第02讲 空间中的点、直线、平面与空间向量（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第02讲 空间中的点、直线、平面与空间向量 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：直线方向向量的求解 题型 2：平面法向量的求解 题型 3：求异面直线的夹角 题型 4：空间向量证线线平行与垂直 题型 5：空间向量证线面平行 题型 6：空间向量证面面平行 题型 7：空间向量证线面垂直 题型 8：空间向量证面面垂直 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直线的方向向量 平面的法向量 1. 理解空间中点的位置向量的定义，能用向量表示空间中任意一点的位置。 2. 掌握直线的方向向量和平面的法向量的概念，能求给定直线的方向向量和给定平面的法向量。 3. 掌握直线和平面的向量表示方法，能写出直线的向量参数方程和平面的点法式方程。 4. 能运用向量方法判定空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。 5. 能运用向量方法判定空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系。 6. 体会空间向量在刻画空间几何元素位置关系中的作用，初步建立用向量解决立体几何问题的思维模式。 学习重点：直线的方向向量与平面的法向量的概念及求法、用向量表示空间中的直线与平面、用向量方法判定空间中的平行与垂直关系。 学习难点：平面法向量的求解与灵活应用、将立体几何中的位置关系问题转化为向量运算问题、准确理解向量语言与几何语言的对应关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间中点、直线的向量表示 1．空间点的向量表示 （1）如果在空间中指定一点，那么空间中任意一点的位置，都可以由唯一确定，向量就是点的位置向量. （2）特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定， 2．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 即时即练已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 知识点02 平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 即时即练如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 知识点03 用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 特别地，两直线的方向向量分别为，则 即时即练如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 知识点04 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 即时即练如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 知识点05 空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 即时即练在空间直角坐标系中，点，，. (1)求平面的一个法向量的坐标； (2)若是平面的一个法向量，且平面垂直平面，求； (3)若是直线的一个方向向量，且平面，求. 题型 1：直线方向向量的求解 【典例1-1】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高二·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【变式1-2】（2026·高二·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 题型 2：平面法向量的求解 【典例2-1】（2026·高二·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【典例2-2】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知四边形ABCD是矩形，平面，，，点M、N在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 【变式2-1】（2026·高二·广东广州·开学考试）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【变式2-2】（2026·高二·广东江门·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【变式2-3】在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 题型 3：求异面直线的夹角 【典例3-1】（2026·高二·江苏苏州·期中）如图所示，平行六面体的底面是边长为的正方形，侧棱的长为，. (1)求对角线的长. (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【典例3-2】（2026·高二·甘肃兰州·期中）如图，在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PBA＝∠PBC＝60°，BA＝BC＝4，PB＝6，D为AC的中点，M为BD的中点.    (1)用表示，并求； (2)求异面直线PM与BC所成角的余弦值. 【变式3-1】（2026·高二·甘肃平凉·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且．    (1)求向量的坐标； (2)求与所成角的余弦值． 【变式3-2】（2026·高二·江苏扬州·期中）如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． (1)用，，表示，并求BM的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式3-3】（2026·高二·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 题型 4：空间向量证线线平行与垂直 【典例4-1】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【典例4-2】（2026·高二·河南郑州·阶段检测）如图，在平行六面体中，设向量，向量，向量，M，N分别是棱的中点．    (1)用向量表示向量、向量、向量； (2)证明． 【变式4-1】在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【变式4-2】在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 【变式4-3】如图，在正方体中，若分别为棱和上任意一点（不与端点重合），是否存在使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型 5：空间向量证线面平行 【典例5-1】如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【典例5-2】（2026·高二·山东菏泽·阶段检测）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【变式5-1】（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【变式5-2】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【变式5-3】如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 题型 6：空间向量证面面平行 【典例6-1】在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 【典例6-2】（2026·高二·宁夏银川·期末）已知正方体的棱长为a，M，N，E，F分别是棱，，，的中点．求证：平面平面BDEF． 【变式6-1】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【变式6-2】如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 题型 7：空间向量证线面垂直 【典例7-1】如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 【典例7-2】如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 【变式7-1】（2026·高二·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【变式7-2】已知正方体的棱长为，、、分别是棱、、的中点，求证：平面． 【变式7-3】（2026·高二·广东江门·阶段检测）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 题型 8：空间向量证面面垂直 【典例8-1】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【典例8-2】如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【变式8-1】已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面． 【变式8-2】（2026·高二·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【变式8-3】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 1．（2026·高二·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．（2026·高二·江苏淮安·期中）异面直线，所成的角为，，，，，垂直于，垂直于，且，，．则可能为（     ） A．1 B． C． D．2 5．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·湖北·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·浙江衢州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则（   ）    A．平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形 B．平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 10．（多选题）（2026·高二·福建厦门·阶段检测）以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 11．（多选题）（2026·高二·江苏南京·期中）在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（    ） A．为梯形 B．为五边形 C．平面 D．平面 12．（2026·高二·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 13．（2026·高二·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 14．（2026·高二·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 15．（2026·高二·福建龙岩·期中）在长方体中，，为与的交点． (1)用向量表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 16．在正方体中，点在上，且，用向量法证明：平面. 17．（2026·高二·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：； (2)证明：； 18．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 19．如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 20．如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 21．（2026·高三·全国·一轮复习）如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 空间中的点、直线、平面与空间向量 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：直线方向向量的求解 题型 2：平面法向量的求解 题型 3：求异面直线的夹角 题型 4：空间向量证线线平行与垂直 题型 5：空间向量证线面平行 题型 6：空间向量证面面平行 题型 7：空间向量证线面垂直 题型 8：空间向量证面面垂直 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直线的方向向量 平面的法向量 1. 理解空间中点的位置向量的定义，能用向量表示空间中任意一点的位置。 2. 掌握直线的方向向量和平面的法向量的概念，能求给定直线的方向向量和给定平面的法向量。 3. 掌握直线和平面的向量表示方法，能写出直线的向量参数方程和平面的点法式方程。 4. 能运用向量方法判定空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。 5. 能运用向量方法判定空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系。 6. 体会空间向量在刻画空间几何元素位置关系中的作用，初步建立用向量解决立体几何问题的思维模式。 学习重点：直线的方向向量与平面的法向量的概念及求法、用向量表示空间中的直线与平面、用向量方法判定空间中的平行与垂直关系。 学习难点：平面法向量的求解与灵活应用、将立体几何中的位置关系问题转化为向量运算问题、准确理解向量语言与几何语言的对应关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间中点、直线的向量表示 1．空间点的向量表示 （1）如果在空间中指定一点，那么空间中任意一点的位置，都可以由唯一确定，向量就是点的位置向量. （2）特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定， 2．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 即时即练已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 知识点02 平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 即时即练如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 【解析】依题意，， 直线的方向向量； 而，设平面的法向量， 则，取，得， 所以平面的法向量. 知识点03 用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 特别地，两直线的方向向量分别为，则 即时即练如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【解析】（1）设，由题意可得，， 所以 ， 所以，即的长为； （2）因为， 所以 ， 又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 知识点04 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 即时即练如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【解析】依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 知识点05 空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 即时即练在空间直角坐标系中，点，，. (1)求平面的一个法向量的坐标； (2)若是平面的一个法向量，且平面垂直平面，求； (3)若是直线的一个方向向量，且平面，求. 【解析】（1）设面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， 所以平面的一个法向量的坐标为； （2）由（1）知平面的一个法向量为， 是平面的一个法向量，且平面垂直平面， 则，即， 解得； （3）由（1）知平面的一个法向量为， 是直线的一个方向向量，且平面， ，即， ，解得． 题型 1：直线方向向量的求解 【典例1-1】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 【典例1-2】（2026·高二·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 【变式1-1】（2026·高二·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【解析】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 【变式1-2】（2026·高二·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 【变式1-3】（2026·高二·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 题型 2：平面法向量的求解 【典例2-1】（2026·高二·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 【典例2-2】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知四边形ABCD是矩形，平面，，，点M、N在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 【解析】（1） 如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 则， 设平面的法向量为， 可知，即， 令，解得，则平面的一个法向量为. （2）由图可知，设， 则， 代入得，解得， 代入得，解得， 可得， 因为平面为坐标平面，可知平面的一个法向量为， 当时，，方程无解，所以不存在，使是平面的法向量. 【变式2-1】（2026·高二·广东广州·开学考试）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【解析】（1）因点分别是的中点， 则，， 则. （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 得，则， 则， 故的面积为. （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为. 【变式2-2】（2026·高二·广东江门·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【解析】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 【变式2-3】在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【解析】（1）设正方体的棱长为2， 则，，，， （1）设平面的一个法向量为， ，， 则即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） （2），， 设平面的一个法向量为． 即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） 题型 3：求异面直线的夹角 【典例3-1】（2026·高二·江苏苏州·期中）如图所示，平行六面体的底面是边长为的正方形，侧棱的长为，. (1)求对角线的长. (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）由， 故 ， （2）因为底面是边长为的正方形，则， 又，所以 ， ； 所以异面直线与夹角的余弦值为． 【典例3-2】（2026·高二·甘肃兰州·期中）如图，在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PBA＝∠PBC＝60°，BA＝BC＝4，PB＝6，D为AC的中点，M为BD的中点.    (1)用表示，并求； (2)求异面直线PM与BC所成角的余弦值. 【解析】（1）， . （2）， ， 故异面直线PM与BC所成角的余弦值为. 【变式3-1】（2026·高二·甘肃平凉·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且．    (1)求向量的坐标； (2)求与所成角的余弦值． 【解析】（1）由题意可得，，，， 故，. （2）由（1）可知，， 所以，， ， 所以， 故与所成角的余弦值为. 【变式3-2】（2026·高二·江苏扬州·期中）如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． (1)用，，表示，并求BM的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）由题意可知，， 因为， 所以， 因为为与的交点，即为的中点， 所以， 所以， 即 ， 所以. （2）因为，所以， 所以 ， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式3-3】（2026·高二·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【解析】（1）如图连接交于点，连接 因为且， 所以， 因为，所以， 所以，所以 ， 又因为平面，平面, 所以平面 （2）如图建立空间直角坐标系，则,， 则,， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即，令，得， 所以，解得或（舍） 所以的值为. 题型 4：空间向量证线线平行与垂直 【典例4-1】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【解析】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 【典例4-2】（2026·高二·河南郑州·阶段检测）如图，在平行六面体中，设向量，向量，向量，M，N分别是棱的中点．    (1)用向量表示向量、向量、向量； (2)证明． 【解析】（1）在平行六面体中， ， M，N分别是棱的中点， ， ， （2）证明：由（1）知， 又不共线， 所以． 【变式4-1】在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【解析】设，，，则构成空间的一个基底， 则，， ∴， ∴，即． 【变式4-2】在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 【解析】（1）根据题意，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 所以， 所以，所以，所以， 所以. （2）由（1）知，. 所以，所以，即， 所以. 【变式4-3】如图，在正方体中，若分别为棱和上任意一点（不与端点重合），是否存在使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】设正方体的棱长为3， 则， 则， 则， 则，所以或， 当时，与重合，时，与重合， 故不存在使得. 题型 5：空间向量证线面平行 【典例5-1】如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【解析】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 【典例5-2】（2026·高二·山东菏泽·阶段检测）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【解析】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 【变式5-1】（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【解析】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 【变式5-2】如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【解析】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【变式5-3】如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【解析】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 题型 6：空间向量证面面平行 【典例6-1】在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 【解析】（1）证明：以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为， 则 所以，， 因为，， 所以，， 因为平面，平面，， 所以平面． （2）由（1）知，是平面的一个法向量， 由点，，得， 因为， 所以， 因为平面，且， 所以平面． （3）由题可知，， 设平面的一个方向量为， 由得，取则， 因为，，即， 所以， 所以平面平面． 【典例6-2】（2026·高二·宁夏银川·期末）已知正方体的棱长为a，M，N，E，F分别是棱，，，的中点．求证：平面平面BDEF． 【解析】证明：如图，以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 建立空间直角坐标系，则，，， ，，，． 于是，，，． 设是平面AMN的法向量，则 取，得，，则． 设是平面BDEF的法向量， 则 取，得，，则． 又平面AMN与平面BDEF不重合， 故平面平面BDEF． 【变式6-1】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【解析】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 【变式6-2】如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【解析】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 题型 7：空间向量证线面垂直 【典例7-1】如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 【解析】证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， 当时，，所以， 可得，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 【典例7-2】如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 【解析】方法一：因为是的中点， 所以和是等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为平面平面，所以， 又平面，且， 所以平面； 方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ， 所以， 所以， 所以，， 又平面，且， 所以平面. 【变式7-1】（2026·高二·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【解析】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 【变式7-2】已知正方体的棱长为，、、分别是棱、、的中点，求证：平面． 【解析】建立如图的空间直角坐标系，连结、． 则、、、、． 于是，，． 设平面的法向量为． 由，， 得，． 令，则，故．又， 易知，这说明与共线． ∴平面． 【变式7-3】（2026·高二·广东江门·阶段检测）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）∵，E为BD的中点， ∴⊥， 又平面⊥平面，且平面平面，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴， 而平面，平面， ∴平面； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥， 故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 假设在线段AD上存在，使得平面， 设，则， ∴．则． 平面的法向量， 由，即，即，无解，不存在． ∴线段AD上不存点M，使得平面． 题型 8：空间向量证面面垂直 【典例8-1】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【解析】由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有， 则， 所以， ， 即， 又，平面， 故平面.又平面， 所以平面平面. 【典例8-2】如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【解析】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 【变式8-1】已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面． 【解析】证法一：建立如图的空间直角坐标系，则、、、， 于是，，， 设平面的法向量为． 由，，得，． 令，则，∴． 设平面的法向量为． 由，，得，． 令，则，∴． 故， 因此，故面面． 证法二：设的中点为，则， 平面的法量为．易知，这说明与共线， ∴平面，又平面，故平面． 【变式8-2】（2026·高二·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【解析】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【变式8-3】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 【解析】（1）取的中点为，连接， 因为， 所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，， 所以，即. （2），，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为，则， 令，则，，可以求得面的一个法向量， 又因为，所以，平面平面. 1．（2026·高二·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 2．（2026·高二·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 3．（2026·高二·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【解析】设，，，则， ，， ，. 因为点为棱上动点，设，， 则，， ， ，则， ， ，， 设异面直线与所成角为，则， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，取得最大值，此时，所以取得最小值为， 即异面直线与所成角的最小值为. 4．（2026·高二·江苏淮安·期中）异面直线，所成的角为，，，，，垂直于，垂直于，且，，．则可能为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为 又垂直于，垂直于，，，，，异面直线，所成的角为 所以，或 ， 所以， 当时，； 当时，； 综上，或4，由于选项中只有，只能选择选项C. 5．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，， 所以, 即若点位于平面内,满足， 对于A，若，代入，不为，故A不正确； 对于B，若，代入，故B正确； 对于C，若，代入，不为，故C不正确； 对于D，若，代入，不为，故D不正确； 6．（2026·高二·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则. 7．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，， 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 8．（2026·高二·湖北·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，则各点坐标为： ， 又因为为中点，所以，因为为中点，所以， 即，， 设异面直线与所成角为，则 ． 9．（多选题）（2026·高二·浙江衢州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则（   ）    A．平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形 B．平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】对于A， 取中点，连接，，因，为中点，所以，， 正方体中，，，则，， 易得，故四边形为等腰梯形，且平面与平面为同一平面， 即平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形，A正确. 对于B，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 因为，所以， 又平面，所以平面，B正确. 对于C，由上建系，，， 设异面直线与所成角为， 则，C错误. 对于D，设三棱锥外接球的球心为， 则 ， 即， 解得，即球心， 所以外接球半径， 故三棱锥外接球的表面积为，D正确. 10．（多选题）（2026·高二·福建厦门·阶段检测）以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】对于A，因为 ，所以，则或，故 A错误； 对于B，因为，， 所以由空间向量共面定理可知：P、A、B、C四点共面，B正确； 对于C，假设存在实数使得， 因为是空间的一个基底，所以线性无关， 则有，故线性无关，即也是空间的一个基底，C正确； 对于D，，， 则在上的投影向量为，故D错误． 11．（多选题）（2026·高二·江苏南京·期中）在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（    ） A．为梯形 B．为五边形 C．平面 D．平面 【答案】BD 【解析】 如上图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则各点坐标为: 选项A：延长交于点，交于， 连接交于，连接交于， 则共面， 由上图可知，截面是一个五边形，而非梯形，选项A错误，B正确； 选项C：若平面，则与平面中的每一条直线都是垂直的， ，， 此时，则与平面并不垂直，选项C错误； 选项D：由三角形中位线定理可知，平行于，且， 又因为平面，而平面，所以平面，选项D正确. 12．（2026·高二·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】/0.8 【解析】由题意知在直三棱柱中，， 故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 故， 设直线与所成角为， 则. 13．（2026·高二·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【答案】 【解析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 因为平面，则，即， 所以， 因为，则当时，取最小值， 即的最小值为. 14．（2026·高二·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【解析】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 15．（2026·高二·福建龙岩·期中）在长方体中，，为与的交点． (1)用向量表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）因为为与的交点，且为的中点， 所以，又因为， 所以 （2）因为在长方体中，故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 根据题意可得． ，． 可得． ，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为． 16．在正方体中，点在上，且，用向量法证明：平面. 【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则由题可得，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，所以. 又平面，则平面. 17．（2026·高二·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：； (2)证明：； 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， 故， 由于，故，显然，不重合，故； （2） 故， 因此，故 18．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，               由题设可得：，，，， ，，， ∴，，,            由， ， 可得，，                  又∵，平面MNC，∴平面； （2）设的长为则，点，进而得，          设平面的法向量为，因， 则，取得，          ∵，且平面， ∴，即 ，      解得，即的长为． 19．如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 【解析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 则 ∵分别是的中点 ∴ 则 显然平面的一个法向量为， 所以，则， 又面 ，所以平面. 20．如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【解析】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 21．（2026·高三·全国·一轮复习）如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【解析】（1） 因为，所以， 同理，， 所以； （2）证明：因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $