第11讲 等腰三角形的性质 精讲提升培优讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦等腰三角形的性质这一核心知识点，系统梳理等边对等角、三线合一的性质及大边对大角原理，通过折叠实验理解性质本质，强调三线合一需针对底边和顶角的易错点，构建从定义到应用的完整学习支架。 资料以历年真题为载体分层设计题型，含选择、填空、解答及创新压轴题，通过折叠操作培养几何直观（数学眼光），证明题训练推理能力（数学思维），随堂与课后练习助力学生查漏补缺，体现应用意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固提升。

第11讲 等腰三角形的性质 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下18.1 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.掌握等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 2.理解并应用“三线合一”； 3.体会等腰三角形的轴对称性。 知识点一 等腰三角形的性质 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 性质2（三线合一）：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合。 学习方法：折叠等腰三角形纸片，观察顶角平分线、中线、高的重合。常作底边上的高作为辅助线。 易错点：三线合一必须针对“底边”和“顶角”，不能泛化到腰上；注意等腰三角形是轴对称图形，对称轴是一条直线。 知识点二 大边对大角 大边对大角：三角形中，较大边所对角较大。（可通过截长补短、外角证明） 学习方法：结合图形理解，可用反证法或三角形外角证明。 一．选择题（共9小题） 1．（2025秋•杨浦区校级月考）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（　　） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 2．（2025秋•青浦区期中）关于等腰三角形的描述，下列说法错误的是（　　） A．等腰三角形是轴对称图形 B．等腰三角形的两个底角相等 C．等腰三角形的对称轴是它的高 D．等腰三角形顶角的平分线垂直于底边 3．（2025春•杨浦区校级月考）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，AC＝AD，则∠2的大小为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 4．（2025春•杨浦区校级月考）若一个等腰三角形的底角比顶角大15°，则此等腰三角形的顶角为（　　） A．45° B．40° C．50° D．55° 5．（2025春•杨浦区校级月考）如图，等腰△ABC的周长为30，且BA＝BC，中线AD将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则AC的长（　　） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 6．（2025春•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝58°，则∠C的度数为（　　） A．34° B．64° C．29° D．32° 7．（2025春•杨浦区校级月考）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化，当△ABC为等腰三角形时，AC的长为（　　） A．4 B．3 C．3或4 D．无法确定 8．（2024秋•浦东新区校级月考）在△ABC中，AB＝AC＝BD，下列关系中成立的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．3∠1﹣∠2＝180° 9．（2025春•崇明区期末）如图，已知等腰△ABC的一腰AB长为4厘米，过底边BC上任意一点D作AC、AB的平行线，分别交AB、AC于点E、F，则四边形AEDF的周长为（　　） A．4厘米 B．8厘米 C．12厘米 D．16厘米 二．填空题（共11小题） 10．（2025春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ． 11．（2023春•奉贤区期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为 　 　 ． 12．（2025秋•南岗区校级期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则等腰三角形顶角的度数是　 　 °． 13．（2025春•青浦区校级期中）已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于　 　 ． 14．（2025春•浦东新区校级期中）在△ABC中，已知AB＝AC，D是边AC上的中点．连结BD，BD将△ABC的周长分为12cm和8cm两部分，边BC的长度为　 　 ． 15．（2025秋•普陀区月考）定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为k．如果△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，那么边BC的高比系数k＝　 　 ． 16．（2025春•徐汇区校级月考）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 　 　 ． 17．（2025春•闵行区校级月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了9cm和7cm两部分，则这个等腰三角形的底边长为　 　 cm． 18．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是　 　 ． 19．（2025春•松江区校级期末）在△ABC中，∠B＝30°，∠A＝100°，点P是△ABC三边上的动点．当△PAC为等腰三角形时，其顶角的度数是 　 　 ． 20．（2025春•闵行区校级月考）等腰三角形的一条边长为3，另一边长为7，则它的周长为 　 　 ． 三．解答题（共12小题） 21．（2025春•虹口区期末）如图，已知∠DAB＝∠B，直线CE交线段DA的延长线于点M，按下列步骤完成证明：CE＞CB． 步骤一： 假设CE＝CB，则∠B＝　 　 （　 　 ）， ∵∠DAB＝∠B， ∴∠DAB＝　 　 ， ∴　 　 ∥　 　 ， 这与　 　 矛盾， 即CE不等于CB． 步骤二：（请自己写出后面的证明过程） 22．（2025春•浦东新区期末）小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知和求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在△ABC中，　 　 ； 求证：　 　 ； 证明： 23．（2023春•青浦区期末）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，线段DE与BC的延长线交于点F，∠BAC的角平分线交DE于P，∠BFD的角平分线交AP的延长线于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？ 答：AG⊥FG． 证明：延长AG交BC于点Q． ∵AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）， ∴∠1＝∠　 　 ，∠3＝∠　 　 （角平分线的定义）， ∵∠5＝∠　 　 +∠AED，∠　 　 ＝∠　 　 +∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又∵∠AED＝∠B（已知）， ∴∠5＝　 　 （等式性质）． （请自行完成后续的说理过程） 24．（2025春•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，D、E为边BC上两点，AB＝AC，AD＝AE． 求证：BD＝CE． 25．（2025春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝40°，求∠CDE的度数． 26．（2025春•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且，． （1）求证：CD＝BE． （2）求证：DF＝EF． 27．（2025春•浦东新区校级月考）等腰△ABC中，AB＝AC，边AC上的中线BD把△ABC的周长分成15cm和6cm两部分． 求边AB、BC的长． 28．（2024春•金山区校级期末）已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD． （1）试说明∠ABC＝2∠C； （2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AE＝AB，求证：AD平分∠BAC． 29．（2024春•黄浦区期末）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°． （1）求∠DAE的度数； （2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC． 30．（2025春•浦东新区月考）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的腰长． 31．（2025春•浦东新区期末）在△ABC中， （1）若∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A的度数； （2）若△ABC是等腰三角形，∠B＝30°，求∠A的度数． 32．（2025秋•浦东新区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．若△ABC等腰三角形，AB＝3cm，另外两条边是方程的根，求△ABC的周长． 四．创新型题型及压轴题（共4小题） 33．（2025春•徐汇区校级月考）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 第 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”. 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”. 任务图 任务1 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　 　 等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线． 任务3 在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请求出∠ACB的度数． 34．（2025春•徐汇区校级月考）在△ABC中，AB＝AC． （1）AD是BC上的高，AD＝AE． ①如图1，如果∠BAD＝20°，则∠EDC＝　 　 °； ②如图2，如果∠BAD＝50°，则∠EDC＝　 　 °． （2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　 　 ． （3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 35．（2024春•奉贤区期末）已知在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，点C是平面内一点，联结AC、BC、OC，OA＝OC． （1）如图1，点O在△ABC的内部． ①当∠ACO＝20°，求∠OBC的度数； ②当CO平分∠ACB，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接写出答案）． 36．（2021春•杨浦区期末）已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED． （1）如图1，试说明AC＝CE的理由； （2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由； （3）当AH∥EI时，求∠B的度数． 1．（2025春•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一个外角的大小为100°，则这个三角形的底角的大小为　 　 ． 2．（2025秋•浦东新区期中）已知：在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝2，则BC＝　 　 ，AD与BC的位置关系是　 　 ． 3．（2025春•杨浦区期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，如果D是边BC的中点，那么∠CAD＝　 　 度． 4．（2025春•黄浦区期末）已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于 　 　 ． 5．（2025秋•浦东新区期中）如图是一个正方形，甲和乙分别是等腰三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲的面积是乙的面积　 　 .（填最简分数） 6．（2025•浦东新区校级模拟）如图，直线EF分别交直线AB、CD于点P和点Q，点R在直线CD上，且RQ＝PQ，如果AB∥CD，∠APQ＝40°，那么∠BPR＝　 　 度． 1．（2025春•宝山区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为（　　） A．34° B．64° C．29° D．32° 2．（2025春•浦东新区期末）已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．0＜a＜8 C．0＜a＜16 D．a＜16 3．（2024春•普陀区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是△ABC的中线，如果∠B＝70°，那么以下结论中，错误的是（　　） A．∠CAD＝20° B．AD⊥BC C．△ABD的面积是△ABC面积的一半 D．△ABD的周长是△ABC周长的一半 4．（2025春•崇明区期末）在等腰△ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分别割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝　 　 ． 5．（2025春•嘉定区校级月考）若一个等腰三角形可以被一条直线分成两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“完美三角形”，则完美三角形的顶角度数为　 　 ． 6．（2025春•宝山区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AE＝DE，∠BAE＝30°，∠CED＝45°，则∠DAE＝ 　 　 ． 7．（2025•浦东新区校级模拟）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在腰AC上，如果BD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC的度数为　 　 ． 8．（2025春•普陀区期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是30度，那么这个等腰三角形的顶角等于 　 　 度． 9．（2025春•浦东新区校级期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为 　 　 ． 10．（2025春•闵行区校级月考）如图，AD、CE分别是△ABC的中线和高，若AB＝AC，∠ACE＝32°，则∠BAD的度数为 　 　 ． 11．（2025春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，∠A＝2∠DEF，则∠ABE+∠CBD＝ 　 　 ． 12．（2025春•上海校级期末）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且BE＝ED． （1）求证：ED∥BC； （2）当∠A＝70°，∠ADE＝30°时，求∠EDB的度数． 13．（2024春•宝山区期末）如图，已知：点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．请说明BD＝CE的理由． 14．（2024秋•宝山区期末）已知：如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的中线，DE和DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为点E、F． 求证：AE＝AF． 15．（2024秋•奉贤区校级期中）已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点． （1）求证：∠AFB＝90°； （2）求证：△ADC≌△AEC； （3）连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明． 16．（2024春•浦东新区期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD． （1）若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数； （2）若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数； （3）设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）． 17．（2024春•杨浦区期末）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，D是边AB上一点（不与点A、B重合），E是线段CD延长线上一点，∠BEC＝∠BAC． （1）说明∠EBA＝∠DCA的理由； （2）小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重合），∠AEC与∠ABC是否会相等？，小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，联结AH，然后通过学过的知识就能得到∠AEC与∠ABC相等．你能否根据小丽同学的想法，说明∠AEC＝∠ABC的理由． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 等腰三角形的性质 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下18.1 （答案详解版） 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.掌握等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 2.理解并应用“三线合一”； 3.体会等腰三角形的轴对称性。 知识点一 等腰三角形的性质 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 性质2（三线合一）：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合。 学习方法：折叠等腰三角形纸片，观察顶角平分线、中线、高的重合。常作底边上的高作为辅助线。 易错点：三线合一必须针对“底边”和“顶角”，不能泛化到腰上；注意等腰三角形是轴对称图形，对称轴是一条直线。 知识点二 大边对大角 大边对大角：三角形中，较大边所对角较大。（可通过截长补短、外角证明） 学习方法：结合图形理解，可用反证法或三角形外角证明。 一．选择题（共9小题） 1．（2025秋•杨浦区校级月考）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（　　） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，分别表示出分成的两个三角形的周长，根据周长之差为2厘米，从而得方程，即可求得x． 【解答】解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，由题意得：， 即|x﹣6|＝2， ∴x﹣6＝2或x﹣6＝﹣2， 解得x＝8或x＝4， 当x＝8时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米， ∵8+6＞8， ∴此时能构成三角形； 当x＝4时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米， ∵4+4＞6， ∴此时能构成三角形； 综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米， 故选：C． 2．（2025秋•青浦区期中）关于等腰三角形的描述，下列说法错误的是（　　） A．等腰三角形是轴对称图形 B．等腰三角形的两个底角相等 C．等腰三角形的对称轴是它的高 D．等腰三角形顶角的平分线垂直于底边 【考点】等腰三角形的性质；轴对称图形．版权所有 【分析】对于选项A，根据等腰三角形是轴对称图形，底边上的高是它的对称轴即可对该选项进行判断； 对于选项B，根据等腰三角形的两个底角相等即可对该选项进行判断； 对于选项C，根据 等腰三角形的对称轴是它底边上的高即可对该选项进行判断； 对于选项D，根据等腰三角形顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线重合即可对该选项进行判断；综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在的直线是它的对称轴， ∴该选项正确，不符合题意； 对于选项B， ∵等腰三角形的两个底角相等， ∴该选项正确，不符合题意； 对于选项C， ∵等腰三角形的对称轴是它底边上的高所在的直线， ∴该选项错误，符合题意； 对于选项D， ∵等腰三角形顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线重合， ∴等腰三角形顶角的平分线垂直于底边， ∴该选项正确，不符合题意， 故选：C． 3．（2025春•杨浦区校级月考）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，AC＝AD，则∠2的大小为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．版权所有 【分析】根据平行线的性质得∠ACD＝∠1＝65°，由等边对等角求得∠ACD＝∠ADC＝65°，由邻补角性质得∠2+∠ADC＝180°，然后求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠1＝65°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝65°， ∵∠2+∠ADC＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°， 故选：A． 4．（2025春•杨浦区校级月考）若一个等腰三角形的底角比顶角大15°，则此等腰三角形的顶角为（　　） A．45° B．40° C．50° D．55° 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】根据题意可设等腰三角形的顶角为x°，则底角为（x+15）°，然后根据三角形内角和定理可得：x+2（x+15）＝180，从而进行计算即可解答． 【解答】解：设等腰三角形的顶角为x°，则底角为（x+15）°， 由题意得：x+2（x+15）＝180， 解得：x＝50， ∴此等腰三角形的顶角为50°， 故选：C． 5．（2025春•杨浦区校级月考）如图，等腰△ABC的周长为30，且BA＝BC，中线AD将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则AC的长（　　） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【考点】等腰三角形的性质；解二元一次方程组；三角形三边关系．版权所有 【分析】设BA＝BC＝x，AC＝y，AD是BC边上的中线，从而可得BD＝CDx，然后分两种情况：当△ADB的周长比△ACD的周长大6时；当△ACD的周长比△ABD的周长大6时；从而进行计算即可解答． 【解答】解：设BA＝BC＝x，AC＝y，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CDx， 分两种情况： 当△ADB的周长比△ACD的周长大6时， ， 解得：， ∴△ABC的三边长分别为12，12，6， ∵6+12＝18＞12， ∴能组成三角形； 当△ACD的周长比△ABD的周长大6时， 即， 解得：， ∴△ABC的三边长分别为8，8，14； ∵8+8＝16＞14， ∴能组成三角形； 综上所述：AC的长为6或14， 故选：C． 6．（2025春•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝58°，则∠C的度数为（　　） A．34° B．64° C．29° D．32° 【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质．版权所有 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB＝AD，∠B＝58°， ∴∠ADB＝∠B＝58°， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵∠C+∠DAC＝∠ADB， ∴． 故选：C． 7．（2025春•杨浦区校级月考）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化，当△ABC为等腰三角形时，AC的长为（　　） A．4 B．3 C．3或4 D．无法确定 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】分两种情况，由三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边即可解决问题． 【解答】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴AB＝AC或AC＝BC， 当AC＝BC＝4时，在△ACD中，2+2＝4，不构成三角形， 当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系， ∴AC＝3． 故选：B． 8．（2024秋•浦东新区校级月考）在△ABC中，AB＝AC＝BD，下列关系中成立的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．3∠1﹣∠2＝180° 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】由已知AB＝AC＝BD，结合图形，根据等腰三角形的性质、内角与外角的关系及三角形内角和定理解答． 【解答】解：∵AB＝AC＝BD， ∴∠1＝∠BAD，∠C＝∠B， ∵∠1是△ADC的外角， ∴∠1＝∠2+∠C， ∵∠B＝180°﹣2∠1， ∴∠1＝∠2+180°﹣2∠1 即3∠1﹣∠2＝180°． 故选：D． 9．（2025春•崇明区期末）如图，已知等腰△ABC的一腰AB长为4厘米，过底边BC上任意一点D作AC、AB的平行线，分别交AB、AC于点E、F，则四边形AEDF的周长为（　　） A．4厘米 B．8厘米 C．12厘米 D．16厘米 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据等腰△ABC可得AB＝AC＝4，再由AB∥DF，AC∥DE，可求出BE＝DE，FC＝DF，即可解答． 【解答】解：由条件可知AB＝AC＝4，∠B＝∠C， ∵AB∥DF，AC∥DE， ∴∠B＝∠CDF，∠C＝∠EDB， ∴∠B＝∠BDE，∠C＝∠FDC， ∴BE＝DE，FC＝DF， ∴四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF＝AE+BE+CF+AF＝AB+AC＝8（cm）． 故选：B． 二．填空题（共11小题） 10．（2025春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　1.8　 ． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】连接AD，AE，根据三角形的中线定义可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，然后利用面积法进行计算即可解答． 【解答】解：连接AD，AE， ∵D为BC中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∵DP⊥AB，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， ∴2△ABD的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， AB•DP•2AB•EMAC•EN， ∵AB＝AC， ∴2DP＝EM+EN， 6＝4.2+EN， 解得：EN＝1.8， 故答案为：1.8． 11．（2023春•奉贤区期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为 　60°或120°　 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为60°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为120°． 【解答】解：如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝30°， ∴∠A＝60°， 即顶角的度数为60°． 如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝30°， ∴∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝120°． 故答案为：60°或120°． 12．（2025秋•南岗区校级期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则等腰三角形顶角的度数是　50或130　 °． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°． 【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝40°， ∴∠A＝50°， 即顶角的度数为50°． ②如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝40°， ∴∠BAD＝50°， ∴∠BAC＝130°． 故答案为：50或130． 13．（2025春•青浦区校级期中）已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于　5或7　 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】由于长为7的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论求出底边长即可． 【解答】解：根据等腰三角形的性质，分情况讨论得， 当腰为7时，另一腰也为7，则底为19﹣7﹣7＝5， ∵7+5＞7，符合题意， 当底为7时，腰为，符合题意， 综上所述，该三角形的底边长为5或7． 故答案为：5或7． 14．（2025春•浦东新区校级期中）在△ABC中，已知AB＝AC，D是边AC上的中点．连结BD，BD将△ABC的周长分为12cm和8cm两部分，边BC的长度为　4cm或　 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】先根据题意画出示意图，然后再利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系求得三角形三边的长即可． 【解答】解：如图， 设AB＝AC＝2xcm，BC＝ycm， ∵BD是中线， ∴AD＝CD＝xcm， ∵BD将△ABC的周长分为12cm和8cm两部分， 若AB+AD＝8cm，BC+CD＝12cm 即， 解得：，， 此时，， ，能构成三角形，符合题意； 若AB+AD＝12cm，则BC+CD＝8cm， 即， 解得：x＝4，y＝4 此时，AB＝AC＝8cm，BC＝4cm， 4+8＝12＞8，能构成三角形，符合题意； 综上所述，BC＝4cm或． 故答案为：4cm或． 15．（2025秋•普陀区月考）定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为k．如果△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，那么边BC的高比系数k＝　　 ． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】AD为△ABC的高，由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝30°，BC＝2BD，由30°直角三角形的性质得到AB＝2AD，由勾股定理得到，最后得到边BC的高比系数． 【解答】解：如图，AD为△ABC的高， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴根据等腰三角形的性质得，∠ABC＝∠ACB＝30°，BC＝2BD， ∴AB＝2AD， ∴， ∴， ∴，即边BC的高比系数为． 故答案为：． 16．（2025春•徐汇区校级月考）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 　25°　 ． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】由等腰三角形的性质推出∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO，由三角形的外角性质得到∠AOB＝3∠P＝75°，即可求出∠P的度数． 【解答】解：∵CP＝OC＝OA， ∴∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO， ∵∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P， ∴∠CAO＝2∠P， ∴∠AOB＝∠P+∠CAO＝3∠P＝75°， ∴∠P＝25°． 故答案为：25°． 17．（2025春•闵行区校级月考）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了9cm和7cm两部分，则这个等腰三角形的底边长为　4或　 cm． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可解题． 【解答】解：∵等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成9cm和7cm两部分． 又∵9﹣7＝2， ∴等腰三角形的腰与底边相差2cm， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为xcm，则底边长为（x﹣2）cm． 由题意列一元一次方程得，2x+x﹣2＝9+7， 整理得，3x＝18， 解得x＝6， 当x＝6时，等腰三角形腰长6cm，底边长为6﹣2＝4（cm），三角形三边分别为6cm、6cm、4cm，满足三角形三边关系，可以构成三角形． ②底边比腰大， 若腰长为x，则底边长为（x+2）． 由题意列一元一次方程得，2x+x+2＝9+7， 整理得，3x＝14， 解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为4cm或． 故答案为：4或． 18．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是　　 ． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB＝PE，再证△PCE≌△PDB，可得BD＝CE，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论． 【解答】解：如图：过点P作PE∥AC交DC延长线于点E， 由条件可知∠B＝∠ACB， ∵AC∥PE， ∴∠ACB＝∠E， ∴∠B＝∠E， ∴PB＝PE， ∵PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD， ∴∠BPD＝∠EPC， ∴在△PCE和△PDB中， ， ∴△PCE≌△PDB（SAS）， ∴BD＝CE， 由平行线可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（2025春•松江区校级期末）在△ABC中，∠B＝30°，∠A＝100°，点P是△ABC三边上的动点．当△PAC为等腰三角形时，其顶角的度数是 　100°或80°或50°　 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】当P在AB上时，得到等腰△PAC的顶角是100°；当P在BC上时，分三种情况讨论，即可得到答案． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠A＝100°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣100°＝50°， 当P在AB上时，PA＝AC， ∴等腰△PAC的顶角是100°； 当P在BC上时， 若PA＝AC， ∴∠APC＝∠C＝50°， ∴顶角∠PAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°； 若PA＝PC， ∴∠PAC＝∠C＝50°， ∴顶角∠APC＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 若PC＝AC， ∴顶角是∠C＝50°， 综上所述：△PAC为等腰三角形时，其顶角的度数是100°或80°或50°． 故答案为：100°或80°或50°． 20．（2025春•闵行区校级月考）等腰三角形的一条边长为3，另一边长为7，则它的周长为 　17　 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】先利用三角形三边关系确定腰长，再将三边相加． 【解答】解：∵3+3＜7， ∴腰长为7， ∴周长为3+7+7＝17． 故答案为：17． 三．解答题（共12小题） 21．（2025春•虹口区期末）如图，已知∠DAB＝∠B，直线CE交线段DA的延长线于点M，按下列步骤完成证明：CE＞CB． 步骤一： 假设CE＝CB，则∠B＝　∠CEB （　等边对等角　 ）， ∵∠DAB＝∠B， ∴∠DAB＝　∠CEB ， ∴DA ∥CE ， 这与　直线CE交线段DA的延长线于点M 矛盾， 即CE不等于CB． 步骤二：（请自己写出后面的证明过程） 【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定．版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形外角性质求解即可． 【解答】解：步骤一： 假设CE＝CB，则∠B＝∠CEB（等边对等角）， ∵∠DAB＝∠B， ∴∠DAB＝∠CEB， ∴DA∥CE， 这与直线CE交DA的延长线于点M矛盾， 即CE不等于CB． 步骤二、 假设CE＜CB，则∠B＜∠CEB， ∵∠DAB＝∠B， ∴∠DAB＜∠CEB， ∵∠CEB＝∠AEM， ∴∠DAB＜∠AEM， 与∠DAB＝∠M+∠AEM矛盾， 即CE不小于CB． 综上所述，CE＞CB， 故答案为：∠CEB；等边对等角；∠CEB；DA；CE；直线CE交线段DA的延长线于点M． 22．（2025春•浦东新区期末）小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知和求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BF分别平分∠ACB和∠ABC ； 求证：CE＝BF ； 证明： 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】由题意写出已知和求证即可；由等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB，由角平分线定义得到∠BCE＝∠CBF，即可证明△EBC≌△FCB（ASA），推出CE＝BF． 【解答】解：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BF分别平分∠ACB和∠ABC； 求证：CE＝BF； 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵CE和BF分别平分∠ACB和∠ABC， ∴∠BCE∠ACB，∠CBF∠ABC， ∴∠BCE＝∠CBF， ∵BC＝CB，∠EBC＝∠FCB， ∴△EBC≌△FCB（ASA）， ∴CE＝BF． 故答案为：AB＝AC，CE和BF分别平分∠ACB和∠ABC，CE＝BF． 23．（2023春•青浦区期末）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，线段DE与BC的延长线交于点F，∠BAC的角平分线交DE于P，∠BFD的角平分线交AP的延长线于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？ 答：AG⊥FG． 证明：延长AG交BC于点Q． ∵AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）， ∴∠1＝∠　2　 ，∠3＝∠　4　 （角平分线的定义）， ∵∠5＝∠　2　 +∠AED，∠　6　 ＝∠　1　 +∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又∵∠AED＝∠B（已知）， ∴∠5＝　∠6　 （等式性质）． （请自行完成后续的说理过程） 【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质．版权所有 【分析】根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG，根据三角形的外角的性质得到∠FPQ＝∠FQG得到FP＝FQ，根据等腰三角形的三线合一证明． 【解答】解：AG⊥FG． 将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q． 因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知） 所以∠1＝∠2，∠3＝∠4（角平分线定义） 又因为∠5＝∠2+∠AED，∠6＝∠1+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∠AED＝∠B（已知） 所以∠5＝∠6（等式性质） 所以FP＝FQ（等角对等边） 又因为∠PFG＝∠QFG 所以AG⊥FG（等腰三角形三线合一）． 故答案为：2；4；2；6；1；∠6． 24．（2025春•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，D、E为边BC上两点，AB＝AC，AD＝AE． 求证：BD＝CE． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】本题可通过全等三角形来证简单的线段相等．也可以利用等腰三角形的性质进行证明． 【解答】证明：作AF⊥BC，垂足为F， 因为AB＝AC，AF⊥BC， 所以BF＝CF 因为AD＝AE，AF⊥BC， 所以DF＝EF 所以BF﹣DF＝CF﹣EF， 即BD＝CE 25．（2025春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝40°，求∠CDE的度数． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD＝40°，∠ADC＝90°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ADE＝∠AED＝70°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∠ADC＝90°， ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED70°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝20°． 26．（2025春•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且，． （1）求证：CD＝BE． （2）求证：DF＝EF． 【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据等角对等边，得到AB＝AC，结合，，得到AD＝AE，通过△ACD≌△ABE（SAS），即可求解， （2）由△ACD≌△ABE，得到∠ACD＝∠ABE，∠CFE＝∠BFD，结合BD＝CE，得到△BDF≌△CEF（AAS），即可求解， 本题考查了，等角对等边，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：全等三角形的性质与判定． 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵，， ∴AD＝AE， 在△ACD和△ABE中， ， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴CD＝BE； （2）由（1）得△ACD≌△ABE， ∴∠ACD＝∠ABE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∵∠CFE＝∠BFD， ∴△BDF≌△CEF（AAS）， ∴DF＝EF． 27．（2025春•浦东新区校级月考）等腰△ABC中，AB＝AC，边AC上的中线BD把△ABC的周长分成15cm和6cm两部分． 求边AB、BC的长． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】设AB＝xcm，BC＝ycm，分两种情况，列出方程组，分别求出方程组的解，应用三角形三边关系定理来判断，即可求解． 【解答】解：设AB＝xcm，BC＝ycm， ∴AC＝AB＝xcm， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CDxcm， 当AB+AD＝15cm，BC+CD＝6cm时， ∴， ∴， ∴AB＝10cm，BC＝1cm， 10+1＞10，满足三角形三边关系定理； 当AB+AD＝6cm，BC+CD＝15cm时， ∴， ∴， ∴AB＝4cm，BC＝13cm， ∵4+4＜13，不满足三角形三边关系定理， ∴此种情况不成立． 综上所述：AB＝10cm，BC＝1cm． 28．（2024春•金山区校级期末）已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD． （1）试说明∠ABC＝2∠C； （2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AE＝AB，求证：AD平分∠BAC． 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．版权所有 【分析】（1）由等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC，由三角形外角的性质得到∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C，即可推出∠ABC＝2∠C． （2）由等腰三角形的性质推出∠E＝∠ABE，由平行线的性质推出∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE，得到∠CAD＝∠BAD，即可证明AD平分∠BAC． 【解答】（1）解：∵AB＝AD＝CD， ∴∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC， ∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C， ∴∠ABC＝2∠C． （2）证明：∵AE＝AB， ∴∠E＝∠ABE， ∵BE∥AD， ∴∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴AD平分∠BAC． 29．（2024春•黄浦区期末）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°． （1）求∠DAE的度数； （2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解； （2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解． 【解答】解（1）∵AB∥DE，∠E＝40°， ∴∠EAB＝∠E＝40°， ∵∠DAB＝70°， ∴∠DAE＝30°； （2）证明：在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC． 30．（2025春•浦东新区月考）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】设AB＝AC＝2xcm，BC＝ycm，根据题意可的AD＝CD＝xcm，然后分当AB+AD＝15cm、BC+CD＝6cm和AB+AD＝6cm、BC+CD＝15cm两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边关系即可获得答案． 【解答】解：设AB＝AC＝2xcm，BC＝ycm， ∵BD为一腰上的中线， ∴AD＝CD＝xcm， ∵中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分， ∴有两种情况： ①当AB+AD＝15cm，BC+CD＝6cm时，则有 ，解得， ∴三边长分别为10cm，10cm，1cm，且10+1＞10， ∴等腰三角形的腰长为10cm； ②当AB+AD＝6cm，BC+CD＝15cm时，则有 ，解得， 此时两腰之和4+4＝8＜13， 故这种情况不存在． 综上所述，这个等腰三角形的腰长为10cm． 31．（2025春•浦东新区期末）在△ABC中， （1）若∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A的度数； （2）若△ABC是等腰三角形，∠B＝30°，求∠A的度数． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）根据∠A+∠B+∠C＝180°，∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B得20°+∠B+∠B+2∠B＝180°，由此得∠B＝40°，进而即可得出∠A的度数； （2）分以下两种情况：（ⅰ）当∠A为该等腰三角形的底角时，又有以下两种情况：①当∠B＝30°是该等腰三角形的底角时，则∠A＝∠B＝30°；②当∠B＝30°是该等腰三角形的顶角时，则∠A＝∠C，根据∠A+∠C+∠B＝180°得∠A＝75°，（ⅱ）当∠A为顶角时，则∠B＝∠C＝30°是该等腰三角形的底角，进而得∠A＝120°，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， ∵∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B， ∴∠A＝20°+∠B， ∴20°+∠B+∠B+2∠B＝180°， ∴∠B＝40°， ∴∠A＝20°+∠B＝60°； （2）∵△ABC是等腰三角形，∠B＝30°， ∴有以下两种情况： （ⅰ）当∠A为该等腰三角形的底角时，又有以下两种情况： ①当∠B＝30°是该等腰三角形的底角时，则∠A＝∠B＝30°； ②当∠B＝30°是该等腰三角形的顶角时，则∠A＝∠C， ∴∠A+∠C+∠B＝180°， ∴2∠A+30°＝180°， ∴∠A＝75°， （ⅱ）当∠A为顶角时，则∠B＝∠C＝30°是该等腰三角形的底角， ∵∠A+∠C+∠B＝180°， ∴∠A+30°+30°＝180°， ∴∠A＝120°， 综上所述：∠A的度数是30°或75°或120°． 32．（2025秋•浦东新区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．若△ABC等腰三角形，AB＝3cm，另外两条边是方程的根，求△ABC的周长． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】求出关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0的解是x1＝m﹣1，x2＝m+1，当m﹣1＝3时，得到m＝4，求出m+1＝5，得到此时△ABC的周长＝11；当m+1＝3时，得到m＝2，求出m﹣1＝1，得到此时△ABC的周长＝7，于是得到答案． 【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0的解是x1＝m﹣1，x2＝m+1， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴等腰三角形的腰长是3cm， 当m﹣1＝3时，m＝4， ∴m+1＝5， 3+3＞5，满足三角形三边关系定理， ∴此时△ABC的周长＝3+3+5＝11； 当m+1＝3时，m＝2， ∴m﹣1＝1， 3+1＞3，满足三角形三边关系定理， ∴此时△ABC的周长＝3+3+1＝7， ∴△ABC的周长是7或11． 四．创新型题型及压轴题（共4小题） 33．（2025春•徐汇区校级月考）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 第 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”. 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”. 任务图 任务1 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　是　 等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线． 任务3 在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请求出∠ACB的度数． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】任务1：根据题意和三角形内角和定理即可求得“等角三角形”； 任务2：根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据CD为角平分线和“等角三角形”的定义即可证明； 任务3：当DA＝DC，∠ACD＝42°，求得∠ACB；当DA＝AC，有∠ACD＝∠ADC，得∠BCD＝42°，即可求得∠ACB；当AC＝DC，∠ADC＝42°，则∠BDC＝138°＝∠ACB，不符合题意舍去即可． 【解答】任务1： 解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠ADC＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∴∠A＝∠BCD， ∴△ACD与△CBD是“等角三角形”； 故答案为：是； 任务2： 证明：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A， ∴CD＝DA， ∴△ADC是等腰三角形； ∵∠DCB＝∠A，∠B＝60°， ∴∠BDC＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴△BCD和△BAC是“等角三角形”， ∴CD为△ABC的等角分割线； 任务3： 解：分三种情况： ①当DA＝DC时，如图3，∠ACD＝∠A＝42°， ∵CD是△ABC的等角分割线， ∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°； ②当DA＝AC时，如图4，∠ACD＝∠ADC＝69°， ∵CD是△ABC的等角分割线， ∴∠BCD＝∠A＝42°， 则∠ACB＝69°+42°＝111°； ③当AC＝DC时，∠ADC＝∠A＝42°，则∠BDC＝180°﹣42°＝138°＝∠ACB， 那么∠B＝180°﹣42°﹣138°＝0°（舍去）， 故∠ACB的度数为84°或111°． 34．（2025春•徐汇区校级月考）在△ABC中，AB＝AC． （1）AD是BC上的高，AD＝AE． ①如图1，如果∠BAD＝20°，则∠EDC＝　10　 °； ②如图2，如果∠BAD＝50°，则∠EDC＝　25　 °． （2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　∠EDC∠BAD ． （3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）①等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝20°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝80°，所以∠EDC＝10°． ②同理，易证∠ADE＝65°，所以∠EDC＝25°． （2）通过①②题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC∠BAD）． （3）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC． 【解答】解：（1）①在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝20°， ∴∠BAD＝∠CAD＝20°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝80°， ∵AD是BC上的高， ∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝10°． 故答案为：10； ②∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝50°， ∴∠BAD＝∠CAD＝50°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝65°， ∴∠EDC＝25°． 故答案为：25； （2）∠EDC∠BAD． 故答案为：∠EDC∠BAD； （3）仍成立，理由如下： ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC ＝2∠EDC+∠C， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠BAD＝2∠EDC，即∠EDC∠BAD． 35．（2024春•奉贤区期末）已知在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，点C是平面内一点，联结AC、BC、OC，OA＝OC． （1）如图1，点O在△ABC的内部． ①当∠ACO＝20°，求∠OBC的度数； ②当CO平分∠ACB，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接写出答案）． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）①根据OA＝OC，∠ACO＝20°得∠CAO＝∠ACO＝20°，则∠AOC＝140°，进而得∠BOC＝100°，再根据OA＝OB，OA＝OC得OB＝OC，进而得∠OBC＝∠OCB＝40°，然后根据OA＝OB，∠AOB＝120°得∠OBA＝∠OAB＝30°，由此可得∠ABC的度数； ②根据CO平分∠ACB，设∠OCA＝∠OCB＝α，则∠ACB＝2α，根据OA＝OC得∠OAC＝∠OCA＝α，根据OB＝OC得∠OBC＝∠OCB＝α，则∠CAB＝30°+α，∠CBA＝30°+α，再根据三角形内角和定理得2α+30°+α+30°+α＝180°，则α＝30°，进而得∠ACB＝2α＝60°，∠CAB＝30°+α＝60°，∠CBA＝30°+α＝60°，由此可判定△ABC的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线BC与线段AO交于点D时，设∠OCB＝β，则∠DOC＝∠OCB＝β，∠COB＝β+120°，再根据OB＝OC得∠OBC＝∠OCB＝β，再根据三角形内角和定理得β+β+120°+β＝180°，则β＝20°，②当直线BC与AO的延长线交于点D时，设∠OCB＝θ，则∠DOC＝∠OCB＝θ，再求出∠BOD＝60°，得∠COB＝θ+60°，根据OB＝OC得∠OBC＝∠OCB＝θ，再根据三角形内角和定理得θ+θ+θ+60°＝180°，则θ＝40°，综上所述即可得出∠OCB的度数． 【解答】解：（1）①在△OAC中，OA＝OC，∠ACO＝20°， ∴∠CAO＝∠ACO＝20°， ∴∠AOC＝180°﹣（∠CAO+∠ACO）＝140°， 又∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝360°﹣（∠AOC+∠AOB）＝100°， ∵OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， 在△BOC中，OB＝OC，∠BOC＝100°， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣∠BOC）＝40°； ②△ABC为等边三角形，理由如下： 如图1所示： ∵CO平分∠ACB， ∴设∠OCA＝∠OCB＝α，则∠ACB＝2α， 在△OAC中，OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝α， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝α， 在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OBA＝∠OAB（180°﹣∠AOB）＝30°， ∴∠CAB＝∠OAB+∠OAC＝30°+α，∠CBA＝∠OBA+∠OBC＝30°+α， 在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°， ∴2α+30°+α+30°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠ACB＝2α＝60°，∠CAB＝30°+α＝60°，∠CBA＝30°+α＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）∠OCB的度数为20°或40°，理由如下： ∵直线BC与直线AO相交于点D，且△COD是以DO为腰的等腰三角形， ∴有以下三种情况： ①当直线BC与线段AO交于点D时，如图2①所示： 设∠OCB＝β， ∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB＝β， ∵∠AOB＝120°， ∴∠COB＝∠DOC+∠AOB＝β+120°， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝β， ∵∠OCB+∠COB+∠OBC＝180°， ∴β+β+120°+β＝180°， ∴β＝20°， 即∠OCB＝β＝20°， ②当直线BC与AO的延长线交于点D时，如图2②所示： 设∠OCB＝θ， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°， ∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB＝θ， ∴∠COB＝∠DOC+∠BOD＝θ+60°， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝θ， ∵∠OBC+∠OCB+∠COB＝180°， ∴θ+θ+θ+60°＝180°， ∴θ＝40°， ∴∠OCB＝θ＝40°， ③当直线AO与直线CB的延长线相交于点D时，如图3所示： 设∠BOC＝γ， ∵OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴∠AOC＝∠OCB， 在△AOC中，∠AOC+∠C+∠BOC＝180°， ∴2∠C+γ＝180°， ∴∠OCB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠DOB＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴∠DOC＝∠DOB+∠BOC＝60°+γ， ∵DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB， ∴， 解得：γ＝20°， ∴∠OCB80°， 综上所述：∠OCB的度数为20°或40°或80°． 36．（2021春•杨浦区期末）已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED． （1）如图1，试说明AC＝CE的理由； （2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由； （3）当AH∥EI时，求∠B的度数． 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．版权所有 【分析】（1）由∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，∠B＝∠ACE，可得∠A＝∠ECD．再结合已知用ASA可证明△ABC≌△CDE，从而AC＝CE； （2）连接GC并延长至点K．因为AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，由三角形外角关系可得∠ACK＝a+∠AGC，∠ECK＝b+∠EGC，所以∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝α＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+β，即a+b＝α﹣β．又由（1）中结论可知∠ECD＝∠BAC＝2a，根据三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，即2a+2b+α＝180°，可得3α﹣2β＝180°； （3）当AH∥EI时，过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI．易证∠ACE＝∠ACM+∠ECM，即α＝a+b．在△CED中，根据三角形内角和定理有2a+2b+α＝180°，解得α＝60°，故∠B＝60°． 【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B， 又∠B＝∠ACE， ∴∠A＝∠ECD． 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）． ∴AC＝CE． （2）解：3α﹣2β＝180°．理由如下： 如图1所示，连接GC并延长至点K． ∵AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC， 则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b， ∵∠ACK为△ACG的外角， ∴∠ACK＝a+∠AGC， 同理可得∠ECK＝b+∠EGC， ∴∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝∠B＝α ＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+∠AGE＝a+b+β， 即α＝a+b+β， ∴a+b＝α﹣β． 又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a， 由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°， 即2a+2b+α＝180°， ∴2（a+b）+α＝180°， ∴3α﹣2β＝180°． （3）当AH∥EI时，如图2所示， 过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI． ∴∠CAH＝∠ACM＝a，∠CEI＝∠ECM＝b， ∴∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝a+b＝α，即α＝a+b． 由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α． 在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°， 即2a+2b+α＝180°， 即2（a+b）＝180°﹣α， 即3α＝180°，解得：α＝60°． 故∠B＝60°． 1．（2025春•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一个外角的大小为100°，则这个三角形的底角的大小为　50°或80°　 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质．版权所有 【分析】根据已知易得：与它相邻的内角为80°，然后分两种情况：当等腰三角形的顶角为80°时；当等腰三角形的底角为80°时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：∵等腰△ABC的一个外角的大小为100°， ∴与它相邻的内角＝180°﹣100°＝80°， 分两种情况： 当等腰三角形的顶角为80°时， ∴这个三角形的底角50°； 当等腰三角形的底角为80°时， ∴这个三角形的顶角＝180°﹣80°﹣80°＝20°； 综上所述：这个三角形的底角为50°或80°， 故答案为：50°或80°． 2．（2025秋•浦东新区期中）已知：在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝2，则BC＝　4　 ，AD与BC的位置关系是　垂直平分　 ． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质解答即可． 【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD是底边BC的中线和高， 即BC＝2BD，且AD⊥BC，即AD与BC的位置关系是垂直． ∵BD＝2， ∴BC＝2BD＝2×2＝4，则BC的长为4． 故答案为：4，垂直平分． 3．（2025春•杨浦区期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，如果D是边BC的中点，那么∠CAD＝　40　 度． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】首先利用等腰三角形的底角的度数求得另一个底角的度数，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得答案即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°， ∴∠C＝∠B＝50°， ∵D是边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠CAD＝40°， 故答案为：40． 4．（2025春•黄浦区期末）已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于 　17　 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去． 【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去； 当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17． 故答案为：17． 5．（2025秋•浦东新区期中）如图是一个正方形，甲和乙分别是等腰三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲的面积是乙的面积　　 .（填最简分数） 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】通过设定等腰三角形的面积或边长，分别推导甲、乙两个内接正方形的面积与原三角形的关系，进而求出甲、乙的面积比． 【解答】解：将图形分割如图， 由图可知，等腰直角三角形1、2的面积都是小正方形乙的，等腰直角三角形5的面积是小正方形乙的， 设小正方形乙的面积为1， 则，即大三角形的面积为， ∴小正方形乙的面积占大三角形面积的； 又∵等腰直角三角形3、4的面积都是小正方形甲的， ∴小正方形甲的面积占大三角形面积的， 则图中甲的面积是乙的面积的． 故答案为：． 6．（2025•浦东新区校级模拟）如图，直线EF分别交直线AB、CD于点P和点Q，点R在直线CD上，且RQ＝PQ，如果AB∥CD，∠APQ＝40°，那么∠BPR＝　70　 度． 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠QRP＝∠QPR，由平行线的性质得到∠BPR＝∠QRP，进而得到∠BPR＝∠QPR，再根据∠APQ＝40°，由邻补角的定义即可求解． 【解答】解：∵RQ＝PQ， ∴∠QRP＝∠QPR（等边对等角）， ∵AB∥CD， ∴∠BPR＝∠QRP（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BPR＝∠QPR（等量代换）， ∵∠APQ＝40°， ∴∠BPQ＝180°﹣∠APQ＝180°﹣40°＝140°， ∴， 故答案为：70． 1．（2025春•宝山区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为（　　） A．34° B．64° C．29° D．32° 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB＝AD，∠B＝64°， ∴∠ADB＝∠B＝64°， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵∠C+∠DAC＝∠ADB， ∴∠C∠ADB＝32°．故选：D． 2．（2025春•浦东新区期末）已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．0＜a＜8 C．0＜a＜16 D．a＜16 【考点】等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．版权所有 【分析】根据已知易得：腰长为，然后根据三角形的三边关系可得，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵等腰三角形的周长为16，其底边长为a， ∴腰长为， 由题意得：， 解得：0＜a＜8， 故选：B． 3．（2024春•普陀区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是△ABC的中线，如果∠B＝70°，那么以下结论中，错误的是（　　） A．∠CAD＝20° B．AD⊥BC C．△ABD的面积是△ABC面积的一半 D．△ABD的周长是△ABC周长的一半 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】由三角形内角和定理求出∠BAC＝180°＝70°﹣70°＝40°，由等腰三角形三线合一的性质得到∠CAD∠BAC＝20°，AD⊥BC，由三角形面积公式得到△ABD的面积是△ABC面积的一半，△ABC周长的一半＝AB+BD，△ABD的周长＝AB+BD+AD，得到△ABD的周长不是△ABC周长的一半， 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°＝70°﹣70°＝40°， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD平分∠BAC， ∴∠CAD∠BAC＝20°， 故A不符合题意； ∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， 故B不符合题意； ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的面积是△ABC面积的一半， 故C不符合题意； ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AB+BD＝AC+CD＝△ABC周长的一半， ∵△ABD的周长＝AB+BD+AD， ∴△ABD的周长不是△ABC周长的一半， 故D符合题意． 故选：D． 4．（2025春•崇明区期末）在等腰△ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分别割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝　90°或108°　 ． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论． 【解答】解：①当BD＝CD，CD＝AD时，如图①所示， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 设∠B＝∠C＝x， ∵BD＝CD，CD＝AD， ∴∠BAD＝∠B＝x，∠CAD＝∠C＝x， ∴4x＝180°， ∴x＝45°， ∴∠BAC＝2x＝45°×2＝90°； ②当AD＝BD，AC＝CD时，如图②所示， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C 设∠B＝∠C＝x， ∵AD＝BD，AC＝CD， ∴∠BAD＝∠B＝x，∠CAD， ∴180°﹣2x， 解得：x＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣2x＝180°﹣2×36°＝108°， 故答案为：90°或108°． 5．（2025春•嘉定区校级月考）若一个等腰三角形可以被一条直线分成两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“完美三角形”，则完美三角形的顶角度数为　36°或或108°或90°　 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】分两种情况画出图形，①当BC＝BD＝AD，AB＝AC时，设∠A＝α，得∠C＝∠CDB＝2α．∠ABC＝∠C＝2α．由∠A+∠ABC+∠C＝180°，则α+2α+2α＝180°，即可得到α＝36°；②当AD＝BD，BC＝DC，AB＝AC时，设∠A＝α．得∠ABC＝∠C＝3α．则∠A+∠ABC+∠C＝180°，则α+3α+3α＝180°，得． ③当AD＝BD，AC＝DC，AB＝AC时．得到∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝3∠B．由∠B＝∠C得到∠B+3∠B+∠B＝180°，则∠B＝36°，即可得到∠BAC＝3∠B＝108°． 【解答】解：分三种情况讨论： ①如图（1）， 当BC＝BD＝AD，AB＝AC时，设∠A＝α． 由条件可知∠ABD＝∠A＝α， ∴∠CDB＝∠ABD+∠A＝2α． ∵BC＝BD， ∴∠C＝∠CDB＝2α． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2α． ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， 解得α＝36°． ②如图（2）， 当AD＝BD，BC＝DC，AB＝AC时，设∠A＝α． 由条件可知∠A＝∠ABD＝α． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2α． ∵BC＝DC， ∴∠CBD＝∠BDC＝2α， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝3α． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3α． ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+3α+3α＝180°， 解得． ③如图（3）， 当AD＝BD，AC＝DC，AB＝AC时． 由条件可知∠B＝∠BAD． ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B． ∵AC＝DC， ∴∠ADC＝∠CAD＝2∠B， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝3∠B． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴∠B+3∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝36°， ∴∠BAC＝3∠B＝108°， 当三角形为等腰直角三角形时，斜边上的中线也可将三角形分成两个等腰三角形，故顶角是90°， 则完美三角形的顶角度数为36°或或108°或90°． 故答案为：36°或或108°或90°． 6．（2025春•宝山区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AE＝DE，∠BAE＝30°，∠CED＝45°，则∠DAE＝ 　80°　 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】设∠DAE＝x°，根据等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠ADE＝x°，从而可得∠EDC＝180°﹣x°，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B＝∠C，最后根据三角形内角和定理列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：设∠DAE＝x°， ∵AE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE＝x°， ∴∠EDC＝180°﹣∠ADE＝180°﹣x°， ∵AB＝AC，∠BAC＝∠BAE+∠DAE＝x°+30°， ∴∠B＝∠C， ∵∠EDC+∠DEC+∠C＝180°， ∴180﹣x+45180， 解得：x＝80， ∴∠DAE＝80°， 故答案为：80°． 7．（2025•浦东新区校级模拟）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在腰AC上，如果BD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC的度数为　36°或（）°　 ． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】分为两种情况： 当AD＝BD，BD＝BC时，根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，推出∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，求出∠C＝∠ABC＝2∠A，根据三角形内角和定理求出即可； 当AD＝BD，BC＝DC时，设∠A＝x°，则∠ABD＝∠A＝x°，∠DBC＝∠BDC＝x°+x°＝2x°，∠C＝∠ABC＝3x°，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解：当AD＝BD，BD＝BC时， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵△ABD和△BCD是等腰三角形， ∴AD＝BD，BD＝BC， ∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A， 即∠C＝∠ABC＝∠BDC＝2∠A， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A+2∠A+2∠A＝180°， ∴∠BAC＝36°； 当AD＝BD，BC＝DC时， 设∠A＝x°，则∠ABD＝∠A＝x°，∠DBC＝∠BDC＝x°+x°＝2x°，∠C＝∠ABC＝3x°， 在△BDC中，2x+2x+3x＝180， x， 则∠BAC＝（）°， 故答案为：36°或（）°． 8．（2025春•普陀区期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是30度，那么这个等腰三角形的顶角等于 　60或120　 度． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，即可求解． 【解答】解：当等腰三角形的高在三角形的内部时， 如图：AB＝AC，BD是△ABC的高，∠ABD＝30°， ∵BD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣30°＝60°； 当等腰三角形的高在三角形的外部时， 如图：AB＝AC，BH是△ABC的高，∠ABH＝30°， ∵BH是△ABC的高， ∴∠AHB＝90°， ∴∠BAC＝∠ABH+∠AHB＝30°+90°＝120°， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于60°或120°． 故答案为：60或120． 9．（2025春•浦东新区校级期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为 　15　 ． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝6， ∵底边BC的长为12， ∵6+6＝12， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝6， ∴底边BC的长为3， ∴△ABC的周长为：6+6+3＝15， 综上所述：△ABC的周长为15， 故答案为：15． 10．（2025春•闵行区校级月考）如图，AD、CE分别是△ABC的中线和高，若AB＝AC，∠ACE＝32°，则∠BAD的度数为 　29°　 ． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据CE是△ABC的高求出CE⊥AB，根据直角三角形的性质求出∠BAC＝58°，再根据“等腰三角形底边上的中线、顶角平分线重合”求解即可． 【解答】解：∵CE是△ABC的高， ∴CE⊥AB， ∴∠BAC+∠ACE＝90°， ∵∠ACE＝32°， ∴∠BAC＝58°， ∵AD是△ABC的中线，AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC， ∴∠BAD＝29°， 故答案为：29°． 11．（2025春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，∠A＝2∠DEF，则∠ABE+∠CBD＝ 　45°　 ． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，设∠ABE＝∠DBE＝α，则∠ABD＝2α，设∠DEF＝β，则∠BAC＝2∠DEF＝2β，根据等腰三角形性质得∠CAH＝∠BAH＝β，∠ABC＝∠C，进而得∠DEF＝∠CAH＝β，则EG∥AH，从而得EG⊥BC，则∠C＝90°﹣β，∠CBD＝β，继而得∠ABC＝2α+β，再根据∠ABC＝∠C得2α+β＝90°﹣β，由此得α+β＝45°，据此可得∠ABE+∠CBD的度数． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示： ∵BE平分∠ABD， ∴设∠ABE＝∠DBE＝α，则∠ABD＝2α， 设∠DEF＝β， ∴∠BAC＝2∠DEF＝2β， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴∠CAH＝∠BAH∠BAC＝β，∠ABC＝∠C， ∴∠DEF＝∠CAH＝β， ∴EG∥AH， ∴EG⊥BC， ∴△EGC是直角三角形， ∴∠C＝90°﹣∠DEF＝90°﹣β， ∵BD为AC边上的高， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠CBD＝90°﹣∠C＝90°﹣（90°﹣β）＝β， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝2α+β， ∵∠ABC＝∠C， ∴2α+β＝90°﹣β， ∴α+β＝45°， ∴∠ABE+∠CBD＝α+β＝45°， 故答案为：45°． 12．（2025春•上海校级期末）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且BE＝ED． （1）求证：ED∥BC； （2）当∠A＝70°，∠ADE＝30°时，求∠EDB的度数． 【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定与性质．版权所有 【分析】（1）由BD是∠ABC的平分线可知∠DBC＝∠EBD，由BE＝ED得∠EDB＝∠EBD，等量代换可得到一组内错角相等，则结论可证； （2）由三角形内角和定理可推出∠AED＝80°，由平行的性质可知∠ABC＝∠AED＝80°，再利用角平分线和平行线的性质，可得∠DBC＝∠EDB＝40°． 【解答】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠DBC＝∠EBD， ∵BE＝ED， ∴∠EDB＝∠EBD（等边对等角）， ∴∠EDB＝∠CBD（等量代换）， ∴ED∥BC（内错角相等，两直线平行）； （2）解：∵∠A＝70°，∠ADE＝30°， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵ED∥BC， ∴∠ABC＝∠AED＝80°且∠DBC＝∠EDB， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴， ∴∠EDB＝∠DBC＝40°． 13．（2024春•宝山区期末）如图，已知：点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．请说明BD＝CE的理由． 【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据三角形外角的性质可推出∠BAD＝∠CAE，根据SAS可判定△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质即可证得结论． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE． 14．（2024秋•宝山区期末）已知：如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的中线，DE和DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为点E、F． 求证：AE＝AF． 【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】首先等腰三角形的性质得AD平分∠BAC，由角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，可证Rt△AFD≌Rt△AED（HL），即可得出AE＝AF． 【解答】证明：∵△ABC是等腰三角形，AD是底边上的中线， ∴AD平分∠BAC， ∵DF⊥AC、DE⊥AB， ∴DF＝DE，∠AED＝∠AFD＝90°， 在Rt△AFD和Rt△AED中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AF． 15．（2024秋•奉贤区校级期中）已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点． （1）求证：∠AFB＝90°； （2）求证：△ADC≌△AEC； （3）连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明． 【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）由BA＝BC，F是AC的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得BF⊥AC，即可证得∠AFB＝90°； （2）易证DC∥AB，又由BA＝BC，根据等边对等角，证得∠ECA＝∠CAB，即可根据AAS证得△ADC≌△AEC； （3）首先设DE交AC于点H，由△ADC≌△AEC，即可得AD＝AE，∠DAH＝∠EAH，根据等腰三角形的三线合一，则可证得BH⊥DE，则可得∠AFB＝∠AHE，又由同位角相等，两直线平行，证得DE∥BF． 【解答】（1）证明：∵BA＝BC，F是AC的中点（已知）， ∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）．（1分） ∴∠AFB＝90°（垂直的定义）．（1分） （2）证明：∵AE⊥BC（已知）， ∴∠AEC＝90°（垂直的定义）． ∵∠ADC＝90°（已知）， ∴∠ADC＝∠AEC（等量代换）．（1分） ∵DC∥AB（已知）， ∴∠DCA＝∠CAB（两直线平行，内错角相等）． ∵BA＝BC（已知）， ∴∠ECA＝∠CAB（等边对等角）． ∴∠DCA＝∠ECA（等量代换）．（1分） 在△ADC和△AEC中， ∴△ADC≌△AEC（AAS）．（1分） （3）DE与BF平行．（1分） 证明：设DE交AC于点H， ∵△ADC≌△AEC（已证）， ∴AD＝AE，∠DAH＝∠EAH（全等三角形对应边相等、对应角相等）．（1分） ∴AH⊥DE（等腰三角形的三线合一）．（1分） ∴∠AHE＝90°（垂直的定义） ∵∠AFB＝90°（已证）， ∴∠AFB＝∠AHE（等量代换）．（1分） ∴DE∥BF（同位角相等，两直线平行）． 16．（2024春•浦东新区期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD． （1）若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数； （2）若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数； （3）设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可； （2），（3）同（1）． 【解答】解：（1）∵BE＝BA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴∠B＝180°﹣2∠BAE，① ∵CD＝CA， ∴∠CAD＝∠CDA， ∴∠C＝180°﹣2∠CAD，② ①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD） ∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]， ∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAD+∠DAE+∠CAD）， ∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE）， ∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC． ∵∠BAC＝90°， ∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DAE＝45°； （2）由（1）知，∠DAE（180°﹣∠BAC）（180°﹣120°）＝30°； （3）由（1）知，β（180°﹣α）， ∴α+2β＝180°． 17．（2024春•杨浦区期末）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，D是边AB上一点（不与点A、B重合），E是线段CD延长线上一点，∠BEC＝∠BAC． （1）说明∠EBA＝∠DCA的理由； （2）小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重合），∠AEC与∠ABC是否会相等？，小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，联结AH，然后通过学过的知识就能得到∠AEC与∠ABC相等．你能否根据小丽同学的想法，说明∠AEC＝∠ABC的理由． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】（1）由三角形的内角和定理得∠BEC+∠BDE+∠EBA＝180°，∠BAC+∠ADC+∠DCA＝180°，则∠BEC+∠BDE+∠EBA＝∠BAC+∠ADC+∠DCA，再根据∠BEC＝∠BAC，∠BDE＝∠ADC即可得出结论； （2）在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，连接AH，根据AB＝AC及三角形内角和定理得∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC），再依据“SAS”判定△ABE和△ACH全等得AE＝AH，∠BAE＝∠CAH，进而得∠EAH＝∠BAC，然后根据AE＝AH及三角形内角和定理得∠AEC＝∠AHD（180°﹣∠EAH）（180°﹣∠BAC），由此即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BEC+∠BDE+∠EBA＝180°，∠BAC+∠ADC+∠DCA＝180°， ∴∠BEC+∠BDE+∠EBA＝∠BAC+∠ADC+∠DCA， 又∵∠BEC＝∠BAC，∠BDE＝∠ADC， ∴∠EBA＝∠DCA； （2）解：在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，连接AH，如图所示： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）， 由（1）可知：∠EBA＝∠DCA， 在△ABE和△ACH中， ， ∴△ABE≌△ACH（SAS）， ∴AE＝AH，∠BAE＝∠CAH， ∴∠BAE+∠DAH＝∠CAH+∠DAH， 即∠EAH＝∠BAC， ∵AE＝AH， ∴∠AEC＝∠AHD（180°﹣∠EAH）（180°﹣∠BAC）， ∴∠AEC＝∠ABC． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $