专题06 平行垂直的判定与性质及空间角（暑假复习讲义）新高二数学人教B版

专题06 平行垂直的判定与性质及空间角 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一：线面平行、面面平行判定定理的应用 题型二：线面平行、面面平行性质定理的应用 题型三：线面垂直的判定与性质定理应用 题型四：面面垂直的判定与性质定理应用 题型五：异面直线所成的角的求解 题型六：直线与平面所成的角的求解 题型七：平面与平面所成的角的求解 题型八：立体几何中的探索性问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1、平面内直线平行、垂直的判定与性质 2、空间线线、线面、面面平行判定定理与性质定理 3、空间线线、线面、面面垂直判定定理与性质定理 4、异面直线所成角、线面角、二面角的定义与范围 5、平行、垂直关系的转化综合证明 6、空间平行垂直与空间角的综合解答题 1、平面平行垂直基础推理：结合三线八角、垂线性质，考查平面内平行与垂直的简单角度计算、逻辑证明，以选择填空小题为主。 2、空间平行垂直判定辨析：判断线面、面面平行 / 垂直命题真假，辨析定理适用条件，常设置易错干扰选项考查空间想象。 3、平行与垂直的转化证明：立体几何解答题第一问高频考点，交替运用平行、垂直判定与性质完成推理论证，规范书写证明步骤。 4、异面直线所成角求解：利用平移法构造三角形，结合勾股、余弦定理计算角度，侧重异面直线夹角范围与找角辅助线构造。 5、直线与平面所成角求解：找垂线确定线面角，利用直角三角形边角关系求三角函数值，重点考查线面垂直的转化。 6、二面角的识别与计算：通过作棱的垂线、面积射影法找二面角平面角，结合几何体棱长计算二面角，是立体几何难点大题。 7、综合跨情境题型：以棱柱、棱锥、长方体、正方体为载体，融合平行垂直证明与空间角计算；结合实际模型、折叠几何体考查动态空间关系。 考情解码：“空间平行垂直判定与性质及空间角” 是立体几何核心专题，承接平面几何，是高考 / 高中几何重点内容，为空间向量、几何体体积表面积的学习奠定基础。本专题是培养学生空间直观、逻辑推理、几何计算能力的核心载体。 试题考查由单一定理记忆、简单图形判断，向复杂几何体推理证明、多方法求解空间角、折叠 / 动点动态几何综合题型转型，着重考查空间想象能力、逻辑推理论证能力、数形结合计算能力。 知识点一 空间中的平行关系 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 4．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 5．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 6．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 7．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 8．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 9.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 即时即练如图，正方体中，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 知识点二 空间中的垂直关系 1. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 3. 平面与平面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 4.平面与平面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 即时即练如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 知识点三 空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 即时即练如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 题型一：线面平行、面面平行判定定理的应用 【典例1-1】（2026·高一·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点； (1)求证：，，，四点共面 (2)点为的中点，求证：平面 【典例1-2】（2026·高一·宁夏·期末）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【变式1-1】（2026·高一·陕西西安·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 【变式1-2】（2026·高一·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 题型二：线面平行、面面平行性质定理的应用 【典例2-1】（2026·高一·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【典例2-2】（2026·高一·海南·阶段检测）正方体的棱长为2，为棱的中点． (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． 【变式2-1】（2026·高一·河北保定·阶段检测）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且． (1)记平面平面，证明：； (2)证明：三条直线，，交于一点． 【变式2-2】（2026·高一·河北唐山·期中）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O. (1)求的长度 (2)求正四棱锥的表面积和体积； (3)设平面平面，求证：； 题型三：线面垂直的判定与性质定理应用 【典例3-1】（2026·高一·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【典例3-2】（2026·高一·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【变式3-1】（2026·高一·广东揭阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 【变式3-2】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 题型四：面面垂直的判定与性质定理应用 【典例4-1】（2026·高一·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 【典例4-2】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求证：平面平面． 【变式4-1】（2026·高一·广东珠海·阶段检测）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，点P为BC的中点. (1)证明：A1B//平面APC1； (2)证明：平面APC1⊥平面BCC1B1. 【变式4-2】（2026·高一·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 题型五：异面直线所成的角的求解 【典例5-1】如图，已知正方体的棱长为a.    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线? (2)求异面直线与夹角的大小； (3)求异面直线与夹角的大小. 【典例5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点. (1)若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上； (2)若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值. 【变式5-1】（2026·高一·江苏镇江·期中）如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.    (1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 【变式5-2】（2026·高一·全国·期末）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值. 题型六：直线与平面所成的角的求解 【典例6-1】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【典例6-2】（2026·高一·全国·期末）将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【变式6-1】（2026·高一·广西南宁·期中）在长方体中，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型七：平面与平面所成的角的求解 【典例7-1】（2026·高一·河北唐山·期中）如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求： (1)直线与的夹角的余弦值； (2)三棱锥的体积； (3)二面角的余弦值． 【典例7-2】（2026·高一·广西百色·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 【变式7-1】（2026·高一·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【变式7-2】（2026·高一·浙江温州·期中）如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 题型八：立体几何中的探索性问题 【典例8-1】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【典例8-2】（2026·高一·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式8-1】（2026·高一·湖南湘潭·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 【变式8-2】（2026·高一·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式8-3】在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 1．（2026·高一·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)过点作平面平面交于点，交于点. ①证明：； ②求的值. 2．如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 3．（2026·高一·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 4．（2026·高一·广东惠州·阶段检测）如图，在四棱锥中，，平面平面，，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面平面. 5．（2026·高一·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 6．（2026·高一·福建·阶段检测）如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面是等腰梯形，是的中点. (1)求证：平面； (2)画出平面与平面的交线（保留作图痕迹）； (3)若，求证：平面平面. 7．（2026·高一·天津·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 8．如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在侧面内找一点，使得平面，并求点到的距离. 9．（2026·高一·江苏·期中）如图，在正方体中，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由． 10．如图，已知正方体的棱长为1．若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小． 11．（2026·高一·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 12．（2026·高一·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 13．（2026·高一·重庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的交线为，试证明：； (3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 14．（2026·高一·全国·期末）如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 15．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 16．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 17．（2026·高一·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点． (1)证明：平面． (2)在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由． (3)在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平行垂直的判定与性质及空间角 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一：线面平行、面面平行判定定理的应用 题型二：线面平行、面面平行性质定理的应用 题型三：线面垂直的判定与性质定理应用 题型四：面面垂直的判定与性质定理应用 题型五：异面直线所成的角的求解 题型六：直线与平面所成的角的求解 题型七：平面与平面所成的角的求解 题型八：立体几何中的探索性问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1、平面内直线平行、垂直的判定与性质 2、空间线线、线面、面面平行判定定理与性质定理 3、空间线线、线面、面面垂直判定定理与性质定理 4、异面直线所成角、线面角、二面角的定义与范围 5、平行、垂直关系的转化综合证明 6、空间平行垂直与空间角的综合解答题 1、平面平行垂直基础推理：结合三线八角、垂线性质，考查平面内平行与垂直的简单角度计算、逻辑证明，以选择填空小题为主。 2、空间平行垂直判定辨析：判断线面、面面平行 / 垂直命题真假，辨析定理适用条件，常设置易错干扰选项考查空间想象。 3、平行与垂直的转化证明：立体几何解答题第一问高频考点，交替运用平行、垂直判定与性质完成推理论证，规范书写证明步骤。 4、异面直线所成角求解：利用平移法构造三角形，结合勾股、余弦定理计算角度，侧重异面直线夹角范围与找角辅助线构造。 5、直线与平面所成角求解：找垂线确定线面角，利用直角三角形边角关系求三角函数值，重点考查线面垂直的转化。 6、二面角的识别与计算：通过作棱的垂线、面积射影法找二面角平面角，结合几何体棱长计算二面角，是立体几何难点大题。 7、综合跨情境题型：以棱柱、棱锥、长方体、正方体为载体，融合平行垂直证明与空间角计算；结合实际模型、折叠几何体考查动态空间关系。 考情解码：“空间平行垂直判定与性质及空间角” 是立体几何核心专题，承接平面几何，是高考 / 高中几何重点内容，为空间向量、几何体体积表面积的学习奠定基础。本专题是培养学生空间直观、逻辑推理、几何计算能力的核心载体。 试题考查由单一定理记忆、简单图形判断，向复杂几何体推理证明、多方法求解空间角、折叠 / 动点动态几何综合题型转型，着重考查空间想象能力、逻辑推理论证能力、数形结合计算能力。 知识点一 空间中的平行关系 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 4．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 5．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 6．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 7．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 8．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 9.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 即时即练如图，正方体中，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 【解析】（1）如图，连接，，则既是的中点，也是的中点 . 因为是的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面 （2）正方体的棱长为2，到平面的距离为， ， 所以 知识点二 空间中的垂直关系 1. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 3. 平面与平面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 4.平面与平面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 即时即练如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【解析】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 知识点三 空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 即时即练如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 题型一：线面平行、面面平行判定定理的应用 【典例1-1】（2026·高一·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点； (1)求证：，，，四点共面 (2)点为的中点，求证：平面 【解析】（1）取的中点，连接，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以， 因为，所以， 所以，，，四点共面. （2）连接 因为是的中点，点为的中点，所以, 因为，分别是，的中点，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【典例1-2】（2026·高一·宁夏·期末）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【解析】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 【变式1-1】（2026·高一·陕西西安·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 【解析】（1）在正方形中，在平行四边形中， ∵平面，平面，且平面，平面， ∴平面，平面， 又∵平面，平面，且， ∴平面平面. （2）取与交点为，则，连接. ∴平面平面， ∵平面，且平面， ∴，在平行四边形中， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴M是线段的中点. 【变式1-2】（2026·高一·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【解析】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为 （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 题型二：线面平行、面面平行性质定理的应用 【典例2-1】（2026·高一·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【解析】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 【典例2-2】（2026·高一·海南·阶段检测）正方体的棱长为2，为棱的中点． (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． 【解析】（1）在正方体中，连接，令，连接， 由四边形为正方形，得是的中点，又是的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知：平面，又平面且平面平面， 所以. （3）在正方体中，，， ，而点到平面的距离为正方体棱长2， 所以三棱锥的体积． 【变式2-1】（2026·高一·河北保定·阶段检测）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且． (1)记平面平面，证明：； (2)证明：三条直线，，交于一点． 【解析】（1）证明：在和中， 因为，分别是和的中点，所以，． 又因为，所以，．所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面，所以． （2）证明：由（1）得，，，所以四边形为梯形． 所以梯形的两腰和相交于一点，设交点为． 因为点，平面，所以点平面，同理点平面． 又因为平面平面，所以点， 所以三条直线，，交于一点． 【变式2-2】（2026·高一·河北唐山·期中）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O. (1)求的长度 (2)求正四棱锥的表面积和体积； (3)设平面平面，求证：； 【解析】（1）设底面ABCD的边长为a，因为O为底面中心，E为BC的中点，所以且， 底面积为，已知，在中，， 侧面积为， 因为侧面积是底面积的2倍，则有， 因为，解得，代入得， 解得，则（负根舍），即. （2）由（1）得侧面积为，底面积为， 则表面积，体积. （3）由题意得底面为正方形，则平面，平面，所以平面， 且平面，平面平面，则. 题型三：线面垂直的判定与性质定理应用 【典例3-1】（2026·高一·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【解析】（1） 证明：连接交于点，连接； 因为底面是矩形，故为中点； 又因为M是PD的中点，故； 因为平面，平面， 故平面； （2）证明：因为平面，平面，故； 因为底面是矩形，故； 因为，且平面； 故平面，因为平面，故； 又因为，且M是PD的中点，故； 因为，且平面， 故平面． 【典例3-2】（2026·高一·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【解析】（1）因为分别是的中点，则，又因为，则， 且平面，平面，所以平面. （2）因为底面，则，又因为底面为矩形，则， 因为且平面，平面，所以平面， 由（1）得，所以平面. 【变式3-1】（2026·高一·广东揭阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 【解析】（1）因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （3） 取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 【变式3-2】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【解析】（1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. 题型四：面面垂直的判定与性质定理应用 【典例4-1】（2026·高一·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 【解析】（1）如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面. （2）因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以， 所以平面， 所以. 又因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【典例4-2】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求证：平面平面． 【解析】（1）连接交于，连接， 四边形是矩形，是的中点， 又M是的中点，， 又平面，平面，平面. （2）平面，平面，， 又四边形是矩形，， ，，平面，平面， 平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. （3）由（2）知：平面，平面， 平面平面. 【变式4-1】（2026·高一·广东珠海·阶段检测）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，点P为BC的中点. (1)证明：A1B//平面APC1； (2)证明：平面APC1⊥平面BCC1B1. 【解析】（1） 连接，交于点，则是的中点。 又是的中点，可得， 因为平面，平面，根据线面平行的判定定理，可得平面. （2）正三棱柱的侧棱垂直于底面，因此底面， 因为底面，所以， 又底面是正三角形，是中点，因此， 因为，且平面， 根据线面垂直的判定定理，可得平面，又平面，根据面面垂直的判定定理， 可得平面平面. 【变式4-2】（2026·高一·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 【解析】（1）证明： 连接． 在中，因为E，F分别是，的中点， 所以是的中位线，则， 同理可得， 所以． （2）证明： 设，连接． 因为四边形为平行四边形， 所以互相平分， 在中，，O是的中点，所以， 在中，，O是的中点，所以， 又，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 题型五：异面直线所成的角的求解 【典例5-1】如图，已知正方体的棱长为a.    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线? (2)求异面直线与夹角的大小； (3)求异面直线与夹角的大小. 【解析】（1）正方体共有12条棱，与平行的棱有，与相交的棱有， 因此余下的4条棱所在直线分别与直线是异面直线，它们是. （2）因为，所以与的夹角就是与的夹角， 因为，所以与的夹角为. （3）连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，故， 从而与的夹角就是与的夹角，连接， 因为，所以是正三角形， 所以与的夹角为，即与的夹角为. 【典例5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点. (1)若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上； (2)若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值. 【解析】（1）因为平面，直线，故平面， 因为平面，直线，所以平面， 因为平面平面，所以点在直线上. （2）连接，取的中点，连接、， 因为、、分别为、、的中点，所以，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，， ，， 则，所以，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【变式5-1】（2026·高一·江苏镇江·期中）如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.    (1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 【解析】（1）如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得， 连接，因为是的中点，是的中点， 所以，，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以. （2）取棱的中点，连接， 又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以直线与所成角，即为或其补角， 在中，，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为 . （3）因为是的中点，是的中点，所以，， 又在正方体中，易得，， 所以，， 记直线与交于点，因为平面，所以平面， 同理，平面， 所以平面平面， 所以直线三条直线交于一点. 【变式5-2】（2026·高一·全国·期末）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值. 【解析】（1）连接， 分别为的中点，，， ，； 四边形为边长为的菱形，， 为等边三角形，； 平面，，平面， 平面，. （2）连接，交于点，连接， 四边形为菱形， 为中点，又为中点， ，， 和所成角即为（或其补角）； 在中，， ，又，， ， 即直线和所成角的余弦值为. 题型六：直线与平面所成的角的求解 【典例6-1】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）平面，平面，． 是圆O的直径，C为圆上一点， ． 又，且平面，平面． 平面，平面平面. （2）如图所示，过点作于点， 平面，平面，， 又，平面，平面． 即为直线与平面所成角． ，，可得． . 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为． 【典例6-2】（2026·高一·全国·期末）将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）证明： 取棱的中点，连接， 因为，且是线段的中点，所以， 因为，且是线段的中点，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以． （2）设， 在中，，， 则， 故， 作，垂足为，则， 由（1）知平面，则， 因为平面，平面，且， 所以平面，即点到平面的距离为， 因为是棱的中点，所以点到平面的距离， 设直线与平面所成的角为， 则， 设，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值是． 【变式6-1】（2026·高一·广西南宁·期中）在长方体中，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）连接交于点，则点为的中点， 连接，则， 且平面，平面，所以平面． （2）因为平面，可知是与平面所成角的平面角， 在三角形中，， 可得，所以直线与平面所成角的正弦值为． 题型七：平面与平面所成的角的求解 【典例7-1】（2026·高一·河北唐山·期中）如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求： (1)直线与的夹角的余弦值； (2)三棱锥的体积； (3)二面角的余弦值． 【解析】（1）取中点，连接、. 由中位线性质，， 故为直线与的夹角（或其补角）. 在中，，，、为中点，故. 同理，，. 在中，由余弦定理： ， 故直线与夹角的余弦值为. （2）设底面正的中心为，连接，则平面. 底面正三角形的外接圆半径. 在中，. 底面的面积. 所以. （3）过作于，连接. 由正三棱锥对称性，，故，为二面角的平面角. 在中，，， 由余弦定理得， ， 故，同理. 在中，， 由余弦定理：， 故二面角的余弦值为. 【典例7-2】（2026·高一·广西百色·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 【解析】（1）证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面. （2）证明：因为，所以， 又，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. （3）由（2）平面，平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，则， 所以. 【变式7-1】（2026·高一·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【解析】（1）取的中点为，连接，则，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，且平面平面，所以平面. （2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角， 如图，过作于， 又平面底面，平面底面平面， 则底面， 所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则． 因为为的中点，所以为的中点． 又， 则， 在中，， 所以， 即直线与底面所成角的正切值为 （3）如图，过作交于，连接， 因为，则即为平面和平面的夹角的平面角. 因为四边形为直角梯形，， 所以，又因为，，所以． 当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得． 所以锐二面角的余弦值为 【变式7-2】（2026·高一·浙江温州·期中）如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【解析】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 题型八：立体几何中的探索性问题 【典例8-1】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. （2）取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. （3）线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【典例8-2】（2026·高一·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 【变式8-1】（2026·高一·湖南湘潭·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 【解析】（1）如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）由（1）平面，所以点，到平面的距离相等. 已知是的中点，侧棱与底面垂直，. 则为三棱锥的高， 又底面为正方形， 所以 . 【变式8-2】（2026·高一·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形   设，则，，， ，   ，即，解得，（舍）   所以，当时，与平面所成的角的正弦值为   【变式8-3】在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【解析】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 1．（2026·高一·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)过点作平面平面交于点，交于点. ①证明：； ②求的值. 【解析】（1）连交于，因为底面为平行四边形， 所以为的中点，而为的中点，所以， 又平面平面； 所以平面； （2）①因为平面平面，平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得； ②当为的三等分点且时，有平面平面，下面证明： 因为为上的点，且，所以在中，，所以， 由(1)知平面，因为不在平面内，所以平面， 由①可知，因为不在平面内，平面，所以平面， 因为，所以平面平面，所以. 2．如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【解析】由，则，所在平面与平面，平面的交线分别为，， 而平面平面，则有，， 同理，， 因此，它们的面积之比为， 又的面积为， 所以的面积为. 3．（2026·高一·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【解析】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 4．（2026·高一·广东惠州·阶段检测）如图，在四棱锥中，，平面平面，，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面平面. 【解析】（1）因为，，所以，且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面，所以平面. （2）由已知平面平面，平面平面， ，平面，所以平面. 平面，从而. 又，， 平面，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 5．（2026·高一·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD， 因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN， 因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 6．（2026·高一·福建·阶段检测）如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面是等腰梯形，是的中点. (1)求证：平面； (2)画出平面与平面的交线（保留作图痕迹）； (3)若，求证：平面平面. 【解析】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由是的中点，得，     又因为，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面平面，所以平面. （2）理由如下：因为，所以平面， 同理平面，所以平面平面， 又因为平面平面，所以平面平面， 因此是平面与平面的交线. （3）在等腰梯形中，，过点作交于点， 由，所以， 在直角三角形中，，得. 在中，由余弦定理， 得，所以，所以， 又因为，平面，因此平面， 而平面，所以平面平面. 7．（2026·高一·天津·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【解析】（1）证明：连接， 因为，，为线段的中点， 所以四边形是平行四边形，是平行四边形， 设，连接，则是的中点， 又为线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：因为是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 所以， 又，，平面， 所以平面． 8．如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在侧面内找一点，使得平面，并求点到的距离. 【解析】（1）如图，取的中点，连结． 因为为的中点， 所以，且． 由且得， 由且得， 所以且， 故四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）如图，连结，过点作交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 所以． 因为，所以． 又由且为的中点得，又平面， 所以平面，故． 由且为平面内两条相交直线，故平面． 在矩形中，，，， 所以， 所以，故为的中点， 在中，，为的中点， 所以为的角平分线， 所以点到的距离均为1， 所以点到的距离均为． 9．（2026·高一·江苏·期中）如图，在正方体中，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由． 【解析】（1）在正方体中，， 则为异面直线与所成角， 由于四边形为正方形，则， 即异面直线与所成角为. （2）连接，在正方体中，， 则为异面直线与所成角， 而，则为等边三角形，即， 则异面直线与所成角为. （3）设的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 在正方体中，，， 则四边形为平行四边形，即，则， 则四点共面， 因此平面与正方体表面的交线为，如图， 10．如图，已知正方体的棱长为1．若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小． 【解析】因为分别是的中点， 所以，又因为， 所以异面直线与所成角为（或其补角）． 由于，于是， 所以异面直线与所成角的大小为． 11．（2026·高一·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1） 连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）在中，因为， 所以为等腰三角形，故． 所以，即． 因为平面，平面， 所以． 又因为，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （3）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． 在中，，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 12．（2026·高一·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2）在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． （3） 平面，即平面， 即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，， ， 在中，． 13．（2026·高一·重庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的交线为，试证明：； (3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 【解析】（1）已知底面为矩形，故， 平面平面，为两平面的交线， 又平面，且， 平面， 平面，且平面， 平面平面． （2） 已知底面为矩形，故， 又平面平面， 平面， 已知平面，且平面平面， 由线面平行的性质定理得，． （3） 过作于，平面平面， 由面面垂直的性质定理得，平面， 过作，交于，是矩形， 则，且， 又平面， 平面，故， ， ， ， ， ， 平面，故， 综上，，， 故即为平面与平面所成锐二面角； 设，则，在中，， 则， ，当且仅当时等号成立， ， 在中，， ， 设，令， 当增大时，减小，故增加， 随着增大而递增， 故时，取最大值，最大值为 ． 14．（2026·高一·全国·期末）如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 【解析】（1），，， 将沿折叠，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，； （2）∵平面，平面， ∴，， 二面角的平面角为， 由为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 15．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； （2）在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； （3）假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面，， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故 16．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【解析】（1）证明如下： 连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为； （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知， ，故；则， 另一方面， 故，综上所述，存在符合题意的点，. 17．（2026·高一·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点． (1)证明：平面． (2)在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由． (3)在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）取中点，连接，，，. ，，由三棱柱， 得，, ，是等腰直角三角形. . 是棱的中点，. ，，是的中点，, ，，, 由余弦定理得，得, ，，得，即. 由，，，得平面, 平面，, ，，平面，平面，， 平面. （2）过点作，垂足为，连接. 由（1）得平面. 平面，, ，，平面, 平面，, 为二面角的平面角. （3）存在，，理由如下： 连接，，过点作平面，过点作平面. ，平面，平面，平面. 点到平面的距离等于点到平面的距离，即. ，，，， 由余弦定理得，得，, 为等腰直角三角形，为等边三角形. 由（1）得平面， 是等腰直角三角形，，是的中点，得. 由，得， 即，解得. . 平面，为与平面所成的角. 由与平面所成角的正切值为，得, . 平面，为直角三角形, ，即. 由三棱柱，，， 得四边形为菱形, . 在中，，， 由余弦定理得， 即, 解得或（舍）, , 即当时，与平面所成角的正切值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $