解三角形练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学解三角形单元复习卷，全面覆盖正弦定理、余弦定理及面积公式等核心知识，通过基础判断、综合计算及创新应用分层考查，适配单元学情检测与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|三角形形状判断、解的情况分析、面积计算|结合正弦定理多解问题（如第3题），考查推理能力| |多选题|3题|定理综合应用、边角关系判断|融合向量与三角（如第10题），培养数学思维严谨性| |填空题|3题|中线长公式、解的个数讨论|通过限定条件（如第14题b的取值范围），发展数学眼光| |解答题|5题|条件选择性计算、外接圆半径、四边形综合|设计开放条件（如第15题三选一）及跨图形综合（如第19题四边形面积），体现数学语言表达与模型意识|

解三角形练习检测试卷 一、单选题 1、在△ABC中，已知acos B=bcos A,则△ABC的形状为() A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形 2、在△ABC中，角A,B,C对边分别是a,b,C,若b=8,A=60°，b+c=4V7 sinB+sinc 则△ABC的面积为() A.3 B.4C.20 D.20V3 3、下列条件判断三角形解的情况，正确的是() A.a=4,b=8,A=30°，有两解 B.b=9,c=10,B=60°，有一解 C.a=15,b=2,A=90°，无解 D.a=8,b=6,A=120°，有-解 4、在锐角△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、C,已知a=2,B=3,则 △ABC周长的取值范围为() A.(3+V3,6+23) B.(3+2√3,6+23) C.(3+V3,6+3V3) D.(3+2V3,6+3V3) 5、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=bcos C+csinB,且△ABC 的面积为1+√2，则b的最小值为() A.2 B.3 C.2 D.3 6、已知△ABC的面积为4，AC,AB的中点分别为D,E,且CE=2BD,则AC的最小值 为() A.2V5 B.4 c.8 D.43 D 7、如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD,AD=5, AB=7,∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为() A.4V2B.7V2C.43D.22 8、设△ABC的外心为0，若A0·BC+2B0·CA+3C0·AB=0,sinC=sinA,则 cos A=( A29B.沿C.治D. 18 二、多选题 9、在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=5,a=3,cosB= 则0 A.sinA=-号 B.△ABC的面积为3 C.AB·CB=9 D.BC-BA=4 10、在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,BD=2DC, acos B=(2c-b)cos A+2acos C.( A.C=2B B.c=2b C.AD-AC+AB D.AD的范围为(0,4] 11、设△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+2,面 积S满足1≤S≤3，角A,B,C的对边分别为a,b,c。下列四个结论正确的有() A.sin Asin Bsin C=8 a+b+c B.4≤snA+mB+mc≤4V3 C.8≤abc≤162 D.ab(a+b)>8 三、填空题 12、在△ABC中，AB=5,AC=7,D为BC的中点，AD=5,则BC= 13、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b=√2c,sinA=V3sinC,则cosB= 14、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c若满足(1-tanA)(1一tanB)=2和 c=4V2的三角形有且仅有两个，则b的取值范围为 四、解答题 15、在△ABC中，b=2√6，csin2B=45sinC. (1)求c0SB; (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在，求AC的长条件①：c=10:条件②：0sA=5:条件③：△ABC的面积为V50 16、在锐角△ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,6,C,满足是=m+n6 且a=2. (1)若⊙0为△ABC的外接圆，求⊙O的半径r; (2)求锐角△ABC周长的取值范围. 17、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,sinB=bsin A. (1)求a的值； (2)若csB-bcos4=b+￡，求△ABC周长的最大值. acosB+bcosA c 18、已知三角形ABC的角A,B,C所对的边为 a,b,C,且b=2,1+ccos B=a,延长BC 到点D. B (1)若CD=3,求AD的长； (2)若∠B=2LD,3BC=4CD,求AD的长. 19、在平面四边形ABCD中，AD=CD=2. A B B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若BC=1,sin∠ABC=且AD1AB,求AC; (2)如图2，若△ABC为正三角形，求四边形ABCD面积的最大值； (3)如图3，若AB=2BC=2,AC与BD交于O点，当ABCD面积最大时，求三角形AOD 和三角形BOC面积之比 答案速对：（详细答案在后面） 单选：ADD AA AA C 多选：ACD BC ABD 填空：4√3 退 (42,8) 解答题： 15、(1)c0sB= (2)若选②或③，结果均为8+26 选①时不成立 16、(1)29 (2)(2+2V3,6] 17、(1)a=1 (2)1+23 3 18、(1)V19 (2)239 5 19、(1)29 (2)4+2V3 (3)4 详细解答： 1、根据正弦定理，acos B=bcos A,得：sin Acos B-cos Asin B=0 即sin(A-B)=0。因为A,B是三角形内角，即A,BE(0,π)，所以A-BE(-π，)，因 此A=B。即a=b,选A b b+c 2、根据正弦定理B=smc=mB+mc=2R b+c 由题知n8+nc=47,即2R=47。 结合A=60°，由nA=2R,得：a=2 Rsin A=47:sin60°=4V7.3=2V21 再由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A,.代入a=2V21,b=8,cosA=2 得c2-8c-20=0解得正根c=10（负根舍去)。 因此△ABC的面积：S=bcsin A=号8,10·sin60°=20V3选D 3、若已知两边和一边对角（夹角由余弦定理知唯一）有如下结论： a<bsin A:无解；a=bsin A:一解（直角三角形）；bsin A<a<b:两解； a≥b:一解；若A为钝角或直角，a>b时有一解，a≤b时无解。 对于A:a=4,b=8,A=30° bsin A=8·sin30°=4，即a=bsin A,有一解，A错误。 对于B:b=9,c=10,B=60° csin B=10·sin60°=5V3,满足csin B<b<c,有两解，B错误。 对于C:a=15,b=2,A=90° A为直角且a>b,有一解，C错误。 对于D:a=8,b=6,A=120° A为钝角且a>b,有一解，D正确。 选D 4、在锐角△ABC中，Q=2,B=景，则C=号-A 因为△ABC是锐角三角形.则号-A<一A>名因此角A的范围是名<A<。 根据正弦定理A=B=C=2R,可得：b=mBc asin C sin AC= sinA 三角形周长1=a+b+c,代入展开sin(受-)=cosA+$inA.代入后化简： 由半角公式-立因此1=3+品 3 后<A<京得品<< 代入周长表达式得：3+V3<1<3+V3(2+V3)=6+2V3 即周长取值范围为(3+V3,6+23)。 选A 5、由正弦定理将边化为角：sinA=sin Bcos C+sin Csin B sinA=sin(B+C),展开得：sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C 将其代入上式得cos Bsin C=sin Bsin C 因为Ce(0,π)，故sinC≠0，两边同除以sinC得：cosB=sinB→tanB=1 又BE(0,).因此B=。 三角形面积S=2 acsin B=1+V2,代入sinB=: 2 2ac=1+V2、解得ac=4+2V2。 由余弦定理，b2=a2+c2-2 accos B,代入cosB=2: b2=a2 +c2-12,ac 由基本不等式a2+c2≥2ac(当且仅当a=c时取等号)，因此： b2≥(4+2V2)(2-V2)=8-4W2+4W2-4=4 即b≥2，b的最小值为2。 选A 6、因为D、E分别为AC、AB的中点，所以AD=AB=。 在△ABD中，由余弦定理： b2 BD2=AB2+AD2-2·AB·AD·COSA=C2+ ·-bccos A 4 在△ACE中，由余弦定理： CE2=AC2+AE2-2.AC.AE.cosA=b2+-bccos A 由条件CE=2BD,得CE2=4BD2,代入两式： b2 b2+ 4-bccos A=4(c2+ -bccos A) 展开并整理：c=ibcos A 5 △ABC的面积S=besin A=4,即besin A=8。将c=g4代入： 化简得：b2sin2A=20→b2=20 sin 2A 因为A∈(0，m),所以sin2AE(0,1],当sin2A=1(即A=4)时，b2取得最小值20，因 此：bmin=V20=2V5选A 7、已知AD=5,AB=7,∠BDA=60°，由余弦定理：AB2=AD2+BD2-2·AD· BD·COS∠BDA 代入数值整理：BD2-5BD-24=0,解得BD=8。 由AD⊥CD,得∠ADC=90°，因此：∠BDC=∠ADC-∠BDA=90°-60°=30° 在△BCD中，已知∠BCD=135°，则∠CBD=180°-135°-30°=15° 由正弦定理nnC=n0D.BC=4N2 BD 选A 8、过0作三边投影得A0·AB=c2;同理A0·AC=b2。(这时重要的结论，qin记 住) 将BC=AC-AB代入A0·BC: 同理可得：B0.CA=c2-Q2,c0·AB=2(a2-b2) 带入：(b2-c2)+2(c2-a2)+3(a2-b2)=0 得a2+c2=2b2 由正弦定理得c=。 将c2=32代入a2+c2=2b2得b2=a2 由余弦定理 .v6 Cos A=12 9、由B∈(0，m,得sinB=V1-os2B=、1-(侵)2= 由余弦定理：b2=Q2+c2-2ac0sB=32+52-2×3×5×=34-18=16 故b=4. 由正弦定理A=m8,得：sinA=8B=3×=} b b A正确 4 5 三角形面积：S=acsin B=2×3×5×;=6B错误。 AB.CB=BA,BC=|BA~|BC1cosB=c.acosB=5×3×=9C正确。 BC-BA=AC,因此IBC-BA|=|ACI=b=4D正确。综上，第9题答案：ACD 10、由正弦定理：sin Acos B=(2sinC-sinB)coSA+2 sin Acos C 展开sin Acos B+sin Bcos A=2 sin Ccos A+2 sin Acos C 由和角公式得sinC=2sinB,再由正弦定理得c=2b。B正确 对于A:若C=2B,则sin2B=2 sin Bcos B=2sinB,得cosB=1不成立.A错误 由BD=2DC,得BD:DC=2:1,由向量线性运算：AD=AB+BD=AB+BC → 则AD=AB+(AC-AB)=3AB+ACC正确 1 由C0S∠ADC=-COS∠ADB。 整理：AD2=2b2-2 由△ABC三边关系知AD无法取到端点值4，D错误。 故选BC 11、A-B+C=(A+B+C)-2B=π-2B,因此sin(A-B+C)=sin(π-2B)= sin 2B C-A-B=C-(A+B)=C-(π-C)=2C-π，因此sin(C-A-B)=sin (2C-π)=-sin2C 由和差化积有4 sin Asin BsinC=号即A正确。 设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B。 将sin Asin BsinC=名代入S=2R2 sin Asin BsinC 得R∈[2,2V3]且由正弦定理 sinA+si咖B+imc=2R。B正确 a+b+c 由正弦定理化简得abc=R3。 由R∈[2,2√3]，得C错误 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，因此Q+b>c。 由于a,b均为正数，两边同乘ab,不等号方向不变： 由选项C的结论abc=R3,结合R≥2，可知abc≥8（当且仅当R=2时取等）。 又因为a+b>c是严格不等关系，故而无法取等，D正确。选ABD 12、设BC=x,由中线长公式：AD2=2AB2+2AC2-BC2 4 代入得AD=4V3 13、由正弦定理，得a=V3c,又b=V2c 用余弦定理得cosB=y3 3 14、展开两边同除以1-tan Atan B,由正切和角公式得C= 三角形有且仅有两个解，等价于角B有两个不同的有效值，需满足： sin BE(sinC,1):保证B有锐角、钝角两个解；钝角解需满足B<π一C=年， 3π 否则内 角和超过π。 因此sinC<sinB<1,代入数据 解得：bE(4V2,8) 15、(1)由二倍角公式2 csin Beos B=5sinC 3 根据正弦定理可得csin B=bsin C,带入即2 bsin C·cosB=4y6 3 2bc0sB=代入b=26得c0sB=0 (2）sinB=V1-cos2B=22 对于①：c=10由正弦定理，得：sinC=n8=10×29=10n3>1 b 2√6 9 正弦值不能大于1，因此三角形不存在，条件①舍去。 对于②：csA=9 b 2w6 由A∈(0，m),得sinA=V1-co2A=号。由正弦定理，得外接圆直径2R=B= =33,因此：a=2 Rsin A=3V3×9=3 sin C=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B=53 因此c=2 Rsin C=3V3×53=5。 三角形周长为a+b+c=3+26+5=8+26。对于③ △ABC的面积为V50 V50=5V2,由三角形面积公式S=20 csin B,代入得：2ac×2号=52→ac=15 3 由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B 得(a+c)2=a2+2ac+c2=34+30=64,即a+c=8。 三角形周长为a+b+c=8+26, 综上，选择条件②或③时三角形存在，周长为8+2√6；条件①三角形不存在。 16、(1)由正弦定理得”。-8 交叉相乘得(a-b)(a+b)=c(c-b),展开整理： a2-b2=c2-bc=b2+c2-a2=bc 由余弦定理cosA=2+2代入得c0sA= 2bc 因为AE(0,m),故A=5 再由正弦定理A=2r,代入a=2、sinA= 2 得 2V3 3 (2)周长l=a+b+c=2+b+c。 由正弦定理，b=2 rsin B=sinB,c=3sinC。 3 3 由A=系得B+C=牙即C=智-B。 因为三角形为锐角三角形，得B+名∈G, 再有正弦定理得 b+c (sinB+sin(B))=4sin (B+ 4 得l∈(2+2W3,6] 17、（1)由正弦定理b=ab得a=1 (2)首先对已知等式交叉相乘化简： c(acos B-bcos A)=(b+c)(acos B+bcos A) 由余弦定理展开：c(acos B-bcos A)=a2-b2 (acos B+bcos A)=c 带入化简得：b2+c2+bc=1 由基本不等式b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号)，代入上式得： 1=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc因此bc≤号当且仅当b=c时取等号。 又因为(b+c)2=b2+2bc+c2=(b2+c2+bd)+bc=1+bc,结合bc≤} 14 b+G)2≤1+3=3 故b+c≤当且仅当b=c=时取等号。 因此周长的最大值为：nx=1+2 18、（1)由余弦定理可得a=bcos C+ccos B。 已知a=1+cC0sB,得bc0sC=1 代入b=2,得c0sC=克C=号 因为D在BC的延长线上，所以∠ACD=π-LACB=π-号=号。 由余弦定理：AD2=AC2+CD2-2·AC·CD·cOS∠ACD得AD2=19故AD=V19。 (2)设∠D=0,则∠B=20。 由（①知∠ACB=故LACD=π-背=。 ∠CAD=π-LACD-LD=3~D 20 ∠BAC=T-∠B-LACB=π-20-T 3 设CD=x,由3BC=4CD,得BC=手x,即a=李。 4 在△ACD中，由正弦定理： CD AC AD sin ZCAD=sin D=sin ZACD 2 AD 代入已知边和角：m(写可=m。=m雪 由0-m昏可得：A0-2登=2兰- 2 AD sin sin sin 由m(写可=g,可得：x=2血(0 X 2 sin 4 _8sin(5-6) 因此BC=a=5x=3sim90 在△ABC中，由正弦定理：sin ZBAC=sim乙B BC AC 2 代入：sm2(g-)j=sim28 2sin(号-0)cos(号-0) a= sin 0cos 0 则有：8snC月0=2sin(月-0)os(月-0) 3sin 0 sinθcos8 因为0∈(0,3，故sinG-0)≠0，sin0≠0，两边约去mC9 得：号-2C9、展开整理得：an9= cos 0 9 53 5W3 则sin0= √(5V3)2+9z-2√39 那么AD= V32V39 5V3 5 2W39 AC 19、(1)由正弦定理得inZ ABC=in/BAC BC 又AD=CD=2,∠CAD=号-LBAC,得sin∠BAC=9.则AC= 61 (2)设LADC=0,0E(0,π)。 在△ADC中，由余弦定理：AC2=AD2+CD2-2·AD·CD·cos日=8(1-cOS) △ADC的面积为：SAAc=AD·CD·sin0=2sin0 因为△ABC为正三角形，其面积为：SAABC=经AC2=.8(1-c0s0)=23(1- cos 0 两面积相加得，由辅助角公式得：当sn(0-=1(即0=)时，四边形面积取得 最大值：Smax=2W3+4 (3)S=S△ABc+S△4Dc=4(sinB+2sinD) 在△ABC,△ADC中分别由余弦定理得 AC2=20-16c0sB=32-32cosD 整理得c0sB-2c0sD=- 即有cos2B-4 cos Bcos D+4cos2D= 9 代入(*)式得 当且仅当B+D=π时，S取到最大值，即此时A,B,C,D四点共圆。 :在圆中∠OAD=∠OBC(同弧所对的圆周角相等)，∴.△AOD△BOC S△A0D AD 2 S△BOC BC）4