专题15 全等三角形模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理全等三角形对角互补模型，按90°+90°、120°+60°、α+（180°-α）三种类型构建体系，呈现模型条件、结论及证明逻辑，突出图形特征与全等判定的内在联系。 讲义亮点在于“模型变式”练习设计，如90°模型异侧与同侧型对比题，结合中考真题培养推理能力和几何直观。例题从基础证明到综合应用分层设置，附解题思路点拨，助力不同层次学生掌握，为教师提供精准复习教学支持。

专题15 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 6 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 15 20 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 例2（24-25八年级下·山西晋中·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． 【思路点拨】 （1）如图①，四边形为对角互补四边形，，．求证：平分． 小东同学是这么做的：延长至点，使得，连接，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证出平分． ①还可以知道，，的数量关系为：___________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到：___________． 【变式拓展】 （2）如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小东的做法，求证： ①平分； ②． 例3（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）（1）问题背景： 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积． 小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积． 请直接写出四边形的面积为_______． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，， ，，，，求五边形的面积． 例4（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 例5（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图（），若，，，则线段之间的数量关系，下列三个关系式中： ，， 正确的是___________．（只填序号） (2)如图（），若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段之间的数量关系． (3)如图（），若不变，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，试探究与的数量关系． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明：，再证明；可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．请直接写出你的结论． 例2（24-25八年级上·云南保山·期末）（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．    例3（25-26七年级下·江西景德镇·期末）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． (1)试说明：DE=DF： (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论． (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？ 例4（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）四边形中，，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 例5（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题情境】（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与，相交于点，，则的长___________的长（填“大于”“小于”或“等于”）． 【变式拓展】（2）如图②，已知，平分，是射线上一点，，与相交于点，与射线的反向延长线相交于点．（1）中的结论仍成立吗？为什么？ 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在四边形中，是上的动点，过点作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则__________． 例3（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则______． 例4（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）（1）问题背景． 如图1，在四边形中，，，、分别是线段、线段上的点．若，试探究线段、、之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是____________． （2）猜想论证． 如图2，在四边形中，，，在线段上、在线段延长线上．若，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．      （3）拓展应用． 如图3，在四边形中，，，AD平分，，，且，求四边形的面积．    例5（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由． 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；③；③；④．其中正确的是（   ）    A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 4．（2025八年级·福建泉州·竞赛）如图，四边形中，平分，若，，．则______． 5．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，，，点D在上，，平分，若，则______． 6．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，在四边形中，，，，且，则___________（用含α的代数式表示）． 7．（24-25八年级上·吉林四平·阶段检测）如图，平分于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______（把正确结论的序号填写在横线上）． 8．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接、、，，过点作于点H，若，，则五边形的面积为____． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是________． 10．（25-26八年级上·四川眉山·期中）（1）如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且，求证； （2）如图2，在四边形中，， ，E、F分别是边、上的点，且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是边、的延长线上的点，且，，请直接写出、、之间的数量关系． 11．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 13．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）（1）如图①，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件，“”改为“”，其他条件都不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图③，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点、且，请写出三者之间的关系并证明． 14．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知在四边形中，，． 【初步探察】（1）如图1，若，、分别是边、上的点，线段、、FD之间的关系是________； 【灵活运用】（2）如图2，，、分别是边、上的点，，，．求的周长． 【延伸拓展】（3）如图3，，，、分别是边、延长线上的点，判断线段、、之间的数量关系，并证明． 15．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 16．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）在四边形中，，分别是，并且，试探究图中之间的数量关系． 【初步探索】 （1）如图1，小王同学探究的方法是：延长到点，使．连接，再证明，由此可得出结论 ； 【灵活运用】 （2）如图2，若，上述结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）如图3，若，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系 17．（25-26八年级上·江西南昌·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点，，为外一点，且，，．探究：当，分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图①所示，当点，在边，上，且时，，，之间的数量关系是 ，此时 ；（不必证明） (2)如图②所示，点，在边，上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图③所示，当，分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明； (4)在（3）问的条件下，若此时，则 ．（用含有x，L的式子表示） 18．（25-26八年级上·广东广州·期中）在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 19．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，是边长为的等边三角形，、边上有两点E、F，，且，． (1)如图，若，证明为等边三角形． (2)若，其他条件不变，求的周长． (3)如图，当E、F分别在、延长线上时，若，则的周长＝ ．（用含x的代数式表示，直接写出答案） 20．（2015·山东日照·一模）已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 21．（25-26九年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．    (1)当绕B点旋转到时，如题图1，易证． (2)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？ (3)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 22．（2024七年级下·全国·专题练习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 23．（25-26七年级下·上海嘉定·期末）在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互 补模型(90°+90°型对角互补模型、120°+60°型对角互补模型、+(180°-)型对角互补模型)进行梳理 及对应试题分析，方便掌握。 目录导航 例题讲模型 1 模型来源 1 真题现糢型… 提炼模型 …4 模型运用… ,6 模型1.全等模型-对角互补模型(90°+90°) 6 模型2.全等模型-对角互补模型(60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型(a+180°-a) 15 习题练模型 .20 例题讲模型 模型来源 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对 角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何 本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” 1/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 真题现模型 (2425八年级上吉林校考期末)如图，己知∠DCE与∠A0B,OC平分∠A0B. (1)如图1，∠DCE与∠A0B的两边分别相交于点D、E,∠A0B=∠DCE=90°，试判断线段CD与CE的数 量关系，并说明理由 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：CD=CE. 理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC,交OB于点F,则0CF=90°， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分.(2)若∠A0B=120°，∠DCE=60°. ①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，写出线段OD、OE、OC的数量关系-； ②如图4，∠DCE的一边与A0的延长线相交时，写出线段0D、OE、OC的数量关系-： 若0D:0C=2:5,△OCD的面积为a,则△OCE的面积=-（用含a的代数式表示）. -B E FB E B 图1 图2（备用） 图3 图4 【答案】四见详解2)0E+0D=0C,0E-0D=0C,召 【详解】(1)解：过点C作CF⊥0C,交OB于点F,如图，则L0CF=90°， 02 F B 图1 :0C平分∠A0B,∠1=∠2=45°， ∠3=90-∠2=45°，.∠1=L2=∠3,0C=FC, 又∠4+∠5=∠6+∠5=90°，.∠4=∠6， ∠1=∠3 在△CDO与△CEF中， OC=FC.ACDO≌△CEF(ASA),CD=CE. ∠4=∠6 (2)①0E+OD=0C,理由如下：方法一：过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N,如图， 2/102 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠CMD=LCNE=90°，又：OC平分∠A0B,∴CM=CN, 在四边形0DCE中，∠A0B+∠DCE+∠1+∠2=360°， 又：∠A0B+∠DCE=60°+120°=180°，∠1+∠2=180°，又：L2+∠3=180°，∠1=∠3， ∠1=∠3 在△CMD与△CNE中， ∠CMD=∠CNE,∴.aCMD≌△CNE AAS,.CD=CE,DM=EN. CM=CN .OE+0D=0E+OM +DM =0E+0M+EN =ON +0M. 在R1△CM0中，∠4=90°-∠5=90°-∠A0B=30°， “0M=0C,同理0N=0C,0E+0D=0C+0C=0C. 方法二：以CO为一边作∠FC0=60°，交OB于点F,如图， :0C平分∠A0B,∠1=L2=60°，.∠3=180°-∠2-∠FC0=60°， :∠1=∠3，∠3=∠2=∠FC0,△C0F是等边三角形，C0=CF, :LDCE=∠4+∠5=60°，∠FC0=∠6+∠5=60°，.∠4=∠6， 「∠1=∠3 在△CDO与△CEF中， CO=CF..ACDOCEF ASA), ∠4=∠6 .CD=CE,OD=EF..0E+0D=0E+EF=OF=0C. ②有0E-0D=0C结论成立.以0C为一边，作L0CF=60°与OB交于F点，如图， :∠A0B=120°，0C为∠A0B的角平分线，.∠C0B=∠C0A=60°， 又：∠0CF=60°，.aC0F为等边三角形.0C=0F, :L0CF=LOCD+LDCF=60°，LDCE=LDCF+LFCE=60°，L0CD=LFCE, 又：∠C0D=180°-∠C0A=180°-60°=120°，∠CFE=180°-∠CF0=180°-60°=120°， :∠COD=∠CFE,aCOD≌aCFE(ASA),CD=CE,OD=EF, .0E=0F+EF=0C+0D,即0E-0D=0C. 过点C作CM⊥OA,CN⊥OB垂足分别为M,N,如图，则LCMD=LCNE=90°， 3/102 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：0C平分∠AOB,CM=CN,设0D=2x, 0D:0C=2:5,∴0C=5x,则0E=0C+0D=7x, S.c-OD-CM-a,S.o-OE-CN, _7a E=0Cw=7,则soc2 S.OCD 提炼模型 1.全等模型-对角互补模型(90°+90°) 1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） NE B 条件：如图，已知∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD=CE,②Sce=S.c0E+S.cD=)0C2, 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又.∠AOB=∠DCE=90°，∴.∠MCN=90°，.∠MCD=∠NCE,∴.△MCD≌△NCE;.CD=CE, _10C2 AMCDANCE,SAMCD-SANCE SODCE=S.ONCD+.CNE=S.ONCD+S.CMD=S.ONCM=7 2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 0 B OK B O FEB 0 D 条件：如图，己知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D,,∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD=CE,②S.coE-S.coD=0C2. 2 证明：过点C作CM⊥OD,CW⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又，∠AOB=∠DCE=90°，∴.∠MCN=90°，∴.∠MCD=∠NCE,.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE, 0c2 AMCDANCE,SAMCD-SANCE S.COE-S.cOD=S.CNE+S.coN-(S.CMD-S.CMO)=S.coN+S.CMo= 4/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.全等模型-对角互补模型(60°十120°) 1)“等边三角形对120°模型”（1) 条件：如图，己知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD=CE,②OD十OE=OC。 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又：∠AOB=2∠DCE=120°，.∠AOB+∠DCE=180°，.∠CDO+∠CE0=180°， ,'∠CDO+∠CDM=180°，∴.∠MDC=∠CEO,∴.△MCD≌△NCE;.CD=CE,MD=WE, :OC平分∠AOB,÷∠CON=∠COM=60°，：ON-OM=0C,C-MC 2 又.'OE+OD=ON+NE+OM-DM,∴.OE+OD=ON+OM=OC, 2)“等边三角形对120°模型”(2) 条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB,∠DCE的一边与BO的延长线交于点D,. 结论：①CD=CE,②OD-OE=OC. 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又，∠AOB=2∠DCE=120°，∴.∠AOB+∠DCE=180°，∠AOB+∠MCW=180°，.∠DCE=∠MCN=60 '.∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE,∴.∠MCD=∠NCE,∴.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE,MD=NE, :OC平分∠AOB,:.∠CON=∠COM=60°，.ON=OMOC,NCMC 又，OD-OE=OM+DM(NE-ON),∴.OD-OE=ON+OM-OC, 3.全等模型-对角互补模型(a十180°-a) 1)“a对180°-a模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 M M 图1 图2 证明：过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,.∠AEP=∠BFP-90°， 5/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE-180°，.∠EAP=∠B。 AP=BP,.△PAE≌△PBF,.PE=PF,∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP,②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB,以上三个条件可知二推一。 2)“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补) 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB,结论：OP平分∠AOB的外角。 0 0 0 B 图3 图4 证明：过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,∴.∠AEP=∠BFP=90°，：∠AOB=∠APB,∴.∠A=∠B。 ,AP=BP,∴.△PAE≌△PBF,.PE-=PF,.OP平分∠AOB。 模型运用 模型1.全等模型-对角互补模型(90°+90°) 例口(25-26七年级下.广东深圳期中)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、 F分别在射线CB、DC上，且∠EAF=)∠BAD.当BC=5,DC=8,CF=2时，△CEF的周长等于 【答案】17 【分析】在DF上截取DG=BE,先证△ADG≌aABE,再证△AFG≌△AEF,可得EF=FG,再由△CEF的 周长EF+CF+CE=FG+BE+BC+CF=DF+BC+CF即可解答. 【详解】解：在DF上取点G,使DG=BE, 6/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D:∠ABE+∠ABC=180°，∠ABC+∠ADC=180°， G ∠D=∠ABE, 在△ADG与△ABE中， AB=AD ∠ABE=∠D, BE=DG .△ABE≌△ADG(SAS), AG=AE,∠EAB=∠DAG, ∴∠EAB+∠GAB=∠DAG+∠GAB,即∠EAG=∠BAD, :∠EAF=)∠BAD, 2 1 ∠EAF=2∠EAG, .∠FAE=∠GAF, 在△AFG与△AFE中， AG=AE ∠FAG=∠EAF, AF=AF △AFG≌△AFE(SAS), ∴EF=FG. .EF+BE=FG+DG=CD+CF .△CEF的周长等于EF+CF+CE=EF+BE+BC+CF=CD+CF+BC+CF, :BC=5,DC=8,CF=2, △CEF的周长等于8+2+5+2=17， 例2(24-25八年级下山西晋中期中)四边形ABCD若满足两组对角互补，即∠A+∠C=180°， ∠B+∠D=180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形” 7/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① 【思路点拨】 (1)如图①，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD.求证：CA平分LBCD 小东同学是这么做的：延长CD至点M,使得DM=BC,连接AM,可证明△ABC≌△ADM,得到△ACM 是等腰直角三角形，由此证出CA平分∠BCD. ①还可以知道CB,CD,CA的数量关系为： ②请你用旋转的知识描述ABC如何旋转得到△ADM： 【变式拓展】 (2)如图②，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD,请你仿照小东的做法， 求证： ①CA平分LBCD: ②CA=CB+CD. 【答案】①CD+CB=√2CA:②ABC绕点A逆时针旋转90得到△ADM;(2)①见解析；②见解析 【分析】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰 当的构造辅助线是解题的关键。 (1)①由题意可得AC=AM,BC=DM,CM=√2AC,即可得CM=CD+BC=V2AC; ②根据旋转的定义可得出答案； (2)①延长CD至M,使DM=BC,连接AM,证明△ABC≌△ADM(SAS),可确定△ACM是等边三角形， 在求出LACB=LACM,即可证明； ②由①直接可证明； 【详解】(1)解：①：△ABC≌△ADM, ·AC=AM,BC=DM, :△ACM是等腰直角三角形， ..CM=2AC, .CM =CD+DM 8/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴CM=CD+BC=V2AC, 故答案为：CD+CB=V2CA: ②∠BAD=90°， ·.ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADM. 故答案为：ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADM; (2)证明：①如图，延长CD至点M,使DM=BC,连接AM, M 因为四边形ABCD为对角互补四边形，所以∠B+∠ADC=180° 因为∠ADC+∠ADM=180°，所以∠B=∠ADM 在ABC和△ADM中，AB=AD,∠B=∠ADM,BC=DM,所以△ABC≌△ADM(SAS) 所以AC=AM,LBAC=∠DAM,∠ACB=LM 因为∠BAD=60°， 所以LCAM=60° 又因为AC=AM, 所以△ACM是等边三角形 所以LACM=∠M=60 因为∠ACB=∠M, 所以∠ACB=60° 所以LACB=∠ACM,即CA平分∠BCD ②证明：因为△ACM是等边三角形， 所以CA=CM 因为BC=DM, 所以CM=CD+DM=CD+CB, 所以CA=CB+CD. 例3(25-26九年级上·安微阜阳阶段检测)(1)问题背景： 如图甲，∠ADC=LB=90°，DE⊥AB,垂足为E,且AD=CD,DE=4,求四边形ABCD的面积. 9/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小明发现四边形ABCD的一组邻边AD=CD，,这就为旋转作 了铺垫.于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将ADE绕点D逆时针旋转90°； 第二步：利用∠A与∠DCB互补， 证明F、C、B三点共线， 从而得到正方形DEBF; 进而求得四边形ABCD的面积. D 请直接写出四边形ABCD的面积为 (2)类比迁移如图乙，P为等边ABC外一点，BP=2,CP=4,且∠BPC=120°，求四边形ABPC的面 积. (3)拓展延伸 如图丙，在五边形ABCDE中，BC=6,CD+AB=6,AE=DE=8,AE⊥AB,DE⊥CD,求五边形 ABCDE的面积. D 甲 丙 【答案】(1)16；(2)9√5；(3)48， 【分析】(1)四边形ABCD的面积等于正方形DEBF的面积计算即可； (2)延长PC至D,取CD=2,连接AD,只要证明△ABP≌△ACD,即可推出S四边形ABPc=SADP,然后计 算△ADP的面积即可； (3)延长CD至F,使DF=AB,连接EF、BE、CE,接着证明ABE≌DFE，再证明△EBC≌△EFC, 从而得到S五边形ARCDE=S西造彩BCFE=2S.cFE算得答案. 【详解】解：(1)由题意可知，四边形ABCD的面积等于正方形DEBF的面积，那么 4×4=16, 10/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：16； (2)如图，延长PC至D,取CD=BP=2,连接AD :等边ABC中，LBAC=60°，又∠BPC=120°， .∠BPC+LBAC=180°， .四边形ABPC中，∠ABP+∠ACP=360°-∠BPC+∠BAC)=360°-180°=180°， ∠ABP=LACD=180°-∠ACP, 又：AB=AC,BP=CD, △ABP≌△ACD, ,AP=AD,∠BAP=∠CAP. :∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°， ∠CAD+∠PAC=60°， :△APD为等边三角形且PD=PC+CD=4+2=6, 过点D作DH⊥AP交AP于点H,如图所示： DA=DP,DH⊥AP,AD=DP=6,∠ADP=60°， :∠ADH=∠ADP=30°， 2 H=号4D=3, DH=√AD2-AH2=V62-32=3V5, ee=5m号4P0H-分x6x35=95, (3)如图，延长CD至F,使DF=AB,连接EF、BE、CE. 11/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :AB=DF,AE=DE=8,∠BAE=∠FDE=90°， △ABE≌△DFE, :EB=EF. :CD+AB=CD+DF=6,BC=6, :.CD+DF=CF=BC, EB=EF,CE=CE, △EBC≌aEFC, 1 S五边形1BcDE=Ss边形BCFE=2S.cFE=2×)×CF·DE=6×8=48, 2 【点晴】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题。 例4(25-26八年级上广西南宁阶段检测)已知：在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、 F分别是边BC、CD上的点，且∠BF-MD, D D B 图① 图② 备用图 备用图 (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当∠B=∠D=90°，小宁同学探究此问题 的方法是：延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路. 小宁的解题思路是：先证明△ABG≌ 再证明△AEG≌_一；即可得出BE,EF,FD之间的数量 关系是一 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且 ∠EAF=,∠BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系： 12/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(L)△ADF,△AEF,EF=BE+FD (2)结论仍然成立，理由见解析 B)EF=BE-FD或EF=FD-BE或EF=BE+FD 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键。 (1)依据题意，补全小宁的解题思路即可； (2)延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,先证明△ABG≌△ADF,再证明△AEG≌aAEF,即可得出线 段BE,EF,FD之间的数量关系： (3)分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可 【详解】(1)解：补全小宁的解题思路如下： D G B 先证明△ABG≌△ADF;再证明△AEG≌△AEF;即可得出线段BE，EF,FD之间的数量关系是 EF BE +FD, 故答案为：△ADF,△AEF,EF=BE+FD; (2)解：(1)中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG, B :∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°， ∴.∠D=∠ABG, 在△ABG与△ADF中， 13/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD ∠ABG=∠D, BG=DF △ABG≌△ADF, .AG AF,ZBAG Z D AF .∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF, .∠GAF=∠BAD, ∠EAF=)∠BAD :∠EAF=1∠GAF 2 ∠EAF=LGAE, 在△AEG与△AEF中， AG=AF ∠GAE=∠EAF, AE=AE .△AEG≌△AEF, .EF EG, EG=BE BG, ·EF=BE+FD; (3)解：①EF=BE-FD或EF=FD-BE或EF=BE+FD,理由如下： EF=BE-FD,如图：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG, :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180° ∠B=∠ADF 在△ABG与△ADF中， 14/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD ∠B=∠ADF BG=DF 共.△ABG≌AADF .AG AF,ZBAG Z D AF .∠BAG+∠GAD=∠DAF+∠GAD, ∠GAF=∠BAD, ∠EAF-ZBAD :∠EAF=∠GAF 2 ∠EAF=LGAE, 在△AEG与△AEF中， AG=AF ∠GAE=∠EAF, AE=AE .△AEG≌△AEF, .EF EG, EG BE-BG, .EF BE-FD: ②EF=FD-BE,如图，在DF上截取DH=BE, B E 同第一种情况，先证得△ABE≌△ADH,再证得△AEF≌△AHF, .EF=FH FD-DH=FD-BE ③由(1)、(2)可知，EF=BE+FD: ④如图，点E在BC延长线上，点F在DC延长线上， 15/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段EF,BE,FD之间的数量关系为EF=BE-FD或EF=FD-BE或EF=BE+FD 例5(25-26八年级上·云南昭通·期末)已知，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD 上的点. 图(1) 图(2) 图(3) (L)如图(I),若AB⊥CB,AD⊥CD,∠EAF=}∠BAD,则线段BE、FD、EF之间的数量关系，下列三个关 系式中： ①EF=BE+FD,②EF>BE+FD,③EF<BE+FD 正确的是 ·(只填序号) (2)如图(2)，若∠ABC+∠ADC=180°，点E,点F分别在线段CB,DC的延长线上，且满足 ∠EAF∠BAD,试探究线段EF、BE、DF之间的数量关系. (3)如图(3)，若∠ABC+∠ADC=180°不变，点E在线段CB的延长线上，点F在线段CD的延长线上，若 EF=BE+DF,试探究∠EAF与∠BAD的数量关系. 【答案】(1)①： (2)EF DF-BE B)∠EAF=180°-∠DAB 2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，周角定义，掌握知识点的应用及正 确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键 16/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,可判定△ABG≌△ADF(SAS),进而得出∠BAG=∠DAF, AF=AG,再判定△AEF≌△AEG(SAS),可得结论； (2)对于图2，在DF上截取DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG(SAS),进而得出 ∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF(SAS),可得结论： (3)如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG(SAS),进而得 出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF(SSS),得出∠FAE=∠FAG,又 ∠FAE+∠EAG+LGAF=360°，所以2LFAE+(∠GAB+LBAE)=360°，所以 2LFAE+∠GAB+∠DAG)=360°，即2∠EAF+∠DAB=360°，即可得出结论. 【详解】(1)解：如图(1)，延长CB到点G,使BG=DF,连接AG, G B 图(1) 在△ABG和△ADF中， BA=DA ∠ABG=∠ADF BG=DF △ABG≌△ADF(SAS), ∠BAG=∠DAF,AF=AG, ∠FAG=∠DAB, ∠E4F-D4B, EAE2∠FAG. .∠EAF=∠EAG, 在△AEF和△AEG中， 17/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=AE ∠EAF=∠EAG, AF=AG △AEF≌AAEG(SAS), :EF EG=BE BG, :EF BE+DF, 故选：①； (2)解：EF=DF-BE,理由如下： 如图(2)，在DF上截取DG=BE,连接AG, D G :∠ABC+LD=I80°，∠ABC+∠ABE=180°， 图(2) ∠ABE=∠D, 在△ADG和aABE中， DG=BE ∠D=∠ABE AD=AB △ADG≌AABE(SAS), ∠DAG=∠EAB,AE=AG, .∠EAG=∠BAD, :∠FAE=)∠BAD, 21 PAE-EA ∠EAF=∠GAF, 在△EAF和△GAF中， 18/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF=AF ∠EAF=∠GAF, AE=AG △EAF≌aGAF(SAS), EF=FG, DF=FG+DG, :DF EF BE. 即EF=DF-BE; (3)解：结论：∠EAF=180°-∠DAB,理由： 如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, D A :LABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， 图3) ·LADG=∠ABE, 在AABE和△ADG中， (AB=AD ∠ABE=∠ADG, BE=DG AABE≌△ADG(SAS), .AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF=BE+DF,DG=BE, :EF=DG+DF=FG, 在△AEF和△AGF中， (AF=AF AE=AG, EF=GF .△AEF≌△4GF(SSS), ∠FAE=∠FAG, 19/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠FAE+∠EAG+LGAF=360°， :2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°， ·.2∠FAE+(∠GAB+∠DAG=360°， 即2∠EAF+∠DAB=360°， ∠EAF=180°- 1 ∠BAD. 2 模型2.全等模型-对角互补模型(60°+120°) 例1(25-26八年级上·贵州黔东南期末)【初步探索】(1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD, LB=∠ADC=90°，∠BAD=I20°，E、F分别是BC、CD上的点，且LEAF=60°，探究图中BE、EF、FD 之间的数量关系.小芮同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明： △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF;可得出结论，他的结论应是-： G 【灵活运用】(2)如图，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、F分别 是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，(1)中的结论是否仍然成立，说明理由. D B E 【拓展延伸】(3)如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，满足EF=BE+FD,请判断∠EAF与∠DAB的数量关系.请直接写出你的结论. D 【答案】(1)BE+FD=EF,理由见解析；(2)(1)中的结论仍成立，理由见解析；(3) 20/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAF=180°- 2 ∠DAB,理由见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决 问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意：同角 的补角相等。 (1)根据SAS可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再根据SAS判定 △AEF≌△AGF,可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF,据此得出结论： (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先根据SAS判定△ABE≌△ADG,进而得出 LBAE=∠DAG,AE=AG,再根据SAS判定△AEF≌△AGF,可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF; (3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先根据SAS判定△ABE≌△ADG,再根据SAS 判定△ABE≌△ADG,得出∠FAE=∠FAG,最后根据LFAE+∠FAG+LGAE=360°，推导得到 2LFAE+∠DAB=360°，即可得出结论. 【详解】解：(1)BE+FD=EF,理由如下： 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G B E :∠ADC=90°， ∠ADG=180°-∠ADC=90°， 又∠B=90°， .ZB ZADG 在△ABE与△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG, BE=DG .△ABE≌△ADG(SAS), ∠BAE=∠DAG,AE=AG, :∠BAD=120°，LEAF=60°， 21/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°， ∠DAG+∠DAF=60°， 即∠GAF=60°， :ZGAF ZEAF 在△AEF与△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF △AEF≌△AGF(SAS), .EF GF, .GF=DG+DF, :EF BE +DF, 故答案为：BE+FD=EF; (2)(1)中的结论仍成立，理由如下： 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G D ∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， LB=∠ADG, 又：AB=AD, .△ABE≌△ADG(SAS), ∴∠BAE=∠DAG,AE=AG, :∠BAD=120°，∠EAF=60°， ∠BAE+∠DAF=60°， ∠DAG+∠DAF=60°， ∠GAF=∠EAF=60°， 又：AF=AF, 221102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△AEF≌△AGF(SAS), EF=FG=DG+DF=BE+DF; (3)∠EAF=180°-1∠DAB 证明：如图，延长DC到点G,使DG=BE,连接AG, :∠ABC+LADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∠ADC=LABE, 在△ABE与△ADG中， 「AB=AD ∠ABE=∠ADG, BE=DG :.△ADG≌△ABE(SAS), AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF BE +FD, ∴EF=DG+FD, .EF =GF, 在△AEF与△AGF中， 「AE=AG EF=GF, AF=AF .△AEF≌△AGF(SSS), .∠FAE=∠FAG, ,∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， :2∠FAE+(∠GAB+∠BAE=360°， .2∠FAE+(∠GAB+∠DAG=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， 23/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DAB. ÷∠EAF=180°-1 例2(24-25八年级上云南保山期末)(1)【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD, ∠BAD=120°，LB=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,DF 之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连结AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点， 且∠BF-∠BD,上述结论是否仍然成立？并说明理由： (3)【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指 挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等(OA=OB),接到行动指令后，舰艇甲向正东 方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°（∠0BF=120°）的方向以80海里/小时的速度前 进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°(LE0F=70】 ,试求此时两舰艇之间的距离. 、D B 图1 图2 图3 【答案】(1)EF=BE+DF;(2)EF=BE+DF仍然成立，理由见详解(3)210海里 【分析】主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证 △AEF≌△AGF是解题的关键 (1)延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明 △AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题： (2)延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明 △AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题； (3)连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后与(2)同理可证. 【详解】解：(1)EF=BE+DF 在△ABE和△ADG中， 24/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG=BE ∠B=∠ADG, AB=AD ∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG, 、∠EAF=1∠BAD, 2 ∠GAF=∠DAG+∠DAF=LBAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF .∠EAF=∠GAF, 在△AEF和△GAF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF △AEF≌△AGF(SAS), :EF=FG, :FG=DG+DF=BE+DF, :EF BE+DF (2)EF=BE+DF仍然成立 理由：如图，延长FD至点G,使DG=BE,连接AG G D :∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180° B ∠B=∠ADG AB=AD,BE=DG ∴.△ABE≌△ADG(SAS) :AE=AG,LBAE=∠DAG :∠EAF=∠BAD 2 25/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2<BAD ·∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF= :∠DAG+∠DMF=2 BAD 即∠GAF=5∠BAD ∴∠EAF=∠GAF AE=AG,AF=AF ∴.△AEF≌△AGF(SAS) :.EF=GF .GF =DG+DF BE D F .EF BE DF (3)如图，连接EF,延长AE、BF相交与点C, y B 在四边形AOBC中， ∠A0B=30°+900+20°=140°，∠E0F=70°=∠40B :0A=0B,∠0AC+∠0BC=60°+120°=180°符合(2)中的条件. :结论EF=AE+BF成立 即EF=AE+BF=1.5(60+80)=210(海里) 答：此时两舰艇之间的距离为210海里 例3(25-26七年级下.江西景德镇期末)在四边形ABDC中，AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°，∠CDB=120°， E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF. A (1)试说明：DE=DF: 26/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE,EG,BG之间的数量关系并证明所归纳结论 (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120改为∠CAB=a,∠CDB=180°-a,G在AB上，∠EDG满足什么条 件时，（2)中结论仍然成立？ 【答案】(1)见解析： (2)CE+BG=EG,理由见解析 3)当∠EDG=90°？a时，(2)中结论仍然成立. 【分析】(1)首先判断出∠C=∠DBF,然后根据全等三角形判定的方法，判断出△CDE=△BDF,即可判断 出DE=DF. (2)猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG,首先根据全等三角形判定的方法，判断出 △ABD=△ACD,即可判断出LBDA=∠CDA=60°；然后根据LEDG=60°，可得∠CDE=LADG, LADE=LBDG,再根据LCDE=LBDF,判断出∠EDG=LFDG,据此推得△DEG兰△DFG,所以 EG=FG,最后根据CE=BF,判断出CE+BG=EG即可. (3)根据(2)的证明过程，要使CE+BG=EG仍然成立，则∠EDG=∠BDA=∠CDA=)∠CDB,即 ∠EDG=080°-a)=90-a,据此解答即可。 【详解】(1)证明：：∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°， :LC+∠ABD=360°-60°-120°=180°， 又：∠DBF+∠ABD=180°， LC=∠DBF, 在△CDE和△BDF中， CD=BD ∠C=∠DBF CE=BF ∴△CDE≡△BDF(SAS), :DE =DF. (2)解：如图，连接AD, 27/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG, 证明：在△ABD和△ACD中， AB=AC BD=CD, AD=AD :△ABD△ACD(SSS), ∠BDA=∠CDA=∠CDB=x120°=60°， 1 又：∠EDG=60°， ∴.∠CDE=∠ADG,∠ADE=∠BDG, 由(1)，可得ACDE兰△BDF, ∠CDE=∠BDF, :.∠BDG+∠BDF=60°， 即∠FDG=60°， :∠EDG=LFDG, 在△DEG和△DFG中， DE=DF ∠EDG=∠FDG DG=DG .△DEG兰△DFG(SAS), :EG=FG, 又：CE=BF,FG=BF+BG, :CE+BG=EG (3)解：要使CE+BG=EG仍然成立， 则∠EDG=∠BDA=∠CDA= <cD. 281102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠EDG= 2180°-a)=90°- 2a, 当∠EDG=90°- 2a时，CE+BG=EG仍然成立. 【点晴】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能 根据题意推出规律是解此题的关键， 例4(25-26八年级上四川成都-阶段检测)四边形ABCD中，BA=BC,∠ABC=120°，DA=DC, ∠ADC=60°. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠BAD=∠BCD=90°： (2)如图2，当点M在CD上，点N在DA上，连接BM、BN、MN,若LMBN=60°，求证： MN =AN CM (3)如图3，当点M在CD延长线上，点N在DA的延长线上，连接MN,若LMBN=60°，求证：MB平分 ∠CMN. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用 (1)连接BD,证明△BAD≌△BCD,得到LABD=∠CBD=60°，∠ADB=∠CDB=30°，即可证明 LBAD=LBCD=90°； (2)延长DC到E,使AN=CE,连接BE,得到∠ABN+LCBM=60°，根据△BAD≌△BCD得到 BA=BC,证明△BAN≌△BCE,得到AN=CE,∠ABN=∠CBE,BN=BE,即AN+CM=EM, ∠EBM=60°，证明△BMN≌△BME,得到MN=ME,即可证明； (3)作∠NBF=120°交MC于F,可知LNBA=∠FBC,证明△BAN≌aBCF,得到BN=BF，证明 △BMN≌△BMF,，得到∠BMN=∠BMF,即可证明MB平分∠CMN. 【详解】(1)证明：如图，连接BD, 29/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 在△BAD和△BCD中， (BA=BC BD=BD, DA=DC △BAD≌△BCD(SSS), :.∠ABD=∠CBD= 3∠ABC=60°，∠ADB=∠CDB=∠ADC=30°， ∠BAD=∠BCD=90°； (2)证明：延长DC到E,使AN=CE,连接BE D B 图2 :∠MBN=60°，∠ABC=120 ∠ABN+∠CBM=60°， :△BAD≌△BCD, .BA=BC, :在△BAN和△BCE中， BA=BC ∠BAN=∠BCE=90°， AN=CE .△BAN≌aBCE(SAS), AN=CE,∠ABN=∠CBE,BN=BE 即AN+CM=CE+CM=EM,∠ABN+∠CBM=∠CBE+∠CBM=∠EBM=60°， :在△BMN和△BME中， 30/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM=BM ∠MBN=∠MBE=60°， BN=BE △BMN≌△BME(SAS), .MN =ME, 即MN=AN+CM; (3)证明：如图，作∠NBF=120°交MC于F, 图3 :∠NBF=∠NBA+LABF=120°，∠ABC=∠ABF+LFBC=120°， .∠NBA=LFBC, 在△BAN和BCF中， ∠BAN=∠MCF=90° BA=BC ∠NBA=∠FBC △BAN≌ABCF(ASA), .BN =BF, :∠MBN=60°，∠NBF-120° ∴.∠MBN=∠MBF=60°， :在△BMN和△BMF中， BN=BF ∠MBN=∠MBF, BM=BM △BMN≌△BMF(SAS), ∠BMN=∠BMF, 即MB平分∠CMN. 例了(25-26八年级上全国课后作业)【问题情境】(1)如图①，∠A0B=90°，0C平分∠A0B,把三角尺 31/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的直角顶点落在射线OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA,OB相交于点E,F,则 PE的长 PF的长（填“大于"“小于”或“等于”). 【变式拓展】(2)如图②，已知∠A0B=120°，0C平分∠A0B,P是射线0C上一点，LEPF=60°，PE 与OA相交于点E,PF与射线OB的反向延长线相交于点F.(1)中的结论仍成立吗？为什么？ A, 图① 图② 【答案】(1)等于，(2)成立.理由见解析 【分析】本题考查了判定三角形全等，【问题情境】需要先分析出两条辅助线；根据角平分线的性质得到线 段相等，再由角度推导出角相等，即可判定三角形全等，即可得证；【变式拓展】方法同【问题情境】，先 作两条辅助线，然后利用“角边角“判定三角形全等即可证明仍成立， 【详解】【问题情境】解：过点P作PM⊥OB于点M,PN⊥OA于点N, B 图① :OC平分∠AOB,PM⊥OB,PN⊥OA :PM =PN :∠PM0=∠PN0=∠M0N=90°， .∠MPN=360°-3×90°=90°， ∠MPN=∠EPF=90°， ∠MPF=∠NPE, 在△PMF和aPNE中， 32/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠PMF=∠PNE, PM=PN, ∠PMF=∠PNE, △PMF≌△PNE(ASA), :PF=PE; 故答案为：等于 【变式拓展】解：成立，理由如下： 过点P作PM⊥OB于点M,PN⊥OA于点N. N O M B 图② :OC平分∠AOB,PM⊥OB,PN⊥OA :PM =PN :∠PM0=∠PN0=90°，∠M0N=120°， ∠MPN=360°-2×90°-120°=60°， :∠MPN=LEPF=60°， .∠MPF=LNPE, 在△PMF和△PNE中， ∠PMF=∠PNE, PM=PN, ∠PMF=∠PNE, △PMF≌△PNE(ASA, :PF=PE. 模型3.全等模型-对角互补模型(a+180°-a) 例1(25-26八年级上·安微合肥阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ADC+∠ABC=180,E是 33/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC上的动点，过点E作LEAF= !∠BAD,则下列说法正确的是（） A.AE=AF B.∠C=∠EAF C.EF=BE+DFD.∠AFE=∠AEB 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；延长CB至点M,使BM=FD,连接AM,证明 △ADF≌△ABM(SAS),AME2AFE(SAS),根据全等三角形的性质以及线段的和的关系，可得 EF=EM=BE+BM=BE+DF,即可求解 【详解】如图，延长CB至点M,使BM=FD,连接AM D :∠ADC+∠ABC=180°，∠ABM+∠ABC=180 M-- B E ·LADC=∠ABM ·AD=AB, ∴△ADF≌△ABM(SAS), ∴.AF=AM,∠DAF=∠BAM. ∠EAF=I∠BAD,∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠DAE, .∠EAF=∠BAE+∠DAF, LEAF=∠MAE AF AM,AE=AE, ∴△AME≌△AFE(SAS), .EF EM BE BM BE DF, 故选：C 例2(25-26七年级下.浙江宁波阶段检测)如图，在四边形ABCD中，LABC+LADC=180°，AB=AD.点 E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，连接AF、AE、EF,满足EF=BE+FD,若∠C=T5°，则 34/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAF= 【答案】127.5 【分析】先作DG=BE,连接AG,即可证明△ADG≌aABE,进而说明EF=GF,可得△AEF≌△AGF,再结 合LFAE+∠FAG+∠GAE=360°，可得答案。 【详解】证明：如图，延长DC到点G,使DG=BE,连接AG, B :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∠ADC=∠ABE. AB=AD,BE=DG, .△ADG≌△ABE(SAS), .AG=AE,∠DAG=∠BAE. EF BE F D .EF=DG+DF, :EF=GF, AE=AG,AF AF,EF FG, ·△AEF≌aAGF(SSS), .∠FAE=∠FAG. .∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， :2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°， 2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， 35/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DAB. ∠EAF=180°-1 :∠DAB=360°-∠C-∠ABC-∠ADC=105°， .∠EAF=180°-52.5°=127.5°. 例3(2025八年级上·上海徐汇.专题练习)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B+∠D=I80°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=)∠BAD,若∠AEF=a,则∠CFE= 【答案】2-60° 【分析】本题考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形 是解题的关键， 延长CB到点H,使BH=DF,连接AH、EF,则∠ABC+∠ABH=180°，因为∠BAD=120°， ∠ABC+∠D=180°，得C=60°，∠ABH=∠D,再证明ABH≌△ADF得AH=AF,∠BAH=∠DAF,再 推导出∠EAH=∠EAF,进而证明∠EAH=∠EAF,得∠AEH=∠AEF=a,则 ∠CFE=∠FEH-∠C=2a-60°. 【详解】解：延长CB到点H,使BH=DF,连接AH、EF, 则∠ABC+∠ABH=180°， :∠BAD=120°，∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABH=180°， :∠C=360°-∠BAD-(LABC+LD=60°，∠ABH=∠D, 在AABH和△ADF中 AB=AD ∠ABH=∠D, BH=DF .ABH≌AADF（SAS, .AH=AF,∠BAH=∠DAF 36/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 F∠EMF=2∠BMD, :∠EAH=∠BAE+∠BAH=∠BAE+ZDAF)∠BAD】 ∴∠EAH=∠EAF, 在△EAH和△EAF中 AH=AF ∠EAH=∠EAF, AE=AE .ZEAH =ZEAF (SAS, ∠AEH=∠AEF=Qa, ∠FEH=2LAEF=2a, :∠FEH=∠CFE+∠C, ∴∠CFE=LFEH-∠C=2a-60°， 故答案为：2-60°. 例4(25-26七年级下陕西西安阶段检测)（1)问题背景. 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点.若 ∠BAD=2∠EAF,，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系 G E 图1 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE,连接AG，,先证明△ABE≌△ADG,再证 明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 (2)猜想论证. 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,LB+∠ADC=I80°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上.若 ∠BAD=2∠EAF,上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证 明. 37/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F A B E C 图2 (3)拓展应用. 如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠BDC=45°，AD平分∠BAC,AB=3,AC=4,BC=5且 LABD+∠CBD=180°，求四边形ABCD的面积. 图3 D 【答案】(1)EF=BE+DF;(2)结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD;(3)四边形ABCD的 面积为21. 【分析】(1)延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,即可证明△ABE ADG(SAS),可得AE=AG, 再证明△AEF≌△AGF(SAS),可得EF=FG,即可解题； (2)在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG·根据(1)的证法，我们可得出DF=BG,GE=EF,那 么EF=GE=BE-BG=BE-DF; (3)如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H,DK⊥AC交AC的延长线于K,DJ⊥BC于J.证 明四边形AHDK是正方形即可解决问题 【详解】解：延长FD到点G.使DG=BE,连接AG, G F :∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180°， E 图1 38/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 LADG=∠B, 在△ABE和△ADG中， BE=DG ∠B=∠ADG, AB=AD :△ABE≌△ADG(SAS), :AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∠BAD=2∠EAF, :∠GAF=LDAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=LBAD-∠EAF=∠EAF, .∠EAF=∠GAF, 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF ∴△AEF≌△AGF(SAS), EF FG, :FG=DG+DF=BE+DF, :EF =BE+DF 故答案为：EF=BE+DF; (2)结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD; 理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG, D A :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， BG 图2 .∠B=∠ADF. :在△ABG与△ADF中， 39/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF △ABG≌△ADF(SAS. .∠BAG=∠DAF,AG=AF ∠BAD=LBAG+LGAD=∠DAF+∠GAD=∠GAF. :∠BAD=2∠EAF, .∠GAF=2∠EAF, :ZGAE ZEAF. AE=AE, △AEG≌△AEF(SAS). :EG=EF EG=BE-BG :EF BE-FD. (3)如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H,DK⊥AC交AC的延长线于K,DJ⊥BC于J, B K D 图3 :∠BAC=90°，∠H=∠K=90°， :四边形AHDK是矩形， .∠HDK=90°， ∠BDC=45°， LBDH+LCDK=45°， :∠ABD+∠CBD=180°，∠ABD+∠DBH=180°， ∠DBH=∠DBC, 40/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠H=∠DJB=90°，DB=DB, ∴△BDH≌△BDJ(AAS), DH=DJ,∠BDH=∠BDJ,BH=BJ, '∠BDJ+∠CDJ=45°，∠BHH+∠CDK=LBDJ+LCDK=45°， ∴∠CDJ=∠CDK, :∠K=∠DJC=90°，CD=CD, .aCDK≌CDJ(AAS, :DJ=DK CJ=CK :DH DK, ·四边形AHDK是正方形， .BH +CK =BJ+CJ=5, ∴.AH+AK=12, .AK KD=6, ·S县边形HeD=SHcD+SABD 4CxDK+1 CABx DH 2 2 -4C+48x6 2×7x6=21. 故答案为：21. 【点晴】本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换 是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形， 例5(25-26八年级上陕西商洛·期末)【问题探究】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠D=180°，点F在CB上，点E在CB的延长线上， 连接AF、AE,∠EAF-ZRAD,点G在DC上，且DG=BE,连接AG,试说明∠EAF=∠G4F; F 图1 41/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】 (2)如图2，四边形ABCD是某小区一块空地，经测量，AB=BC,∠BAD+∠BCD=180°，小区物业现计 划对这块空地及其周边进行重新规划，在DA、DC的延长线上分别取点P、Q,沿BP、BQ修建两条灌溉 水渠，并在△PBQ内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足PQ=AP+CQ,请你求出∠PBQ与∠ABC之 间的数量关系，并说明理由， 图2 【答案】(1)见解析(2)2∠PBQ+∠ABC=360°，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，添加辅助线构造全等三角 形是解题的关键。 (1)证明△ADG≌△AEB(SAS),得到∠EAB=∠DAG,进而推出∠DAG+∠BAF=,∠BAD,角的和差关系求 2 出∠GAF=∠BAD-(∠BMF+∠D1G=∠BAD,即可符证， (2)在CD延长线上找一点K,使得KC=AP,连接BK,分别证明△BPA≌△BCK、△PBO≌△KBQ,根 据全等三角形的性质、周角为360°解答即可. 【详解】(1)解：：∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ABE=∠ADG, 又：AB=AD,BE=DG, ∴.△ADG≌△ABE SAS), .∠EAB=LDAG, :∠EAF=∠BAD, :∠EAB+∠BAF=∠BAD, 2 ZDAG+∠BAF=)BAD ∠GAF=∠BAD-∠BAF+∠DAG)=)∠BAD, ∠EAF=LGAF; (2)解：2∠PBQ+∠ABC=360°.理由如下： 42/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在CD延长线上找一点K,使得KC=AP,连接BK, K D ∠BAD+∠BCD=180°， 图3 又：∠BAD+∠BAP=180°， ∠BAP=∠BCD, (AP=CK 在△BPA和△BKC中， ∠BAP=∠BCK, AB=BC ∴ABPA≌△BKC(SAS) ∠ABP=∠CBK,BP=BK, .∠PBK=LABC, .PO=AP+CO=CK+CO, :.PO=QK, 在△PBQ和△KBQ中， (BP=BK BO=BO, PO=KO ∴△PBQ≌△KBO(SSS :ZPBO ZKBO .2∠PBQ+∠ABC=∠PBQ+∠KBQ+∠PBK=360° 43/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 习题练模型 1.(24-25八年级上重庆期中)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，E、 F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BD.若∠AEF=a,则∠CFE一定等于（） B D.60°+20 1 A.2a-60° B.20°+a C.200°-a 【答案】A 【分析】此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三 角形是解题的关键.延长CB到点H,使BH=DF,连接AH、EF,则LABC+LABH=18O°，因为 ∠BAD=120°，∠ABC+∠D=180°，所以∠C=60°，∠ABH=∠D,而AB=AD,即可证明 △ABH≌△ADF,得AH=AF,∠BAH=∠DAF,再推导出∠EAH=∠EAF,进而证明△EAH≌△EAF, 得∠AEH=∠AEF=a,则∠CFE=∠FEH-∠C=2a-60°，于是得到问题的答案. 【详解】解：延长CB到点H,使BH=DF,连接AH、EF, 则∠ABC+∠ABH=180°， :∠BAD=120°，∠ABC+∠D=180°， .∠C=360°-∠BAD-(∠ABC+∠D)=60°，∠ABH=∠D, 在AABH和△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠D, BH=DF :△ABH≌AADF(SAS) AH=AF,∠BAH=∠DAF, 44/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∠EAF=2BAD, 1 .∠EAH=∠BAE+∠BAH=∠BAE+∠DAF=∠BAD, 2 ∴.∠EAH=∠EAF, 在△EAH和△EAF中， AH=AF ∠EAH=∠EAF, AE=AE :△EAH≌△EAF(SAS) ∠AEH=∠AEF=C, ∠FEH=2LAEF=2a, '∠FEH=LCFE+LC, :.LCFE=∠FEH-LC=2a-60°， 故选：A. 2.(24-25八年级上湖南长沙.开学考试)如图，己知AC平分∠DAB,CE⊥AB于E,AB=AD+2BE, 则下列结论：①AB+AD=2AE;②LDAB+LDCB=180°；③CD=CB;④S△ACE-2S△BCE=S△4Dc;其中正 确结论的个数是() D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握角 平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键 如图，在AB上取点F使AF=AD,证明△FAC≌△DAC(SAS),则CD=CF,∠D=∠AFC,由 AB=AD+2BE=AF+FE+BE,可得FE=BE,进而可得CF=BC,则CD=CB,∠CFB=LB,可判断③ 的正误；由∠CFB+∠AFC=180°，可得∠B+∠D=180°，进而可得∠DAB+∠DCB=180°，可判断②的正误； AB+AD=2AF+2EF=2AE,可判断①的正误；由SARCE=S△cEF,S△ADc=S△4Fc,可得 45/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S△ACE-S△BCE=S△ACE-S&CEF=SAAFC=SAADC,可判断④的正误. 【详解】解：如图，在AB上取点F使AF=AD, D F E B :AC平分∠DAB, .∠FAC=∠DAC, :AC=AC,∠FAC=∠DAC,AF=AD, △FAC≌△DAC(SAS, .CD=CF,∠D=∠AFC, AB AD +2BE AF FE BE, .FE =BE, :CE⊥AB, .CF =BC, :CD=CB,∠CFB=∠B,③正确，故符合题意； :∠CFB+∠AFC=180°， .∠B+∠D=180°， ∠DAB+∠DCB=360°-（∠B+∠D)=180°，②正确，故符合题意； :AB+AD=AF+EF+BE+AF=2AF+2EF=2AE,①正确，故符合题意； 'S△BCE=S△cEr,S△4Dc=S△4Fc, S△ACE-S△BCE=S△MCE-S△cEr=SAFc=SA4Dc,④错误，故不符合题意； 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：C 3.(25-26八年级上浙江杭州·期中)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E, ∠ADC+∠ABC=180°，有下列结论：①CD=CB;③AD+AB=2AE;③LACD=∠BCE;④ S。ABC-S。ADc=2S,BEc·其中正确的是（） 46/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，需要熟练掌握全等三角形的 判定与性质，此外找出线段之间的和差关系是解决本题的关键 在EA上截取EF=BE,连接CF,根据”AC平分∠BAD"和“∠ADC+∠ABC=180°”证明出△ACD≌△ACF, 故选项①正确；由①可知，AD=AF,再根据线段间的和差关系可得：AD+AB=2AE,由三角形面积公式 及等量代换可得S.4®c-S,ADc=2SEc,故选项②④正确. 【详解】在EA上截取EF=BE,连接CF, A E :CE⊥AB, :CF CB,S.BEC S.FEC' .ZCFB=ZB, ,∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°， ∠D=∠AFC, :AC平分∠BAD, 即∠DAC=LFAC, 在△ACD和△ACF中， ∠D=∠AFC ∠DAC=∠FAC, AC=AC .△ACD≌△ACF(AAS, 47/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CD=CF, CD=CB,故①正确： :△ACD≌△ACF, .AD=AF, ·AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE,故②正确： 根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE,故③错误； :△ACD≌aACF, .S△AcD=S△4cF, S.ABC -S.ADC S.ABC -S.ACF =S.CFB =2S.BEC 即SABc-S.Dc=2SEc,故④正确. 其中正确的是①②④： 故选：C. 4.(2025八年级福建泉州竞赛)如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC,若∠A+∠C=180°，AB=12, AD=13.则DC= B 【答案】13 【分析】在BC上截取BE=BA,连接DE,由角平分线的定义，结合已知可证△DBA≌△DBE,对应边相等， 对应角相等，由等角的补角相等可得∠C=∠CED,根据等角对等边，等量代换，即可得DC. 【详解】解：在BC上截取BE=BA,连接DE, :BD平分∠ABC, ∠DBA=∠DBE, 在△DBA和△DBE中， BA=BE ∠DBA=∠DBE, BD=BD △DBA≌△DBE, ∴∠A=∠BED,AD=ED, 48/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°， ∴.LC=LCED, :CD=ED, :CD AD, :AD=13, .CD=13. 故答案为：13. A D B 【点晴】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，等角的补角相等，等角对等边. 5.(25-26八年级上福建福州期中)如图，AB=AD,AE=AC,点D在BC上，∠ADC+∠ACE=180°， AD平分∠BAC,若∠DAE=80°，则LEDC=· B 【答案】40°/40度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理.由等边对等角，可 得∠ABD=∠ADB,∠ACE=∠AEC,结合LADC+LACE=I80°，可得LACE=∠AEC=LADB=∠ABD=a ,利用三角形内角和定理，角平分线的定义可得∠CAE=∠BAD=∠DAC=180°-2a,结合∠DAE=80°，求 出a=70°，进而可得∠ACD=30°，再证△DAE≌aBAC(SAS),推出∠AED=∠ACB=30°，最后利用三角形内 角和定理即可求解。 【详解】解：：AB=AD,AE=AC, ·∠ABD=∠ADB,∠ACE=∠AEC, :∠ADC+∠ACE=180°，∠ADC+∠ADB=180°， ·∠ACE=∠ADB, 设∠ACE=∠AEC=∠ADB=∠ABD=a, 49/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=180°-2a, ∠CAE=180°-∠ACE-∠AEC=180°-2a, :AD平分∠BAC, :∠BAD=∠DAC=180°-2a, :∠DAE=80°， :∠DAC+∠CAE=80°， ·180°-2a+180°-2a=80°， 解得a=70°， ·∠ACE=∠AEC=LADB=∠ABD=70°， ·∠ADC=180°-70°=110°，∠BAD=∠DAC=180°-2×70°=40°， :∠ACD=180°-ADC-∠DAC=30°， :LCAE=∠BAD, ·LCAE+LDAC=∠BAD+∠DAC, :∠DAE=∠BAC, 又：AB=AD,AE=AC, :△DAE≌△BAC(SAS, ·∠AED=∠ACB=30°， ·∠DEC=∠AEC-∠AED=70°-30°=40°， ∠DCE=∠ACD+∠ACE=30°+70°=100°， :∠EDC=180°-∠DCE-∠DEC=40°， 故答案为：40°. 6.(24-25九年级下.全国.二轮复习)如图，在四边形ABCD中，LECF=a(0°<a<90),∠B+∠D=180, CB=CD,且BE+DF=EF,则∠BCD= (用含a的代数式表示). E B 50/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2a 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，补角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形的是解题的关键， 延长AB到点G,使BG=DF,连接CG,证明aCBG≌aCDF,得CG=CF,LBCG=∠DCF,再利用SSS 证明△ECF马ECG,得∠ECG=LECF,从而解决问题， 【详解】解：如图，延长AB到点G,使BG=DF,连接CG, Q :LABC+∠D=180°，LABC+LCBG=180°， E G ∠CBG=∠D, 又：CB=CD,BG=DF, ∴.△CBG≌△CDF(SAS), :CG=CF,ZBCG=ZDCF, 若BE+DF=EF, 则EG=EF, aECF≌aECG(SSS), .∠ECG=∠ECF, ∴∠BCD=2∠ECF=2a, 故答案为：2a. 7.(24-25八年级上·吉林四平阶段检测)如图，AC平分LDAB,CE⊥AB于点E,AB=AD+2BE,则下列 结论：①AB+AD=2AE;②LADC+LABC=180°；③CD=CE;④S△ADc+S△BCE=S△ACE,其中正确的结 论有 (把正确结论的序号填写在横线上). E 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质.①在AE取点F,使 EF=BE.利用已知条件AB=AD+2BE,可得AD=AF,进而证出2AE=AB+AD;②连接CF,先由 51/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SAS证明△ACD≌△ACF,得出LADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出 ∠CFB=LB,然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=I80°；③根据全等三角形的对 应边相等得出CD=CF,根据直角三角形的直角边小于你斜边可得出结论，④由S,ce=ScEr,S。Dc=SFc ，可得S△ADc+SABCE=S△HFc+SACEF=SA4CE,可判断④的正误。 【详解】解：如图，在AB上取点F,使EF=BE, D ·AB=AD+2BE 又EF=BE, :AB=AD+2BE =AF +2BE ∴.AD=AF .AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2AF+EF)=2AE,故①正确： 连接CF, :AC平分∠DAB ∴.∠DAC=∠FAC 在△ACD与△ACF中， AD=AF ∠DAC=∠FAC, AC=AC :△ACD≌△ACF(SAS), ∠ADC=∠AFC. :BE=EF,CE⊥BF .CE垂直平分BF, .CF=CB, ·LCFB=LB. 又：∠AFC+∠CFB=180°， ∠ADC+∠B=180°， :∠DAB+∠DCB=360°-∠ADC+∠B)=180°，故②正确； 521102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由②知，△ACD≌△ACF, ∴CD=CF, 又，CE⊥EF, ∴CE<CF CD>CE,故③错误； S.BCE=S.CEF'S.ADC S.AFC S△HDc+S△BCE=S△Fc+S△cEr=SAACE,故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④， 故答案为：①②④. 8.(25-26八年级下四川绵阳开学考试)如图，在四边形ABCD中，AD=AB,∠BAD=2a, ∠C=I80°-2a,点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF,∠EAF=a,过点A作AH⊥BC于 点H,若BE+DF=9,AH=6,则五边形ABEFD的面积为· HE 【答案】54 【分析】延长CB至点P,使得BP=DF,容易证明△ABP≌△ADF(SAS),则AP=AF,∠BAP=∠DAF,进 而证明△EAP≌aEAF(SAS),则五边形ABEFD的面积等于△EAP面积的两倍. 【详解】解：如图，延长CB至点P,使得BP=DF, HE .EP BE BP BE DF =9, :∠BAD=2a,∠C=180°-2a, ∠ABC+∠D=360°-∠BAD-∠C=180°， ∠ABP+∠ABC=180°， ∠ABP=∠D, 53/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABP和△ADF中， (AB=AD ∠ABP=∠D, BP=DF △ABP≌△ADF(SAS), ·AP=AF,LBAP=LDAF,S△ADF=S△AP· :∠EAF=a, ∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=a, ∴∠BAP+∠BAE=a,即LEAP=a, ∠EAP=∠EAF, 在△EAP和△EAF中， AP=AF ∠EAP=∠EAF, AE=AE :△EAP≌△EAF(SAS), SBe=Sw=号EPAM=号x9×6=27, 2 2 .S五边形ABEFD=S△AF+S四边形ABEF=S△EP+S△E=27+27=54. 【点晴半角”模型一般借助旋转构造全等三角形来解题， 9.(24-25九年级上·全国.课后作业)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是 BC,CD上的点，∠EAF=∠BAD,线段sE,EF,FD之间的数量关系是 【答案】EF=BE+DF 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长FD至点H,使得DH=BE,连接AH,可证 △ABE≌△ADH(SAS)得到AE=AH，LBAE=LDAH,进而由∠EAF=)∠BAD可得∠HAF=LEAF,即可证 54/102 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得△AEF≌△AHF(SAS),得到HF=EF,即可由HF=HD+DF得到EF=BE+DF,正确作出辅助线是 解题的关键。 【详解】解：如图，延长FD至点H,使得DH=BE,连接AH, :∠B+∠ADF=180°，∠ADF+LADH=180°， ∠B=∠ADH, 在△ABE和△ADH中， (BE=DH ∠B=∠ADH, AB=AD .△ABE≌△ADH(SAS, AE=AH,∠BAE=∠DAH, :∠EAF=BAD, E∠BAE+∠FAD=∠BAD-∠EAF-ZBAD ∠AD+LDAF=LHAF=ZBA ∠HAF=∠EAF, 在△AEF和△AHF中， AE=AH ∠EAF=∠HAF, AF=AF ∴△AEF≌△AHF(SAS), :HF=EF =HD+DF, :HF HD+DF, .EF =HD+DF 又：DH=BE, :EF BE +DF. 55/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D A B E 10.(25-26八年级上四川眉山期中)(1)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且 ∠EAF=45°，求证EF=BE+FD; (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=I80°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 EF=BE+FD,求证：∠B4F-BD (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD的延长线上的点， 且∠EAF=50°，∠BAD=I00°，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系. 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)EF=BE-FD;理由见解析 【分析】题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点， (1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG,证明△AEG≌△AEF(SAS),可得EG=EF,进而可得结论； (2)延长CB至M,使BM=DF,连接AM.证明△ABM≌△ADF(SAS).可得AF=AM,∠2=∠3.然后 根据EF=BE+DF=BE+BM=EM,证明△AME≌△AFE(SSS).可得∠MAE=∠EAF,进而可以得到结论； (3)在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG,证明△ABG≌△ADF(SAS).可得 LBAG=LDAF,AG=AF.然后可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF. 【详解】(1)证明：如图，延长EB到G,使BG=DF,连接AG. D 56/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD, .△ABG≌AADF(SAS, .AG=AF,LDAF=∠BAG, ∠B1G+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAF=∠BHD=45, .∠GAE=LEAF, AE AE, .△AEG≌△AEF(SAS), .EG EF, EG=BE+BG :EF BE+FD: (2)证明：如图2，延长CB至M,使BM=DF,连接AM· D M-- B E 图2 .∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°， ∠1=∠D, 在△ABM与△ADF中， (AB=AD ∠1=∠D, BM=DF ·.△ABM≌△ADF(SAS), AF=AM,∠2=L3, EF BE+DF BE BM EM 在△AME与△AFE中， AE=AE EM=EF, AM=AF 57/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AME≌△AFE(SSS, ∴∠MAE=∠EAF, :∠3+∠4=∠EMF= 1 ∠MAF, :∠MAF=∠3+∠4+∠EAF,∠2=∠3， ∴.∠MAF=∠2+∠4+LEAF=∠BAD, :∠BAF=BAD, (3)解：EF=BE-FD, 证明：如图3，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG, E 图3 :∠B+LADC=180°，∠ADF+LADC=180°， ∠B=∠ADF. 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF △ABG≌AADF(SAS) .Z BAG Z D AF,AG=AF. ∠BAD=∠BAG+∠GAD=∠DAF+∠GAD=∠GAF=I00°， ∠GAE=∠GAF-∠EAF=100°-50°=50°， ∴.∠GAE=∠EAF. AE=AE, .△AEG≌aAEF(SAS. .EG=EF, 58/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EG =BE-BG, .EF BE-FD 11.(25-26八年级上·湖北武汉阶段检测)(1)如图1，四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、 F分别在BC、CD上，且EF=BE+FD,探究并直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系： (2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别在BC、CD上，且EF=BE+FD, 上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°，若E在CB的延长线上，F在CD的延长 线上，仍满足EF=BE+FD,直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系 B E 图1 图2 图3 【答案】(1)∠EAF=∠BAE+LFAD；(2)结论仍然成立.理由见解析；(3)2LEAF+LDAB=360° 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键。 (1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG，,先证出LADG=LB=90°，再证出△ADG≌aABE,根据全 等三角形的性质可得LBAE=LDAG,AE=AG,然后证出△AEF≌△AGF,根据全等三角形的性质可得 ∠EAF=∠GAF,根据等量代换即可得； (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证出∠ADG=∠B,再证出△ADG≌△ABE,根据全等三 角形的性质可得∠BAE=∠DAG,AE=AG,然后证出△AEF≌△AGF,根据全等三角形的性质可得 ∠EAF=∠GAF,根据等量代换即可得； (3)在射线DC上取一点G,使DG=BE,连接AG,先证出△ADG≌aABE,根据全等三角形的性质可得 AG=AE,∠DAG=∠BAE,则可得LDAB=LBAG+∠BAE,再证出△AEF≌△AGF,根据全等三角形的性 质可得∠EAF=∠GAF,然后根据LEAF+LGAF+LBAG+LBAE=360°和等量代换即可得 【详解】解：如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G B E 图1 59/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADC=90°， LADG=90°， 在△ADG和△ABE中， AD=AB ∠ADG=∠B=90°， DG=BE ∴△ADG≌△4BE(SAS, ∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+FD,DG=BE, .EF=DG+DF=GF, 在△AEF和△AGF中， EF=GF AE=AG, AF=AF aAEF≌△AGF(SSS), ∠EAF=∠GAF, 又：∠GAF=∠DAG+LFAD,LBAE=LDAG, ÷∠EAF=LBAE+∠FAD (2)结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G 图2 :∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， .ZB ZADG, 在△ADG和△ABE中， 60/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=AB ∠ADG=∠B, DG=BE △ADG≌aABE(SAS), ∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+FD,DG=BE, .EF=DG+DF=GF, 在△AEF和△AGF中， EF=GF AE=AG, AF=AF △AEF≌aAGF(SSS), .∠EAF=LGAF, 又：∠GAF=∠DAG+LFAD,∠BAE=∠DAG, LEAF=∠BAE+∠FAD. (3)如图3，在射线DC上取一点G,使DG=BE,连接AG, G 图3 :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∠ADC=∠ABE, 在△ADG和△ABE中， AD=AB ∠ADG=∠ABE, DG=BE ·△ADG≌△4BE(SAS, AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF =BE+FD,DG=BE, 61/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF=DG+DF=GF, 在△AEF和△AGF中， 「EF=GF AE=AG, AF=AF aAEF≌△AGF(SSS), .ZEAF ZGAF, :∠EAF+∠GAF+∠BAG+∠BAE=360°， 2∠EAF+∠BAG+∠BAE=360°， 又：∠DAB=LBAG+∠DAG=LBAG+LBAE, 2∠EAF+∠DAB=360°. 12.(2025黑龙江哈尔滨三模)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是 边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF,则∠FEC与∠BAE的数量关系为 B E 图1 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠BAD=2∠EAF,请直接写出EF、BE、DF三条线段间的数量关系 D E 图2 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是直线BC、CD上的点，且 ∠BAD=2∠EAF,，请直接写出EF、BE、DF三条线段间的数量关系，并证明. 62/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图3 【答案】(1)∠FEC=2LBAE·(2)EF=BE+DF.(3)EF=BE-DF,理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角 形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的 (1)设LBAE=Q,则∠AEB=90°-a,延长CB到点D,使BD'=DF,连接AD',证明 △AED'≌△AEF(SAS),即可解答： (2)延长CB到点D,使BD'=DF,连接AD',证明△ABD'≌aADF(SAS),△AED'≌△AEF(SAS),即可 解答； (3)在BC上截取BD'=DF,连接AD',同理得aABD≌△ADF(SAS),△AED'≌aAEF(SAS),即可解答. 【详解】解：(1)∠FEC=2∠BAE,理由如下： 设∠BAE=a,则∠AEB=90°-a, 如图1，延长CB到点D,使BD'=DF,连接AD', B E 图1 :LABE=LD=90°， ∠ABD'=∠D=90°， :AB AD, △ABD'≌△ADF(SAS), .AD'=AF,∠DAF=∠D'AB, ∠BAD=2∠EAF, ∠EAF=∠BAE+∠DAF, 63/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAF=∠BAE+∠D'AB=∠EAD', AE AE, △AED'≌△AEF(SAS), .∠AEF=LAEB=90°-a, .∠FEC=180°-2(90°-a=2a, .∠FEC=2∠BAE; 故答案为：∠FEC=2LBAE; (2)EF、BE、DF三条线段间的数量关系为：EF=BE+DF,理由如下： 如图2，延长CB到点D,使BD'=DF,连接AD', D A D' B E 图2 :∠ABE+∠D=180,∠ABE+∠ABD'=180°， ∠D=∠ABD', AB=AD, △ABD'≌△ADF(SAS), 由(1)同理得：△AED'≌△AEF(SAS), :EF ED', ED'=BE+BD',BD'=DF, ∴ED'=BE+DF, .EF BE +DF 故答案为：EF=BE+DF; (3)EF=BE-DF,理由如下： 如图3，在BC上截取BD'=DF,连接AD', 64/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 图3 同理得：△ABD'≌△ADF(SAS, ∠BAD'=∠DAF,AD'=AF, :∠BAD=2∠EAF, .∠BAD=2∠DAF+∠EAD=2LBAD'+∠EAD=2∠D'AE, ∠D'AE=∠EAF, AE =AE, △AED'≌△4EF (SAS), EF D'E, D'E BE-BD', .EF BE-DF 13.(25-26八年级上广西南宁.阶段检测)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,LB=LD=90°， E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD.求证：EF=BE+FD; (2)如图②，将(1)中的条件，“∠B=∠D=90"改为“∠B+∠D=180°”，其他条件都不变，(1)中的结论是 否仍然成立？请说明理由； (3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC、CD延长线上的点、 且2∠EAF=∠BAD,请写出EF、BE、FD三者之间的关系并证明. D B E B E ① ② ③ 【答案】(1)证明见解析；(2)(1)中结论仍然成立，理由见解析；(3)EF=BE-DF，证明见解析 65/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题主要查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线， 构造全等三角形解决问题， (1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG,先证明△ABG≌△ADF(SAS),得到AG=AF,∠1=L2,再证 明aAEG≌△AEF(SAS),可得EG=EF,进而可得结论； (2)如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM,先证明∠ABM=∠D,进而证明△ABM≌△ADF(SAS), 得到AF=AM,∠BAM=∠DAF,再证明△AEM≌△AEF(SAS),得到EM=EF,进而可得结论； (3)如图，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG,先证明∠B=∠ADF,进而证明 △ABG≌△ADF(SAS得到LBAG=∠DAF,AG=AF,再证明∠GAE=LEAF,即可证明△AEG≌△AEF(SAS 则EG=EF,即可得到结论EF=BE-DF· 【详解】解：如图中，延长EB到G,使BG=DF,连接AG, GB E :∠ABG=∠ABC=LD=90°，AB=AD,BG=DF, .△ABG≌△ADF(SAS), :AG=AF,∠1=∠2， .∠1+∠3=∠2+∠3， 2∠EAF=∠BAD, .∠3+∠1=∠EAF, ∠2+L3=∠EAF,即LGAE=∠EAF, 又，AE=AE, △AEG≌△AEF(SAS), ∴EG=EF, EG=BE+BG, :EF BE+FD: (2)(1)中结论仍然成立，理由如下： 66/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, D B :LABC+LD=180°，∠ABM+∠ABC=180°， .∠ABM=∠D, 在△ABM与△ADF中， AB=AD ∠ABM=∠D, BM=DF ∴△ABM≌△ADF(SAS), AF=AM,LBAM=∠DAF, :2∠EAF=∠BAD, ∠BAE+∠DAF=∠EAF, ∠BAM+∠BAE=∠EAF,即∠MAE=∠EAF, 又：AE=AE, .△AEM≌△AEF(SAS), .EM EF, EM BE BM .EF BE+FD: (3)EF=BE-DF,证明如下： 如图，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG, 67/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :LB+LADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∠B=∠ADF. 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF .△ABG≌△ADF(SAS). .∠BAG=∠DAF,AG=AF. 2∠EAF=∠BAD, ∠BAD=∠BAG+∠GAE+∠EAD=2∠EAF, ∠GAE+∠EAF=2∠EAF .∠GAE=∠EAF. 又：AE=AE, .△AEG≌△AEF(SAS ∴EG=EF, EG=BE-BG, :EF BE-DF 14.(24-25八年级上：湖南衡阳期中)已知在四边形ABCD中，4B=AD,∠E4F-B1D。 【初步探察】(1)如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，线段EF、BE、FD 之间的关系是 【灵活运用】(2)如图2，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，AB=AD=5,BC=8, CD=6.求△EFC的周长 【延伸拓展】(3)如图3，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，判断 线段EF、BE、FD之间的数量关系，并证明. 68/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E E 图1 图2 图3 【答案】(1)EF=BE+FD:(2)14;(3)EF=BE-FD,见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是 解此题的关键， (1)延长CD至G,使DG=BE,连接AG,证明△ABE≌△ADG(SAS),得出∠DAG=∠BAE,AE=AG ,再证明△EAF≌aGAF(SAS),得出EF=FG,即可得解： (2)延长CD至G,使DG=BE,连接AG,证明△ABE≌△ADG(SAS),得出∠DAG=∠BAE,AE=AG 再证明△EAF≌△GAF(SAS),得出EF=FG,即可得解； (3)延长CD至G,使DG=BE,连接AG,证明△ABE≌△ADG(SAS),得出∠DAG=∠BAE,AE=AG ,再证明△EAF≌△GAF(SAS),得出EF=FG,即可得解 【详解】解：(1)如图1，延长CD至G,使DG=BE,连接AG, --,G .∠ABC=∠ADC=90°， B E 图1 :∠ADG=∠ABC=90°， AB=AD, △ABE≌△ADG(SAS), .∠DAG=∠BAE,AE=AG, ∠EAF=∠BAD, 2 ∴.∠BAE+∠DAF==∠BAD, 2 69/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A∠DAG+∠DMF= 1 ∠BAD, .∠GAF=∠EAF, ·AF=AF, △EAF≌△GAF(SAS), .EF=FG=DG+FD=BE FD 故答案为：EF=BE+FD; (2)如图2，延长CD至G,使DG=BE,连接AG, ---,G D :∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， B E 图2 ∠ADG=LABC, AB=AD, △ABE≌△ADG(SAS), ∠DAG=∠BAE,AE=AG, ,∠EAF=5∠BAD, 2 ∠BAE+∠DAF=)∠BAD, 1 ∴，∠DAG+∠DAF= ∠BAD, 2 ·∠GAF=LEAF, AF=AF, △EAF≌△GAF(SAS), .EF FG=DG+FD BE FD △EFC周长为EF+EC+CF=BE+EC+CF+FD=BC+CD=I4 (3)如图3，EF=BE-FD,理由如下： 70/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D 图3 延长CD至G,使DG=BE,连接AG, :∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， .∠ADG=∠ABC, AB=AD, ∴△ABE≌△4DG(SAS), LDAG=∠BAE,AE=AG, :∠BAE+∠EAD=∠BAD, :∠DAG+∠DAE+∠DAF=∠BAD+∠DAF, :∠EAF=∠BAD, 2 ·∠DAG+∠BAD=∠BAD+∠DAF, ∠DAG-∠DAF=∠BAD, ∠GAE=LBAD ∠GAF=∠EAF, ·AF=AF, △EAF≌aGAF(SAS), :EF FG=DG-FD BE-FD. 15.(25-26八年级上贵州毕节期末)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=LD=90°，点E,F分 别是边BC,CD上的点，且∠EAF-∠BAD,求线段ER,BE,FD之间的数量关系.小明提供了这样的思 路：延长EB到点G,使BG=DF,连接AG. 71/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (1)根据小明的思路，请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系： (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,LB+LD=180°，点E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF=<B1D,(1)中的结论是否仍然成立说明理由. (3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD,LB+LADC=180°，点E,F分别是边BC,CD延长线上的点， 且∠E4F∠B4D,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系， 并证明. 【答案】(1)EF=BE+FD (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立，理由见解析 (3)结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD,理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线。 (1)如图中，延长EB到G,使BG=DF,连接AG,利用全等三角形的性质解决问题即可 (2)思路和作辅助线的方法与(1)完全一样，如图中，延长CB至M,使BM=DF,连接AM,只不过 证明三角形aABM和△ADF全等中，证明∠ABM=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样，因 此与(1)的结果完全一样. (3)按照(1)的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换。就应该在BE上截取BG,使 BG=DF,连接AG,根据(1)的证法，我们可得出DF=BG,GE=EF,那么 EF=GE=BE-BG=BE-DF·所以(1)的结论在(3)的条件下是不成立的. 【详解】(1)解：如图中，延长EB到G,使BG=DF,连接AG, 72/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 GD LABG=LABC=∠D=90°，AB=AD, G ■ B E ·△ABG≌△ADF(SAS). .AG=AF,∠1=∠2 ∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1∠BAD ∠GAE=∠EAF. 又：AE=AE, △AEG≌△AEF(SAS), :EG EF, EG=BE+BG. :EF=BE FD. 故答案为：EF=BE+FD; (2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立 证明：如图中，延长CB至M,使BM=DF,连接AM. :∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°， M:-- B E ∠1=∠D, 在△ABM与△ADF中， 「AB=AD ∠A=∠D, BM=DF △ABM≌△ADF(SAS. .AF=AM,∠2=∠3」 73/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 :∠EMF=2∠BAD, ∠2+∠4= 2∠BAD=∠EAF ∠3+∠4=∠EAF,即∠MAE=∠EAF, 在△AME与△AFE中， AM=AF ∠MAE=∠EAF, AE=AE △AME≌△AFE(SAS). .EF=ME,即EF=BE+BM, EF BE DF (3)解：结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD, 证明：如图中，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG, A :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， G C E ∠B=∠ADF. :在△ABG与△ADF中 AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF △ABG≌△ADF(SAS). ∴.∠BAG=∠DAF,AG=AF. :LBAG+LEAD=LDAF+LEAD=∠EAF=∠BAD」 .∠GAE=∠EAF. AE=AE, 74/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AEG≌△AEF. :EG EF, :EG BE -BG, :EF BE -FD. 16.(25-26七年级下陕西西安阶段检测)在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是BC,并且 EF=BE+FD,试探究图中LBAE,LEAF之间的数量关系. G B E 图1 图2 图3 【初步探索】 (1)如图1，∠B=∠ADC=90°小王同学探究的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,再证明 △AEF≌△AGF,由此可得出结论-： 【灵活运用】 (2)如图2，若∠B+∠D=180°，上述结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 (3)如图3，若∠ABC+∠ADC=180°，点E在CB的延长线上，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与 ∠DAB的数量关系 【答案】(1)∠BHE+∠FAD=∠EAF;(2)成立，理由见解答；(3)∠EAF=180°-∠DAB,证明见解答 【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,则GF=DG+FD=BE+FD,从而得出GF=EF, 证明△ADG≌△ABE(SAS)得出LDAG=LBAE,AG=AE,证明△AGF≌△AEF(SSS)得出LGAF=LEAF, 即可证明∠BAE+∠FAD=∠EAF; (2)延长FD到点H,使DH=BE,连接AH,则HF=DH+FD=BE+FD,从而得到HF=EF,证明 △ADH≌△ABE(SAS得出∠DAH=∠BAE,AH=AE,证明△AHF≌△AEF(SSS)得出∠HAF=∠EAF,即可 证明∠BAE+∠FAD=∠EAF; (3)延长DC到点L,使DL=BE,连接AL,则LF=EF,证明△ADL≌△ABE(SAS)得出 75/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAL=∠BAE,AL=AE,证明△AFL≌△AEF(SSS)得出∠LAF=∠EAF,从而得到 ∠EAF+∠EAF+∠DAB=360°，即可得解.i 【详解】解：(1)如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,则GF=DG+FD=BE+FD, G EF BE FD B E :GF EF, :∠B=∠ADC=90°， ∠ADG=∠B=90°， 在△ADG和△ABE中， AD=AB ∠ADG=∠B, DG=BE △ADG≌△ABE(SAS, LDAG=∠BAE,AG=AE, 在△AGF和△AEF中， AG=AE GF=EF, AF=AF △AGF≌△AEF(SSS), ∴∠GAF=∠EAF, :∠GAF=∠DAG+∠FAD=∠BAE+∠FAD, ∠BAE+∠FAD=∠EAF, 故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF: (2)成立， 理由：如图，延长FD到点H,使DH=BE,连接AH,则HF=DH+FD=BE+FD, 76/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H ,:EF =BE FD E :HF EF, :∠ADH+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°， ∠ADH=∠B, 在△ADH和△ABE中， AD=AB ∠ADH=∠B, DH=BE △ADH≌△ABE(SAS), ∠DAH=∠BAE,AH=AE, 在△AHF和△AEF中， (AH=AE HF=EF, AF=AF .△AHF≌△4EF(SSS), ∠HAF=LEAF, ∠HAF=∠DAH+∠FAD=∠BAE+∠FAD, ∴.∠BAE+∠FAD=∠EAF; (3)∠EAF=180°-∠DAB, 证明：如图，延长DC到点L,使DL=BE,连接AL, 771/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,LF DL+FD BE+FD,EF BE+FD, A :LF EF, :LABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∠ADC=LABE, 在△ADL和△ABE中， AD=AB ∠ADL=∠ABE, DL=BE ∴△ADL≌△ABE(SAS), :∠DAL=∠BAE,AL=AE, 在AAFL和△AEF中， (LF=EF AL=AE, AF=AF ∴△AFL≌△AEF(SSS), ∠LAF=LEAF, .∠DAF+∠BAE=∠DAF+∠DAL=∠LAF=∠EAF, :LEAF+∠DAF+∠BAE+∠DAB=360°， ∠EAF+LEAF+∠DAB=360°， ÷∠EAF=180°-∠DAB. 2 【点晴】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大， 正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键， 17.(25-26八年级上江西南昌期末)在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为 ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M,N分别在直线AB,AC上移动 78/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时，BM,C,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系. 图① 图② 图③ (1)如图①所示，当点M,N在边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是-，此时 :(不必证明哪 (2)如图②所示，点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出 你的猜想并加以证明； (3)如图③所示，当M,N分别在边AB,CA的延长线上时，猜想BM,NC,MN之间的数量关系并加以 证明； (4)在(3)问的条件下，若此时AN=x,则2=-·（用含有x,L的式子表示） 【答案】(1)BM+NC=MN, 3 (2)成立，证明见解析 (3)CN=BM+MN,证明见解析 40=2x+2L 3 【分析】(1)易证△DMW是等边三角形，得MN=DM=DN,进而证△BDM和△CDN均为直角三角形，再 证RtADBM≌RtADCN(HL),进而得LBDM=30°，则DM=2BM,即可解决问题： (2)①证△DBM≌ADCE(SAS),得DM=DE,∠BDM=∠CDE,再证△MDW≌△EDN(SAS),得 MN=NE,由等边三角形的性质和①的结论，即可解决问题： (3)在NC上截取CF=BM,连接DF,证△DBM≌△DCF(SAS),得∠BDM=∠CDF,DM=DF,再证 △MDN≌△FDN(SAS,得MN=NF,即可得出结论； (4)由等边三角形的性质和(3)的结论，即可解决问题. 【详解】(1)解：：DM=DN,∠MDN=60°， 79/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△MDN是等边三角形， :MN DM DN, :∠BDC=120°，BD=DC, ∠DBC=∠DCB=30°， :ABC是等边三角形， :∠ABC=∠ACB=60°， ∠DBM=∠DCN=90°， 在Rt△DBM和Rt△DCN中， DM=DN BD=CD :RtADBM≌RtADCN(HL), ∠BDM=∠CDN=120°，60°=30°，BM=CN, 2 :DM =2BM, :DM MN =2BM BM +NC, 即MN=BM+CN; AB=AC,BM =CN, ∴.AM=AN, :∠A=60°， :△AMN是等边三角形， :△AMN的周长Q=3MN=6BM,AM=MN=2BM, :等边ABC的周长L=3AB=3(AM+BM=9BM, O 6BM 2 L 9BM3 放答案为：=BM+CN:子 (2)解：结论依然成立，证明如下： 如图2，延长AC到E,使CE=BM,连接DE, 80/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABC是等边三角形， D 图2 :∠ABC=∠ACB=60°， :BD=CD,∠BDC=120°， ∠DBC=LDCB=30°， :ZABC +ZDBC ZACB+ZDCB 即∠ABD=∠ACD=90°， :∠DCE=180°-∠ACD=180°-90°=90°， 在△DBM和△DCN中， BD=CD ∠ABD=∠DCE=90°， BM=CE :△DBM≌ADCE(SAS), ∴DM=DE,∠BDM=∠CDE, :∠BDC=120°，∠MDN=60°， :∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°， 即∠CDE+∠CDN=60°， .∠NDE=60°， 在△MDN和△EDN中， (DM =DE ∠MDN=∠EDN=60°， DN=DN :△MDN≌EDN(SAS), :MN NE, NE=CN+CE,CE=BM, :MN=BM +CN :ABC是等边三角形， 81/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB=AC BC, 等边三角形ABC的周长L=AB+AC+BC=3AB, 由①可知，MN=BM+NC, :△AMN的周长Q=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=2AB, Q 2AB 2 L 3AB3 (3)解：CN=BM+MN; 证明：如图3，在NC上截取CF=BM,连接DF, D 图3 由(2)知：∠ABD=∠ACD=90°， ∠MBD=180°-90°=90°， 在△DBM和△DCF中， BD=CD ∠DBM=∠DCF, BM=CF :△DBM≌△DCF(SAS, .∠BDM=∠CDF,DM=DF, :∠MDN=∠BDM+∠BDN=∠CDF+∠BDN=60° :∠BDC=120°， ∠NDF=60°， 在△MDN和△FDN中， MD=FD ∠MDN=∠FDN=60, DN=DN :△MDN≌AFDN(SAS), 82/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :M N NF, CN=NF+CF,CF=BM, :CN =MN+BM (4)解：：等边ABC的周长为L, L ..AB= 3 :△AMN的周长Q=MN+AN+AM, FN AN AB+BM, =AN+AF+AN+AB+CF, =2x+2AB, =2x+21, 3 故答案为：2x+名L. 3 【点晴】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三 角形的性质以及等腰三角形的性质等知识.此题综合性很强，熟练掌握等边三角形的性质，正确找出辅助 线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型， 18.(25-26八年级上广东广州·期中)在四边形ABCD中，AB=AD. G H 图1 图2 图3 (1)若∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，试探究线段BE, EF,FD之间的数量关系.小亮同学认为：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,如图1，先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系.请你： ①直接写出∠GAF的度数：LGAF=一°； ②根据小亮同学的思路，直接判断BE,EF,FD之间的数量关系： 2)如图2，若∠B+∠D=180°，点E,F分别是BC,CD上的点，∠EMF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然 成立？请说明理由 (3)如图3，若LABC+∠ADC=180°，点E,F分别是CB,CD延长线上的点，若EF=BE+DF,试判断 83/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAF和∠BAD之间的数量关系，并说明理由， 【答案】(1)①60°；②EF=BE+FD 2)结论仍然成立，理由见解析 3)∠EAF=180°-∠DAB,理由见解析 2 【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,则GF=BE+FD,先依据"SAS"判定△ABE和 △ADG全等得AE=AG,∠BAE=∠DAG,进而得LEAF=∠GAF=60°，再依据“SAS"判定△AEF和 △AGF全等得EF=GF,由此即可得出BE,EF,FD之间的数量关系； (2)延长FD到H,使DH=BE,连接AH,则HF=BE+FD,先证明∠B=∠ADH,进而可依据“SAS” 判定△ABE和△ADH全等，则AE=AH,∠BAE=∠HAD,继而结合已知条件可得出AF是∠HAE的平分线， 由此可依据"SAS”判定△AEF和△AHF全等，则EF=HF,据此即可得出答案： (3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定aADG≌△ABE,再判定△AEF≌aAGF, 得出∠FAE=∠FAG,最后根据LFAE+LFAG+∠GAE=360°，推导得到2LFAE+∠DAB=360°，即可得出结论. 【详解】(1)解：①延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,如图1所示： E 图1 .GF=DG+FD=BE +FD, :∠B=∠ADC=90°， .∠B=∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG=90°， DG=BE ∴△ABE≌△4DG(SAS, AE=AG,∠BAE=∠DAG, :∠BAD=120°，LEAF=60°， 84/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=120°-60°=60°， ∠DAG+∠DAF=60°，即∠GAF=∠DAG+∠DAF=60°， ∠EAF=∠GAF=60°， ②在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF .△AEF≌△AGF(SAS, ∴EF=GF, :GF =BE+FD, :EF BE +FD, BE,EF,FD之间的数量关系是：EF=BE+FD, 故答案为：①60°，②EF=BE+FD (2)解：结论仍然成立，理由如下： 延长FD到H,使DH=BE,连接AH,如图2所示： D 图2 ∴HF=DH+FD=BE+FD, :∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∠B=∠ADH, 在△ABE和△ADH中， AB=AD ∠ADH=∠B, DH=BE .△ABE≌ADH(SAS, .AE=AH,∠BAE=∠HAD, 85/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠BAD=∠BAE+∠EAF=∠HAD+∠EAF=∠HAE, :∠EAF=∠BAD, 2 .ZEAF-ZHAE. :AF是∠HAE的平分线， ∴.∠EAF=∠HAF, 在△AEF和△AHF中， AE=AH ∠EAF=∠HAF, AF=AF :.△AEF≌△AHF(SAS), ∴EF=HF, 又：HF=BE+FD, ∴EF=BE+FD, .结论仍然成立 (3)解：∠EAF=180-1∠DAB, 2 理由：如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G 图3 :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， LADC=∠ABE, 在△ADG和△ABE中， AD=AB ∠ADC=∠ABE, DG=BE △ADG≌△ABE(SAS), 86/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF BE FD DG+FD=GF .EF=GF, 在△AEF和△AGF中， 「AG=AE AF=AF, EF=GF △AEF≌△AGF(SSS), ∠FAE=LFAG, :∠FAE+∠FAG+LGAE=360°， .2∠FAE+∠GAB+∠BAE=360°， :.2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∠EAF=180°7∠DAB 【点晴】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助 线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意：同角的补角相等 19.(25-26八年级上.上海闵行期中)如图，ABC是边长为√5的等边三角形，AB、AC边上有两点E、F ,∠EDF=60°，且∠BDC=120°，BD=CD. E D (1)如图，若BE=CF,证明aDEF为等边三角形. (2)若BE≠CF,其他条件不变，求△AEF的周长 87/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (3)如图，当E、F分别在BA、AC延长线上时，若AE=x,则△AEF的周长=-·（用含x的代数式表示， 直接写出答案) E D 【答案】(1)见解析 (2)2V3 (3)2x+2√5 【分析】(1)根据等边三角形的性质和已知条件证明△DBE≌△DCF,得到DE=DF,结合∠EDF=60°即 可证明结论： (2)延长AB至点G,使BG=CF，,连接DG,利用三角形内角和定理和已知条件证明aDBG≌△DCF，得 到DG=DF,LBDG=LCDF,角度代换进一步证明△EDG≌aEDF,有EG=EF,即可知△AEF的周长 为AB+AC. (3)在AB上取点G,使BG=CF,连接DG,同(2可证△BDG≌△CDF,得DG=DF,∠BDG=LCDF, 进一步证明△DGE≌△DFE,得GE=EF,则△AEF的周长为2AE+AC+AB. 【详解】(1)证明：：ABC是等边三角形， ∠ABC=∠ACB=60°， DB=DC, LDBC=∠DCB, :∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， 88/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB, 即∠DBE=LDCF=90°， 在△DBE与△DCF中， DB=DC ∠DBE=∠DCF, BE=CF △DBE≌△DCF(SAS), :DE=DF, 又：∠EDF=60°， :△DEF是等边三角形. (2)解：延长AB至点G,使BG=CF,连接DG,如图， E G D :∠DBG+∠DBE=180°， .∠DBG=90°， .∠DBG=∠DCF, 在△DBG与△DCF中， DB=DC ∠DBG=∠DCF, BG=CF :.△DBG≌DCF(SAS), DG=DF,∠BDG=LCDF, :∠BDC=∠BDE+∠EDF+LCDF,∠BDC=120°，LEDF=60°， ∠BDE+∠CDF=60°， ∠BDE+LBDG=60°， 即∠EDG=60°， 89/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EDG=LEDF, 在△EDG与△EDF中， ED=ED ∠EDG=∠EDF, DG=DF :△EDG≌EDF(SAS), .EG=EF, :C。AEF=AE+EF+AF =AE+EG+AF AE EB+BG+A F AE+EB+CF +AF =AB+AC, C.=2. (3)解：在AB上取点G,使BG=CF,连接DG,如图， D 同(2)可证△BDG≌△CDF(SAS), DG=DF,LBDG=∠CDF, 同(2)可证△DGE≌△DFE SAS), :GE=EF, C.EF AE+AF+EF =AE+AC+CF+EG =AE+AC+BG+EG AE+AC+BE =AE+AC+AB+AE 90/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2x+2V5. 【点晴】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质及三角形内角和定理，解题的 关键是作辅助线构造全等三角形，并利用全等三角形的性质求三角形的周长。 20.(2015-山东日照.一模)己知，四边形ABCD中， AB⊥AD,BC⊥CD,BA=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC(或 它们的延长线)于E,F. 当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时，如图(1)，易证：AE+CF=EF, 当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图(2)和图(3)中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. B D 图(1) 图(2) 图(3) M 【答案】图(2)成立，有AE+CF=EF,证明见解析：图(3)不成立，有AE-CF=EF,理由见解析 【分析】证明图(2).延长DC至点K,使CK=AE,连接BK,证明△BAE≌aBCK(SAS),然后证明 △KBF≌△EBF(SAS),根据线段之间的数量关系可得AE,CF,EF之间的关系，然后进行判断即可； 证明图(3)，延长DC至G,使CG=AE,同理可证，△BAE≌△BCG(SAS),aGBF≌△EBF(SAS),据线段 之间的数量关系可得AE,CF,EF之间的关系，然后进行判断即可. 【详解】解：图(2)成立，图(3)不成立，AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF,证明如下： 证明图(2).理由如下： 延长DC至点K,使CK=AE,连接BK, 91/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E K 图(2) 在△BAE和△BCK中， (AB=CB :{∠A=∠BCK=90°， AE=CK ·△BAE≌ABCK(SAS), BE=BK,∠ABE=∠KBC, :∠FBE=60°，∠ABC=120°， .∠FBC+LABE=60°， .∠FBC+∠KBC=60°， ∠KBF=∠FBE=60°， 在△KBF和△EBF中， BK=BE ∠KBF=∠EBF, BF=BE △KBF≌△EBF(SAS), .KF =EF, KC+CF =EF, .AE +CF EF. 如图(3)，延长DC至G,使CG=AE, 92/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 图(3) M 同理可证，△BAE≌△BCG(SAS), BE=BG,∠ABE=LGBC, :∠GBF=∠GBC-∠FBC=∠ABE-∠FBC=120°+∠FBC-60-∠FBC=60°， ∠GBF=LEBF, 在△GBF和△EBF中， BG=BE ∠GBF=∠EBF, BF=BF △GBF≌aEBF(SAS), ∴EF=GF, .AE-CF=CG-CF=GF=EF, .AE -CF EF, AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF. 【点晴】本题考查了全等三角形的判定和性质.正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定定理和性质定理 是解题的关键】 21.(25-26九年级下.黑龙江绥化开学考试)已知四边形ABCD中，AB1AD,BC⊥CD,AB=BC, ∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F. B D E 图1 图2 图3 M (1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时，如题图1，易证AE+CF=EF. 93/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2，(1)中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， 线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？ 3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图3，(1)中结论是否成立？若不成立，线段AE,CF,EF又 有怎样的数量关系？请给予证明. 【答案】(1)AE+CF=EF (2)EF=AE +CF (3)EF=AE-CF 【分析】(1)根据CF=AE可得BF=BE,易求得∠CBF=30°，可得BF=2CF,即可求解； (2)将Rt△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG+CF=AE+CF.,易证aGBF≌△EBF(SAS),即可求解； (3)将Rt△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG-CF=AE-CF,易证△GBF≌△EBF(SAS),即可求解 【详解】(1)证明：：在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB=BC,CF=AE, .tan∠CBF=tan∠ABE,BF=BE, ∠CBF=∠ABE, :∠ABC=120°，∠MBN=60°， .∠CBF=30°，△BEF是等边三角形， ∴BF=2CF,BF=EF, .AE+CF EF=2CF (2)解：将Rt△ABE顺时针旋转120°，如图， M AB=BC,∠ABC=120°， “A与点C重合， :BG=BE,FG=CG+CF=AE+CF. :∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∠GBF=60°， BF =BF, 94/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △GBF≌△EBF(SAS), ∴FG=EF, :EF AE+CF; 3)解：不成立，新结论为EF=AE-CF, 将Rt△ABE顺时针旋转120°，如图， y G 图3 M :AB=BC,∠ABC=120°， A与点C重合，∠ABE=∠CBG, .BG=BE,FG=CG-CF=AE-CF, :∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°， ·∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°， :∠MBN=60°， .∠GBF=60°， BF BF, :△GBF≌△EBF(SAS), :FG=EF, ∴EF=AE-CF; 【点晴】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及到30度角所对直角边是斜边的一半，本题中求证 △GBF≌△EBF(SAS)是关键， 22.(2024七年级下.全国.专题练习)已知四边形ABCD中，AB1AD,BC⊥CD,AB=BC, LABC=120°，∠MBV=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F. 95/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 图1 图2 图3 M (1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证：AE+CF=EF. (2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CFF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给 出证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明. 小明第(1)问的证明步骤是这样的： 延长DC到Q使CQ=AE,连接BQ, 证出△BAE≌△BCQ得到BE=BQ,∠ABE=∠CBQ; 再证△BEF≌△BQF,得到EF=FQ,证出EF=CF+CQ,即AE+CF=EF. 请你仿照小明的证题步骤完成第(2)问的证明. 【答案】(1)见解析(2)图2成立；图3不成立，见解析 【分析】(1)延长DC到Q使CQ=AE,连接BQ,先证明△BAE≌△BCQ(SAS),证出△BAE≌△BCQ得到 BE=BQ,∠ABE=∠CBQ；再证△BEF≌△BQF,得到EF=FQ,证出EF=CF+CQ,即AE+CF=EF (2)在图2仿照(1)的解法证明即可，图3也可以仿照(1)证明，只是结论不成立， 本题考查了三角形全等的判定和性质，半角模型的应用，熟练掌握半角模型，构造半角模型是解题的关键 【详解】(1)如图，延长DC到Q使CQ=AE,连接BQ, :AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°， ∠MBN=60°， .LABE+CBF=60°，∠BAE=∠BCQ=90°， BA=BC ∠BAE=∠BCQ, AE=CO 96/102 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·△BAE≌△3CQ(SAS), .BE BO,ZCBO=ZABE, ∴.∠CBQ+∠CBF=60°即∠QBF=60°， :∠EBF=60°， ∴.∠EBF=∠QBF=60°， BE=BO ∠EBF=∠QBF, BF=BF △BEF≌△BQF(SAS, :EF=FO, .FO=CF+CO,CO=AE, .FO=CF+AE. .EF CF AE (2)图2成立，图3不成立， 证明：如图2，延长DC到K使CK=AE,连接BK, :AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=I20°， ∠MBN=60°， ∴∠ABE+CBF=60°，LBAE=∠BCK=90°， M 图2 BA=BC ∠BAE=∠BCK, AE=CK .△BAE≌△BCK(SAS, .BE=BK,∠CBK=∠ABE, 97/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠CBK+∠CBF=60°即∠KBF=60°， :∠EBF=60°， ∠EBF=∠KBF=60°， BE=BK ∠EBF=∠KBF, BF=BF △BEF≌△BKF(SAS), .EF FK, FK =CF +CK CK AE, .FK =CF AE .EF CF AE 如图3，如图，延长DC到Q使CQ=AE,连接BQ, :AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°， ∠MBN=60°， ·.∠BAE=∠BCQ=90°， 图3 BA=BC ∠BAE=∠BCQ, AE=CO .△BAE≌△BCQ(SAS), .BE BO,ZCBQ=ZABE, .∠QBF=∠CBQ-CBF=120°-∠EBC-CBF=120°-∠EBF=60°， :∠EBF=60°， ∴.∠EBF=∠QBF=60°， 98/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=BO ∠EBF=∠QBF, BF=BF ∴.△BEF≌△BQF(SAS), .:EF=FO, CO=CF+FO,CO=AE, .CO=CF+EF. .AE CF EF. 23.(25-26七年级下·上海嘉定·期末)在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N, P为ABC外一点，且∠MPN=60°，∠BPC=120°，BP=CP.探究：当点M、N分别在直线AB、AC移 动时，BM、NC、MN之间的数量关系. M P ◇ 图① 图② 图③ (1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM=PN时，试说明MN=BM+CN. (2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN=BM+CN还成立吗？ 答：一·（请在空格内填”一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”). (3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM、NC、MN之间的数量关系， 【答案】(1)见解析 (2)一定成立 (3)MN =NC-BM 【分析】(1)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到∠PBC=∠PCB=30°，进而得到 ∠PBM=∠PCN=90°，证明RtAPBM≌RtAPCN(HL),得到∠BPM=∠CPN=30°，根据含30°的直角三角形的 性质证明结论： (2)延长AC至H,使CH=BM,连接PH,证明aPBM≌aPCH,得到PM=PH,LBPM=∠CPH，再证 99/102 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 明△MPN≌aHPN(SAS),得到MN=HN,即可得到答案； (3)在AC上截取CK=BM,连接PK,证明PBM≌aPCH(SAS),得到PM=PK,∠BPM=∠CPK,再证 明sMPN≌aKPN(SAS),得到MN=KN,即可得到答案. 【详解】(1)证明：：△ABC为等边三角形， :∠ABC=∠ACB=60°， :∠BPC=120°，BP=CP, ∠P8c=∠PCB=×080-1209)=30, ∠PBM=LPCN=90°， 在Rt△PBM和Rt△PCN中， (PB=PC PM=PN' .RtaPBM≌RtAPCN(HL), .∠BPM=∠CPN=30°， :∠MPN=60°，PM=PN, :△PMN为等边三角形， :PM =PN MN 在Rt△PBM中，∠BPM=30°， BPM. 同理可得，CW=PN, 2 :BM +CN MN (2)解：一定成立， 理由如下：如图，延长AC至H,使CH=BM,连接PH, 由(1)可知：∠PBM=∠PCN=90°， 100/102