暑假作业02 与三角形有关的线段（预习作业，19大题型+课后练习）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 初中数学暑假专项训练，围绕三角形三边关系、三线及稳定性，以“概念-性质-应用”逻辑链构建解题方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|3个核心知识点|三边关系简化判断、三线区分标准、稳定性判定规则|从定义到性质推导（如重心分中线2:1），形成概念网络| |题型训练|19类分层题型|第三边取值范围计算、中线面积转化、角平分线角度推导|基础判断→综合计算→证明应用，覆盖中考高频考点|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 与三角形有关的线段 【知识点1 三角形三边关系】 1.定理：三角形任意两边之和 第三边；推论：三角形任意两边之差 第三边； 注：判断三条线段能否组成三角形，应根据以下简化标准判断： 较短两条线段的长度和>最长线段的长度。 若满足该条件，则三条线段可构成三角形；不满足则无法构成三角形。 2.已知三角形两边长为m、n(m>n),则第三边x的取值范围：m-n<x<m+n; 根据三边取值规则，若三角形两边为a-b与a+b，则第三边取值范围为2b<x<2a。 【知识点2 三角形的高、中线、角平分线】 1.定义： 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的 ； 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这条边上的 ； 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的 ； 注：区分三条线段，应根据以下三个标准判断： ①高：与对边垂直，存在90°直角； ②中线：平分对边，分对边为两条等长线段； ③角平分线：平分内角，分成两个相等的角。 2.交点性质： 三角形三条高所在直线交于一点( 心); 三角形三条中线交于一点( 心),重心将每条中线分成2:1两段； 三角形三条角平分线交于一点( 心); 根据中线性质，任意一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 【知识点3 三角形的稳定性】 1.定义：三角形三边确定后，三角形的形状、大小唯一固定，这个性质叫做三角形的 ；四边形四条边确定，形状仍可改变，即四边形不具有稳定性； 注：判断图形是否具备稳定结构，应根据以下标准判断： 图形由三角形框架构成则具备稳定性，仅由四边形构成则不稳定 根据稳定性应用规则，生活中支架、桥梁、门框加固斜条均利用三角形稳定性。 【题型1 判断是否能构成三角形】 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．5，3，3 C．3，6，12 D．6，8，10 3．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．3，4，7 【题型2 确定第三边的取值范围】 1．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 2．若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 3．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 4．现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为______． 【题型3 利用三角形的判定条件求周长】 1．若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是________． 2．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是_______． 3．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为____________． 4．一个三角形两边长分别是2和6，若第三边的长为偶数，则周长是___________ 【题型4 利用三角形三边关系进行化简】 1．已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 2．已知、、分别为的三边长，化简：_________． 3．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 4．已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 5．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 6．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 7．已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． (1)求p的值； (2)已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 8．已知，，为的三边长． (1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值； (2)若，满足，且是整数，求的值． 【题型5 三边关系的应用】 1．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 2．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 3．现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 【题型6 利用三角形三边关系进行证明】 1．如图，P是三角形内一点．请通过画图验证． 2．如图，，，是三角形的三条边．请画出线段．由此，你能得到与的大小关系吗? 3．龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 4．【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______． 将不等式左边、右边分别相加，得______，即______． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由． 【题型7 三角形的稳定性及其应用】 1．如图，跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是________． 2．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 3．港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 4．非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是_____． 【题型8 三角形的三条线段相关概念】 1．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 3．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 4．如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【题型9 根据三角形的中线求线段长度】 1．如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 3．如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，，则___________． 【题型10 根据三角形的中线求周长】 1．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 2．在中，是边上的中线，，，那么与的周长之差为___________． 3．如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长___________． 【题型11 根据三角形的中线求面积】 1．如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 2．如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 3．如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 4．如图，是的中线，点在上，若，，则的值为______． 【题型12 根据线段比例求面积】 1．如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 2．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 3．如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 4．如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型13 重心的相关求解】 1．如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 2．如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，，则______． 【题型14 利用三角形的角平分线求角度】 1．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 2．中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 3．如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 4．如图，在中，，是的角平分线，D是上一点，连接．过点C作，且，的度数为________． 【题型15 利用三角形的角平分线求线段长度】 1．如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为_______． 2．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为_______． 3．如图，在中，平分，，交于点E．若，，则的长为________． 4．已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【题型16 三角形三条重要线段中作图题】 1．图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中的上找一点，使； (2)在图2中的上找一点，使； (3)在图3中的上分别找一点，使． 2．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点作线段且； (4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度． 3．如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 4．如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【题型17 与三角形高有关的计算】 1．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 2．如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为____________ 3．如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【题型18 利用三角形的高求最值问题】 1．如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 2．如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 3．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 4．如图，的面积为2018，点D，E分别在，上，且，，与交于F，当的面积不大于100时，则自然数n的最小值为______． 【题型19 三角形三条重要线段解答题压轴】 1．阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 2．发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心， ，直接写出四边形的面积． 3．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，已知直线，点、分别为直线、上的点，点是平面内任意一点，连接、．（在证明过程中不能直接用三角形内角和） 【探索发现】： (1)如图1，当时，_____度． 【深入探究】： (2)如图2点、分别是直线上的点，且，直线，交于点，“优胜小组”探究与之间的数量关系，发现，请证明这个结论． (3)如图3，在（2）的探究基础上，“智胜小组”过点作射线交延长线于点，使平分，已知，，请帮助“智胜小组”求是多少度？ 4．综合与探究 问题情境： 已知，点C在直线，之间，连接，． 初步探究： （1）如图1，若，设，，求，之间的数量关系． 深入探究： （2）如图2，，的平分线交于点P． ①在（1）的条件下，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数； ②若，则______．（用含m的代数式表示） 拓展延伸： （3）若点C在直线的上方，或直线的下方，，，，的平分线所在直线交于点P，则______．（用含，的代数式表示）    1．下列叙述正确的个数是（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A． B． C． D． 2．如图，中，为上的一点，且，则为（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 3．如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______． 7．如图，在中，已知点、分别为边、上的中点，且，则的值为_______ ． 8．已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 9．如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 10．已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 11．读句画图：如图，用直尺和三角尺根据下列要求画图： (1)过点作直线； (2)过点作线段直线，垂足为； (3)若，则__________度，理由如下： 直线 ∴____________________（____________________） __________． (4)若，，，则点到的距离为__________． 12．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 与三角形有关的线段 【知识点1 三角形三边关系】 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；推论：三角形任意两边之差小于第三边； 注：判断三条线段能否组成三角形，应根据以下简化标准判断： 较短两条线段的长度和>最长线段的长度。 若满足该条件，则三条线段可构成三角形；不满足则无法构成三角形。 2.已知三角形两边长为m、n(m>n),则第三边x的取值范围：m-n<x<m+n; 根据三边取值规则，若三角形两边为a-b与a+b，则第三边取值范围为2b<x<2a。 【知识点2 三角形的高、中线、角平分线】 1.定义： 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高； 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这条边上的中线； 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 注：区分三条线段，应根据以下三个标准判断： ①高：与对边垂直，存在90°直角； ②中线：平分对边，分对边为两条等长线段； ③角平分线：平分内角，分成两个相等的角。 2.交点性质： 三角形三条高所在直线交于一点(垂心); 三角形三条中线交于一点(重心),重心将每条中线分成2:1两段； 三角形三条角平分线交于一点(内心); 根据中线性质，任意一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 【知识点3 三角形的稳定性】 1.定义：三角形三边确定后，三角形的形状、大小唯一固定，这个性质叫做三角形的稳定性；四边形四条边确定，形状仍可改变，即四边形不具有稳定性； 注：判断图形是否具备稳定结构，应根据以下标准判断： 图形由三角形框架构成则具备稳定性，仅由四边形构成则不稳定 根据稳定性应用规则，生活中支架、桥梁、门框加固斜条均利用三角形稳定性。 【题型1 判断是否能构成三角形】 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边长的和是否大于最长边长，若满足则可以构成三角形，反之则不能． 【详解】选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项B：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D：，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 2．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．5，3，3 C．3，6，12 D．6，8，10 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系判定，即三角形任意两边之和大于第三边，只需判断每组中较小两边的和是否大于最大边，即可得出结论． 【详解】解：A、∵，∴2，3，4能组成三角形，该选项不符合题意； B、∵，∴5，3，3能组成三角形，该选项不符合题意； C、∵，∴3，6，12不能组成三角形，该选项符合题意； D、∵，∴6，8，10能组成三角形，该选项不符合题意． 3．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，故该选项不符合题意； B、，能构成三角形，故该选项不符合题意； C、，不能构成三角形，故该选项符合题意； D、，能构成三角形，故该选项不符合题意． 4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．3，4，7 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A．由，故不能组成三角形； B．，故能组成三角形； C．，故不能组成三角形； D．，故不能组成三角形． 【题型2 确定第三边的取值范围】 1．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由三角形的三边关系得到：， ∴， ∴． 2．若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据得，再结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，得，即可作答． 【详解】解：， ，， 解得：， 为三角形的三边， ． 3．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【答案】5 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合周长为偶数确定的奇偶性，进而求出符合条件的第三边长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形两边长分别为2和5， ∴， ∴， ∴三角形周长为， ∵ 周长为偶数，7为奇数， ∴ x为奇数， ， ∴． 4．现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论第三根木棒的长度：①长度为；②长度为．再根据三角形三边关系定理，检验两种情况能否构成三角形，从而确定符合条件的长度． 【详解】解：情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、， 又∵， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形． 情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、 又∵，，，， ∴满足三角形三边关系，能构成等腰三角形． 故答案为：． 【题型3 利用三角形的判定条件求周长】 1．若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是________． 【答案】21或22 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及三角形的三边关系，根据三角形三边关系得到，解不等式得到，则，x为正整数，故或10，代入求周长． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是2，x，10， ∴，即 解不等式， 去分母得， 整理得． 所以． ∵x为正整数， ∴或10． 当时，周长为； 当时，周长为． 故答案为：21或22． 2．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是_______． 【答案】28 【分析】根据三角形三边关系定理，求出x的取值范围，再结合x为奇数的条件确定x的值，进而计算周长 【详解】解：根据三角形的三边关系，可得，即． 由于为奇数，因此． ∴三角形的周长为． 故答案为：28． 3．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则的最大周长为____________． 【答案】17 【分析】本题考查了非负数的性质与三角形三边关系，掌握绝对值、平方数的和为时，各项分别为；三角形三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合为偶数，取的最大值，从而得到最大周长． 【详解】解：由， 得，， 解得，． 根据三角形三边关系，有． 为偶数，故或． 当时，周长最大，为． 故答案为：17． 4．一个三角形两边长分别是2和6，若第三边的长为偶数，则周长是___________ 【答案】14 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，再结合偶数条件，确定第三边的值，进而计算周长． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系，可得，即， ∵为整数，且为偶数， ∴． 周长为． 故答案为：． 【题型4 利用三角形三边关系进行化简】 1．已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系得到三边满足的不等式关系，判断绝对值内各式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可求解． 【详解】，，是三角形的三边， 根据三角形三边关系可得，， ，，， ． 2．已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 3．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 4．已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【答案】(1) 等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． 5．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 6．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据等腰三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ； （2） 即， ∴， ∴， 解得：， 设第三条边长为c， ∴， 即， ∵为等腰的边长， ∴， ∴的周长为． 7．已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． (1)求p的值； (2)已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易得，，，代入，求解即可； （2）根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 则，解得． （2）解：由（1）可知：，， 根据三边关系可知：，即， ∵x为整数， ∴x的最大值为6， ∴三角形周长的最大值为． 8．已知，，为的三边长． (1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值； (2)若，满足，且是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分当为底边时，当为腰时，两种情况解答，结合三角形三边关系验证三角形是否存在； （2）先利用绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，取范围内的整数． 【详解】（1）解： ，，是的三边长，是等腰三角形，且周长为13，， 分两种情况讨论： ①当为底边时，， ，， 符合三角形的三边关系，； ②当为腰时，，， ， 不符合三角形的三边关系； 综上所述，． （2）解：， ， ，． ，，是的三边长， ． 即， 是整数， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握绝对值和完全平方的非负性，三角形三边关系，等腰三角形定义，分类讨论，是解题的关键． 【题型5 三边关系的应用】 1．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 2．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 3．现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 【答案】(1)或 (2)①等腰三角形，理由见解析；②7 【分析】本题考查了乘方，绝对值，等腰三角形的判定，正确求得a、b、c的值是解题的关键． （1）利用偶次方的非负性，绝对值方程，可得a、b、c的值； （2）① 分情况讨论可得时，无法组成，可得，此时为等腰三角形； ②根据①求出的周长即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或； （2）解：①等腰三角形，理由如下： 当时， ，即 此时无法组成三角形， a、b、c是三条边的长度时，， ， 是等腰三角形； ②此时的周长为． 【题型6 利用三角形三边关系进行证明】 1．如图，P是三角形内一点．请通过画图验证． 【答案】见详解 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握三角形两边的和大于第三边，方法一：点A为圆心为半径画弧交延长线于点H，点P为圆心为半径画弧交延长线于点G，连接，则，，由图即可知； 方法二：由三角形三边关系定理推出，，即可证明． 【详解】解：方法一：点A为圆心为半径画弧交延长线于点H，点P为圆心为半径画弧交延长线于点G，连接，如图， 则，， 由图可知，； 方法二：延长交于，如图， ，， ， ． 2．如图，，，是三角形的三条边．请画出线段．由此，你能得到与的大小关系吗? 【答案】画图见解析；能， 【分析】本题考查了三角形三边关系与线段的和差作图，解题的关键是通过线段作图结合线段的长度为正推导三边关系． 先作线段表示，再截取长度得到；结合线段长度为正，得出与的大小关系． 【详解】解： 1． 作射线，在上顺次截取，，则； 在线段上截取，则线段． ∵ 线段的长度为正， ∴ ，即． 答：与的大小关系为． 3．龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 【答案】(1)兔子的路线长，乌龟的路线短，过程见解析 (2)路线②和③相比，路线③更短，见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点，延长交于点．分别在中，根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：补全过程如下： 在中，， ∴， ∴， ∴兔子的路线长，乌龟的路线短． （2）解：如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，，① 在中，，② 在中，∵， ∴，③ ∴由①②③式得， ∴， ∴， ∴路线②和③相比，路线③更短． 4．【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______． 将不等式左边、右边分别相加，得______，即______． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，，；（2）理由见解析 【分析】由三角形两边的和大于第三边得到，，将不等式左边、右边分别相加，得到； 由三角形三边关系定理得到，，，将不等式左边、右边分别相加，得到． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得：，． 将不等式左边、右边分别相加，得，即， 故答案为：，，，； 如图，理由如下： 由三角形三边关系定理得到：，，， ， ． 【题型7 三角形的稳定性及其应用】 1．如图，跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是________． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：由题意可知：所运用的几何知识是三角形的稳定性． 2．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 3．港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 4．非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是_____． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：伞柄、伞骨和支撑条共同形成了三角形结构，这蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【题型8 三角形的三条线段相关概念】 1．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个，选B． 2．如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． 3．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 4．如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 5．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 【题型9 根据三角形的中线求线段长度】 1．如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又 为的中线， ， ， ， 故选：B． 2．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 3．如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，，则___________． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的中线，由为边的中线，可得，再根据的周长比的周长多，可得，由此可解． 【详解】解： 为边的中线， ， 的周长比的周长多， ， ， ， 故答案为：5． 【题型10 根据三角形的中线求周长】 1．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【分析】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 【详解】解： 的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 2．在中，是边上的中线，，，那么与的周长之差为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，由题意可得，再结合的周长，的周长，计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵是边上的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为， 故答案为：． 3．如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长___________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念．根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵在和中，，是中线， ∴， 的周长的周长 故答案为：． 【题型11 根据三角形的中线求面积】 1．如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意可得，结合是的中线，可得，再求周长即可； （2）根据三角形中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：（1） 的周长为， ，即， 解得， 又是的中线， 是的中点，， 的周长； （2） ， ， 又点E为线段的中点， ． 2．如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 3．如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【答案】 30 4 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 4．如图，是的中线，点在上，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，设到的距离为，由是的中线，则，求出，然后由即可求解，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：设到的距离为， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型12 根据线段比例求面积】 1．如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【答案】2 【分析】根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵点D为边的中点， ∴， 同理可得：， ， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 即：阴影部分的面积为2． 2．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 【答案】D 【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，逐步推导各部分三角形面积之间的关系，进行求解． 【详解】解：连接、，如图所示，    ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴． 4．如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 5．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 6．如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用点、、分别为中点的条件，逐步推导的面积，进而求出阴影部分的面积 【详解】解：点为的中点， ， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， 即图中阴影部分的面积为． 7．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】如图，连接，设的面积为，利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论． 【详解】解：如图，连接，设的面积为，点到的高为， ∵，， ∴，， ∵， ∴，则， ∵，设点D到的高为，点A到的高为， ∴，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ， 解得，， ∴的面积为2． 【题型13 重心的相关求解】 1．如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 2．如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 3．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，，则______． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的重心，熟练掌握三角形的重心的概念是解题关键．根据三角形的重心可得和都是的中线，则，，代入计算即可得． 【详解】解：∵点是的重心， ∴和都是的中线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【题型14 利用三角形的角平分线求角度】 1．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 2．中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 3．如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 由根据三角形的高可得，得，，再根据三角形角平分线的定义可得，得，最后根据角的和差关系即可求解； 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，，是的角平分线，D是上一点，连接．过点C作，且，的度数为________． 【答案】/36度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及平行线的性质是解题的关键． 利用直角三角形的两个锐角互余进行计算得出，再利用角平分线的定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，从而利用平行线的性质可得，然后再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，即可解答． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ∵， ， ， 故答案为：． 【题型15 利用三角形的角平分线求线段长度】 1．如图，中，是的平分线，交于点，若，，则的长为_______． 【答案】15 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质，以及等角对等边，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 根据是的平分线，推出，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 2．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由与的平分线交于点，可得，，结合平行线的性质可推出，，得到，，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】解：在中，与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为， 故答案为：． 3．如图，在中，平分，，交于点E．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】本题考查了等角对等边，平行线的性质以及三角形的角平分线等知识．根据平行线的性质、三角形的角平分线和等腰三角形的判定，求出，即可求出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为4． 4．已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【答案】2或3 【分析】分两种情况：当点D在线段上时，或当点D在线段的延长线上时，分别求出结论即可． 【详解】解：如图所示，当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， 解得：； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， ∴； 综上，的长为2或3． 【题型16 三角形三条重要线段中作图题】 1．图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中的上找一点，使； (2)在图2中的上找一点，使； (3)在图3中的上分别找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）观察网格，可看出正方形的对角线，作正方形的另一条对角线，可确定的中点，连接，则点为所求点； （2）观察网格，可构造一组相似比为的“”字模型的相似三角形，相似三角形的交点即为所求点； （3）观察网格，四边形，证得，利用面积之比是相似比的平方，可确定所求点的位置． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； 将看作正方形的对角线，作另一条对角线与相交于点， ∵正方形对角线互相平分， ∴， 根据中线的性质可得：； （2）解：如图2，点即为所求； 根据网格图可知，， 且， ∴； （3）解：如图3，点，即为所求． 根据网格图可知,， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ． 2．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点作线段且； (4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）借助网格作高即可； （2）取的中点E，连接即可； （3）取格点F，利用平移的性质连接即可； （4）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：的边上的高如图所示； （2）解：的边上的中线如图所示； （3）解：如图，线段即为所作； （4）解：的面积， 设点到直线的距离为h，则，即 解得． 3．如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直的定义，过点作； （2）根据三角形的高的定义，过点作，线段即为所求； （3）根据点到直线的距离的定义可知：线段的长度是点到直线的距离． 【详解】（1）解：下图直线即为所求， （2）解：下图线段即为所求， （3）解：线段的长度是点到直线的距离． 4．如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】（1）过点A作交延长线于点F，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式得到，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 【题型17 与三角形高有关的计算】 1．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为____________ 【答案】 【分析】设边上的高为，根据“三角形的中线平分三角形的面积”求出，再根据可得答案． 【详解】解：设边上的高为， ∵， 分别是 ， 的中点，，， ∴是的边上的中线，是的边上的中线， ∴， ∴，即， 解得：， 即边上的高为． 3．如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【答案】4 【分析】连接，利用，结合，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ， ， 又∵，，即， ． 【题型18 利用三角形的高求最值问题】 1．如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 2．如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 【答案】 【分析】当时，线段的长度最小，此时为斜边上的高，利用等积法即可求解. 【详解】解：，，，， 根据垂线段最短可知，当时，线段的长度最小， ∴， ， 解得：， 线段的最小值是. 3．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 4．如图，的面积为2018，点D，E分别在，上，且，，与交于F，当的面积不大于100时，则自然数n的最小值为______． 【答案】11 【分析】根据等高的三角形的面积比等于底边之比，推导出，，则可得，解不等式即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， 同理可得， ， ， 当的面积不大于100时，， 根据题意可得， ， ， ， 解得， 则自然数n的最小值为． 【题型19 三角形三条重要线段解答题压轴】 1．阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 【答案】(1)15； (2)． 证明：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴． (3)5 【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可； （2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可； （3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度． 【详解】（1）解：∵点是边上的中点， ∴． （2）略 （3）解：∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， 又∵， ∴． 2．发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心， ，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可； （3）设，，求出，得到，再由求解即可； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解： 是的中线，与等底等高， ； （2）解：，理由如下： ∵是的中线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴ ∴ （4）解：∵G是的重心， ∴由（3）可得， ∵，， ， ∵， ， 由（3）可得， ∵ ∴ ∴由（2）可得， ∴． 3．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，已知直线，点、分别为直线、上的点，点是平面内任意一点，连接、．（在证明过程中不能直接用三角形内角和） 【探索发现】： (1)如图1，当时，_____度． 【深入探究】： (2)如图2点、分别是直线上的点，且，直线，交于点，“优胜小组”探究与之间的数量关系，发现，请证明这个结论． (3)如图3，在（2）的探究基础上，“智胜小组”过点作射线交延长线于点，使平分，已知，，请帮助“智胜小组”求是多少度？ 【答案】(1)60 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点F作平行于的直线，利用平行线的内错角相等，将和转化为同一个角的两部分． （2）利用推出，再结合得到，从而证明． （3）设，利用角平分线、平行线的性质分别用x表示和，代入求出x，再过点H作平行线求出． 【详解】（1）解：过点F作， ， ， ，， ． （2）证明：， ， 又， ， ， 即， ， ， ． （3）解：设， 平分， ， ， ， ， ， 由(2)知， ， ， ， 过点F作， 又∵， ∴， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点H作， ，， ， ， ， ∵， ， ． 4．综合与探究 问题情境： 已知，点C在直线，之间，连接，． 初步探究： （1）如图1，若，设，，求，之间的数量关系． 深入探究： （2）如图2，，的平分线交于点P． ①在（1）的条件下，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数； ②若，则______．（用含m的代数式表示） 拓展延伸： （3）若点C在直线的上方，或直线的下方，，，，的平分线所在直线交于点P，则______．（用含，的代数式表示）    【答案】（1）；（2）①不发生变化，；②；（3） 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）过点C作，进而得到，根据平行线的性质得到、，根据进行解答即可； （2）①由（1）知、，根据角平分线的性质得到、，过点P作，则，根据平行线的性质得到、，再利用解答即可；②过点C作，过点P作，则，根据平行线的性质得到、，同①求出即可； （3）分情况讨论，当点C在直线的上方或直线的下方时，同理（2）求出即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作，    、 ； （2）①解：不发生变化，理由如下： 由（1）知、 ，的平分线交于点P 、 如图，过点P作，则   、， ； ②解：如图，过点C作，过点P作，则，   、 ； 、 ，的平分线交于点P 、 ， ， ； （3）解：①当点C在直线的上方时， 过点C作，过点P作，如图：   ， 、， ， ，的平分线交于点P， 、， ， 、， ； ②当点C在直线的下方时， 过点C作，过点P作，如图：   ， 、， ， ，的平分线交于点P， 、， ， 、， ； 综上所述，， 故答案为：． 1．下列叙述正确的个数是（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：① 三角形的角平分线是三角形一个角的顶点与对边交点之间的线段，不是射线，故①错误； ② 三角形的中线将原三角形分成两个等底同高的小三角形，面积相等，②正确； ③ 三角形三条中线的交点才叫作三角形的重心，三条角平分线的交点不是重心，故③错误； ④ 只有三角形三条高所在的直线交于一点，三条高作为线段不一定交于同一点，故④错误； 综上，正确的结论只有个， 故选：A． 2．如图，中，为上的一点，且，则为（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 【答案】C 【分析】设点到边上的高为，根据三角形的面积公式，结合，可得，得，即可选出答案． 【详解】解：设点到边上的高为， ， ， ， 则为中线． 3．如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 4．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，当动点运动到点时，时，有最小值时，，即可． 【详解】解：过点作于点， ∵为的角平分线，于点， ∴， ∵点为边上的动点，， ∴点与点重合时，，，此时有最小值，即， ∴． 5．如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过连接，利用三角形面积的和差关系，结合等腰三角形的性质，推导出与的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 6．如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______． 【答案】36 【分析】先根据，得出，设边上的高为h ，根据三角形面积计算公式得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 设边上的高为h ， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，已知点、分别为边、上的中点，且，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分，据此求解即可． 【详解】解：∵是的中点，即是的中线， ∴， ∵是中点，即是的中线，是的中线， ∴，， ∴． 8．已知等腰三角形的底边长为，一边的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么三角形的腰长为________． 【答案】或 【分析】设，则，根据题意，得，得，根据一部分比另一部分长，建立方程求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 当时，根据题意，得分成的两部分为，与其中一部分比另一部分长，不一致，不符合题意； 当时，根据题意，得分成的两部分为， 设，则， 根据题意，得， 故， 由其中一部分比另一部分长， 故或， 解得或， 故三角形的腰长为或． 9．如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 【答案】3 【分析】根据三角形面积公式，利用 得到 ，利用点 、 分别为 、 的中点得到 ，，所以阴影部分的面积 ． 【详解】解：， ， ， 点 、 分别为 、 的中点， ，， ， 即阴影部分的面积 ． 10．已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，即； （2）解：是边上的中线， ∴． 11．读句画图：如图，用直尺和三角尺根据下列要求画图： (1)过点作直线； (2)过点作线段直线，垂足为； (3)若，则__________度，理由如下： 直线 ∴____________________（____________________） __________． (4)若，，，则点到的距离为__________． 【答案】(1)如图，直线即为所求， (2)如图，线段即为所求， (3)60；；两直线平行，内错角相等；60 (4) 【分析】（1）用推平行线法作直线即可； （2）用三角板作垂线即可； （3）根据平行线的性质求解即可； （4）根据等面积法表示出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：若，则度，理由如下： 直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ． （4）解：∵， ∴，是直线与之间的距离， ∵，， ∴， 设点A到的距离为， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即点A到的距离为． 12．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $