安徽合肥市蜀山区2025-2026学年下学期八年级数学期末模拟练习练习卷

**基本信息** 2025-2026学年合肥市蜀山区八下数学期末模拟卷，以文化传承（明代《算法统宗》秋千问题）、生活实践（演讲比赛评分、粽子销售利润）为情境，梯度覆盖基础（二次根式、勾股定理）与综合应用（正方形动态问题），体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|函数自变量范围、最简二次根式、勾股定理逆定理|基础概念辨析，如第4题多组数据验证直角三角形| |填空题|4/20|方差计算、古算题建模、矩形旋转|第12题结合程大位《算法统宗》，培养模型意识| |解答题|8/90|几何证明（平行四边形、矩形）、统计分析（成绩对比）、动态问题|第23题正方形动点探究，考查推理能力与创新意识|

2025-2026学年安徽省合肥市蜀山区八下数学期末模拟练习练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．计算：（     ） A． B．2 C． D． 4．下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．某校八年级开展“光影拾忆·母爱成诗”主题演讲比赛，前三名选手的比赛成绩如表：若“故事内容”“情感表达”和“演讲技巧”依次按的比例计算最终成绩，则本次比赛最终成绩最高的选手是（    ） 选手 评分项目（单位：分） 故事内容 情感表达 演讲技巧 小芸 小琨 小龙 A．小芸 B．小琨 C．小龙 D．三名选手最终成绩一样高 6．若关于的一元二次方程有两个相等的正实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 8．如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，则 的值为（   ） A．4 B． C．3 D．2   10．两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，．若，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．数据1，3，3，6，7的方差是______． 12．明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为x尺，则可列方程：________． 13．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为_______． 14．如图，在中，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点E，于点F． （1）四边形的形状是_____； （2）若，，连接，则的最小值为_____． 三.（本题共16分） 15．解方程：． 16．如图，在下列边长为1的小正方形组成的网格中，利用网格点画图． (1)画出一条线段，使得； (2)在（1）的基础上，以为边，画出，使得的三边长都为无理数． 四.（本题共16分） 17．如图，是平行四边形的对角线，，延长至点C，使，连接交于点O，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 18．观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 五.（本题共20分） 19．细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题： OA12＝1；+1＝2； +1＝3 +1＝4；… S1＝；S2＝；S3＝；… （1）推算OA10的长和S10的值； （2）直接用含n（n为正整数）的式子表示OAn的长和Sn的值； （3）求S12+S22+S32+…+S102的值． 20．已知张明与李华在学校的五次数学竞赛培训的测试成绩（单位：分）如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 张明的成绩 75 80 85 85 100 李华的成绩 70 100 100 75 80 (1)计算出下表中a，b，c的值． 平均数／分 中位数／分 众数／分 方差／分 张明的成绩 a 85 b 李华的成绩 85 c 100 160 (2)结合两个人成绩的平均数和中位数进行分析，哪个人的成绩较好？ (3)计算张明成绩的方差，并判断哪个人的成绩较为稳定． 六.（本题共12分） 21．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E为的中点，延长到点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求平行四边形的面积． 七.（本题共12分） 22．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元． 八.（本题共14分） 23．在正方形中，是射线上的一点，连接，过点作于点，交射线于点，交射线于点． (1)如图1点在线段上、求证：． (2)如图2若点在的延长线上，连接． （i）求证：； （ii）若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年安徽省合肥市蜀山区八下数学期末模拟练习练习卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C A A C C B A 1．C 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 2．A 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项A的满足上述两个条件， 是最简二次根式； 选项B中，被开方数含能开得尽方的因数， 不是最简二次根式； 选项C中，被开方数含能开得尽方的因数， 不是最简二次根式； 选项D的被开方数含分母， 不是最简二次根式． 3．C 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 4．C 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证每组数据即可． 【详解】解：①最长边为3，验证 ，而，故不能构成直角三角形，不符合题意； ②最长边为2，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ③最长边为5，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ④最长边为，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； 综上，符合条件的有②③④，共3组． 5．A 【分析】本题考查了加权平均数，关键是熟练应用计算方法； 根据加权平均数的计算方法，按的比例计算每位选手的最终成绩，然后比较大小． 【详解】解：∵ 权重比例和为， ∴ 故事内容权重为，情感表达权重为，演讲技巧权重为； 小芸最终成绩：分； 小琨最终成绩 ：分； 小龙最终成绩 ：分； ∵ ∴ 小芸成绩最高， 故选：A． 6．A 【分析】先将方程整理为一般形式，利用判别式等于0求出m的可能值，再根据根为正实数的条件筛选得到正确结果． 【详解】解：由题意得， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即 解得或， 当时，方程为，根为，不符合正实数根的要求，舍去； 当时，方程为，即，根为，是正实数，符合要求． ∴的值为． 7．C 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【详解】解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 8．C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由，不可以判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形也可以满足一组对边平行，另一组对边相等，故此选项符合题意； D、由，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 9．B 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的加法法则求出，根据乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：，， ，， 则 ， 故选：B． 10．A 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出的长，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，最后在中利用勾股定理和含角的直角三角形性质求解 ． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形， 于点 ， 是斜边上的高，也是中线， ， 在中，， ， 即 ， 在中， ， ， 根据勾股定理得 ， ∴， 解得． 11． 【分析】本题考查了平均数，方差等知识．熟练掌握平均数，方差是解题的关键． 根据平均数，方差的计算公式求解即． 【详解】解：由题意知，平均数为， ∴方差为， 故答案为：． 12． 【分析】设尺，则有尺，然后对运用勾股定理建立方程． 【详解】解：设尺， 由题意可知：尺，尺，尺， 尺， 尺， 在中，， ． 13．5 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 故答案为：5． 14． 矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识点，掌握矩形的判定与性质成为解题的关键． （1）说明即可证明结论； （2）如图：连接，由矩形的性质可得，根据垂线段最短和等面积法求得的最小值即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． （2）如图，连接． 在中，，， 由勾股定理，得． 当时，的值最小，此时． 又∵四边形是矩形， ∴，即的最小值为． 15． 【详解】解：， ， ， 解得：． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是作图应用与设计作图，勾股定理和网格，熟知勾股定理是解答此题的关键． （1）根据，然后利用网格的特点求解即可； （2）根据勾股定理得到，，，然后画出三角形即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； ； （2）如图所示，即为所求； ，，． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）过O作于F，根据三角线的中位线定理求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形； （2）过O作于F， 四边形是矩形，， ，， 又， ， ， ，，， ， ． 18．(1)或或 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） （2）解：根据题干所给算式的规律，可得 （3）解： 19．（1）OA10＝，；（2）， ；（3） 【分析】（1）根据前面几个线段的值平方得出规律，即可求出的长，根据前面几个三角形的面积得到规律，即可求出的值； （2）根据规律发现，，即可得出结果； （3）根据（2）中的规律得原式的值为，即可求出结果． 【详解】（1）∵，，…， ∴， ∴， ∵，，…， ∴，则； （2）由（1）可知，，即， ； （3）． 【点睛】本题考查找规律，解题的关键是总结出题目中式子之间的规律进行计算求解． 20．(1) (2) 张明的成绩较好； (3) 张明成绩的方差为70，张明的成绩较为稳定． 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义即可解答； （2）由（1）中结论即可解答； （3）先求出张明成绩的方差，再根据方差的意义即可解答． 【详解】（1）解：， 张明的五次成绩中，分出现的次数最多，则众数， 将李华的五次成绩从小到大排列为，则中位数； （2）解：张明的成绩较好， 理由：由（1）知张明和李华的平均成绩都为分，而张明成绩的中位数大于李华成绩的中位数，则张明的成绩较好； （3）解：张明成绩的方差， ∵， ∴张明的成绩较为稳定， 答：张明成绩的方差为70，张明的成绩较为稳定． 21．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定是解题的关键． （1）先得到为的中位线，则根据三角形中位线的性质以及已知添加证明，即可证明； （2）先求出，再由勾股定理求出，然后过点作于点，由面积法得到，即可求解，再由平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）证明：菱形 为中点 为的中位线 四边形是平行四边形 （2）解：过点作于点 菱形 解得： ． 22．每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元． 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式．设每个粽子的定价为元时，由于每天的利润为800元，根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可． 【详解】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元． 根据题意，得， 解得，， 售价不能超过进价的2倍， ．即， ， 答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元． 23．(1)证明：∵正方形， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ． (2)（i）证明：如图：过C作、，垂足分别为M、N，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∵是正方形的对角线， ∴，即． （ii）． 【分析】（1）由正方形的性质可得、，再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等角的余角相等可得，再利用即可证明结论； （2）（i）如图：过C作、，垂足分别为M、N，则，易证四边形是矩形，再证明可得，即四边形是正方形；再根据正方形的性质即可证明结论；（ii）利用（i）的结论，等边对等角、正方形的性质、三角形外角的性质以及角的和差可得，即是的角平分线；如图：连接，过G作于点J；设正方形的边长为a，则，证明可得，即；再证明，最后利用平行线等分线段定理列比例式化简即可解答． 【详解】（1）略 （2）（i）略； （ii）解：由（i）可得：， ∵， ∴； 如图：连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即是的角平分线， 过G作于点J， 设正方形的边长为a，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $