精品解析：福建仙游县书峰学校2024-2025学年八年级（下）人教版数学期中试卷

2024-2025八年级（下）人教版数学期中试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 计算的结果是 A. ﹣3 B. 3 C. ﹣9 D. 9 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF＝20m，则AB长为（　　） A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，点P为□ABCD的边AD上一点，若△PAB、△PCD和△PBC的面积分别为和，则它们之间的大小关系是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形 ABCD 的面积是（ ） A. 18 B. 18 C. 36 D. 36 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　） A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 10. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 12. 小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点，在数轴上的个单位长度的位置找一个点，然后过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，设与数轴右侧交点为点，则点的位置在数轴上为_______． 13. 如图，在平行四边形中，，，，则的周长是__________． 14. 如图，在中，点、分别是边、的中点．延长到点，使，得四边形．当_______时，四边形是菱形． 15. 如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为___． 16. 如图，四边形是菱形，分别是上的动点，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（共86分） 17. 计算： ； 18. 已知：如图，E，F是的对角线上两点，，求证：． 19. 如图，四边形ABCD中，，，，，求AD的长． 20. 如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度． 21. 如图，在中，，是中线，E是中点，过A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）如果 ，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 22. 如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，当，时，求的长． 23. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式﹣﹣﹣﹣海伦公式（其中，，是三角形的三边长，，为三角形的面积），并给出了证明 例如：在中，，，，那么它的面积可以这样计算： ∵，，， ∴， ∴ ， 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在中，，，． （1）用海伦公式求的面积； （2）如图，、为的两条角平分线，它们的交点为，求的面积． 24. 如图，在中，平分，于点E，点F是的中点． （1）如图1，的延长线与边相交于点D，求证：； （2）如图2，中，，，求线段的长． 25. 如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF． （1）求∠EAF的度数； （2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025八年级（下）人教版数学期中试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 计算的结果是 A. ﹣3 B. 3 C. ﹣9 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】=|﹣3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式化简，掌握二次根式化简方法是解题关键． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可． 【详解】根据勾股数的定义可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股数，熟练勾股数的定义是解决本题的关键． 3. 如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF＝20m，则AB长为（　　） A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意直接利用三角形中位线定理，可求出AB． 【详解】∵E、F是AC，AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=AB ∵EF=20m， ∴AB=40m． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理在实际生活中的运用，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的加减乘除的运算法则，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行判断． 5. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形；一个四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；一个四边形有一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；一个四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形． 【详解】解：A、，， 四边形的对角线互相平分，是平行四边形； B、，， 四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形， 则不能判断四边形是平行四边形； C、，， 四边形的两组对边分别平行，是平行四边形； D、，， 四边形的两组对边分别相等，是平行四边形． 6. 如图，点P为□ABCD的边AD上一点，若△PAB、△PCD和△PBC的面积分别为和，则它们之间的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设平行四边形的高为h，然后分别表示出s1、s2和s3，即可得出三者的关系． 【详解】设平行四边形的高为h， 则 又平心四边形的对边相等， ∴AP+PD=AD=BC， ∴. 故选:A. 【点睛】考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键. 7. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形 ABCD 的面积是（ ） A. 18 B. 18 C. 36 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可求AC，BD的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AO=CO=3，BO=DO=3，AC⊥BD ∴AC=6，BD=6 ∴菱形ABCD的面积= 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形面积公式是本题的关键． 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 9. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　） A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 【答案】D 【解析】 【详解】正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°， 已知DC⊥CE，则∠ACE=135°， 又∵CE=AC， ∴∠E=22.5°． 故选D． 10. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 12. 小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点，在数轴上的个单位长度的位置找一个点，然后过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，设与数轴右侧交点为点，则点的位置在数轴上为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出，从而得到，在求出对应的数即可． 【详解】解：由题意可知，，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴点对应的数为． 13. 如图，在平行四边形中，，，，则的周长是__________． 【答案】21 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=7，OB=OD=4，即可得出△BOC的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=7，OB=OD=4， ∴△BOC的周长=OB+OC+BC=4+7+10=21； 故答案为21． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算；熟记平行四边形的对角线互相平分是解题关键． 14. 如图，在中，点、分别是边、的中点．延长到点，使，得四边形．当_______时，四边形是菱形． 【答案】 【解析】 【分析】容易判断是的中位线，则，，从而得到，结合可判定四边形是平行四边形，因此只需添加即可判定四边形是菱形，此时． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形． 15. 如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为___． 【答案】96 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形，进而根据S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6， ∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100， ∴AC＝10（取正值）． 在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， S阴影＝SRt△ABC−SRt△ACD ＝×10×24−×8×6 ＝96． 故答案为：96． 【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形． 16. 如图，四边形是菱形，分别是上的动点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BQ、PB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B. D关于AC对称，则PB=PD，可知当B、P、Q共线时PQ+PD=PQ+BP=BQ最小，BQ为所求，当BQ⊥AD时，BQ最小，继而利用面积法求出BQ长即可得答案. 【详解】连接BQ、PB， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B. D关于AC对称，则PB=PD， ∴PQ+PD=PQ+BP， 则当B、P、Q共线时PQ+PD=PQ+BP=BQ最小，BQ为所求，当BQ⊥AD时，BQ最小， ∵四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6， ∴OA=4，OB=3，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，AB==5， ∵S菱形ABCD=， ∴， ∴BQ=， ∴DP+PQ的最小值为， 故答案为. 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 计算： ； 【答案】6 【解析】 【分析】观察式子的特点，它符合平方差公式，利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18. 已知：如图，E，F是的对角线上两点，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，易证，，从而，再证，根据“”，可证，即可求证． 【详解】解：， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 19. 如图，四边形ABCD中，，，，，求AD的长． 【答案】 【解析】 【分析】首先在中利用求出AC的长度，然后在中再利用即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 20. 如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度． 【答案】10cm 【解析】 【分析】设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+2）cm，可求杯子半径为 6cm，根据勾股定理构造方程x2+62=（x+2）2，解方程即可． 【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+2）cm， ∵杯子的直径为12cm， ∴杯子半径为6cm， ∴x2+62=（x+2）2， ∴x2+36=x2+4x+4， ∴x=8， ∴8+2=10cm． 答：筷子长度为10cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形，利用勾股定理构造方程． 21. 如图，在中，，是中线，E是中点，过A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）如果 ，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，是中线， ∴， ∴； （2） 四边形是正方形， 证明：当时，四边形是正方形． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是中线， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）先证明，即可得，又由在中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得，即可证得：； （2）当时，四边形是正方形．由，可证得：四边形是平行四边形，又由，根据三线合一的性质，可得，，继而可得四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识．难度适中，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 22. 如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． （1）若，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查矩形判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等． （1）根据题意得，继而得，即可得到本题答案； （2）利用矩形性质可知，再判定，利用勾股定理即可得到本题答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长是． 23. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式﹣﹣﹣﹣海伦公式（其中，，是三角形的三边长，，为三角形的面积），并给出了证明 例如：在中，，，，那么它的面积可以这样计算： ∵，，， ∴， ∴ ， 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在中，，，． （1）用海伦公式求的面积； （2）如图，、为的两条角平分线，它们的交点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用海伦公式进行计算即可； （2）连接，过点分别作、、的垂线，垂足为、、，设，由角平分线定理可得，将分割成三个小三角形，利用面积构造方程求出，再计算的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点分别作、、的垂线，垂足为、、，设， ∵、为的两条角平分线， 又∵，，， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 24. 如图，在中，平分，于点E，点F是的中点． （1）如图1，的延长线与边相交于点D，求证：； （2）如图2，中，，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用定理证明，得到，，根据三角形中位线定理解答； （2）分别延长、交于点H，利用（1）的结论解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分别延长、交于点H，如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 25. 如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF． （1）求∠EAF的度数； （2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM． 【答案】（1）∠EAF=135°． （2）证明：过点F作FG∥AB交BD于点G． 由（1）可知∠EAF=135°， ∵∠ABD=45° ∴∠EAF+∠ABD=180°， ∴AF∥BG， ∵FG∥AB， ∴四边形ABGF为平行四边形， AF=BG，FG=AB， ∵AB=CD， ∴FG=CD， ∵AB∥CD， ∴FG∥CD， ∴∠FGM=∠CDM， ∵∠FMG=∠CMD ∴△FGM≌△CDM（AAS）， ∴GM=DM， ∴DG=2DM， ∴BD=BG+DG=AF+2DM． 【解析】 【分析】（1）过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，只要证明△EBC≌△FME（AAS）即可解决问题； （2）过点F作FG∥AB交BD于点G．首先证明四边形ABGF为平行四边形，再证明△FGM≌△DMC（AAS）即可解决问题； 【详解】（1）解：过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠M=∠CEF=90°， ∴∠MEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°， ∴∠MEF=∠ECB， ∵EC=EF， ∴△EBC≌△FME（AAS） ∴FM=BE ∴EM=BC ∵BC=AB， ∴EM=AB， ∴EM﹣AE=AB﹣AE ∴AM=BE， ∴FM=AM， ∵FM⊥AB， ∴∠MAF=45°， ∴∠EAF=135°． （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $