专题16 全等三角形模型之倍长中线与截长补短（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理全等三角形的倍长中线与截长补短模型，将中线型、中点型、中点+平行线型等倍长模型和截长、补短法分类呈现，明确各模型的条件、结论及证明思路，突出中点、中线与全等构造的内在联系。 讲义亮点在于“真题情境-模型提炼-分层应用”的设计，以2024年内蒙古通辽中考“伞形图”真题引入，培养几何直观和数学眼光，通过模型证明过程（如倍长中线证SAS全等）强化推理意识，例题涵盖选择、填空、综合探究题，帮助不同层次学生掌握方法，教师可精准实施分层教学，支持学生自主复习提升。

专题16 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 11 17 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 例2（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点是四边形内一点，连接，已知，，且，若是的中点，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 例3（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 例4（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 例5（25-26七年级下·广东深圳·期中）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 模型2.截长补短模型 例1（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，，平分，平分，点在上，且．若，则四边形的面积为_______ ． 例2（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，在边的上方取一点D，使，连接，在线段上取一点E，连接，．若，，，则的长为______． 例3（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，在中，在边上，在边上，且，，则__________． 例4（25-26八年级上·河南信阳·期末）【发现】： 如图（1），在中，，，过点A作于点H，求证：． 证明：∵，， ∴． ∴，， ∴ （_______）， 在和中， ， ∴． ∴，．（______）． ∴． 【拓展】： 如图（2），在和中，，，且，点D、B、C在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为_________，同时猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】： 在如图（3）的两张图中，在中，，且，在同一平面内有一点P，满足，，且，请直接写出点A到的距离． 例5（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，点在直线上，连接． (1)如图1，当点在的延长线上时． ①若，求证：； ②若，求证：； (2)如图2，点在边上，于点．若，直接写出的长． 1．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）如图，是的边上的中线，在上取一点，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 3．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 5．（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 6．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，过点E作交于点F，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.2 D．5 7．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，，C为边中点．若平分，平分，，则的长是______． 9．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，是边上的中线且，点是内的一点，满足．则的值为______． 10．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为___________. 11．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 12．（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 13．（25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 14．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 15．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 16．（25-26八年级上·广东中山·期末）综合探究：在中，已知，是边上的中线． 【问题初探】 （1）如图1，延长至点G，使得，连接，求证：； 【知识应用】 （2）如图2，于点E，交于点F，若，求的长； 【拓展创新】 （3）如图3，分别以，为边向外作等腰三角形，且，．当时，猜想与有什么数量关系，并说明理由． 17．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 18．（25-26八年级上·四川内江·期末）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 19．（25-26八年级上·全国·期末）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】    （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形______； 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是_________； （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 20．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 21．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． 22．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）在中，，． (1)如图，是的角平分线，若的中点为，连接交于，求证：； (2)如图，是的角平分线，过点作，垂足为，猜想与之间数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，当时，在射线上有一个动点（在点右侧），连接，并作等腰直角，其中，连接并延长交的延长线于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围，若不变，求出它的长度． 23．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图1，和中，，点和点在的同侧，点为边上的一点，且，连接交直线于点，过点作交直线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，若，点和点在的异侧题目其他条件不变，直接写出线段，，的数量关系______． 24．（25-26八年级上·河南开封·期末）（1）【问题初探】在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图1，在中，高，交于点F，且，试说明与有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．小明判定的依据可能是_______（填序号）． ①SSS    ②AAS    ③HL    ④SAS （2）【引导发现】李老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图2，在中，，，平分，交的延长线于点E． ①填空：的度数为_______； ②判断线段与的数量关系，并写出证明过程． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，点D在线段上，交的延长线于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 11 17 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴， 又，∴，故答案为：； （2）∵，，∴，， 又，∴，即，∴，∴，故答案为：； （3）延长至点F，使，同（1）可证， ∴，，， 又，∴，∴，∴，∴， ∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 延长至点，使，连接，证明，得出，然后利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 例2（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点是四边形内一点，连接，已知，，且，若是的中点，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键． 连接，根据全等三角形的判定，结合题意与不一定相等可判定A选项；根据题意，不能得出，可判定B选项；根据倍长中线，三角形内角和定理等知识证明可判定C选项；由题意不一定等于，可判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：连接， ，， 要使，需， 与不一定相等， 与不一定全等，故A不符合题意； ， ， ∴不能得出，故B不符合题意； 作交的延长线于点，则， 点是的中点， ，且， ∴， ，，， ，，， ∴， 又， ， ， ，故C符合题意； 不一定等于，故D不符合题意． 故选：C． 例3（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先延长到，使，连接，证明，然后根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，则． 是的中线， ， 和中， ， ． ， ， 在中，， ． 例4（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 例5（25-26七年级下·广东深圳·期中）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【答案】(1)B (2)1（或3或5或7或9或11） (3)，理由见解析 (4)8 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点G使，连接，同理可证明，再证明，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴的理由是B； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在中，， 即，即 ∵边的长度为奇数，且， ∴的长可能为1或3或5或7或9或11； （3）解：，理由如下： 延长至点E使，连接，如图， 同理可证， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：延长至点G使，连接，如图， 同理可知， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，则， ∴． 模型2.截长补短模型 例1（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，，平分，平分，点在上，且．若，则四边形的面积为_______ ． 【答案】 【分析】连接，证明，，得到，进而可得，则可求. 【详解】解：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 即：. 例2（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，在边的上方取一点D，使，连接，在线段上取一点E，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，延长至点，使，连接，在四边形中，，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ， 延长至点，使，连接， ∵，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． 例3（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，在中，在边上，在边上，且，，则__________． 【答案】5 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 根据题意，在上截取，连接，证明，再判定，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 设，则由题意得， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 例4（25-26八年级上·河南信阳·期末）【发现】： 如图（1），在中，，，过点A作于点H，求证：． 证明：∵，， ∴． ∴，， ∴ （_______）， 在和中， ， ∴． ∴，．（______）． ∴． 【拓展】： 如图（2），在和中，，，且，点D、B、C在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为_________，同时猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】： 在如图（3）的两张图中，在中，，且，在同一平面内有一点P，满足，，且，请直接写出点A到的距离． 【答案】发现：同角的余角相等，全等三角形对应边相等；拓展：的度数为，，理由见解析；应用：或 【分析】发现：根据证明过程即可得出结果； 拓展：证明，得出，，由等腰直角三角形的性质可得，从而得出，进而可得，由点D、B、C在同一条直线上，得出，再结合，，即可得出结果； 应用：过点作于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，证明，得出，求出或，再结合，即可得出结果． 【详解】发现：证明：∵，， ∴． ∴，， ∴（同角的余角相等）， 在和中， ， ∴． ∴，（全等三角形对应边相等）． ∴． 拓展（2）：的度数为，，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点D、B、C在同一条直线上， ∴， ∵，， ∴； 应用（3）：如图：过点作于点，连接，将绕点顺时针旋转得到， ， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴； 如图，过点作于点，连接，将绕点顺时针旋转得到， ， 同理可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴点、、三点共线，点落在的延长线上， ∴， ∵， ∴； 综上所述，点到的距离为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 例5（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，点在直线上，连接． (1)如图1，当点在的延长线上时． ①若，求证：； ②若，求证：； (2)如图2，点在边上，于点．若，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)的长为4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据，可得，再根据证明即可得出结论； ②分别过点、作于点，于点，证明，得到，，再证明，得，即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，证明，得，，再证明，得到，从而可得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：①， ， 在和中，， ， ． ②分别过点、作于点，于点，如图（1）所示： 则， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ，即； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图（2）所示， 则， ， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ， 即， ， 是的中点， ． 1．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）如图，是的边上的中线，在上取一点，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，恰当作辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 延长，使得，连接，先证，得到，，进而可得，则，再由即可求解． 【详解】延长，使得，连接， 是的边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，过作，交的延长线于，可证，得到，即得是等腰直角三角形，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴四边形的面积与的面积相等 ∴， 故选：． 4．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形的面积转化为两个的面积是解决问题的关键． 可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 【详解】解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选D． 5．（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，过点E作交于点F，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.2 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形 ．作辅助线，延长至点G，使得，连接，延长交的延长线于点H，再设，根据角度的关系以及边的关系判定与全等，由此可解 ． 【详解】解： 延长至点G，使得，连接，延长交的延长线于点H，如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B ． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点C作，使得，连接，，交于点M，证明，得，当三点共线时的值最小，再证明，得，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合， ∵, ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即此时， ∵ ∴， ∴此时． 故选：A． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，，C为边中点．若平分，平分，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． 如图：在上取点F， 使， 连接，在上取点G， 使， 连接， 易证可得；同理可得，再证明是等边三角形可得再根据求解即可． 【详解】解∶ 如图：在上取点F， 使， 连接，在上取点G， 使， 连接， ∵C是的中点, , ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证∶ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：. 9．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，是边上的中线且，点是内的一点，满足．则的值为______． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，则得出，进而证明，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，则 ∴， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴， ∴, ∴四点共线 ∴， ∵是的中点， ∴ 延长至使得 又∵ ∴ ∴, ∵，则 ∴ ∴, ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形的中线的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为___________. 【答案】2.5<BD<12.5 【分析】延长BD到E，使BD=DE，连接AE，可证明，根据全等三角形的性质可得AE=BC=15，在中利用三角形三边关系可求得BE的范围，可求得BD的取值范围． 【详解】解：如图，延长BD到E，使BD=DE，连接AE， ∵D为AC的中点， ∴AD=CD， 在和中， ∵ ∴（SAS）， ∴AE=BC=15， 在中，由三角形三边关系可得， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，辅助线——中线倍长是本题的关键． 11．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：∵在与中， ∴ ． （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 13．（25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 14．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、倍长中线法以及图形翻折的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 15．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键； （1）根据提示证即可求解； （2）延长到，使得，连接，通过论证两组三角形的全等即可得出结论； （3）由前一问可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·广东中山·期末）综合探究：在中，已知，是边上的中线． 【问题初探】 （1）如图1，延长至点G，使得，连接，求证：； 【知识应用】 （2）如图2，于点E，交于点F，若，求的长； 【拓展创新】 （3）如图3，分别以，为边向外作等腰三角形，且，．当时，猜想与有什么数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明，即可解答； （2）延长至点G，使得，连接，证明为等腰三角形即可解答； （3）延长至点G，使得，连接，证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：是边上的中线， ， ， ， ； （2）解：如图，延长至点G，使得，连接， 根据（1）可得， ， ，， ， ，， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长至点G，使得，连接 根据（1）可得， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 【答案】（1）①A，②；（2）40；（3）见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）①先根据三角形的中线定义得到，可根据“”可证明； ②先根据全等三角形的性质得到，利用三角形的三边关系求得，结合即可求解； （2）延长至，使得，可证明，得，，，可得，根据平行线的性质和已知可证明，即可证明，进而有即可求解； （3）延长交于，证明得到，则，结合可证得结论． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A； ②解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）延长交于， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 18．（25-26八年级上·四川内江·期末）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，三角形内角和定理，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）延长，使得，连接，延长交于，由（1）可得：，得出，，证明，得出，再求出，即可得证； （3）延长至F，使得，连接，延长交于点N ，由（1）可得，得出，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图：延长，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：线段与的关系是：， ， 延长至F，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 19．（25-26八年级上·全国·期末）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】    （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形______； 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是_________； （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明即可； （2）参照（1）的证明过程可添加辅助线，延长至点Q，使，连接，证明，得到，再根据三角形三边关系求解即可； （3）参照（1）的证明过程可添加辅助线，延长到点M，使，连接，证明，得到 ，，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）是的中线， ， ，， ， 故答案为：； （2）延长至点Q，使，连接， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：．    （3）证明：如图，延长到点M，使，连接， ，   是的中线， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为． （2）如图，延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴； ∴． （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接，则， ∵，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 22．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）在中，，． (1)如图，是的角平分线，若的中点为，连接交于，求证：； (2)如图，是的角平分线，过点作，垂足为，猜想与之间数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，当时，在射线上有一个动点（在点右侧），连接，并作等腰直角，其中，连接并延长交的延长线于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围，若不变，求出它的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．利用等腰直角三角形的特殊角度、角平分线的性质，构造全等三角形；对于动态问题，通过全等转化线段关系确定定值，是解题的关键． （1）先由是等腰直角三角形，得、；再结合角平分线得，通过角度计算得到，从而得． （2）延长交于，证、，从而得． （3）过作，垂足为，证明，得到、，进而得到，继而根据是等腰直角三角形，得到（定值）． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，延长交于， ∵平分， ∴， ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长不变，， 如图，过作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图1，和中，，点和点在的同侧，点为边上的一点，且，连接交直线于点，过点作交直线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，若，点和点在的异侧题目其他条件不变，直接写出线段，，的数量关系______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握这些知识的灵活运用，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的等边对等角证得，再根据同角的余角相等证得，然后根据证明结论即可； （2）延长至，使得，利用证明，则有，由（1）中结论证得，进而，再证得，则有，进而证得，即可证得结论； （3）同第（2）中证明方法，即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图1，过点作，交于点， ， 由（1）知，， 在和中， ， ， ，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：过点作，交延长线于点， ， 由（1）知，， 在和中， ， ， ，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 24．（25-26八年级上·河南开封·期末）（1）【问题初探】在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图1，在中，高，交于点F，且，试说明与有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．小明判定的依据可能是_______（填序号）． ①SSS    ②AAS    ③HL    ④SAS （2）【引导发现】李老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图2，在中，，，平分，交的延长线于点E． ①填空：的度数为_______； ②判断线段与的数量关系，并写出证明过程． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，点D在线段上，交的延长线于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）② （2）①；②，证明见解析 （3） 【分析】（1）根据题意易得、根据余角的性质得到，进而证得，据此解答即可； （2）①根据角平分线的性质得到，根据余角的性质得到； ②如图，延长交的延长线于点M，得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于点H，根据题意得到及 ，进而证得，进而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：高，交于点F， 、 在和中 故答案为：②； （2）①解：，，平分， 、 故答案为：； ②，证明过程如下： 证明：如图，延长交的延长线于点M， 在和中 平分 在和中 ； （3）解：，理由如下： 如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于点H， 、 、 ， 在和中 在和中 ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $