精品解析：2026四川南充中考真题数学

**基本信息** 以真实情境与分层探究为特色，融合古代数学文化（如《增删算法统宗》问题）、乡村振兴（鸭蛋加工方案）等素材，通过几何直观、模型意识与运算推理考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|方差应用（数据意识）、小孔成像（相似）|文化传承与生活实践结合| |填空题|6/24|概率计算（数据意识）、最短路径（几何直观）|空间观念与创新意识渗透| |解答题|9/86|加工方案优化（模型意识）、菱形折叠（推理能力）、抛物线最值（运算能力）|分层设问（如几何三问），梯度提升|

南充市二○二六年初中学业水平考试 数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项：1．答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置； 2．所有解答内容均须涂、写在答题卡上； 3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂； 4、填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1. 计算结果是（ ） A. B. C. 0 D. 4 2. 如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如右表，如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择( ) 运动员 甲 乙 丙 丁 方差 2.1 5.2 4.3 1.1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为直径，弦于E，，则长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或 D. 或1 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 若，则x的值为_______． 12. 现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式，，．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为_______． 13. 如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______． 14. 如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______． 15. 抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 16. 如图，点在正方形内，且，将绕点顺时针旋转得到，连接、、，交于点．下列结论：①；②的最小值为；③，，三点共线；④当为等腰三角形时，的长为．其中正确结论为_________（填写序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应考出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 请在横线上添加下列条件中的一个，①，②，③，使结论成立，并完成证明． 【条件】如图，在中，点E，F分别在边，上，_______（选填序号；选择一个正确的即可） 【结论】． 19. 为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组 A组（），B组（），C组（），D组（），E组（）． 并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______；m名队员比赛成绩的中位数能在_______组（选填组名）． （2）从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 21. 如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 22. 如图，在中，为直径，为切线，点D在上，． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 23. 在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元； 一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． 根据以上信息，完成下列任务： （1）【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ （2）【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ （3）【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． 24. 在菱形中，对角线相交于点O，． （1）【初步感知】如图1，点P在线段上，若，，求的长． （2）【深入探究】如图2，点P在线段上，若，设长为x，长为y，求y与x之间的函数关系式． （3）【拓展运用】如图3，点P在线段上，将沿直线折叠，若点D落在边上，求的值． 25. 已知抛物线．（t为常数）． （1）若抛物线过点，，求t的值． （2）抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． （3）点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市二○二六年初中学业水平考试 数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项：1．答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置； 2．所有解答内容均须涂、写在答题卡上； 3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂； 4、填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1. 计算结果是（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 2. 如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将河道视为直线，利用垂线段最短的性质即可求解． 【详解】解：由图可知，， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴最短． 3. 已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如右表，如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择( ) 运动员 甲 乙 丙 丁 方差 2.1 5.2 4.3 1.1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】方差越小，数据波动越小，射击成绩越稳定，只需比较四名运动员的方差大小即可得到结论． 【详解】∵， ∴丁的方差最小，即丁的射击成绩最稳定． 4. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两种分配方式分别表示出竹子总数量，即可列出对应方程． 【详解】解：∵每人分五竿竹子时多三竿， ∴竹子总数量为， ∵每人分七竿竹子时少五竿， ∴竹子总数量也可表示为， ∵竹子总数量固定不变， ∴可列方程为． 5. 如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，为直径，弦于E，，则长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先从已知等式变形得到与的关系，再对所求多项式降次代入化简，即可得到结果． 【详解】解：∵，且， ∴等式两边同乘得， 整理得， 对所求式变形得， 将代入得， 再将代入上式得， ∴的值为． 8. 反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 9. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】设过原点的直线方程，联立两个抛物线得到交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解m即可． 【详解】解：设过原点的直线为，， 联立直线与抛物线，消去y得：，解得：， ∴的横坐标为，代入得：， ∴， 同理联立直线与抛物线得：的坐标为， ∴根据两点间距离公式可得： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴约去公因式得，整理得， 解得：，， 经检验：，都是方程的解， ∴的值为或． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 若，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，分式值为零时需满足分子为零且分母不为零，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴． 12. 现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式，，．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定三种物质中化合物的个数，再列举出抽取2张卡片的所有等可能结果，找出2张均为化合物的结果个数，根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：根据化合物的定义，可知，，是化合物，是单质，共有2种化合物，1种单质． 将三张卡片，，依次记为A，B，C，随机抽取2张，所有等可能的结果为：，，，共3种． 其中2张卡片对应的物质都是化合物的结果有1种． 根据概率公式得 ． 13. 如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由尺规作图可得是的垂直平分线，容易证明，则，因此． 【详解】解：在中，， 由题意可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可． 【详解】解：如图，将长方体的前面和右面展开， ∴； 如图，将长方体的前面和上面展开， ∴， 如图，将长方体的下面和右面展开， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 15. 抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 16. 如图，点在正方形内，且，将绕点顺时针旋转得到，连接、、，交于点．下列结论：①；②的最小值为；③，，三点共线；④当为等腰三角形时，的长为．其中正确结论为_________（填写序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①，容易证明，则；对于②，由可得，当、、三点共线时，取得最小值；对于③，利用等腰三角形的性质可得，进而得到，因此，，三点共线；对于④，设，容易证明，则，，在中，利用勾股定理构造方程，解得，进而得到．容易证明是等边三角形，在，进而计算出，在中，利用三角函数计算出即可． 【详解】解：对于①，∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 对于②，如图，连接， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，故②错误； 对于③，如图，连接，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，，三点共线，故③正确； 对于④，如图，设， ∵， 又∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， 解得（负值舍去）， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，故④错误； 综上，正确的结论为①③． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应考出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先按照单项式乘以单项式，完全平方公式，平方差公式，计算各部分，再合并同类项，对原式进行化简，最后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 请在横线上添加下列条件中的一个，①，②，③，使结论成立，并完成证明． 【条件】如图，在中，点E，F分别在边，上，_______（选填序号；选择一个正确的即可） 【结论】． 【答案】条件①和条件③均能使结论成立，选择其一即可； 选择条件①：． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 选择条件③：． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ， ， 在中，， 在中，， ，， ． 【解析】 【分析】若添加，则可由判定全等，从而对应角相等． 若添加仅说明为等腰三角形，无法证明与之间的等量关系． 若添加由可得同位角，再由得内错角，从而，结合，由三角形内角和定理即可证得． 【详解】选择条件②，现有条件不能证明结论成立． 19. 为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组 A组（），B组（），C组（），D组（），E组（）． 并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______；m名队员比赛成绩的中位数能在_______组（选填组名）． （2）从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率． 【答案】（1）；C （2） 【解析】 【分析】（1）用C组人数除以C组占比就可以求出总人数；根据中位数定义，该次比赛共20人，中位数是第位和第位队员的平均成绩，找出该两名的分组位置即可判断出中位数在哪一组； （2）列表统计出所有可能的结果计算即可． 【小问1详解】 解：， 参赛队员人数是20人，所以比赛成绩的中位数是第10位和第11位队员的平均成绩，由直方图可知，成绩排名第10位和第11位队员均在C组． 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 甲乙 乙丙 乙丁 丙 甲丙 乙丙 丙丁 丁 甲丁 乙丁 丙丁 由上表可知，共有12种可能的结果，其中甲、乙两名队员恰好被选中的结果有2种， 所以甲、乙两名队员恰好被选中的概率：． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 21. 如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标求出反比例函数的解析式； （2）过点P作轴于点D，设，证明，根据相似三角形对应边成比例，列方程求解． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为，即； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴于点D， ∵、， ∴，， ∵点P在反比例函数第一象限图象上， ∴设，，， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴点P的坐标为． 22. 如图，在中，为直径，为切线，点D在上，． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， 与分别是弧所对的圆心角和圆周角， ， 又， ， 在四边形中，， ， ， 为的切线，为直径， ，即， ，即， 又为的半径， 是的切线． （2）10 【解析】 【分析】（1）连接，由同弧所对圆心角是圆周角的倍，得，结合已知，推出，再利用四边形的内角和为，得到，而为切线，，于是，从而为切线． （2）连接，，交于点，作于点，利用余弦的定义求，进而求出和，利用面积法求出，再证明，可得等于直径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，交于点， 由（1）知、是的两条切线， ，且平分， ，即，且， 作于点， 在中，，，， ∴， ， ， ， 在中，， ， 又， ， ， 为的直径， ， ， ，， ， ∵， ∴， ， ， ． 23. 在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元； 一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． 根据以上信息，完成下列任务： （1）【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ （2）【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ （3）【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】（1）每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚 （2）共有种安排加工线的方案 （3）安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得，然后进行求解即可； （2）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得，进而求解即可； （3）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得： ，解得：； 答：每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚． 【小问2详解】 解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得： ，解得：， ∵m为正整数， ∴m的取值为， 答：共有种安排加工线的方案． 【小问3详解】 解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得： ， 由（2）可知：， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为，此时； 答：安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元． 24. 在菱形中，对角线相交于点O，． （1）【初步感知】如图1，点P在线段上，若，，求的长． （2）【深入探究】如图2，点P在线段上，若，设长为x，长为y，求y与x之间的函数关系式． （3）【拓展运用】如图3，点P在线段上，将沿直线折叠，若点D落在边上，求的值． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，再结合题意得出，即可求解； （2）过点P作于点E，根据菱形的性质及相似三角形的判定和性质得出，，，然后利用勾股定理建立方程整理即可得出y与x之间的函数关系式； （3）设交于点F.将沿直线折叠，使点D落在边上的，连接，根据题意得出，利用各角之间的关系得出，，再由相似三角形的判定和性质得出，，设. 则，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 过点P作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ，， 在中， 在中， 即 ， 整理得 即 (舍去)； ∴y与x之间的函数关系式为 【小问3详解】 如图，设交于点F，将沿直线折叠，使点D落在边上的，连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， 取正数解得：， ． 25. 已知抛物线．（t为常数）． （1）若抛物线过点，，求t的值． （2）抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． （3）点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，则可分：①当时，②当时，③当时，④当时，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线可知：对称轴为直线， ∵抛物线过点，， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴； 【小问2详解】 解：令，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为，， ∵点为线段上一点， ∴， 解得：， ∵过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 根据题意可知：当，时，的最小值应大于的最大值， 分析抛物线对称轴与和时三种关系， ①当时，如图， 此时，都有，符合题意； ②当时，且当时，此时当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴，解得：， ∴当时，恒成立， 当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ③当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ④当时，则， 若时，则的最大值大于，即不成立， 若时，如图， ∴当时，点C的纵坐标取得最大值，当时，点D的纵坐标取得最小值， ∴， 解得：； 综上所述：t的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $