暑假作业08 不等式与不等式（组）（巩固培优，17大题型+能力培优练+创新拓展练）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 本专项以“概念-性质-解法-应用”为逻辑主线，系统整合不等式与不等式组知识，通过定义辨析、性质应用、解法步骤及综合拓展，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|5个核心概念|定义判断标准、性质应用法则、解法步骤（去分母等五步法）|从基础概念（不等式定义）到性质推导，再到一元一次不等式（组）解法及解集类型，形成递进关系| |题型|17类分层训练|概念辨析法、性质验证法、参数取值分析法、新定义迁移法|覆盖判断、计算、含参、综合应用等考向，实现从知识理解到问题解决的能力提升|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 不等式与不等式（组） 【知识点1 不等式及其相关概念】 1.定义：用不等号连接起来表示不等关系的式子，叫做不等式。常见不等号：>、<、≥、≤、≠。 注：判断一个式子是否为不等式，根据以下标准判断： ①式子中含有不等号； ②表示两个量之间的不等关系。 满足即为不等式，不含不等号则不是不等式。 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式通常有无数个解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。 【知识点2 不等式的性质】 ①性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。 若，则 ②性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 ③性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 【知识点3 一元一次不等式】 1.定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的整式不等式，叫做一元一次不等式。 注：判断一元一次不等式，依据三个标准： ①是整式不等式，分母不含未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1。 全部满足即为一元一次不等式，任意一条不满足则不是。 2.解一元一次不等式步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 注：系数化为1时，若未知数系数为负数，一定要改变不等号方向；解集可以在数轴上表示。 【知识点4 一元一次不等式组】 1.定义：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一元一次不等式组。 注：判断一元一次不等式组，依据标准： ①组内所有不等式都只含同一个未知数； ②每个不等式都是一元一次不等式。 全部满足即为一元一次不等式组。 2.不等式组的解集：不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。 3.解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 注：解一元一次不等式组步骤： ①分别求出组内每一个一元一次不等式的解集； ②在同一数轴上表示出各个解集； ③找出解集的公共部分，即为不等式组的解集； ④若无公共部分，则不等式组无解。 【知识点5 一元一次不等式组解集四种基本类型】 设a<b,两个一元一次不等式组成的不等式组： 1.，解集： 2.解集： 3.，解集： 4.，解集：无解(大大小小找不到) 【题型1 判断是否为不等式】 1．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：用等号连接，是等式，不是不等式； 选项B：是代数式，没有不等关系，不是不等式； 选项C：用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义； 选项D：是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 2．下列选项中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵选项A的不含不等号，不是不等式； 选项B的用不等号连接，是不等式； 选项C的用不等号连接，是不等式； 选项D的用不等号连接，是不等式． ∴不是不等式的是选项A． 3．与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意将文字关系转化为数学不等式即可． 【详解】解：与2的差为，负数是小于的数， ∴根据题意可得不等式 ． 4．“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 “非负数”就是，按题干描述逐步列式即可得到结果． 【详解】解：∵的可表示为， 的与的差可表示为． 又∵非负数是指大于或等于的数， ∴列出不等式为． 【题型2 根据不等式的性质判断选项是否正确】 1．已知，下列不等式错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，结合不等式的基本性质逐一判断各选项即可解答． 【详解】解：A、不等式两边同乘，得，两边再同减，得，故本选项不等式错误； B、不等式两边同乘，不等号方向改变，得，故本选项不等式正确； C、不等式两边同减，不等号方向不变，得，故本选项不等式正确； D、不等式两边同加，不等号方向不变，得，故本选项不等式正确． 2．下列结论中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质和不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：选项：当时，一定成立，但不一定等于，故错误； 选项：，两边同乘得，故错误； 选项：若，两边同时除以得，故错误； 选项：两边同时除以正数，不等号方向不变，，故成立． 3．若，则下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可，不等式基本性质为：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解： A. ∵，两边同除以正数，不等号方向不变，∴，A正确，不符合题意； B. ∵，两边同加，不等号方向不变，∴，B正确，不符合题意； C. ∵，两边同乘正数得，再两边同减，不等号方向不变，∴，C正确，不符合题意； D. ∵，两边同乘负数，不等号方向改变，得，再两边同减，不等号方向不变，∴，D错误，符合题意． 4．下列说法一定正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】解：A、反例，满足，但，故A错误； B、∵，又∵， 根据不等式性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，可得， 同理，，可得， ∴，故B正确； C、取反例，满足，但，故C错误； D、取反例，满足，但，故D错误． 【题型3 判断是否为一元一次不等式】 1．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 2．下列不等式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次不等式满足：左右两边为整式，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、是分式，不等式左边不是整式，因此不是一元一次不等式，不符合题意； B、含有和两个未知数，因此不是一元一次不等式，不符合题意； C、未知数的次数为2，因此不是一元一次不等式，不符合题意； D、该不等式只含有1个未知数，且的次数为1，左右两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，符合题意． 3．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：一元一次不等式有：①，不含未知数，不符合题意； ②，含有两个未知数，不符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是代数式，不符合题意； ⑤，是一元一次不等式，符合题意； ⑥，分母中含有未知数，不符合题意； 故选：A ． 4．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 【题型4 根据一元一次不等式的定义求参数】 1．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，可得未知数的次数为，且的系数不为，据此列关系式求解即可. 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且， ∵， ∴， 或， ∵， ∴， ， 故答案为 ：. 2．若是关于x的一元一次不等式，则a的值为__________ 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为１的不等式，列出关于的方程，进而求解． 【详解】解：根据题意可得，解得． 3．若不等式是关于x的一元一次不等式，则________． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式， ∴且， 即且或， ∴ 4．若是关于的一元一次不等式，则_______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数等于，未知数的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且． 由得或， 由得， ． 5．若 是关于x的一元一次不等式，则n的值为_______． 【答案】0或 【分析】根据一元一次不等式的定义，一元一次不等式中未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，据此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：不等式 是关于的一元一次不等式． 解 得： 或 ． 解得或． 由得 ． ∵和都满足． ∴的值为或． 【题型5 一元一次不等式在数轴上表示】 1．不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式求出的取值范围，再估算的值确定解集在数轴上的位置，最后对比选项即可． 【详解】解： 解得 不等式的解集在数轴上表示为： 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：移项得：， 即， 解得， 解集在数轴上表示如图 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由不等式可得：， 在数轴上表示为 4．不等式：的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出解集，再在数轴上表示，注意数轴上实心点与空心点的区别． 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得， 在数轴上表示为： 【题型6 解一元一次不等式（计算）】 1．解不等式（要求不等式解集在数轴上表示出来）． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 画数轴略 （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 画数轴略 2．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】先按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及不等式的性质求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ． 在数轴上表示如下： 4．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出解集． 【详解】解： 解得， ∴在数轴上表示不等式的解集如下： 【题型7 判断一元一次不等式解题过程是否正确】 1．完成下列题目 (1)计算： (2)课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏老师 甲同学 乙同学 丙同学 丁同学 戊同学 ①在“接力游戏”中，乙同学是依据____________进行变形的． A．等式的基本性质B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质D．乘法对加法的分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，请直接写出该不等式正确的解集________． ③请把不等式正确的解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)①D；②戊，； ③ 【分析】（1）依据绝对值、立方根的运算法则求解各项即可； （2）①根据乘法对加法的分配律变形； ②最后一个同学出现错误，未知数的系数为负，系数化1时，不等号的方向没有改变； ③画出正确的解集即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：①在“接力游戏”中，乙是依据乘法对加法的分配律变形的； ②戊同学出现错误，系数化1时，不等号的方向没有改变； ③略． 2．小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 (1)小明的解法是从第_________步开始出错的，第四步的依据是_________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)三，不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变） (2)见解析 【分析】（）根据解不等式的基本步骤逐一判断即可； （）根据解不等式的基本步骤解答即可； 本题考查了解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：小明的解法是从第三步开始出错的，第四步的依据是不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）， 故答案为：三，不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以，得． 3．下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 x系数化成1，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步的依据是___________________； (2)在解答过程中，从第________步开始出错，具体的错误原因是_________________________； (3)原不等式的正确解集为________． 【答案】(1)不等式的基本性质2 (2)二；移项时未改变符号 (3) 【分析】（）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质; （2）解：在解答过程中，从第二步开始出错，错误原因是移项时未改变符号； （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 的系数化成，得， 故原不等式的正确解集为． 4．下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题． 解不等式： 解：去分母，得…………① 去括号，得…………② 移项、合并同类项，得…………③ 两边都除以，得…………④ (1)填空：第①步中“去分母”的依据是________；第________步有错误，这一步错误的原因是________； (2)写出该不等式的正确解答过程． 【答案】(1)不等式的基本性质2；④，不等式两边同时除以一个负数，不等式符号的方向没有改变 (2)解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得． 【分析】（1）根据不等式的基本性质2实现去分母，再结合不等式两边同时除以一个负数，不等式符号改变进行分析，即可作答． （2）先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可作答． 【题型8 求一元一次不等式解得最值】 1．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 2．已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 3．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 4．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 5．关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9 在数轴上表示一元一次不等式组的解】 1．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 数轴表示如下： ． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如选项C所示． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解不等式组 ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，移项得 ，系数化为1得 ， 不等式组的解集为 ， 在数轴上表示为： 处为实心点且向右， 处为空心圈且向左，公共部分为中间线段. 观察选项，C选项符合． 4．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解得， 解得， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示如下： 【题型10 解一元一次不等式组（计算）】 1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，解集在数轴上表示： 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则原不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来略． 2．解不等式组：．请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据解不等式的步骤求解即可； （2）根据解不等式的步骤求解即可； （3）利用数轴表示解集即可； （4）根据公共部分确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式①，得； （2）解：解不等式②，得； （3）略 （4）解：原不等式组的解集为． 3．解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，，该不等式组的所有非负整数解是0，1，2 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为， 在数轴上表示该不等式组的解集，如图． 该不等式组的所有非负整数解是0，1，2． 4．解不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，再将解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 数轴略 5．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，然后把不等式的解集在数轴上表示出来，再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． 图略 【题型11 已知一元一次不等式组整数解求参数取值范围】 1．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组恰有4个整数解，得到关于的不等式，即可求解得到的取值范围． 【详解】解：由，得：， 系数化为得， 由， 得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解， 这个整数解为， ． 2．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解得，则可得关于的不等式组的个整数解是、、、，然后列出不等式组即可求出的取值范围． 【详解】解：， ， ， ∴关于的不等式组的个整数解是、、、， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 3．已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有个整数解确定的取值范围，找出范围内所有整数，计算其和即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式，不等式两边同乘得， 展开得，移项得， ∴不等式组的解集为， 不等式组有且只有个整数解， 三个整数解为，可得， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数为，和为． 4．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，即可确定a的取值范围 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，移项得，系数化为得 不等式组的解集为 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的三个整数解为，， 【题型12 由一元一次不等式组解的情况求参数】 1．不等式组的解集为，则的取值范围为________ ． 【答案】 【详解】解：解不等式 ，得 ． ∵ 不等式组的解集为， 根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，可得． 2．已知不等式组的解集为，则的值为______． 【答案】4 【分析】根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为 ∴， ∴， ∴． 3．已知关于x的不等式组的解集为，则的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及代数式求值，先分别求解每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集得到关于、的方程，求出、的值后，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ， ， ， 解得：， ． 4．如果不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的“同大取大”规律，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 由于不等式组的解集是， 则， 解得：． 【题型13 已知一元一次不等式组有（无）解求参数】 1．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， ∵不等式组无解， ∴， 则． 2．已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组有解列出关于的不等式式子求解即可． 【详解】解：由解得：， 由解得：， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴． 3．关于的不等式组有解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先分别解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再根据不等式组有解判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有解， ∴， 故答案为：． 4．若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有______个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握解不等式组的步骤和解集的意义． 求出各个不等式的解集，然后根据不等式组的解集列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， ∵不等式组无解， ∴， 满足条件的正整数n有：1,2，共2个， 故答案为：2． 【题型14 二元一次方程组与不等式组综合】 1．已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】用第②个方程减第①个得，即得，再解不等式组即可求解． 【详解】解：， ②①，得， ∵ ∴， 即， 解得， ∴的取值范围为． 2．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 3．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 4．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 【题型15 一元一次不等式组综合】 1．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有个整数解确定的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数，统计其个数即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得； 解不等式， ； 不等式组的解集为， 不等式组至少有个整数解， ， 解得． ， 由得，， 将代入得，， 整理得， ， 将代入得，， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且， ，，， 所有满足条件的整数的个数是个． 2．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 3．已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 4．若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个， 故选：B． 【题型16 一元一次不等式（组）解答题综合】 1．已知方程组 (1)若原方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简：； (3)在（1）的条件下，若，求a的最小的整数解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将方程组中的两个方程相加、相减，用含a的代数式分别表示x和y，结合x为非正数，即、y为负数，即的条件，列出关于a的不等式组，求解得到a的取值范围； （2）根据（1）中a的取值范围，判断绝对值内式子的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项完成化简； （3）将用a表示的x和y，代入不等式，解关于a的不等式，结合（1）的取值范围，找出a的最小整数解． 【详解】（1）解： 得， 解得， 得， 解得， ∴方程组的解为， 由题意得：为非正数，为负数， ∴，， ∴ 解得 即； （2）解：∵， ∴，， ∴ ； （3）解：将，代入不等式， 得， 解得， 结合（1）的条件， 得的范围为， 此范围内的整数为， ∴最小整数解为． 2．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，进而用含的式子表示，得到关于的不等式组，求解即可； （2）根据已知等式得到代入，再结合（1）所得的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 3．已知关于，的方程组的解中，． (1)的取值范围为___________． (2)化简：． (3)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2)当时；当时；当时 (3)当时，不等式的解集为 【分析】（1）解方程组把未知数、的值用含的代数式表示出来，再根据，，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出的取值范围； （2）根据的取值范围分段化简； （3）因为不等式的解集为，根据不等式的基本性质可知，结合，可知，又因为为整数，可知． 【详解】（1）解：解方程组， 可得：， ，， ，    解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 即的取值范围为； （2）解：由（1）可知，， 当时， ，， ，             当时， ，， ， 当时， ，， ，      综上所述：当时； 当时； 当时； （3）解：， ， 不等式的解集为， ， 解得：， 又， ， 为整数， ， 当时，不等式的解集为． 4．关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得出，再根据得出m的不等式，解不等式即可； （2）先求出不等式组的解集得出，再根据不等式组只有3个整数解，得出，再根据，得出，最后求出所有整数的和即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为． 【题型17 一元一次不等式组中新定义类】 1．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“和谐解”． (1)是否是方程与不等式的“和谐解”？________；（填“是”或“不是”） (2)是方程与不等式（组）①，②，③中________的“和谐解”；（只填序号） (3)如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，那么________，的取值范围是________； (4)如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，求出的取值范围． 【答案】(1)是 (2)③ (3)6， (4) 【分析】（1）根据“和谐解”的定义进行求解即可； （2）根据“和谐解”的定义进行求解即可； （3）将代入，求出，推导出，得到，继而推导出，求出，即可解答； （4）先推导出，再将，代入不等式组，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：解得， ， 当时，， ∴是方程与不等式的“和谐解”； （2）解：解，得 ， 解，得 ， ∴不是不等式的解，①不符合题意； 解，得 ， ∴不是不等式的解，②不符合题意； 解，得 ， ∴是不等式的解，③符合题意； （3）解：将代入，得 ， 解得， ∴将代入，得 ， 即， 由关于的不等式组有解， ∴， ∵是该不等式组的一个解， ∴， 解得， ∴，； （4）解：∵是关于的方程的解， ∴， 即， 将，代入不等式组，得 解得， ∴n的取值范围是． 2．数轴上两点，表示的数分别是， ，若线段上所有点对应的数都是不等式组的解，则称不等式组对于线段“绝对包含”． (1)当，时， ①关于的不等式组，对于线段 （填“是”或“不是”）“绝对包含”． ②已知关于的不等式组且不等式组对于线段“绝对包含”，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组，若不等式组对于线段“绝对包含”，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)①是；②的取值范围是； (2)． 【分析】（1）①根据新定义求解即可判断； ②先求得不等式组的解集为，根据新定义得到，据此求解即可； （2）先求得不等式组的解集为，推出，根据新定义得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：①解不等式组，得， 已知线段对应的数为，完全在内， ∴不等式组对于线段是“绝对包含”； ②不等式组， 解不等式得，， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组对于线段是“绝对包含”， ∴， 解得， 解得， ∴的取值范围是； （2）解：不等式组， 解不等式得； 解不等式得； ∴不等式组的解集为， ∵且线段对应的数为，又，即，得， ∴， ∵不等式组对于线段是“绝对包含”， ∴， 解得． 3．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是________； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则________； (3)已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）求出不等式解集，利用题目所给定义求出“解集长度”； （2）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求出的值； （3）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求的取值范围，这里注意这个条件． 【详解】（1）解：， ①移项得，解得， ②移项得，解得， 故原不等式组的解集为， 故其“解集长度”为； （2）解：， 解①得， ②移项得， 解得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”为2， ， 解得； （3）解：， ①化简得，移项得，解得， 解②得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”小于3， ， ①化简得，解得， ②化简得，解得， ． 4．对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，． (1)直接写出：______，______； (2)若关于x，y的方程组的解满足，且关于p的不等式组的解集为，求关于s的不等式的解集； (3)若关于x的不等式组有4个整数解，且，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据已知条件列二元一次方程组求出a、b的值，得到新运算的表达式； （2）问先化简方程组得到t的范围，再根据不等式组的解集确定t的范围，最后化简所求不等式得到解集； （3）化简不等式组得到解集，结合整数解个数和已知条件求出m的范围． 【详解】（1）解：∵，，． ∴ ，解得 ， （2）解：由（1）可得：，，则， ∵关于x，y的方程组， ∴， 可得：，即， ∵ ∴，解得：， ∵关于p的不等式组， ∴，解得：， ∵关于p的不等式组的解集为， ∴，即， ∴， ∵关于s的不等式， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：∵， ∴，即， 关于x的不等式组可化为：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：，即 ∵关于x的不等式组有4个整数解， ∴， ∵有四个整数解， ∴设最小的整数解为k，最大的整数解为，则 ，整理得：， ∵方程组有解， ∴，解得：， 当时，由不等式①可得：；由不等②可得：，此时不等式组的解集为； 当时，由不等式①可得：；由不等②可得：，此时不等式组的解集为； 综上，m的取值范围为． 5．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)方程的解不是不等式的“内含解”，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）先得出方程的解和不等式的解集，然后根据“内含解”的定义进行判断即可； （2）先得出方程组的解为，然后根据题意可得，进而求解即可； （3）先得出方程和不等式组的解分别为，，然后根据题意可得，，进而求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解不等式得：， ∴不在范围内， ∴方程的解不是不等式的“内含解”； （2）解： 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组的解是不等式的“内含解”， ∴， 解得：； （3）解： 由①可得：， 由②可得：， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有3个整数解，且该3个整数解分别为， ∴， 解得：， 由方程可得，且方程的解是不等式组的“内含解”， ∴， 解得：， 综上所述：的取值范围为． 6．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)，10 (3) 【分析】（1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为列出不等式组，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵，， ∴； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，且，解得：且． 综上，． 1．已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将和变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y为非负实数， ∴，解得， ∴， 已知， 将代入，得， 化简，得． 逐一验证选项： 选项A，，把代入，得，解得， 并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误； 选项B，， ∵， ∴选项B错误； 选项C，， 把，代入左边， 得 ， 与右边相等，因此C正确； 选项D，，当时， ，因此D错误． 2．如图，a，b，在数轴上的对应点分别是A，B，P，则在数轴上的对应点位于（     ） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置关系得出 ，从而判断 的符号，再利用数轴上两点间的距离公式及图形的几何特征确定 的位置． 【详解】解：由数轴可知，点对应的数分别为，且从左到右排列 ， 即对应的点在点的右边 又点到点的距离为，点到点的距离为 点到点的距离等于点到点的距离 由图可知，线段的长度明显小于线段的长度 点到点的距离小于点到点的距离 点位于点与点之间． 3．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（    ） A．4 B．3 C．0 D．－4 【答案】A 【分析】先通过加减消元法解出关于m的表达式，再根据得到m的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：解方程组 ∵ 将 得 ，整理得 将 代入，得 整理得 ∵ 方程组的解满足 ∴ 移项得 解得 选项中只有， 故选项A符合题意． 4．对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论： ①； ②若，则； ③； ④若，则x的取值范围为．其中正确结论是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据新定义的分段运算规则分类讨论，逐一判断每个结论是否正确即可解答． 【详解】解：①，根据新定义可得，故①正确； ②若，分两种情况讨论： 当时，，符合条件； 当时，，解得，符合条件； 因此或，故②错误； ③当时，，，，故③错误； ④解不等式，分两种情况讨论： 当，即时， 不等式化为，解得， 结合，得此时解集为； 当，即时， 不等式化为，解得， 结合，得此时解集为； 综上，不等式的解集为，故④正确； 因此正确结论为①④． 5．若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则m的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先求不等式组解集，再根据整数解的和为9确定整数解的两种可能，最后推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组， 解不等式得： 解不等式得： 因此不等式组的解集为 因为所有整数解的和是，可得两种情况： ① 整数解为，，符合题意，此时可得 ② 整数解为，，符合题意，此时可得． 综上，m的取值范围为或． 6．对于定义了一种新运算，规定，关于的不等式组有且只有3个整数解，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得到关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的不等式组可化为， 解不等式①得： ，即， 解不等式②得： ，即， 不等式组有且只有3个整数解，且， 整数解为 可得， 解得：． 7．按要求完成下列各题： (1)解不等式组； (2)阅读材料： 王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的： 解：由①，得， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得． 原方程组的解为． 这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”． 请用此方法解方程组：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为； （2）解：， 由，整理得， 将①变形为， 把③代入④，得，解得， 把代入①，得，解得． 原方程组的解为． 8．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作． 例如，，，，那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么x的取值范围是______； (3)如果，那么x的值是________； (4)如果，其中，且，求x的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)的值为或或或 【分析】（1）根据的定义求解即可； （2）根据的定义求解即可； （3）根据题意得出是整数，且， 解答即可； （4）设（为整数），结合已知条件求出，即可解答； 【详解】（1）解：∵不超过的最大整数是，不超过的最大整数是， ∴根据题中定义可得，； （2）解：∵， ∴根据定义得； （3）解：由，得：是整数，且， 解得：， ∴， 又是整数， 故， 解得； （4）解：设（为整数）， ∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴， ∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 1．阅读理解：我们把“”称为对角式，规定它的运算法则为．例如： ． (1)求不等式的解集为________； (2)若关于的不等式的解集是，求的值为________； (3)若关于的不等式组有解，求m的取值范围________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据运算法则，得，再解出，即可作答． （2）根据运算法则，得，再解出，再结合关于x的不等式的解是，得，即可作答． （3）先根据运算法则，得，再解出和，因为关于x的不等式组有解，故，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， 关于的不等式的解集是， ， ． （3）解：， ， 由，得， 由，解得， 关于的不等式组有解， ， ． 2．新定义：对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”；如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“伴随关系”．（特别提醒：不等式的解集为） (1)方程组的解是否具有“友好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解x与y具有“伴随关系”，其中m是整数，求m的值． 【答案】(1)不具有“友好关系”，理由见详解 (2)或． (3) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组，然后再根据x与y具有“友好关系”的定义判断即可． （2）利用加减消元法解二元一次方程组，然后再根据x与y具有“友好关系”的定义得出，解绝对值即可求出m的值． （3）利用加减消元法解二元一次方程组，然后再根据x与y具有“伴随关系”，进而得出，再根据题干绝对值不等式的定义解不等式即可求出答案． 【详解】（1）解∶ 方程组的解不具有“友好关系”， 理由如下： 由①②得，解得， 把代入①得：， 解得， ∴， ∴方程组的解不具有“友好关系”． （2）解： 由①②得：， 解得 把代入①得， 解得， ∵该方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴， ∴或， 解得或． （3）解： 由①②得， 解得， 把代入②得， 解得：， ∵该方程组的解x与y具有“伴随关系”， ∴， ∵不等式的解集为）， ∴， ∴， ∵m是整数， ∴． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 不等式与不等式（组） 【知识点1 不等式及其相关概念】 1.定义：用不等号连接起来表示 的式子，叫做不等式。常见不等号：>、<、≥、≤、≠。 注：判断一个式子是否为不等式，根据以下标准判断： ①式子中含有不等号； ②表示两个量之间的不等关系。 满足即为不等式，不含不等号则不是不等式。 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式通常有无数个解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集。 4.解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。 【知识点2 不等式的性质】 ①性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。 若，则 ②性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 ③性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 【知识点3 一元一次不等式】 1.定义：含有 未知数，并且含有未知数的项的次数是 的整式不等式，叫做一元一次不等式。 注：判断一元一次不等式，依据三个标准： ①是整式不等式，分母不含未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1。 全部满足即为一元一次不等式，任意一条不满足则不是。 2.解一元一次不等式步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 注：系数化为1时，若未知数系数为负数，一定要改变不等号方向；解集可以在数轴上表示。 【知识点4 一元一次不等式组】 1.定义：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一元一次不等式组。 注：判断一元一次不等式组，依据标准： ①组内所有不等式都只含 ； ②每个不等式都是一元一次不等式。 全部满足即为一元一次不等式组。 2.不等式组的解集：不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。 3.解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 注：解一元一次不等式组步骤： ①分别求出组内每一个一元一次不等式的解集； ②在同一数轴上表示出各个解集； ③找出解集的公共部分，即为不等式组的解集； ④若无公共部分，则不等式组无解。 【知识点5 一元一次不等式组解集四种基本类型】 设a<b,两个一元一次不等式组成的不等式组： 1.，解集： 2.解集： 3.，解集： 4.，解集：无解(大大小小找不到) 【题型1 判断是否为不等式】 1．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 4．“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据不等式的性质判断选项是否正确】 1．已知，下列不等式错误的是（     ） A． B． C． D． 2．下列结论中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若，则下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法一定正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 【题型3 判断是否为一元一次不等式】 1．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列不等式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据一元一次不等式的定义求参数】 1．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 2．若是关于x的一元一次不等式，则a的值为__________ 3．若不等式是关于x的一元一次不等式，则________． 4．若是关于的一元一次不等式，则_______． 5．若 是关于x的一元一次不等式，则n的值为_______． 【题型5 一元一次不等式在数轴上表示】 1．不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 4．不等式：的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型6 解一元一次不等式（计算）】 1．解不等式（要求不等式解集在数轴上表示出来）． (1)； (2)． 2．解下列不等式： (1)； (2)． 3．解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 4．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【题型7 判断一元一次不等式解题过程是否正确】 1．完成下列题目 (1)计算： (2)课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏老师 甲同学 乙同学 丙同学 丁同学 戊同学 ①在“接力游戏”中，乙同学是依据____________进行变形的． A．等式的基本性质B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质D．乘法对加法的分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，请直接写出该不等式正确的解集________． ③请把不等式正确的解集表示在数轴上． 2．小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 (1)小明的解法是从第_________步开始出错的，第四步的依据是_________； (2)请写出正确的解题过程． 3．下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 x系数化成1，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步的依据是___________________； (2)在解答过程中，从第________步开始出错，具体的错误原因是_________________________； (3)原不等式的正确解集为________． 4．下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题． 解不等式： 解：去分母，得…………① 去括号，得…………② 移项、合并同类项，得…………③ 两边都除以，得…………④ (1)填空：第①步中“去分母”的依据是________；第________步有错误，这一步错误的原因是________； (2)写出该不等式的正确解答过程． 【题型8 求一元一次不等式解得最值】 1．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 3．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 4．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 5．关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 【题型9 在数轴上表示一元一次不等式组的解】 1．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 4．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型10 解一元一次不等式组（计算）】 1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 2．解不等式组：．请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为__________． 3．解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有非负整数解． 4．解不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 5．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【题型11 已知一元一次不等式组整数解求参数取值范围】 1．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是________． 2．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 3．已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 4．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【题型12 由一元一次不等式组解的情况求参数】 1．不等式组的解集为，则的取值范围为________ ． 2．已知不等式组的解集为，则的值为______． 3．已知关于x的不等式组的解集为，则的值是________． 4．如果不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【题型13 已知一元一次不等式组有（无）解求参数】 1．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 2．已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 3．关于的不等式组有解，则的取值范围为______． 4．若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有______个． 【题型14 二元一次方程组与不等式组综合】 1．已知满足，则的取值范围为______． 2．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 3．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 4．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【题型15 一元一次不等式组综合】 1．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 2．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 3．已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 4．若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【题型16 一元一次不等式（组）解答题综合】 1．已知方程组 (1)若原方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简：； (3)在（1）的条件下，若，求a的最小的整数解． 2．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 3．已知关于，的方程组的解中，． (1)的取值范围为___________． (2)化简：． (3)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？ 4．关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【题型17 一元一次不等式组中新定义类】 1．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“和谐解”． (1)是否是方程与不等式的“和谐解”？________；（填“是”或“不是”） (2)是方程与不等式（组）①，②，③中________的“和谐解”；（只填序号） (3)如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，那么________，的取值范围是________； (4)如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，求出的取值范围． 2．数轴上两点，表示的数分别是， ，若线段上所有点对应的数都是不等式组的解，则称不等式组对于线段“绝对包含”． (1)当，时， ①关于的不等式组，对于线段 （填“是”或“不是”）“绝对包含”． ②已知关于的不等式组且不等式组对于线段“绝对包含”，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组，若不等式组对于线段“绝对包含”，且满足，求的取值范围． 3．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是________； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则________； (3)已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围． 4．对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，． (1)直接写出：______，______； (2)若关于x，y的方程组的解满足，且关于p的不等式组的解集为，求关于s的不等式的解集； (3)若关于x的不等式组有4个整数解，且，求m的取值范围． 5．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 6．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 1．已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，a，b，在数轴上的对应点分别是A，B，P，则在数轴上的对应点位于（     ） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 3．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（    ） A．4 B．3 C．0 D．－4 4．对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论： ①； ②若，则； ③； ④若，则x的取值范围为．其中正确结论是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 5．若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则m的取值范围是______． 6．对于定义了一种新运算，规定，关于的不等式组有且只有3个整数解，则实数k的取值范围是______． 7．按要求完成下列各题： (1)解不等式组； (2)阅读材料： 王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的： 解：由①，得， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得． 原方程组的解为． 这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”． 请用此方法解方程组：． 8．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作． 例如，，，，那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么x的取值范围是______； (3)如果，那么x的值是________； (4)如果，其中，且，求x的值． 1．阅读理解：我们把“”称为对角式，规定它的运算法则为．例如： ． (1)求不等式的解集为________； (2)若关于的不等式的解集是，求的值为________； (3)若关于的不等式组有解，求m的取值范围________． 2．新定义：对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”；如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“伴随关系”．（特别提醒：不等式的解集为） (1)方程组的解是否具有“友好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解x与y具有“伴随关系”，其中m是整数，求m的值． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $