第六章 平面向量及其应用 章末复习卷 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 平面向量及其应用章末复习卷，通过基础与综合题梯度设计，适配单元复习，覆盖向量概念、运算及应用，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量模、三角形形状、投影向量|第6题结合古代铜钱文化情境| |多选|3/18|解三角形、向量夹角|第10题多角度分析三角形性质| |填空|3/15|三点共线、向量模|第14题创新定义运算考查综合应用| |解答|5/77|三点共线证明、实际应用|第17题飞机航向问题体现数学语言表达，第15题逻辑推理培养数学思维|

第六章 平面向量及其应用章末复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知两个非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C．－ D． 4．下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 5．如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 6．古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆和正方形ABCD的中心是重合的，圆的半径为，正方形ABCD的边长为4，P为圆上的动点，且，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 7．解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 8．在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 10．在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（ ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 11．如图所示，线段是的弦，其中点为上任意一点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．当时 D．的最大值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________. 13．已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为______. 14．对正实数定义运算：.已知平面向量，满足，，，设，，令，记的最大值为M.若正实数a，b满足，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知O，A，B是不共线的三点，且 （1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线； （2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1. 16．已知向量， (1)若，求实数m的值； (2)若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围． 17．如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）  (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 18．如图,在扇形AOB中,的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. （1）若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用表示向量; （2）求的取值范围. 19．如图，在中，D是的中点，，过O的直线分别与边，相交于点P，Q（含，端点），设（），（）. (1)设，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用章末复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知两个非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量模长计算式，将等式两边平方化简即可 【详解】由题，即 2．在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由，所以，即，判断的形状． 【详解】因为，所以， 所以，所以，即， 所以的形状是直角三角形． 故选：C． 3．已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C．－ D． 【答案】C 【分析】向量在向量上的投影向量等于与向量同向的单位向量和向量在向量上的投影(实数)的向量的数乘积，根据已知条件计算即得. 【详解】向量在向量上的投影向量为, 故选：C 4．下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 【答案】B 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相等向量的定义判断B；根据向量夹角的定义判断C；根据平行四边形的判定判断D． 【详解】对于A，单位向量为模为1的向量，故A正确； 对于B，若，由于方向不确定，故不一定相等，故B错误； 对于C，在等边三角形中，与的夹角为，故C正确； 对于D，若，则平面四边形一定是平行四边形，故D正确． 5．如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【详解】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 6．古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆和正方形ABCD的中心是重合的，圆的半径为，正方形ABCD的边长为4，P为圆上的动点，且，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接，正方形ABCD的边长为， ， ，解得， 圆的面积为． 7．解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】令，由三点共线，可得到一个向量等式，由三点共线可得到另一个等式，两者结合可求，进而得的值. 【详解】由三点共线，是的中点，得，① 令， 由三点共线，是的中点， 可得，② 比较①、②，得，解得． 则. 故选：B. 8．在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法性质分析可得，可知点在平行四边形的中位线上，即可得结果. 【详解】因为，即， 设线段的中点分别为， 可得，即， 设线段的中点为，可得，即， 可知点在线段上，且， 可知点在平行四边形的中位线上，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】AC 【详解】由余弦定理，得， 即，解得或． 10．在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（ ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 【答案】ABC 【分析】利用余弦定理得出，A，C中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由C是直角求得B，进而判断D. 【详解】对A，由余弦定理得， 又，所以，即，所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即，又，所以，， 所以，C正确； 对D，由选项A知中有一个是直角或钝角， 现在是直角三角形，若，又，则，不是，D错误. 11．如图所示，线段是的弦，其中点为上任意一点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．当时 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】根据平面向量数量积的运算律及定义，求得的范围，判断A；利用数量积的定义，求出，判断B；结合图象由点的位置不唯一，并求得，判断C；利用平面向量的数量积运算律及定义求得的最大值，判断D. 【详解】由题意可知，的半径为. ， 因为，所以， 所以，所以A正确； ，所以B正确； 当时，取的中点，记作，则三点共线， 当时，，所以； 当时，，所以. 所以C错误； ， 因为，所以， 所以的最大值是，所以D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【分析】首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 13．已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为__________. 【答案】0（答案不唯一，取值范围为） 【分析】设，，可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，根据数量积的坐标运算结合圆的性质分析求解. 【详解】设，，即，则， 因为，即，可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆， 可得，所以的一个取值为0. 14．对正实数定义运算：.已知平面向量，满足，，，设，，令，记的最大值为M.若正实数a，b满足，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】根据求模公式及条件，可得x，y的表达式，根据所给定义，可得的表达式，结合基本不等式，可得M值，代入整理，可得a，b的关系，将所求变形，结合二次函数的性质，即可得答案. 【详解】因为，，，所以， 则，即， ，即， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，则， 由，得，即， 又， 由基本不等式得，则，当且仅当时取等号， 令，， 由二次函数的性质得在上单调递增， 所以当时，，即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知O，A，B是不共线的三点，且 （1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线； （2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由原式可代换为，再由，两式联立变形即可求证； （2）由A，P，B三点共线，可得，变形得，整理成关于的表达式，再结合，由对应关系即可求证 【详解】（1）证明： 若m+n=1，则，， 故，即， ，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线； （2）证明： 若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，又，，故 【点睛】本题考查平面向量三点共线的基本的结论证明，属于基础题，对向量公式的合理变形是证明关键，本结论也可作为常规结论加以记忆和运用 16．已知向量， (1)若，求实数m的值； (2)若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或2 (2)且 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算得到方程求解； （2）根据基底的定义，利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】（1）得到或2 （2）由已知得不平行，得到，所以且. 17．如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 【答案】(1)60° (2)收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 【分析】(1)在中使用余弦定理得出及 (2)在中使用余弦定理得出及，再在中使用余弦定理得出及． 【详解】（1）连接，在中由余弦定理得 ， ， 又，， ，即， ．    （2）连接，则由及 得：， ， ， 在中，由余弦定理，得：， 则， 又，则是等腰三角形，且， 由已知有， 在中，由余弦定理得： ， 又，则． 由飞机出发时沿北偏东方向飞行得：飞机由E地改飞C地的方向角为南偏东． 答：收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 18．如图,在扇形AOB中,的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. （1）若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用表示向量; （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）连结，，由题设条件得到四边形是平行四边形，由此能求出． （2）设，则，，由此结合题设条件，利用向量的数量积能求出的取值范围． 【详解】解:连结，， 扇形的弧的中点为，动点、分别在、上， 且，，， 四边形是平行四边形， 点是线段靠近点的四分之一分点， ． 设，则， ， ， ，， 的取值范围是，． 19．如图，在中，D是的中点，，过O的直线分别与边，相交于点P，Q（含，端点），设（），（）. (1)设，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据向量线性运算直接求得和，代入即可求解； （2）根据，，三点共线可求得，利用“1”的代换和基本不等式即可求解； （3）以，为基底可表示出，，平方后相加，整理可得到关于的二次函数，根据（2）的结论有，，，换元，可得出，然后根据对勾函数的单调性可得出，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为D是的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 因为，，三点共线，所以， 又，， ，当且仅当，即，时等号成立， 的最小值为3. （3）， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，即， ， 由，得，， 因为，所以，又，所以，即， 所以，又，所以， 令，，则，， 所以， 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，所以，所以， 因为， 所以根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $