专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等）（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义围绕全等三角形角平分线模型，通过分类提炼“垂两边、垂中间、构造轴对称”三大核心模型，以知识框架图呈现每个模型的条件、结论及证明过程，清晰梳理辅助线作法等重难点，构建系统的知识脉络。 讲义亮点在于真题驱动的分层练习设计，如结合山东青岛期末“人工湖距离计算”等实际问题，引导学生用几何直观分析模型，培养推理意识。例题涵盖选择、填空、解答题，基础题巩固方法，综合题提升创新意识，助力教师实施精准教学，学生自主复习高效。

专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，则， ∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴米，，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米．故答案为：50． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 【答案】(1)(2)见解析；(3)平方米． 【详解】（1）解：平分，，， 又，，故答案为：； （2）解：如图，延长交于点， 平分，，，， 又，，，，， ，，； （3）解：①如图，延长交于点， 同理可证，，，米， 和是等高三角形，米，， 面积为20平方米，平方米，平方米， 答：划出的的面积为平方米． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，BD是的平分线，于，则__________cm． 【答案】5 【分析】过点作于，设为，根据角平分线的性质得到 ，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：过点作于， 设为， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ， 解得， ∴． 例2（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【答案】12 【分析】利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵， ． 又∵， ． 例3（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 例4（25-26八年级上·江西赣州·期末）我们通过学习知道角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：是的平分线，于点于点．求证：． (2)如图2，于点，于点，为平分线上的一点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质． （1）根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出，由全等三角形的性质可得结论． （2）根据角平分线的性质可得，进而证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵于点于点 ∴ ∵是的平分线， ∴ 又∵ ∴， ∴； （2）证明：∵于点，于点，为平分线上的一点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 例5（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边形中，，平分，过点作交延长线于点，有些线段有特殊的数量关系，请给出下列结论的证明过程． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理． （1）过点作 于点，先证明，再证明，即可得到； （2）由得到，然后根据线段和差以及等量代换证明即可． 【详解】（1）证明：过点作 于点， ， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ∴； （2）解：由（1）得，， ， 即 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图所示，垂直于的平分线于点，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形中线的性质，延长交于点，由为的角平分线，则，又，所以，然后证明，所以，可得，，从而有，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：． 例2（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则________． 【答案】61 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：61． 例3（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则______， （2）若，，则______． 【答案】 12 【分析】（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答． （2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， ∴， 依题意，延长交于 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 例4（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 例5（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，若平分，则的面积为__________．    【答案】 【分析】如图，过作于，利用角平分线的性质证明，进一步利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：如图，过作于，    ∵，平分， ∴， ∵， ∴的面积为. 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，，，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 例2（24-25四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析 【详解】证明：（1）在上取一点，使得，连接 ∵ ∴∴， ∵∴∴ ∵∴ 即与互补． （2）由（1） ∵ ∴ 又∵ ∴即 ∴∴∵∴． 例3（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴． （3）解：，证明如下：如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：，∴， ∵对角线平分，，∴， ∴是等边三角形，∴，又∵，，∴． 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 【答案】（1）（2）详见解析（3） 【详解】（1）证明：射线平分，， 又，，，，故答案为：； （2）证明：在上截取，连接，如图2所示： 平分，，又，， ，，，，，， 又，，，，， ，； （3）解：在上取点，使，连接，在上取点，使，连接，如图3所示： 是边的中点，，， 平分，，又，， ，，．同理可证：， ，，，，， ，，， ，是等边三角形，，． 1．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，分别平分，，于点，．若的周长为，则的面积为_____． 【答案】28 【分析】利用角平分线的性质，过点分别作、的垂线，得到点到三边的距离相等；再将的面积拆分为、、的面积之和，结合三角形周长计算总面积． 【详解】解：过点作于点，于点，连接． 平分，，， ． 平分，，， ． ， ． ， ． 的周长为，即， ． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，是边的中点，于点于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质以及角平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由，是的中点，证出是的平分线，根据角的平分线的性质证出，结合已知即可求得的长． 【详解】连接， ，是的中点， 是的平分线， 于，于， ． ， 解得 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为____． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接，过点O作于点E，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F，如图所示： 由，分别平分，，于点，， 故， 故， ， 解得， 故答案为：． 5．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形高的计算，根据角平分线的性质得到，根据面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的高线，， ∴， 故答案为： ． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，已知是的角平分线，，，，则的周长为________． 【答案】15 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形面积的计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据和面积的两种计算方法可得出，即可求出，再计算周长即可． 【详解】解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， 过点作于点， 是的角平分线， ， ， ， 即：， ， 的周长为：； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，为内一点，平分，若，则的长为__________． 【答案】9 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：9． 8．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为__________ 【答案】16 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的性质及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于点． 因为是的角平分线， 所以． 已知， 则． 因为， 且 所以． 又已知， 则． 故答案为：16． 9．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，的两个外角的平分线，交于点于点．若，则的周长是______． 【答案】13 【分析】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用角平分线性质得到点P到各边的距离相等，再结合面积公式求出边长，进而计算周长． 【详解】解：过点作于，于， ∵、是的外角平分线，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 由，即， 解得． 由得 代入，得 化简得． ∴的周长为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键．延长交于点，根据等腰三角形的判定和性质易得，然后可求出，进而得到． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为 _____． 【答案】8 【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质可得，又根据角平分线的性质可得，结合求解即可． 本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：过点P作于点E， 则， 平分，，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 12．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知的面积为8，平分，且于，则的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形角平分线的性质、三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．延长交于点，可求得，则可得， 则，，可得出，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，且于， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接．，，，则斜边上的高是______，的面积是______． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质等知识，过点作于，延长交于F，先根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，则，进而，再根据得，据此即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，延长交于F，如图： 在中，，，，， ， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 14．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是_________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，结合角平分线的性质求解是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，证明，得到，，即可得解； 【详解】延长线段交于， 平分， ， ， 在与中， ， ， ，， 又是的边的中点， ， ． 故答案是：． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，过作于点，根据角平分线性质可得，然后利用三角形面积公式即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，在中，为边上的中线，于点，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，掌握三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键． 过作于，根据角平分线的性质求得，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键． 【详解】解：如图，过作于， 平分，，， ， 为的边上的中线， 为的边上在中线， ， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，的两条外角平分线相交于点交的延长线于点．若的周长为的面积为3，则的面积为___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查角平分线的性质，连接，先过点作于，由于和的外角平分线交于，根据角平分线的性质可得，根据，可得，解得，再根据的周长为，可得，继而根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 过点作于，作交延长线于， 因为和的外角平分线、交于， 所以， 因为， 所以， 解得， 因为的周长为， 所以， 所以 ； 故答案为：． 18．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为___________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，等高三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键． 过点作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案． 【详解】解：过点作于点D，于点E，于点F，如图， ∵和的角平分线交于点P， ∴，， ∴，设， ∵， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）在如图所示的中，平分交于点D． (1)若，，求的度数； (2)过点D作于点E，若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． （1）根据三角形内角和定理得出，进而利用角平分线的定义得出即可； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的角平分线交于D， ∴， ∴； （2）解：过点D作于点F， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴的面积的面积的面积． 20．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知点是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点作，垂足为． (1)如图①，当点在线段上时，猜想：__________；（数量关系） (2)如图②，当点在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； (3)如图③，在上题的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作于，利用角平分线性质得，结合推出，证明，从而得； （2）过点作于，先证得，再证得，通过线段和差推导； （3）在上截取，连接，先证，再结合角平分线性质得平分，计算角度得，证)，从而得． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴，． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及线段的和差转化，属于几何综合题，重点考查辅助线的构造与全等模型的应用． （1）角平分线的是构造全等的基础，通过作垂线或截取线段，能快速得到全等所需的边、角条件． （2）多次全等的递进推导，是实现线段转化和角度计算的关键，尤其在第（2）（3）问中，需要通过多步全等完成复杂的数量关系推导． 21．（25-26八年级上·贵州·期末）如图，点D是内一点，，垂足分别为E，F，点M，N分别在的两边上，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理： （1）根据证明即可； （2）根据角平分线的性质定理即可证明． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴是的角平分线， 又∵， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 22．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点． (1)如图，求证：点到三边，，所在直线的距离相等； (2)如图，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． () 作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； ()先借助()的结论得出平分，得，再利用分别平分的外角，结合内角和求出的度数，进而算出外角和；最后通过三角形外角性质推导的度数，再根据角平分线求出的度数． 【详解】（1）证明：过点分别作，，，垂足分别为，，． ∵是的外角的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2）解：由得， ∴． ∵是的外角的平分线，是的外角的平分线， ∴，． 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过E点作，，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）根据和三角形的面积公式列方程求得，即可求的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：过E点分别作于M，于N， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分； （3）解： ，， 即， 解得， ， 24．（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）如图1，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，若，是的边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，从而可得； （2）先证明平分，再根据角平分线的性质求出，然后根据，得出，从而可根据三线合一得出平分，进而可说明，从而可得，均为等腰直角三角形，于是有，从而可求得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 在与中， ∴ ∴． （2）过点作，垂足为． 由（1）知，， ∵， ∴， ∴平分． ∵，，， ∴． 由（1）知，， ∴， ∵， ∴平分，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和（）综合（或者），角平分线的性质定理，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 25．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． (1)若，求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）角平分线的性质，得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分，， ∴， ∴； （2）解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，、分别是的平分线、相交于点． (1)如图，若是直角， 求证：； 过点作于，于．请写出与之间的数量关系，并证明． (2)如图，若不是直角，判断（1）中所得结论是否还成立，并说明理由． 【答案】(1) 证明过程见解析； ②，证明见解析； (2)（1）中所得结论仍然成立，理由见解析． 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质，即可证得结论；过点作于点，由角平分线的性质，等量代换可得，可证明，即可得与之间的数量关系； （2）由角平分线的定义，结合三角形的内角和定理，可得，过点作于.作于，连接，同（1）可得，，是的平分线，可得，证明，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 、分别是的平分线， ，， ，， ． 解：， 证明：过点作于点， 、分别是的平分线， 于，于 ，， ， 又，， ， ． （2）解：（1）中所得结论仍然成立， 理由如下： 、分别是的平分线， ，， ， 过点作于.作于，连接， 同（1）可得，，是的平分线， ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形． 27．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数，过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （2）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴平分， ∵平分，， ， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （2）解：由（1）得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 28．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，BD是的平分线，于，则__________cm． 例2（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 例3（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 例4（25-26八年级上·江西赣州·期末）我们通过学习知道角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：是的平分线，于点于点．求证：． (2)如图2，于点，于点，为平分线上的一点，，求证：． 例5（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边形中，，平分，过点作交延长线于点，有些线段有特殊的数量关系，请给出下列结论的证明过程． (1)求证：； (2)求证：． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图所示，垂直于的平分线于点，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则________． 例3（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则______， （2）若，，则______． 例4（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为______． 例5（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，若平分，则的面积为__________．    模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 例2（24-25四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 例3（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 1．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，分别平分，，于点，．若的周长为，则的面积为_____． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，是边的中点，于点于点，若，则的长为______． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为____． 5．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为______． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，已知是的角平分线，，，，则的周长为________． 7．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，为内一点，平分，若，则的长为__________． 8．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为__________ 9．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，的两个外角的平分线，交于点于点．若，则的周长是______． 10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为_____． 11．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为 _____． 12．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知的面积为8，平分，且于，则的面积是________． 13．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接．，，，则斜边上的高是______，的面积是______． 14．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，是的边的中点，平分，于点，且，，，则的长是_________． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是______． 16．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，在中，为边上的中线，于点，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为______． 17．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，的两条外角平分线相交于点交的延长线于点．若的周长为的面积为3，则的面积为___________． 18．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为___________． 19．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）在如图所示的中，平分交于点D． (1)若，，求的度数； (2)过点D作于点E，若，，，求的面积． 20．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知点是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点作，垂足为． (1)如图①，当点在线段上时，猜想：__________；（数量关系） (2)如图②，当点在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； (3)如图③，在上题的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，求线段的长． 21．（25-26八年级上·贵州·期末）如图，点D是内一点，，垂足分别为E，F，点M，N分别在的两边上，且．求证： (1)； (2)． 22．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点． (1)如图，求证：点到三边，，所在直线的距离相等； (2)如图，连接，若，求的度数． ∵是的外角的平分线，是的外角的平分线， ∴，， 23．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积． 24．（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）如图1，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，若，是的边上的高，，求的长． 25．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． (1)若，求的度数； (2)若，求的面积． 26．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，、分别是的平分线、相交于点． (1)如图，若是直角， 求证：； 过点作于，于．请写出与之间的数量关系，并证明． (2)如图，若不是直角，判断（1）中所得结论是否还成立，并说明理由． 27．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 28．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $