暑假作业01 三角形的概念（预习作业，15大题型+课后练习）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以三角形定义与分类为基础，通过15类题型系统构建从概念识别到等腰三角形综合应用的解题体系，注重判断标准提炼与逻辑推理，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|知识点1-2+题型1-4|三角形定义双标准（三线段+首尾顺次相接）、内点分割规律探究|从定义要素到图形识别，构建概念认知框架| |分类应用|题型5-7|按边/角分类规则（等边必等腰、最多1直角/钝角）|从静态分类到动态判断，强化推理意识| |等腰三角形综合|题型8-15|腰底分类讨论、新定义转化、动点轨迹分析|从性质计算到情境应用，发展模型意识与应用能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 三角形的概念 【知识点1 三角形的定义与表示】 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成三角形的三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； 注：判断一个图形是否为三角形，应根据以下两个标准判断： ①由三条线段构成； ②三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接。 若两个标准都符合，则是三角形；若只符合其中一个标准，则不是三角形。 2.三角形的表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ABC； 根据三角形表示规则，三角形的三条边可记作AB、BC、AC，三个内角记作∠A、∠B、∠C。 【知识点2 三角形的分类】 1.按边的长短分类： 三边都不相等的三角形：不等边三角形； 有两条边相等的三角形：等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角； 三边都相等的三角形：等边三角形(特殊的等腰三角形); 注：判断等腰、等边三角形，应根据以下两个标准判断： ①至少有两条边长相等为等腰三角形； ②三条边长全部相等为等边三角形。 等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 2.按内角大小分类： 三个角都是锐角：锐角三角形； 有一个角是直角：直角三角形，直角两边叫做直角边，直角对边叫做斜边； 有一个角是钝角：钝角三角形； 根据内角分类规则，任意三角形最多只能有1个直角或1个钝角。 【题型1 正确识别三角形】 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 3．小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ， 故选：C． 【题型2 三角形的有关概念】 1．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【答案】 ，，， ，， ，， 【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，； （2）的3个内角是，，，三条边是，，. 2．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 3．如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 【答案】(1)个， (2)个， 【分析】本题考查认识三角形，熟记三角形的定义是解决问题的关键． （1）根据三角形的定义，由图数出以为边的三角形即可； （2）根据三角形的定义，由图数出以点为顶点的三角形即可． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个， 用符号表示：； （2）解：以点为顶点的三角形个， 用符号表示：． 4．已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 【答案】(1)6；4 (2) (3) 【分析】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到锐角三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形，然后可以找到边所对的角； 【详解】（1）解：由图可知， 图中三角形有，，，，，， ∴图中有6个三角形， ∵，， ∴， ∴图中直角三角形有，，，，共4个， 故答案为：6；4； （2）解：观察图形可得：为钝角三角形，，，，为直角三角形， ∴锐角三角形是， 故答案为：； （3）解：由图可知，线段所在的三角形是， ∴边所对的角是； 故答案为：． 5．如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 【答案】(1)5，，，，， (2)， (3) (4)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的相关定义． （1）利用三角形的定义进行求解即可； （2）利用三角形的相关概念进行求解即可； （3）利用三角形的相关概念进行求解即可； （4）利用三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】（1）解：图中一共有5个三角形，分别是： ，，，，， 故答案为：5，，，，，； （2）解：和的公共角是，公共边是， 故答案为：，； （3）解：的对边是， 故答案为：； （4）解：是边和的对边， 故答案为：，． 【题型3 三角形的个数问题】 1．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 2．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 3．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 4．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 【题型4 三角形个数中规律探索问题】 1．“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 【答案】(1)，； (2) (3)这个多边形“内点”的个数为 【分析】本题考查了多边形的三角剖分规律探究，解题的关键是通过特殊情形归纳出一般数量关系，再结合多边形边数与内点个数推导“网眼”数的公式． （1） 当时，观察内点个数与网眼数的对应关系：时，时，时，归纳得； （2） 当时，同理归纳得； （3） 由一般规律，结合，代入化简得． 【详解】（1）解：观察图形，网眼个数如下： 当时，，即； 当时，，即； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：，；． （2）解：如图，当时， 取，得； 取，得； 取，得； …… 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得． 故答案为：． （3）解：由多边形三角剖分的一般规律，得． 已知，代入得， 化简得， 解得． 答：这个多边形“内点”的个数为． 2．小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【答案】（1）3，6；（2），，图见详解；（3） 【分析】本题主要考查了图形规律探索，利用数形结合正确找出三角形的个数与n边形内点的个数关系是解题的关键． （1）根据三角形内有1个点时，三角形个数为3；四边形内有2个点时，三角形个数为6； （2）根据四边形内有2个点时，三角形个数为6；四边形内有1个点时，三角形个数为4；得出三角形个数为5时，多边形是三角形，三角形内的点数大于1，验证即可； （3）由（1）（2）中的规律可得n边形的规律． 【详解】解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3， 即当，时，； 如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6， 即当，时，； 故答案为：3；6； （2）当，时，；当，时，； 故当时，， 当，时，如图，； 综上，，； （3）根据（1）（2）可知当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 当，时，； 当，时，； 综上，． 3．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 4．通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 【答案】(1)7；9 (2)；2； (3)最多可以得到个三角形 【分析】本题考查了三角形的个数问题，数字规律，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再调整图形，运用数形结合思想，进行作答即可； （2）先充分理解题意，观察式子特征，进行总结归纳，即可作答． （3）先充分理解题意，模仿（1）（2）的解题过程，且作图分析，进行总结归纳，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是，如图所示： 依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是7，如图所示： ∴， 同理：三角形内点的个数，最多三角形的个数是9，如图所示： 即当三角形的内部取4个点时，最多可以得到9个三角形； （2）解：观察和比较下面的式子：，，， 则下一个式子为 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加2个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到个三角形； （3）解：当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， …… 依次类推：十边形内点的个数为时，则最多三角形的个数， 即保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到个三角形． 【题型5 正确的对三角形进行分类】 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 2．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 3．如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法是解题的关键． 按角分类为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边的相等关系分为不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；据此即可解答． 【详解】解：按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形，即①正确． 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．即②的分类不正确． 故选：A． 4．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据题意可得B区域是至少有两条边相等的三角形，再结合等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形， 根据题意可得，B区域包含A区域，且B区域是至少有两条边相等的三角形， ∴A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形， 故选：D． 【题型6 根据图形判断三角形的类别】 1．下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、可以判断是直角三角形，故A不符合题意； B、可以判断是锐角三角形，故B不符合题意； C、不能判断出三角形的类型，故C符合题意； D、可以判断是钝角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 2．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 3．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 4．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角三角形的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D． 【题型7 根据条件判断三角形的类别】 1．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为，即三边相等，因此该三角形是等边三角形． 【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是，即三边长度相等， ∴此三角形为等边三角形． 故选：C． 2．若一个三角形中有一个角为，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形角的大小即可得到结论． 【详解】解：∵一个三角形中有一个角为， ∴这个三角形一定是钝角三角形． 故选：C． 3．已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 4．在中，的补角是，则是________三角形． 【答案】钝角 【分析】本题考查了补角的定义、三角形的分类，熟练掌握补角的定义是解题的关键．根据补角的定义和三角形的分类即可解答． 【详解】解：的补角是， ， ， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【题型8 根据等腰三角形的定义求角度】 1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 2．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 3．如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】/度 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 4．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为______． 【答案】或/或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，运用分类讨论思想，分已知角为顶角或底角两种情况求解；解题关键是考虑内角的两种可能性；易错点是忽略分类讨论导致漏解；根据等腰三角形性质，分角为顶角或底角两种情况，分别计算底角度数． 【详解】解：①若为顶角，则底角度数为 ②若为底角，则底角度数为 故答案为或． 5．若等腰三角形，，则的度数是___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义． 由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①是顶角；②，③，利用三角形的内角和进行求解． 【详解】解：等腰三角形中， ①当是顶角， ； ②， 有； ③， 有； 综上所述，的度数是或或． 故答案为：或或． 【题型9 根据等腰三角形的定义求周长】 1．若实数满足，则以的值为边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得到和的值，然后再利用等腰三角形性质和三角形三边关系进行解题 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， ①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、， ∵， ∴能组成三角形，周长为； ②5是底边时，三角形的三边分别为5、、， ∵ ∴能组成三角形， 周长． 综上所述，等腰三角形的周长是或． 故答案为或． 2．如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 3．若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 4．已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分两种情况讨论：腰为5或腰为9，验证每种情况是否满足三角形三边关系，然后计算周长即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形两边长分别为5和9， ∴ 可能情况为：腰为5、底为9或腰为9、底为5， 当腰为5、底为9时，三边为5，5，9，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 当腰为9、底为5时，三边为9，9，5，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为19或23． 故选：D 5．已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则它的周长为（    ） A．18或21 B．18 C．21 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： （1）腰长为5，则周长为： （2）腰长为8，则周长为： 综上，周长为18或21． 故选：A． 【题型10 根据等腰三角形的定义求边长】 1．用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【答案】和或和 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当为腰时，底边为；当为底边时，腰为，均满足三角形三边关系定理，即可． 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和 2．若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为_____ 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两条腰相等列出算式解答即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，底边长为， ∴腰长为， 故答案为：． 3．一个等腰三角形的周长是36厘米，一条腰与底边长之比是，这个三角形的底边长是____厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了比的应用，设三边长度分别为厘米、厘米、厘米，再根据等腰三角形的周长建立方程求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一条腰与底边长之比是， ∴设这个等腰三角形的三边长度分别为厘米、厘米、厘米， 则， 解得， 则这个等腰三角形的底边长是（厘米）， 故答案为：6． 4．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知它的腰长是其底边长的2倍，则它的腰长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，根据周长列出方程是关键． 可设等腰三角形的底边长为，则它的腰长为，根据周长列方程解出即可． 【详解】解：设等腰三角形的底边长为，则它的腰长为， 由题意可得，， 解得， 则 即腰长为， 故答案为：. 【题型11 等腰三角形中新定义类问题】 1．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可． 【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，． 当为腰时，另一腰也为，底边长为， ∴优美比腰长/底边长． 当为底边时，腰长为， ∴优美比腰长/底边长． 故答案为：或． 2．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 【答案】 或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长是时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ； 当等腰三角形的底边长是时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ， 等腰三角形的“优美比” 或． 故答案为 或 ． 3．如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是______________． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义、与图形有关的规律探究等，正确理解题意是解题关键．由题意可知，第1个黄金三角形的腰长为1，第2个黄金三角形的腰长为，第3个黄金三角形的腰长为，…，依次类推，即可确定答案． 【详解】解：由题意可知，第1个黄金三角形的腰为， ∴第1个黄金三角形的腰长为1； 第2个黄金三角形的腰为，且， ∴，即第2个黄金三角形的腰长为； 第3个黄金三角形的腰为，且， ∴，即第3个黄金三角形的腰长为； …， 依次类推，第n个黄金三角形的腰长为． 故答案为：． 4．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 故选：C． 【题型12 判断等腰三角形的个数】 1．如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。 当以作为腰时，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个；当以作为底时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个；据此即可解答． 【详解】解：如图：当以作为腰时，有两种情况， 当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个， 当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个； （2）若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个． 以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个． 故选B． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分别以为腰的三角形，以为腰的三角形和以为腰的三角形分别进行分析即可，正确理解等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知：以为腰的三角形有个，轴正半轴上的点不能成立，因为此时三点共线，不能构成三角形； 以为腰的三角形有个； 以为腰的三角形有个． 则点的个数是． 故选：C． 3．在直角坐标系内，已知点的坐标是，点在坐标轴上，是等腰三角形，则点的可能位置有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．分别以O、A为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点B，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图，以点O为圆心，以为半径画圆，交坐标轴于4点，当点B在这4个点时，是等腰三角形； 以点A为圆心，以长为半径作圆，交坐标轴于2点，当点B在这2个点时，是等腰三角形； 作线段的垂直平分线，交坐标轴于2点，当点B在这2个点时，是等腰三角形； 综上分析可知：满足条件的点B有（个）， 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点在轴上，且为等腰三角形，则点的个数有（   ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图：    当时，点满足题意； 当时，点满足题意； 当时，点满足题意； 综上：点的个数有4个； 故选B． 【题型13 等腰三角形中分割问题】 1．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 【答案】(1)腰长为； (2)底边长为或． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． （1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； （2）设腰长为，分①当时，②当时，两种情况讨论，然后得出底边长度． 【详解】（1）解：设底边为，则腰为， 由题意得， 解得， 腰长为； （2）解：设腰长为， ①当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； ②当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； 综上所述：底边长为或． 2．已知在等腰中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 【答案】腰长是10，底边长是1 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，已知给出的15和6两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论． 【详解】解：设，则， 上的中线将这个三角形的周长分成15和6两部分， 有两种情况： ①当，且时， 解得， 三边长分别为 ②当且时， 解得，此时腰长为4， 三角形任意两边之和大于第三边，而， 故这种情况不存在． 腰长是10，底边长是1． 3．如图等腰一腰上的中线把这个三角形的周长分成和，求等腰三角形的各边长． 【答案】等腰三角形的各边长为8cm、、或、、 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及二元一次方程组的应用；设腰长和底边长分别为x、y，分腰长加腰长的一半是和两种情况讨论求解． 【详解】设三角形腰长为x，底边长为y， 则利方程组为或， 解得或， 答：这个等腰三角形的各边长分别为、、或、、． 4．已知等腰三角形的周长是，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长的差是．求此等腰三角形各边的长． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为，则底边长为，再根据两个三角形的周长差是，求出x的值即可． 【详解】解：如图所示，等腰中，，点D为的中点，设，    ∵点D为的中点， ∴，， 当的周长大于的周长时， ∴，即， 解得， ∴底边长为； 当的周长大于的周长时， ∴，即， 解得， ∴底边长为． 综上所述，这个等腰三角形的各边的长为或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【题型14 等腰三角形中作图问题】 1．如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键． （1）根据点，判断轴经过点，且右侧的点就是原点，建立坐标系即可； （2）先求出，分三种情况：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图的直角坐标系即为所求； （2） ，， ， 当时， 点的坐标为，即； 当时，， 点的坐标为，即； 当时，取格点，则，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 点的坐标为，即； 综上所述，点的坐标为或或． 2．如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 【答案】(1)图形见解析，，，，，，，，，， (2)，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握以上两个定义． （1）根据不在同一条直线上的三个点即可构成一个三角形画图即可； （2）根据等腰三角形的定定义进行判定即可． 【详解】（1）解：所画三角形如图所示， 三角形有：，，，，，，，，， （2）解：属于等腰三角形的是，，， 故答案为：，，． 3．在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰（为格点）； (2)在图1中，以为腰的等腰（为格点）共有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了等腰三角形， 对于（1），根据等腰三角形的定义画出图形； 对于（2），分别以点P为圆心，以为半径确定结果，再以点Q为圆心，以为半径，即可得出符合条件的结果. 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示. 以点P为圆心，为半径，符合条件的有3个点； 以点Q为圆心，为半径，符合条件的有3个点， 一共有6个. 故答案为：6. 4．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，请在下图的网格中画出符合条件的格点三角形． (1)在图①中画出以为边且面积为2的等腰； (2)在图②中画出以为边的等腰直角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义成为解题的关键． （1）直接根据等腰三角形以及相关要求作图即可； （2）直接根据等腰三角形以及相关要求作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． 【题型15 等腰三角形中动点问题】 1．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 【答案】(1)； (2)； (3)为或或． 【分析】（）根据线段和差即可求解； （）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和，三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值； 本题考查了等腰三角形的性质，方程思想和分类讨论思想，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， ∴出发秒后，能形成等腰三角形； 故答案为：； （3）当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为或或时，是等腰三角形． 2．如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或 【分析】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想考虑问题． （1）先得出点运动的距离为:, 由,判断点在上，问题随之得解； （2） 先求出 ，分当点在上，和当点在上两种情况，结合三角形的面积列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）当是以为底边的等腰三角形时，即有，根据运动的特点，可得点运动的距离为: , 即有, 解得: ； 当是以为底边的等腰三角形时，过点作于点，利用等腰三角形的判定与性质可证明，即有,进而可得方程, 解方程即可求解． 【详解】（1）解：在中, ，, 根据运动的特点可知：点运动的距离为， ∵, ∴, 即点在上, ∴, ∴, 故答案为: ； （2）解：∵在中， , ， 当点在上, 如图， 的面积等于15 ， ， ， 解得：(秒)； 当点在上, 如图, 此时：点P运动的距离为： 的面积等于15 ， ， ， ， ， ， 解得：(秒)； 综上：经过 秒或秒, 的面积等于； （3） 解：当是以为底边的等腰三角形时，如图， 即有 ， ， 根据运动的特点，可得点P运动的距离为：， ， 解得： (秒)； 当 是以为底边的等腰三角形时，如图， 过点作于点， ∵在等腰中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ∴， 解得：； 综上所述： 或． 3．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 4．如图，在中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．    (1)当点在上运动时，线段的长为_______用含的代数式表示； (2)当是以为腰的等腰三角形时，的值为________； (3)当点运动过点时，求线段的表达式用含的代数式表示； (4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4 (3)的长度为或 (4)的值为或或 【分析】（1）观察图形用来求解； （2）由等腰三角形的性质可知，表示出，即可列式求解； （3）分两种情况：当点在上时，当点在上时，分别求解即可； （4）先求出周长的一半，再利用当点在上时，，此时；当点在上时，，此时；当点在上时，，此时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，， ． 故答案为：． （2）解：是以为腰的等腰三角形时，    ， ， （秒）， 故答案为：秒． （3）解：当点在上时，， ； 当点在上时， ． 综上所述，的长度为或． （4）解：，，，， 的周长为， 点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为， 当点在上时，，此时，    ， （秒）， 当点在上时，，此时，    ， （秒）， 当点在上时，，此时，    ， 秒）， 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 1．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 2．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 3．用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（   ）种不同的等腰三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的理解等知识，正确理解题意是解题关键．结合等腰三角形的定义摆放火柴，即可获得答案． 【详解】解：如图所示， 即围成的等腰三角形的腰和底的火柴棒根数为4根、4根、4根；5根、5根、2根， 所以，最多能围成2种不同的等腰三角形． 故选：A． 4．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长度求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若为腰长，为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 5．一个三角形，三个角的度数都不相等，最小的角是，那么这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，牢记“三角形的三个角之和是和三角形按角分类的方法”是解题的关键．由最小的角及三角形的三个角之和是，可求出最大的角小于，进而可得出这个三角形是一个锐角三角形． 【详解】解：最小的角是，， 最大的角小于， 这个三角形是一个锐角三角形． 故选：A． 6．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义．分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选：D． 7．有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角、1个钝角、15个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数为_______个． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的分类，根据一个直角三角形中有1个直角和2个锐角，一个钝角三角形中有1个钝角和2个锐角，一个锐角三角形中有3个锐角，进行求解即可． 【详解】解：由题意，这些三角形中有2个直角三角形和1个钝角三角形，这3个三角形中共有个锐角， 故锐角三角形的个数为（个）； 故答案为：3． 8．已知三角形的三边长分别为，，，周长为，则为______ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的周长，一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识．根据题意列方程即可求解． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，，周长为， ， 解得， 则三边长分别为，且满足，三边能构成三角形. 故答案为：． 9．在直角坐标系中有和两点，在坐标轴上有一点C， 使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的C点有_________个 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，分别讨论当、和时三种情况下，坐标轴上有几个这样的C点即可． 【详解】解：如图， 若，则有，，共3个点， 若，则有点，，共3个点， 若，则有、共2个点， ∴以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，这样的C点有8个， 故答案为：8 10．如图，点都在的边上． (1)如图①，当边上只有点时，共有______个三角形． (2)如图②，当边上有点时，共有______个三角形． (3)如图③，当边上有点时，共______有个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了图形的规律探究，通过图形变化归纳总结规律是解决问题的关键． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可； （3）总结图形规律，由图形个数与三角形端点个数相关即可求解． 【详解】（1）解：根据图像中可得三角形有：，共有三个． 故答案为：3． （2）解：根据图像中可得三角形有：，共有六个． 故答案为：6． （3）解：由（1）得，当上有一个点时，三角形的个数为：； 由（2）得，当上有两个点时，三角形的个数为：； ∴当上有个点时，三角形的个数为：． 故答案为：． 11．定义：一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”．若等腰是“倍角三角形”，求它顶角的度数． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，设为顶角，分两种情况讨论：①当底角是顶角的2倍时；②当顶角是底角的2倍时；分别计算即可得到答案． 【详解】解：设为顶角， ①当底角是顶角的2倍时：， ∵， ∴， ②当顶角是底角的2倍时：， ∵， ∴， 12．如图，数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7．点C在线段上，且不与端点重合． (1)若，求A，B，C，D四点表示的数的和； (2)若线段，，能围成等腰三角形．且底为，求x的值． 【答案】(1)9 (2)x的值是4． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，等腰三角形的定义，解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，求和即可； （2）根据数轴上两点间距离得出，，，根据题意得，计算即可求解． 【详解】（1）解：若，点A，B，C，D对应的数字分别为，1，2，7， ∴A，B，C，D四点表示的数的和为； （2）解：由点在数轴上的位置，得： ，，， 由题意得， 解得， ∴，， ∵， ∴符合题意， ∴x的值是4． 13．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长． (2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能围成有一边长的长是的等腰三角形．它的另外两条边长是和，或和 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证． （1）设底边长为，则腰长为 ，由条件列出方程，求解即可； （2）分底边长为和腰长为两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为 ， ． 解得． ∴它的三边分别为，，．(能构成三角形) （2）解：能围成有一边长的长是的等腰三角形．理由如下： ①如果长的边为底边，设腰长为 ，则 ． 解得 ． ∵， ∴此时能构成三角形； ②如果长的边为腰，则另两边长为和． ∵，符 ∴此时能构成三角形， 综上所述，能围成有一边长的长是的等腰三角形．它的另外两条边长是和，或和． 14．如图，请你探索正方形的个数与等腰三角形的个数之间的关系，并把表格补全． 正方形的个数 1 2 3 4 … n 等腰三角形的个数 … （1）照这样的画法，如果画15个正方形，可以得到_______个等腰三角形； （2）若要得到152个等腰三角形，则应画_______个正方形． 【答案】0，4，8，12，（1）；（2）． 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，有理数的乘法，一元一次方程的应用，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 当有1个正方形时，等腰直三角形的个数为：，当有2个正方形时，等腰直角三角形的个数为：，当有3个正方形时，等腰直角三角形的个数为：，当有4个正方形时，等腰直角三角形的个数为：，当有个正方形时，等腰直角三角形的个数为：， （1）由前面得到的规律：当有个正方形时，等腰直角三角形的个数为，即可求解； （2）令，然后解方程即可． 【详解】解：当有1个正方形时，等腰直三角形的个数为：， 当有2个正方形时，等腰直角三角形的个数为：， 当有3个正方形时，等腰直角三角形的个数为：， 当有4个正方形时，等腰直角三角形的个数为：， ∴当有个正方形时，等腰直角三角形的个数为：， 故答案为：0，4，8，12，； （1）当正方形的个数为时，等腰三角形有： （个）， 故答案为：． （2）根据题意得：， 解得：， 即当正方形的个数为时，等腰三角形有个， 故答案为：． 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 三角形的概念 【知识点1 三角形的定义与表示】 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫做三角形。 组成三角形的三条线段叫做三角形的 ，相邻两边的公共端点叫做三角形的 ，相邻两边组成的角叫做三角形的 ，简称三角形的角； 注：判断一个图形是否为三角形，应根据以下两个标准判断： ①由三条线段构成； ②三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接。 若两个标准都符合，则是三角形；若只符合其中一个标准，则不是三角形。 2.三角形的表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ABC； 根据三角形表示规则，三角形的三条边可记作AB、BC、AC，三个内角记作∠A、∠B、∠C。 【知识点2 三角形的分类】 1.按边的长短分类： 三边都不相等的三角形： 三角形； 有两条边相等的三角形：等腰三角形，相等的两边叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做 ； 三边都相等的三角形：等边三角形(特殊的等腰三角形); 注：判断等腰、等边三角形，应根据以下两个标准判断： ①至少有两条边长相等为等腰三角形； ②三条边长全部相等为等边三角形。 等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 2.按内角大小分类： 三个角都是锐角：锐角三角形； 有一个角是直角：直角三角形，直角两边叫做直角边，直角对边叫做斜边； 有一个角是钝角：钝角三角形； 根据内角分类规则，任意三角形最多只能有1个直角或1个钝角。 【题型1 正确识别三角形】 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 3．小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 三角形的有关概念】 1．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 2．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 3．如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． (1)以为边的三角形有几个？用符号表示； (2)以点为顶点的三角形有几个？用符号表示． 4．已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 5．如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 【题型3 三角形的个数问题】 1．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 3．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 4．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型4 三角形个数中规律探索问题】 1．“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个“内点”，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形()时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中___________，___________． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为___________． (2)根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形()时，写出m，t之间满足的等量关系___________． (3)若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 2．小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 3．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 4．通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 【题型5 正确的对三角形进行分类】 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图是三角形的两种分类，下列判断正确的是（   ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 4．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【题型6 根据图形判断三角形的类别】 1．下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A．B． C． D． 2．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 3．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 4．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【题型7 根据条件判断三角形的类别】 1．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．若一个三角形中有一个角为，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 4．在中，的补角是，则是________三角形． 【题型8 根据等腰三角形的定义求角度】 1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 3．如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 4．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为______． 5．若等腰三角形，，则的度数是___________． 【题型9 根据等腰三角形的定义求周长】 1．若实数满足，则以的值为边长的等腰三角形的周长为___________． 2．如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 3．若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 4．已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 5．已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则它的周长为（    ） A．18或21 B．18 C．21 D．22 【题型10 根据等腰三角形的定义求边长】 1．用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 2．若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为_____ 3．一个等腰三角形的周长是36厘米，一条腰与底边长之比是，这个三角形的底边长是____厘米． 4．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知它的腰长是其底边长的2倍，则它的腰长为______． 【题型11 等腰三角形中新定义类问题】 1．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 2．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 3．如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是______________． 4．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【题型12 判断等腰三角形的个数】 1．如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 3．在直角坐标系内，已知点的坐标是，点在坐标轴上，是等腰三角形，则点的可能位置有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点在轴上，且为等腰三角形，则点的个数有（   ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型13 等腰三角形中分割问题】 1．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 2．已知在等腰中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 3．如图等腰一腰上的中线把这个三角形的周长分成和，求等腰三角形的各边长． 4．已知等腰三角形的周长是，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长的差是．求此等腰三角形各边的长． 【题型14 等腰三角形中作图问题】 1．如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 2．如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 3．在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰（为格点）； (2)在图1中，以为腰的等腰（为格点）共有___________个． 4．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，请在下图的网格中画出符合条件的格点三角形． (1)在图①中画出以为边且面积为2的等腰； (2)在图②中画出以为边的等腰直角． 【题型15 等腰三角形中动点问题】 1．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 2．如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 3．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 4．如图，在中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．    (1)当点在上运动时，线段的长为_______用含的代数式表示； (2)当是以为腰的等腰三角形时，的值为________； (3)当点运动过点时，求线段的表达式用含的代数式表示； (4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值． 1．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 2．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 3．用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（   ）种不同的等腰三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 4．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 5．一个三角形，三个角的度数都不相等，最小的角是，那么这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 6．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 7．有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角、1个钝角、15个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数为_______个． 8．已知三角形的三边长分别为，，，周长为，则为______ 9．在直角坐标系中有和两点，在坐标轴上有一点C， 使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的C点有_________个 10．如图，点都在的边上． (1)如图①，当边上只有点时，共有______个三角形． (2)如图②，当边上有点时，共有______个三角形． (3)如图③，当边上有点时，共______有个三角形． 11．定义：一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”．若等腰是“倍角三角形”，求它顶角的度数． 12．如图，数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7．点C在线段上，且不与端点重合． (1)若，求A，B，C，D四点表示的数的和； (2)若线段，，能围成等腰三角形．且底为，求x的值． 13．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长． (2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由． 14．如图，请你探索正方形的个数与等腰三角形的个数之间的关系，并把表格补全． 正方形的个数 1 2 3 4 … n 等腰三角形的个数 … （1）照这样的画法，如果画15个正方形，可以得到_______个等腰三角形； （2）若要得到152个等腰三角形，则应画_______个正方形． 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $