综合证明（证明压轴）（共7小题） 31．(24-25七下·安徽合肥蜀山区·期末)如图，，点、分别为、上点，点在、之间．连接、、、，使得．过点作交于点，平分交于．若平分，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D．平分 32．(24-25七下·安徽安庆潜山·期末)如图，，F为AB上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．(24-25七下·安徽合肥巢湖烔炀镇·期末)3．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③若，则；④与互余的角有2个．其中正确的有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．(24-25七下·安徽宿州砀山县·期末)4．如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 35．(24-25七下·安徽合肥庐江县柯坦中学·期末)5．如图，平分平分，点、、在一条直线上，点、、A、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．②③ 36．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)如图，直线被直线所截，连接，且平分交于点平分交于点E． 【问题提出】 （1）若，求的度数； （2）求证：； 【问题探究】 （3）试判断与之间的数量关系，并说明理由． 37．(24-25七下·安徽安庆·期末)阅读理解： 如图1．已知：，点P是直线之间的一点，点E、F分别在直线上，则可推出． 小明的思路是：过点P作，通过平行线的性质可得结论． (1)请根据小明的思路，写出完整的推理过程； (2)利用（1）中的结论解决问题： 如图2．已知：，点P是直线之间的一点，点E、F分别在直线上，是的平分线．是的平分线，，． ①若，求的度数； ②试探究与之间的数量关系． 考点8动态平行线探究（期末最难几何压轴）（共8小题） 38．(24-25七下·安徽安庆桐城·期末)如图1，已知，将一块含角的直角三角板按如图所示放置（），使顶点B落在边上，绕点B转动三角板，始终保持点C在的上方，过点C作． (1)当___________°时，． (2)如图2，作的角平分线． （ⅰ）若，求的度数， （ⅱ）将三角板绕点B转动，当三角板有一边与垂直时，求的度数．（直接写出答案） 39．(24-25七下·安徽阜阳颍上县·)数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题． (1)小安的设计：如图①，利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴：②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小安这样画图的依据是______； (2)小徽的设计：如图②，将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上、使两直角顶点与重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分，当的大小为多少时，可使？请说明理由； (3)小皖的设计：如图③，，将一副直角三角尺作如上摆放：，，求的度数． 40．(24-25七下·安徽合肥庐江县柯坦中学·期末)0．已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 41．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)如图，直线，直线与、分别交于点、，．小轻将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．    (1)填空：________（填“>”“<”或“=”）； (2)若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小轻将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 42．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)如图所示，已知直线直线，直线分别交直线、于点A、C，且，现将射线绕点A以每秒的转速逆时针旋转得到射线．同时射线绕点C以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与射线重合时，则射线、射线均停止转动，设旋转时间为t（秒）． (1)在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P． ①当（秒）时，则 ； ②若，求此时t的值； (2)在旋转过程中，当时，则t的值为 ． 43．(24-25七下·安徽合肥庐江实验中学·期末)一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 44．(24-25七下·安徽阜阳临泉县·期末)【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 45．(24-25七下·安徽合肥巢湖烔炀镇·期末)已知射线平分，点为上任意一点，过点作直线交射线于点． (1)如图1，若，则=______； (2)点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作交于点． ①如图2，若，当时，求的度数； ②当点在线段上运动时（不与点，重合），设，，判断和之间的数量关系，并证明． ③当点在线段延长线上运动时，设，，直接写出和之间的数量关系______． 考点9含参不等式（组）解的情况（填空压轴）（共3小题） 46．(24-25七下·安徽合肥厚德中学·期末)若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是________． 47．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)数学课上，老师写下题目：解一元一次不等式组． 其中需要同学们在“□”中填写数字． （1）小明填入数字后得到该不等式组的解集为，则小明填写的数是______； （2）当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字a的取值范围是______． 48．(24-25七下·安徽合肥蜀山区·期末)已知实数，满足． (1)当时，则的取值范围为______； (2)在(1)的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，则的取值范围为______． 考点10 不等式组实际应用（期末解答压轴）（共9小题） 49．(24-25七下·安徽六安霍邱县·期末)我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”截止目前全球累计票房已突破亿元人民币，商家推出了甲、乙两种类型的哪吒纪念挂件．已知购进个甲类型挂件和购进个乙类型挂件的费用相同，每个甲类型挂件的进价比每个乙类型挂件的进价多元． (1)每个甲类型挂件和每个乙类型挂件的进价分别是多少元？ (2)根据实际销售情况，该商家计划用不超过元的资金购进甲、乙两种类型挂件共个，请问最多能购进多少个甲类型挂件？ 50．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？ 51．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)为了抓住大别山文化艺术节的商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品1件，种纪念品1件，需要150元；若购进种纪念品1件，种纪念品2件，需要250元． (1)求购进、两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于6800元，但不超过6950元，那么该商店共有哪几种进货方案？ 52．(24-25七下·安徽合肥庐江县柯坦中学·期末)一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 53．(24-25七下·安徽合肥巢湖烔炀镇·期末)教室护眼灯是目前性价比较高的灯，不仅节能，而且寿命长，同时也更加环保，更有效的保护学生的视力．某校计划从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共200只，这两种护眼灯商场的进价、售价如表所示： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型号护眼灯 60 80 乙型号护眼灯 75 100 (1)若学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共用去17000元，求学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯各多少只？ (2)若学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯，问学校从商场购进甲种型号护眼灯至少多少只？ (3)在（2）的条件下，该商场销售给学校这200只护眼灯后能否实现盈利不低于4250元的目标？若能，请你给出相应的采购方案；若不能，说明理由． 54．(24-25七下·安徽安庆太湖县·期末)已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．搭配一个A种造型的成本是260元，搭配一个B种造型的成本是300元． (1)用180盆甲种花卉，220盆乙种花卉可以搭配A、B两种造型各多少个？ (2)某园林公司准备用现有的225盆甲种花卉和155盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共30个，请问符合题意的搭配方案有几种？ (3)若一个A种造型的售价是325元，一个B种造型的售价是360元，为提高A种造型的销量，决定每售出一个A种造型，返还顾客m元，B种造型售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则m的值为________． 55．(24-25七下·安徽铜陵铜官/·期末)综合与实践 背景 端午节期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商场购买A，B两种款式的粽子礼盒作为奖品． 素材1 某商场在无促销活动时，若买12个A款粽子礼盒、10个B款粽子礼盒，共需200元；若买17个A款粽子礼盒、15个B款粽子礼盒，共需290元． 素材2 该商场“6·18”促销活动：线下用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买线下商场内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小明在此之前不是该商场的会员）；线上促销活动：购买商场内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． 问题解决 任务1 求在无促销活动时A款粽子礼盒和B款粽子礼盒的销售单价各是多少元． 任务2 小明计划在促销期间购买A，B两款礼盒共40个，其中A款礼盒个．若在线下商场购买，共需要___________元；若在线上商城购买，共需要___________元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款礼盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 56．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． (1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元？ (2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ (3)在（2）的采购方案中，哪种方案该商店在销售完这360件玩具可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 57．(24-25七下·安徽合肥庐江实验中学·期末)学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，购买本文学名著和本动漫书共需元，购买本文学名著比购买本动漫书的费用少元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． (1)求每本文学名著和动漫书各多少元? (2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案? (3)在（）的条件下，若店家每出售一本文学名著盈利元，每出售一本动漫书盈利元，此时店家获得最大利润为元，则的值为_____（直接写出结果）． 考点11 不等式组与分式方程实际应用（期末解答压轴）（共5小题） 58．(24-25七下·安徽阜阳临泉县·期末)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 59．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 60．(24-25七下·安徽合肥瑶海区行知中学·期末)春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)求A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？ 61．(24-25七下·安徽安庆大观区第四中学·期末)某鞋店购进甲、乙两种品牌的运动鞋进行销售，已知每双甲品牌运动鞋的进价比每双乙品牌运动鞋的进价多15元，且用1300元购进乙品牌运动鞋的数量是用800元购进甲品牌运动鞋数量的2倍． (1)分别求每双甲、乙两种品牌运动鞋的进价． (2)已知每双甲品牌运动鞋的售价为130元，每双乙品牌运动鞋的售价为95元，且购进乙品牌运动鞋的数量比购进甲品牌运动鞋的数量的2倍还多4双．若要使两种品牌的运动鞋全部售出后的总利润不少于2000元，则最少购进多少双甲品牌运动鞋？ 62．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． (1)甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ (3)在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 考点12 新定义不等式压轴（阅读材料难题）（共2小题） 63．(24-25七下·安徽合肥庐江县柯坦中学·期末)定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时，_______； （2）当时，的范围是_______． 64．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)阅读理解：我们规定，把一个非负（即大于或等于0）的实数进行“四舍五入”精确到个位得到的近似值记为．可以得到，当为非负整数时，如果，那么．例如：，，，，… 解决问题： (1)填空：______；______（用或填空）； (2)请举例说明不一定成立； (3)如果，求实数的取值范围． 考点13 不等式与方程、分式、实数综合压轴（共5小题） 65．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）已知关于x的不等式组的解集为，请解决下列问题： （1）实数a的取值范围是_________； （2）在（1）的条件下，若关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的和是_________． 66．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)若实数可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，，所以是第1个“1阶倒差数”，，所以是第2个“1阶倒差数”，，所以是第3个“1阶倒差数”……，即，那么我们称是第个“1阶倒差数”；同理，那么我们称为第个“2阶倒差数”． （1）判断________（填是或不是）“1阶倒差数”． （2）若，均是由两连续奇数组成的“2阶倒差数”，且．则________． 67．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)阅读材料，并解答问题： 小艺在学习平方根知识时，通过观察发现了一些有趣的规律．请根据规律填空，并解决相应问题． （1）； （2）； （3） ； （4）知识应用： 如果 的小数部分为0.95，请求出n的值（n为正整数）． 68．(24-25七下·安徽安庆·期末)8．某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 69．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解决问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：，，即，，． 根据材料解决问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组：； (3)已知为正整数，当分式等于（为不等于0的常数且为整数）时，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末真题百练通关（69题13考点压轴题型） 考点01 完全平方公式变形求值（最难代数压轴） 考点08 动态平行线探究（最难几何压轴） 考点02 因式分解综合压轴（大题必考） 考点09 含参不等式（组）解的情况（填空压轴） 考点03分式方程解的范围压轴 考点10不等式组实际应用（期末解答压轴） 考点04 分式定义新运算、分式规律探究压轴 考点11不等式组与分式方程实际应用（解答压轴） 考点05 分式方程实际应用（压轴大题） 考点12新定义不等式压轴（阅读材料难题） 考点06平行线拐点模型（几何压轴第一梯队） 考点13跨章节综合压轴 考点07平行线+角平分线综合证明（证明压轴） 考点01 完全平方公式变形求值（最难代数压轴）（共10小题） 1．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)已知实数、、满足，下列结论正确的是（    ） A．可能为 B．若、、中有两个数相等，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】A.，， ，等式不成立，故错误； B.分三种情形讨论： 当时，，则，成立； 当时，，则，，无解，故不成立； 当时，，则，，解得，故不成立，该选项错误； C.由，推出，推出，即，故错误； D ，， ，， ， ， 解得：，故正确； 故选：D． 2．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， 综上所述，，， 故选：D． 3．(24-25七下·安徽阜阳颍上县·)【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，则， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)15 (2) (3) 【详解】（1）解：设； 则，， ∴， 故答案为：． （2）解：设，， 则，， ∴ ， 故答案为：． （3）解：由题意得，，， ∵长方形的面积为， ∴， 设，，则，， ∴阴影部分的面积， ， ∴阴影部分的面积和为． 4．(24-25七下·安徽合肥厚德中学·期末)阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． 迁移应用： (1)若x满足，求的值； (2)如图，在长方形中，，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设， 则， 所以． （2）解：根据题意，得． 因为长方形的面积为， 所以， 所以． 根据题意，可知阴影部分的面积为． 设， 则， 所以． 所以阴影部分的面积为． 5．(24-25七下·安徽合肥瑶海区行知中学·期末)[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：______； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1）；（2）14；（3）；（4）9 【详解】解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：； 故答案为：； （2）由题（1）知：， ； （3）根据题意得：； 故答案为：； （4）由（3）可知， 把，代入得： ． ． 6．(24-25七下·安徽合肥四十六中南校区·期末)用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形． (1)用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式： ；利用上面所得的结论解答：已知，，求的值． (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， ①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ． ②利用上面所得的结论解答：，，求的值． 【答案】(1)；6 (2)①  ②90 【详解】（1）解：由图1可知， 小正方形的边长为，所以图1中阴影部分的面积可表示为：． 图1中大正方形的面积为，周围四个小长方形的面积之和为，所以图1中阴影部分的面积可表示为：， 由此可得：． 因为，， 所以， 所以（舍负）． 故答案为：． （2）①由图2可知， 大正方体的体积可表示为：． 大正方体的体积还可表示为八个小长方体的体积之和： ， 所以． ②因为， ∴ 又∵，， ∴， 故． 7．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； (3)已知长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， ∴， 即． ∴． （3）解：∵长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 8．(24-25七下·安徽安庆桐城·期末)拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 9．（25-26七年级下·安徽六安·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)将变形为的形式，并求出代数式的最小值； (3)代数式有最大值还是最小值？求出最值． 【答案】(1) (2)变形为，最小值是 (3)有最大值，最大值为 【详解】（1）解：对于，根据完全平方公式，一次项系数为，一半的平方为， 因此应添的常数项为； （2）解：对配方：， ， ， 因此的最小值为； （3）解：对配方： ， ， ， ， 因此代数式有最大值，最大值为． 10．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）【阅读材料】 材料一：“配方法”是将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，是解决数学问题常用到的方法． 材料二：，，求的值． 解：∵，，∴． 材料三：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴当时，有最小值，即代数式的最小值是． 【问题解决】 (1)已知，，求的值； (2)代数式是否有最大值，或有最小值？若有，求出它的最大值或最小值，并写出此时x的取值；若没有，请说明理由 【问题拓展】 (3)若，求的值． 【答案】(1)18 (2)当时，代数式有最大值，最大值为23 (3)13 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴原式； （2）解：代数式有最大值，最大值为23，过程如下： ， ∵， ∴，即， ∴当时，代数式有最大值，最大值为23； （3）解：∵， ∴ ． 考点02 因式分解综合压轴（大题必考）（共2小题） 11．(24-25七下·安徽合肥蜀山区·期末)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方”的问题． (1)指导教师引导学生从特殊情形出发进行列式计算，得到部分信息如下： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： ……． 按以上规律，完成下列问题： （Ⅰ）______=______； （Ⅱ）______=______；（用含的式子表示） (2)受上述过程启发，小明同学做了如下的推理： 设，、是连续的正整数， ；，____________． 一定是正数的平方数． 阅读上述过程，并在横线上补全缺的内容． 【答案】(1)；；； (2)； 【详解】（1）解：（Ⅰ） （Ⅱ） （2）设，、是连续的正整数， ； ， ． 一定是正数的平方数． 故答案为：；． 12．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)写出一个30到50之间的“正巧数”； (2)设两个连续正奇数为和（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)m，n为正整数，且，若是“正巧数”，求的值． 【答案】(1)32，40，48（选择其中一个即可）； (2)能被8整除，理由见详解 (3)9 【详解】（1）解：根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差， 设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数， 则：， 整理得：， 解得：， 为正整数， ，5，6， 到50之间的“正巧数”共有3个，它们分别是：32，40，48． 即：，，． ∴在32，40，48中任选一个即可； （2）解：“正巧数”能被8整除，理由如下： ， 又是正整数， 能被8整除 能被8整除， “正巧数”能被8整除； （3）解：， ． 考点3 分式方程解的范围压轴（共3小题） 13．(24-25七下·安徽合肥厚德中学·期末)若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 分式方程无解， ， ， ， ， 故选：D． 14．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)4．关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：， 方程两边都乘以，得：， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：C． 15．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)已知关于的方程 （1）若，则方程的解是___________． （2）若方程无解，则a的值是___________． 【答案】 1或2 【详解】解：（1）原方程去分母得：， 整理得， 若， 则， 解得：， 经检验，是该方程的解， 故答案为：； （2）由（1）得， 则， 当，即时， 无解， 那么原方程无解，符合题意， 当，即时， 若原方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，a的值为1或2， 故答案为：1或2． 考点4 分式定义新运算、分式规律探究压轴（共3小题） 16．(24-25七下·安徽安庆大观区第四中学·期末)6．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【详解】 解：A. ，根据题意，称是的“3分式”，故本选项说法正确，不符合题意； B.当的值为时，，根据题意，称是的“2分式”，故本选项说法正确，不符合题意； C. 若是的“1分式”，则，，，故本选项说法错误，符合题意； D.若与互为倒数，则，根据题意，称是的“5分式”，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 17．(24-25七下·安徽安庆太湖县·期末)观察下列式子： ， ， ， ， ……． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_________； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴.， 故答案为：； （2）解：分式方程可变形为. 去括号，得. 所以， 解得. 经检验，是分式方程的解. 所以分式方程的解为． 18．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)分子为1的分数叫做单位分数，如．任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，， (1)根据对上述式子的观察，你会发现，其中，则___________，___________． (2)写出你猜想的第n个等式：___________；（用含有n的等式表示） (3)请说明（2）中等式成立的道理． 【答案】(1)8，56 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：，，，且， ， 故答案为：8，56； （2），，， 观察可知等式后第一项分式的分母等于等号左侧分式分母，最后一项的分母是等号左侧分式分母和等号右侧第一项分式分母的乘积， ； （3） ． 考点5 分式实际应用（压轴大题）（共2小题） 19．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)根据以下信息，探索解决问题： 背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1500件新产品进行加工后再投放市场．每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息． 信息1 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍； 信息2 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息3 每天满工作量情况下，甲工厂加工1天，乙工厂加工2天共需要10000元；甲工厂加工2天，乙工厂加工3天共需要16100元． 问题解决 问题1 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息1可得： 乙工厂每天加工数量为______件（请用的代数式表示）． 问题2 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？ 问题3 公司将1500件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数．请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？ 【答案】问题1：；问题2：50件；问题3：375件或1125件 【知识点】分式方程的工程问题、分配问题(二元一次方程组的应用)、列代数式 【详解】解：问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件， 结合信息1可得：乙工厂每天加工数量为件； 故答案为： 问题2：根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：甲工厂每天能加工50件新产品； 问题3：设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意得： ， 解得：， 设甲工厂加工m件，则乙工厂加工件，其中，根据题意得： 总费用为元， 平均加工费用为元， ∵平均加工费用为整数， ∴m取375，750，1125， 两工厂加工的时间之和为天， ∵两工厂加工的时间之和不是整数． ∴m取375，1125， 答：交给甲工厂375件或1125件新产品进行加工． 20．(24-25七下·安徽合肥厚德中学·期末)某足球特色学校在商场购进、两种品牌的足球，已知购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元， (1)分别求、品牌的足球的单价； (2)由于喜欢足球的人数增加，学校再次购进与第一次购买数量相同的、两种品牌足球，同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，则此次购买足球比第一次费用高还是低？ 【答案】(1)购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元 (2)第二次购买费用与第一次费用相同 【详解】（1）解：设购买一个品牌的足球器元，则购买一个品牌的足球箭元，则 解得 ， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元． （2）解：第一次购买品牌足球个，购买品牌足球个， 第一次购买足球总费用为： 第二次总费用为：， 答：第二次购买费用与第一次费用相同， 考点6 平行线拐点模型（期末几何压轴第一梯队）（共10小题） 21．(24-25七下·安徽安庆·期末)如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，其中点都在射线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴∠AOP=180°－，=∠POBn ∵依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线， ∴∠POB== ∠POB1== ∠POB2==…… ∴∠POBn= ∴=∠POBn= 故选C． 22．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)已知直线AB//CD，点E是AB上一点，点O、F是CD上不同的两点，且∠AEO=38°，作OM⊥OE，ON⊥OF，则∠MON的度数是____________． 【答案】38°或142° 【详解】由题可作图，点M有两种情况，如图所示： ∵ON⊥OF, AB//CD, ∴ON⊥AB， ∴∠ONE=90°， ∵ , ∴ , ①当OM1⊥OE时， ∵OM1⊥OE， ∴, ∴, ②当OM2⊥OE时， ∵OM2⊥OE， ∴ , ∴, 故填：38°或142°． 23．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C，D的落点分别是，，交BC于G，再将四边形沿FG折叠，点，的落点分别是，，交EF于H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：设∠GEF=x， 由折叠可知，∠GEF=∠DEF=x， ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=x， ∴∠GEF=∠GFE，故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠AEF=∠EFC=180°-x， 由折叠可知，∠EFC=∠EFC'=180°-x， ∴∠GFC'180°-2x， 由折叠可知，∠GFC'=∠GFC''=180°-2x， ∴∠EFC''=180°-3x， ∵∠AEG-∠FEG=180°-2x-x=180°-3x， ∴∠AEG-∠FEG=∠EFC''，故②错误，③正确； ∵FC'∥ED'， ∴∠FGD'=180°-（180°-2x）=2x， ∵由折叠可知，∠D''GF=∠D'GF=2x， ∴∠EHG=∠D''GF+∠EFG=3x， ∴∠EHG=3∠EFB，故④正确， 故答案为：①③④． 24．(24-25七下·安徽合肥四十六中南校区·期末)如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则_______． 【答案】或 【详解】解：分两种情况： 当点O在和之间时， 过点O作，如图①，则， ； 当点O在上方时， 过点O作，如答图②，则 ．           图①                     图② 25．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)5．如图1，，点在直线上，点在直线上，，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若直线平分，直线平分交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：过点作． ， ， ， ． ∵， ， 故答案为：． （2）解：由（1）可得． ， ， ． （3）解：如图，过作． ， ， ． 直线平分，直线平分交于点， 可设，则． 由（2）可知， ， ， ． 26．(24-25七下·安徽安庆潜山·期末)（1）【问题发现】 ①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【详解】（1）①证明：过点作，则， ， ， ， ， ． ②过点作，则， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图， 的角平分线与的角平分线交于点 设，， 则，， ， ， ， ， ，即， ， 由（1）知， ． （3）         由（1）可得， ， ， 设，， 则，， ∴，，， ∴， ． 27．(24-25七下·安徽合肥厚德中学·期末)如图，，点E，F分别为直线上的点，点M在两平行线与之间，连接，，的平分线交于点N．    (1)如图1，过点M作，若，，求的度数； (2)如图2，的平分线的反向延长线交于点P． ①成立吗？请说明理由； ②请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)①成立；理由见解析；② 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①成立；理由见解析： 过点P作，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②如图，过点M作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， 根据解析①可知：， ∴， 即． 28．(24-25七下·安徽合肥肥东县兴国实验学校·期末)如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由：如图2，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：如图3，过点F作，过点P作， 则，． ∵， ∴，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵的平分线和的平分线交于点P， ∴，， ∴ ∴． 29．(24-25七下·安徽安庆大观区第四中学·期末)【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． (1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． (2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． (3)【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)图①中，即；图②中，；证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：如图①，过作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图②，过作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图③，延长，交于点，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④， 由（1）的结论可得：，， ∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)如图1，，的平分线交于点G，． (1)试说明：； (2)如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分； (3)如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于， ， 由（1）已证：， ，即， 又， ， ， 又∵， ∴平分． （3）解：设， ∵， ∴，， ， ， 由（1）已得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在的下方时， ∴， ， ∴； ②如图，当点在的上方时， ∴， ， ∴； 综上，的值是5或． 考点7 平行线+角平分线综合证明（证明压轴）（共7小题） 31．(24-25七下·安徽合肥蜀山区·期末)如图，，点、分别为、上点，点在、之间．连接、、、，使得．过点作交于点，平分交于．若平分，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【详解】∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故A正确； ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴，故B正确； ∵， ∴ ∴，故C正确； 无法证明，即平分不一定正确，故D不一定正确． 故选D． 32．(24-25七下·安徽安庆潜山·期末)如图，，F为AB上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 根据题中的条件无法确定的度数，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法确定是否等于，故④错误； 故选：B 33．(24-25七下·安徽合肥巢湖烔炀镇·期末)3．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③若，则；④与互余的角有2个．其中正确的有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：平分， ， ， ，， ， 平分，故①正确； ，平分， ，， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ， ，故③正确； 与互余的角有：，，，，共4个．故④错误； 综上可知，正确的有， 故选C． 34．(24-25七下·安徽宿州砀山县·期末)4．如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】D 【详解】证明：∵平分平分， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故C不符合题意； 根据题意无法证明， 故D符合题意； 故选：D． 35．(24-25七下·安徽合肥庐江县柯坦中学·期末)5．如图，平分平分，点、、在一条直线上，点、、A、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．②③ 【答案】B 【详解】解：∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，②正确； ∴， ∵， ∴，③错误； 综上所述：正确的结论有①②． 故选：B． 36．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)如图，直线被直线所截，连接，且平分交于点平分交于点E． 【问题提出】 （1）若，求的度数； （2）求证：； 【问题探究】 （3）试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．(24-25七下·安徽安庆·期末)阅读理解： 如图1．已知：，点P是直线之间的一点，点E、F分别在直线上，则可推出． 小明的思路是：过点P作，通过平行线的性质可得结论． (1)请根据小明的思路，写出完整的推理过程； (2)利用（1）中的结论解决问题： 如图2．已知：，点P是直线之间的一点，点E、F分别在直线上，是的平分线．是的平分线，，． ①若，求的度数； ②试探究与之间的数量关系． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ； （2）解：①， ∴， 是的平分线．是的平分线， ， ； ②， ， ， ， ． 考点8动态平行线探究（期末最难几何压轴）（共8小题） 38．(24-25七下·安徽安庆桐城·期末)如图1，已知，将一块含角的直角三角板按如图所示放置（），使顶点B落在边上，绕点B转动三角板，始终保持点C在的上方，过点C作． (1)当___________°时，． (2)如图2，作的角平分线． （ⅰ）若，求的度数， （ⅱ）将三角板绕点B转动，当三角板有一边与垂直时，求的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）或或 【详解】（1）解：如图，延长交于， 当时， ， ， ， ； ； 故答案：； （2）解：（ⅰ）， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （ⅱ）①如图，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ； ②如图，当时， ， 此时在射线上， ， ， ， 平分， ， ； ③如图，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ； 综上所述：的度数为或或． 39．(24-25七下·安徽阜阳颍上县·)数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题． (1)小安的设计：如图①，利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴：②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小安这样画图的依据是______； (2)小徽的设计：如图②，将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上、使两直角顶点与重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分，当的大小为多少时，可使？请说明理由； (3)小皖的设计：如图③，，将一副直角三角尺作如上摆放：，，求的度数． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行； (2)当时，，理由见解析部分； (3)． 【详解】（1）解：如图①，将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）解：如图②，当时，，理由如下： ， ， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （3）解：如图③，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 40．(24-25七下·安徽合肥庐江县柯坦中学·期末)0．已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 【答案】(1) (2) (3)图形见详解， 【详解】（1）解：∵平分，且， ,, ∵， ； （2）解：∵平分，且， ， ∴； （3）解：如图所示，过点作， 又∵， ∴， ， ∵平分，且， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴与的度数差为． 41．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)如图，直线，直线与、分别交于点、，．小轻将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．    (1)填空：________（填“>”“<”或“=”）； (2)若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小轻将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【详解】（1）解：如图，过点P作，交于点Q， 则， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①，， ， ， 的平分线交直线于点， ， ， ， ， ； ②当点N在点G的右侧时． ，， ， ， ， ， 的平分线交直线于点， ， 又， ； 当点N在点G的左侧时，如图： ，， ， ， ， ，， ， 的平分线交直线于点， ， ， 综上可知，的度数为或． 42．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)如图所示，已知直线直线，直线分别交直线、于点A、C，且，现将射线绕点A以每秒的转速逆时针旋转得到射线．同时射线绕点C以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与射线重合时，则射线、射线均停止转动，设旋转时间为t（秒）． (1)在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P． ①当（秒）时，则 ； ②若，求此时t的值； (2)在旋转过程中，当时，则t的值为 ． 【答案】(1)①；②14 (2)6或24 【详解】（1）解：①如图： 当（秒）时，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图： 根据题意知：，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴t的值是14； （2）解：存在， 分两种情况： ①如图： ∵， ∴， ∴， 解得， ②如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为6或24． 43．(24-25七下·安徽合肥庐江实验中学·期末)一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：过点G作，如图， 依题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点D作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：或或或， ①如图，当时， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴； ③如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ④如图，当时，设与交于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，其他所有可能的度数为或或或． 44．(24-25七下·安徽阜阳临泉县·期末)【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【详解】解：（1）根据折叠的性质得，，， ∴，即， 故答案为：； （2）解：， ， ，分别平分和， ，， ． ， ； （3）解：，证明如下： 如图，过点作平分，过点作平分， 平分，平分， ，， ， ， 同理可得：， ， 过点作， ， ，， ， 平分，平分， ，， ． 45．(24-25七下·安徽合肥巢湖烔炀镇·期末)已知射线平分，点为上任意一点，过点作直线交射线于点． (1)如图1，若，则=______； (2)点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作交于点． ①如图2，若，当时，求的度数； ②当点在线段上运动时（不与点，重合），设，，判断和之间的数量关系，并证明． ③当点在线段延长线上运动时，设，，直接写出和之间的数量关系______． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ②， 证明如下： 当点在线段上运动时（不与点，重合），如图所示： ∵， ， 则， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ， ， ， 则， 即， ， ∴； ③点是射线上一动点（不与点，重合），即点在下方，如图所示： ∵， ∴平分平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 考点9含参不等式（组）解的情况（填空压轴）（共3小题） 46．(24-25七下·安徽合肥厚德中学·期末)若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：， 解②得：，， 不等式组的解集为， 关于x的不等式组有且只有2个整数解， 不等式组的整数解为0、1， ， 故答案为：． 47．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)数学课上，老师写下题目：解一元一次不等式组． 其中需要同学们在“□”中填写数字． （1）小明填入数字后得到该不等式组的解集为，则小明填写的数是______； （2）当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字a的取值范围是______． 【答案】 6 【详解】解：（1）设小明填写的数字为a， 则 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该不等式组的解集为，而不等式组的解集为， ∴，解得， ∴小明填写的数字为6． （2）由（1）得： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该一元一次不等式组无解， ∴， 解得， ∴当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字的取值范围小于等于． 48．(24-25七下·安徽合肥蜀山区·期末)已知实数，满足． (1)当时，则的取值范围为______； (2)在(1)的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：（1）已知实数，满足， 当时， ， 解得：， 故答案为：； （2）在（）的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中， ， 解得：， 故答案为：． 考点10 不等式组实际应用（期末解答压轴）（共9小题） 49．(24-25七下·安徽六安霍邱县·期末)我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”截止目前全球累计票房已突破亿元人民币，商家推出了甲、乙两种类型的哪吒纪念挂件．已知购进个甲类型挂件和购进个乙类型挂件的费用相同，每个甲类型挂件的进价比每个乙类型挂件的进价多元． (1)每个甲类型挂件和每个乙类型挂件的进价分别是多少元？ (2)根据实际销售情况，该商家计划用不超过元的资金购进甲、乙两种类型挂件共个，请问最多能购进多少个甲类型挂件？ 【答案】(1)甲类型挂件每个进价为元，乙类型挂件每个进价为元 (2)个 【详解】（1）解：设每个甲类型挂件进价元，则每个乙类型挂件进价为元，根据题意得： 解得： 则： 答：甲类型挂件每个进价为元，乙类型挂件每个进价为元． （2）解：设甲类型挂件购进数量为个，则乙类型挂件购进数量为个，根据题意得： 解得： 答：最多能购进个甲类型挂件． 50．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？ 【答案】(1)购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元 (2)有三种购买方案，①购买跳绳26根，毽子28个；②购买跳绳27根，毽子27个；③购买跳绳28根，毽子26个；购买跳绳26根，毽子28个更省钱 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元， 由题意得：， 解得：， 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元； （2）解：购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，27，28， 有三种购买方案： ①购买跳绳26根，毽子28个，费用为：元； ②购买跳绳27根，毽子27个，费用为：元； ③购买跳绳28根，毽子26个，费用为：元； ， 方案①更省钱：购买跳绳26根，毽子28个． 51．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)为了抓住大别山文化艺术节的商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品1件，种纪念品1件，需要150元；若购进种纪念品1件，种纪念品2件，需要250元． (1)求购进、两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于6800元，但不超过6950元，那么该商店共有哪几种进货方案？ 【答案】(1)购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元 (2)该商店有4种进货方案： 方案一：购买A种纪念品61件，购买B种纪念品39件； 方案二：购买A种纪念品62件，购买B种纪念品38件； 方案三：购买A种纪念品63件，购买B种纪念品37件； 方案四：购买A种纪念品64件，购买B种纪念品36件． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需x元，购进两种纪念品每件需y元， 由题意得：， 解得：； 答：购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元． （2）解：设购买A种纪念品m件，则购买B种纪念品件， 由题意得：， 解得：； 由于m取正整数，则m取61，62，63，64， 对应地有4种进货方案： 方案一：购买A种纪念品61件，购买B种纪念品39件； 方案二：购买A种纪念品62件，购买B种纪念品38件； 方案三：购买A种纪念品63件，购买B种纪念品37件； 方案四：购买A种纪念品64件，购买B种纪念品36件． 52．(24-25七下·安徽合肥庐江县柯坦中学·期末)一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)型每台元、型每台元 (2)该中学至少需要再拿出6台旧电脑进行抵值 【详解】（1）解：设型每台元、型每台元，根据题意得， 解得： 答：型每台元、型每台元 （2）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于元， ， 即， 解得：， 又∵是正整数，则是9的倍数，的最小值为 ∴的最小值为 答：该中学至少需要再拿出台旧电脑进行抵值． 53．(24-25七下·安徽合肥巢湖烔炀镇·期末)教室护眼灯是目前性价比较高的灯，不仅节能，而且寿命长，同时也更加环保，更有效的保护学生的视力．某校计划从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共200只，这两种护眼灯商场的进价、售价如表所示： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型号护眼灯 60 80 乙型号护眼灯 75 100 (1)若学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共用去17000元，求学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯各多少只？ (2)若学校准备用不多于16800元从商场购进这两种型号护眼灯，问学校从商场购进甲种型号护眼灯至少多少只？ (3)在（2）的条件下，该商场销售给学校这200只护眼灯后能否实现盈利不低于4250元的目标？若能，请你给出相应的采购方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)学校从商场购进甲种型号护眼灯150只，乙种型号护眼灯50只 (2)学校从商场购进甲种型号护眼灯至少160只 (3)不能，见解析 【详解】（1）解：设学校从商场购进甲种型号护眼灯x只，则乙种型号护眼灯购进只，依据题意可列方程，解得：， 答：学校从商场购进甲种型号护眼灯150只，乙种型号护眼灯50只． （2）解：设甲型号护眼灯进m只，则乙种型号护眼灯进只， 依据题意可列不等式：，解得：， 答：学校从商场购进甲种型号护眼灯至少160只． （3）解：依据题意可列不等式：， 解得：， 又∵（2）的条件， ∴该商场销售给学校这200只护眼灯后不能实现盈利不低于4250元的目标． 54．(24-25七下·安徽安庆太湖县·期末)已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．搭配一个A种造型的成本是260元，搭配一个B种造型的成本是300元． (1)用180盆甲种花卉，220盆乙种花卉可以搭配A、B两种造型各多少个？ (2)某园林公司准备用现有的225盆甲种花卉和155盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共30个，请问符合题意的搭配方案有几种？ (3)若一个A种造型的售价是325元，一个B种造型的售价是360元，为提高A种造型的销量，决定每售出一个A种造型，返还顾客m元，B种造型售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则m的值为________． 【答案】(1)可搭配A种造型10个，可搭配B种造型20个； (2)符合题意的搭配方案有3种； (3)5 【详解】（1）解：设可搭配A种造型个，可搭配B种造型个， 由题意，得：， 解得：， 答：可搭配A种造型10个，可搭配B种造型20个； （2）解：设可搭配A种造型个，则可搭配B种造型个， 由题意，得：， 解得：， ∴可搭配A种造型23个，搭配B种造型7个；或可搭配A种造型24个，搭配B种造型6个；可搭配A种造型25个，搭配B种造型5个； ∴符合题意的搭配方案有3种； （3）解：搭配A种造型23个，搭配B种造型7个可获利： ， 搭配A种造型24个，搭配B种造型6个可获利： ， 搭配A种造型25个，搭配B种造型5个可获利： ， ∵所有方案获利相同， ∴． ∴． 故答案为：5． 55．(24-25七下·安徽铜陵铜官/·期末)综合与实践 背景 端午节期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商场购买A，B两种款式的粽子礼盒作为奖品． 素材1 某商场在无促销活动时，若买12个A款粽子礼盒、10个B款粽子礼盒，共需200元；若买17个A款粽子礼盒、15个B款粽子礼盒，共需290元． 素材2 该商场“6·18”促销活动：线下用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买线下商场内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小明在此之前不是该商场的会员）；线上促销活动：购买商场内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． 问题解决 任务1 求在无促销活动时A款粽子礼盒和B款粽子礼盒的销售单价各是多少元． 任务2 小明计划在促销期间购买A，B两款礼盒共40个，其中A款礼盒个．若在线下商场购买，共需要___________元；若在线上商城购买，共需要___________元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款礼盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】任务1：款亚运盲盒的销售单价是10元，款亚运盲盒的销售单价是8元；任务2：；任务3：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 【详解】解：任务1：设该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是x元，B款运动盲盒的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得． 答：该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是10元，B款运动盲盒的销售单价是8元； 任务2：根据题意得：在线下商店购买，共需要（元）； 在线上淘宝店购买，共需要（元）． 故答案为：，； 任务3：根据题意得：， 解得， 又∵， ∴． 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 56．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． (1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元？ (2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ (3)在（2）的采购方案中，哪种方案该商店在销售完这360件玩具可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件 (2)该商店共有5种采购方案 (3)当甲种玩具购进80件，乙种玩具购进280件时利润最大，最大利润是8800元． 【详解】（1）解：设甲种玩具的进价是x元/件，乙种玩具的进价是y元/件， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件； （2）解：设购进m件甲种玩具，则购进件乙种玩具， 根据题意得： 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为76，77，78，79，80， ∴共有5种采购方案． 答：该商店共有5种采购方案； （3）解：∵甲种玩具每件利润是． 乙种玩具每件利润为（元）， ∴甲种玩具每件的销售利润大于乙种玩具每件的销售利润， ∴当甲种玩具购进80件时，销售利润最大． 最大利润为， 答：当甲种玩具购进80件，乙种玩具购进280件时利润最大，最大利润是8800元． 57．(24-25七下·安徽合肥庐江实验中学·期末)学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，购买本文学名著和本动漫书共需元，购买本文学名著比购买本动漫书的费用少元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． (1)求每本文学名著和动漫书各多少元? (2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案? (3)在（）的条件下，若店家每出售一本文学名著盈利元，每出售一本动漫书盈利元，此时店家获得最大利润为元，则的值为_____（直接写出结果）． 【答案】(1)每本文学名著元，每本动漫书元； (2)有种购书方案； (3)． 【详解】（1）解：设每本文学名著元，每本动漫书元， 根据题意得，， 解得：， 答：每本文学名著元，每本动漫书元； （2）解：设动漫书购买本，则购买文学名著本， 根据题意得，， 解得：， ∴可取的整数值为，，，，，，， ∴有种购书方案； （3）解：根据题意得店家获得的利润为， 若即， 当时，利润最大， ∴，解得：， 若即， 当时，利润最大， ∴，解得：（不符合题意）， 综上可得，的值为， 故答案为：． 考点11 不等式组与分式方程实际应用（期末解答压轴）（共5小题） 58．(24-25七下·安徽阜阳临泉县·期末)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 (2)该公司原计划最多应安排8名工人施工 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 59．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 【答案】(1)乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元 (2)共有14种方案 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价是元，则羽毛球拍的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 当时，（元）， 答：乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元； （2）解：设乒乓球拍有m副，则羽毛球拍有副， 根据题意，得： 当时， 解得 ， 又∵， ∴，即； 当时，， 解得 ， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴； ∴（种）， 答：共有种方案． 60．(24-25七下·安徽合肥瑶海区行知中学·期末)春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)求A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？ 【答案】(1)A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元 (2)6种 【详解】（1）解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元； （2）解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件， 根据题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴，6，7，8，9，10， ∴工厂共有6种购买方案． 61．(24-25七下·安徽安庆大观区第四中学·期末)某鞋店购进甲、乙两种品牌的运动鞋进行销售，已知每双甲品牌运动鞋的进价比每双乙品牌运动鞋的进价多15元，且用1300元购进乙品牌运动鞋的数量是用800元购进甲品牌运动鞋数量的2倍． (1)分别求每双甲、乙两种品牌运动鞋的进价． (2)已知每双甲品牌运动鞋的售价为130元，每双乙品牌运动鞋的售价为95元，且购进乙品牌运动鞋的数量比购进甲品牌运动鞋的数量的2倍还多4双．若要使两种品牌的运动鞋全部售出后的总利润不少于2000元，则最少购进多少双甲品牌运动鞋？ 【答案】(1)甲品牌运动鞋的进价为每双80元，乙品牌运动鞋的进价为每双65元 (2)18双 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙品牌运动鞋的进价为每双元，则甲品牌运动鞋的进价为每双()元，根据“用1300元购进乙品牌运动鞋的数量是用800元购进甲品牌运动鞋数量的2倍”列出方程并求解即可； （2）设购进双甲品牌运动鞋，则购进双乙品牌运动鞋，根据“种品牌的运动鞋全部售出后的总利润不少于2000元”列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设乙品牌运动鞋的进价为每双元，则甲品牌运动鞋的进价为每双()元． 根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，符合题意， ∴ 答：甲品牌运动鞋的进价为每双80元，乙品牌运动鞋的进价为每双65元． （2）设购进双甲品牌运动鞋，则购进双乙品牌运动鞋． 根据题意得， 解得． 因为为正整数，所以的最小值为18． 答：最少购进18双甲品牌运动鞋． 62．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． (1)甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ (3)在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】(1)每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元； (2)商场最多购进乙商品25个； (3)共有2种方案．方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【详解】（1）解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元， 根据题意，得， 解得：x=10， 经检验，x=10是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：10-2=8． 答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元． （2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个． 由题意得：3y-5+y≤95． 解得y≤25． 答：商场最多购进乙商品25个； （3）由（2）知，（12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380， 解得：y＞． ∵y为整数，y≤25， ∴y=24或25． ∴共有2种方案． 方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个； 方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个． 考点12 新定义不等式压轴（阅读材料难题）（共2小题） 63．(24-25七下·安徽合肥庐江县柯坦中学·期末)定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时，_______； （2）当时，的范围是_______． 【答案】 或 【详解】解（1）有题意可得：当时，． ∴当时，． 故答案为：． （2）当时： 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 当时，． 将代入，可得． 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 综上，y的取值范围为或． 答案为或． 64．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)阅读理解：我们规定，把一个非负（即大于或等于0）的实数进行“四舍五入”精确到个位得到的近似值记为．可以得到，当为非负整数时，如果，那么．例如：，，，，… 解决问题： (1)填空：______；______（用或填空）； (2)请举例说明不一定成立； (3)如果，求实数的取值范围． 【答案】(1)3；= (2)见解析（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， 当时，，， ∴， ∵，， ∴ （2）解：举反例：答案不唯一， 如，， ， 不一定成立． （3）解：∵， ∴， 解得：； 考点13 不等式与方程、分式、实数综合压轴（共5小题） 65．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）已知关于x的不等式组的解集为，请解决下列问题： （1）实数a的取值范围是_________； （2）在（1）的条件下，若关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的和是_________． 【答案】 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得 ， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴， ∴； （2）解关于y的分式方程 ， 得， ∵，分式方程的解是正整数， ∴，且， ∴或3或4， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得， ∴所有满足条件的整数a的和为． 故答案为：；． 66．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)若实数可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，，所以是第1个“1阶倒差数”，，所以是第2个“1阶倒差数”，，所以是第3个“1阶倒差数”……，即，那么我们称是第个“1阶倒差数”；同理，那么我们称为第个“2阶倒差数”． （1）判断________（填是或不是）“1阶倒差数”． （2）若，均是由两连续奇数组成的“2阶倒差数”，且．则________． 【答案】 是 【详解】（1）∵， ∴是“1阶倒差数” 故答案为：是； （2）解：设，，（其中为奇数） ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为奇数 ∴、都是偶数 从而可得 ∴ ∴ 故答案为：． 67．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)阅读材料，并解答问题： 小艺在学习平方根知识时，通过观察发现了一些有趣的规律．请根据规律填空，并解决相应问题． （1）； （2）； （3） ； （4）知识应用： 如果 的小数部分为0.95，请求出n的值（n为正整数）． 【答案】（3）；（4）19 【详解】解：（3）由运算规律可得：， 故答案为：； （4）由运算规律可得：， 则 ； ∵结果的小数部分为0.95，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 68．(24-25七下·安徽安庆·期末)8．某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 69．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解决问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：，，即，，． 根据材料解决问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组：； (3)已知为正整数，当分式等于（为不等于0的常数且为整数）时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：由条件可得：，即， ， ， ； （2）解：原方程组整理得， ， 令，， 则， 解得， ， 经检验，是原方程组的解； （3）解：， ， 即：， 为常数且为整数，为正整数， 为整数， ，， 为正整数， 或4． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $