27.1 反比例函数的概念（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，涵盖定义、三种等价形式及核心特征，通过京沪高铁速度与时间、矩形草坪边长关系等实际问题导入，引导学生观察抽象，建立与一次函数、正比例函数的联系，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过定义辨析和形式转化发展推理意识，分层练习结合易错总结强化模型意识。如用“手机流量使用”实例抽象函数模型，小结系统梳理知识，帮助学生夯实基础，教师教学更具针对性。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 27.1 反比例函数的概念 第27章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 反比例函数的定义 一般地，形如 $$y=\dfrac{k}{x}$$（$$k$$ 为常数，$$k eq0$$）的函数，叫做反比例函数。 其中：$$x$$ 是自变量，$$y$$ 是函数，自变量 $$x$$ 的取值范围是不等于0的一切实数。 2. 反比例函数的三种等价形式（必考辨析） ① 分式型：$$y=\dfrac{k}{x}\ (k eq0)$$（标准形式） ② 乘积型：$$xy=k\ (k eq0)$$（快速判断函数的万能形式） ③ 负指数型：$$y=kx^{-1}\ (k eq0)$$（常用于求参数、指数求值） 3. 核心特征（区别一次函数、正比例函数） 1. 自变量 $$x$$ 在分母上，次数为 $$-1$$； 2. $$k$$ 为非零常数，$$x、y$$ 均不能为0； 3. $$x$$ 与 $$y$$ 的乘积始终为定值k； 4. 无常数项，不存在一次项、二次项。 4. 反比例关系与反比例函数的区别 若两个变量的乘积为定值，则两个变量成反比例关系；若关系式符合 $$y=\dfrac{k}{x}(k eq0)$$，则为反比例函数。所有反比例函数的变量均成反比例关系。 二、基础必考题型练习 （一）选择题 1. 下列函数中，属于反比例函数的是（） A. $$y=3x$$ B. $$y=\dfrac{3}{x}$$ C. $$y=3x+1$$ D. $$y=3x^2$$ 2. 若函数 $$y=(m-2)x^{m^2-5}$$是反比例函数，则 $$m$$ 的值为（） A. 2 B. -2 C. $$\pm2$$ D. 4 3. 已知变量 $$x、y$$ 满足 $$xy=-6$$，则 $$y$$ 与 $$x$$ 的函数关系是（） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数 （二）填空题 4. 反比例函数 $$y=\dfrac{5}{x}$$ 的比例系数 $$k=$$________，自变量 $$x$$ 的取值范围是________。 5. 若 $$y=\dfrac{k-1}{x}$$是反比例函数，则 $$k$$ 的取值范围是________。 6. 已知反比例函数 $$y=\dfrac{6}{x}$$，当 $$x=-2$$ 时，$$y=$$________。 （三）解答题 7. 已知函数 $$y=(m+1)x^{m^2-2}$$ 是反比例函数，求 $$m$$ 的值。 8. 已知反比例函数 $$y=\dfrac{k}{x}$$ 的图象经过点 $$(3,-4)$$，求该反比例函数解析式。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B 解析：A是正比例函数，B符合反比例函数标准形式 $$y=\dfrac{k}{x}$$，C是一次函数，D是二次函数。 2. 答案：B 解析：反比例函数要求次数为$$-1$$，系数不为0。 列方程：$$\begin{cases}m^2-5=-1\\m-2 eq0\end{cases}$$，解得 $$m^2=4，m eq2$$，即 $$m=-2$$。 3. 答案：B 解析：由 $$xy=-6$$ 变形得 $$y=-\dfrac{6}{x}$$，符合反比例函数定义。 4. $$x eq0$$答案：5； 解析：标准式 $$y=\dfrac{k}{x}$$中 $$k=5$$，分母不能为0，故 $$x eq0$$。 5. $$k eq1$$答案： 解析：反比例函数系数 $$k-1 eq0$$，解得 $$k eq1$$。 6. 答案：-3 解析：将 $$x=-2$$ 代入，$$y=\dfrac{6}{-2}=-3$$。 7. 解析：根据反比例函数定义可得： $$\begin{cases}m^2-2=-1\\m+1 eq0\end{cases}$$ 由 $$m^2-2=-1$$ 得 $$m^2=1$$，$$m=\pm1$$； 由 $$m+1 eq0$$ 得 $$m eq-1$$； 综上：$$m=1$$。 8. 解析：将点 $$(3,-4)$$ 代入 $$y=\dfrac{k}{x}$$， $$-4=\dfrac{k}{3}$$，解得 $$k=-12$$。 ∴ 反比例函数解析式为：$$y=-\dfrac{12}{x}$$。 四、高频易错总结 1. 忽略系数不为0条件：求参数时只看次数为-1，忘记排除系数为0的情况，导致答案出错； 2. 混淆函数类型：误将 $$y=\dfrac{k}{x}+1$$、$$y=\dfrac{1}{x+1}$$ 判定为反比例函数（均不符合标准形式）； 3. 取值范围遗忘：答题时常漏写自变量 $$x eq0$$； 4. 比例系数看错：误把分式整体、常数项当作 $$k$$，找错比例系数。 理解并掌握反比例函数的概念. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. (1) 京沪高铁全程为1318 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间t (单位：h) 的变化而变化； 知识点 1 反比例函数的定义 3 (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长 y (单位：m) 随另一边长 x (单位：m)的变化而变化； (3)李明计划在一段时间内使用完5GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位:GB)随使用完流量的总时间t(单位:天)的变化而变化. 探究新知 【观察】这三个函数解析式有什么共同点？ 一般地,形如 (k为常数，k≠0)的函数，叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数． 都是 的形式，其中k是非零常数. 传授新知 探究新知 反比例函数：形如 （k为常数，且k≠0） 【思考】 1.自变量x的取值范围是什么？ 探究新知 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 2.在实际问题中自变量x的取值范围是什么？ 要根据具体情况来确定. 例如，在前面得到的第二个解析式 ，x的取值范围是 x＞0，且当 x 取每一个确定的值时，y 都有唯一确定的值与其对应. 反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0) 探究新知 3.形如 的式子是反比例函数吗？ 式子 呢？ 巩固练习 下列函数中哪些是反比例函数,并指出相应k的值？ ① y =3x-1 ② y =2x2 ③ ④ ⑤ y =3x-1 ⑥ ⑦ 不是 是，k = 1 不是 不是 是，k = 3 是， 是， 已知函数 是反比例函数，求 m 的值. 所以 解得 m =－2. 解：因为 是反比例函数， 探究新知 利用反比例函数的定义求字母的值 归纳总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0. 素养考点 1 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：(1)设 .因为当 x=2时，y=6，所以有 解得 k =12. 因此 探究新知 利用待定系数法求反比例函数的解析式 (2) 当 x=4 时，求 y 的值. (2)把 x=4 代入 ，得 素养考点 2 10 探究新知 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是： （1）设，即设所求的反比例函数解析式为 （k≠0）． （2）代，即将已知条件中对应的 x、y 值代入 中得到关 于k的方程． （3）解，即解方程，求出 k 的值． （4）定，即将 k 值代入 中，确定函数解析式． 归纳总结 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数. 当 v=100 时，f =40. 所以当车速为100km/h 时，视野为40度. 解：设 .由题意知，当 v =50时，f =80， 解得 k =4000. 因此 所以 知识点 2 建立反比例函数的模型解答问题 探究新知 12 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 解：因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半， 所以 所以变量 y与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数. 巩固练习 知识点1 反比例函数的定义 1. 下列函数：， ， ，，，， ， .其中是 的反比例函数的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知函数是反比例函数，则 的取值范围是______ _______. 且 中考考法 14 知识点2 建立反比例函数模型 3. 下列数量关系中，成反比例关系的是( ) C A. 橘子的单价一定，购买橘子的质量与总价 B. 圆锥的体积一定，它的底面半径与高 C. 路程一定时，速度与时间 D. 学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 中考考法 15 4. 当矩形面积一定时，长是宽 的反比例函 数，其函数解析式可以写为为常数， .请你仿 照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数 关系的量的实例，并写出它的函数解析式.实例：__________ ________________________________；函数解析式： _______________________________. 当路程 一定时，速度是时间的反比例函数 为常数（答案不唯一） 中考考法 16 5. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变 的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比 例函数.当时，.则当 时， ________ . 16 000 中考考法 17 知识点3 反比例函数与成反比例 6. 下列说法正确的是( ) A A. 在中，与 成正比例 B. 在中，与 成反比例 C. 在中，与 成正比例 D. 在中，与 成正比例 中考考法 18 【点拨】A.， . 与 成正比例，故选项正确； B.，与 成正比例，故选项错误； C.时，；时， ，故选项错误； D.， ，故选项错误. 故选A. 中考考法 19 7. 已知和成正比例，和成反比例，则和 成____比例. 反 中考考法 20 8.若长方形的两邻边长度分别为, ，面积保持不变，下表给 出了与 的一些值求长方形的面积． 3 1 8 4 2 5 （1）长方形的面积是多少？ 【解】长方形的面积为4. 中考考法 21 （2）与之间是什么关系？用式子表示与 之间的关系． 与是反比例关系，用式子表示为 . （3）完成上表． 如表所示. 3 1 2 8 6 4 2 5 中考考法 22 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义/三种表达方式 反比例函数 课堂小结 $