第一、二章 有理数、有理数的运算-2026-2027学年人教版七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 以“概念生成-运算深化-应用拓展”为主线，系统整合有理数概念与运算，通过分层题型（基础/中等/优质）提炼解题方法，强化抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念认知|15+基础题|数轴比较法/绝对值性质/分类标准|从相反意义量引入正数负数，通过数轴构建有理数几何意义，形成“定义-分类-性质”逻辑链| |运算技能|20+运算题|转化思想（减变加/除变乘）/符号规律/运算律应用|以加法为基础，通过转化思想推导减法、乘除法法则，结合乘方形成完整运算体系| |综合应用|12+优质题|分类讨论/程序流程图/数轴动点模型|结合实际问题（如温度/行程）、新定义运算、幻方等，发展推理意识与模型意识，衔接中考高频考点|

第一、二章 有理数、有理数的运算 思维导图 第一章 有理数 1.1 正数与负数 在生产生活中，人们需要记录具有相反意义的量，因此产生了正数与负数的概念： · 正数：大于0的数叫做正数，正数前面的“+”号可以省略不写，例如3、1.8%、3.5，都属于正数。 · 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数，负数小于0，例如-3、-2.7%、-4.5，都属于负数。 · 0的意义：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点；0不仅可以表示“没有”，还可以表示确定的基准量，例如0℃表示特定的温度，海平面的海拔高度记为0m。 · 相反意义的量：同一问题中，正数和负数分别表示一对相反意义的量。例如，若向东走5m记为+5m，则向西走3m记为-3m；若收入200元记为+200元，则支出100元记为-100元；常见的相反意义量有：上升/下降、增加/减少、盈利/亏损、向东/向西、收入/支出、高于/低于基准等。 1.2 有理数及其大小比较 1.2.1 有理数的相关概念 · 有理数的分类： 分类标准 具体类别 包含内容 按定义分类 整数 正整数（1,2,3...）、0、负整数（-1,-2,-3...） 按定义分类 分数 正分数、负分数（有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都属于分数） 按正负分类 正有理数 正整数、正分数 按正负分类 零 0 按正负分类 负有理数 负整数、负分数 注意：无限不循环小数（如π）不能化为分数，因此不属于有理数。 · 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数。 数轴的性质：数轴上从左到右的点对应的数逐渐增大，因此原点左侧的点对应的数都是负数，原点右侧的点对应的数都是正数。 · 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如2和-2互为相反数，0的相反数是0。 几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等。 性质：若a和b互为相反数，则a+b=0，即a=-b；任意数a的相反数是-a。 · 绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即： 当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a。因此，任意一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。 1.2.2 有理数大小比较 · 数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大，因此正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 · 绝对值比较法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例如，比较-3和-2的大小，|-3|=3，|-2|=2，3>2，因此-3<-2。 · 常用结论：对于任意两个有理数a、b，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b。 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 2.1.1 有理数的加法 · 有理数加法法则： 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+3)+(+5)=+(3+5)=+8；(-2)+(-4)=-(2+4)=-6。 2. 异号两数相加，绝对值相等时和为0（即互为相反数的两数相加得0）；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如：(+3)+(-3)=0；(+5)+(-2)=+(5-2)=+3；(-7)+(+4)=-(7-4)=-3。 3. 一个数同0相加，仍得这个数。例如：0+(-5)=-5；6+0=6。 · 有理数加法运算律： 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 a + b = b + a。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即 (a + b) + c = a + (b + c)。 运算律常用技巧：互为相反数的两个数先相加（凑0），同号的数先相加，分母相同的数先相加，几个数相加能得到整数的先相加，简化计算过程。 2.1.2 有理数的减法 · 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)。这样就可以将减法运算转化为加法运算进行计算。 · 例如：5 - 3 = 5 + (-3) = 2；0 - (-4) = 0 + (+4) = 4；(-6) - 2 = (-6) + (-2) = -8。 2.1.3 有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算可以统一为加法运算，例如：a + b - c = a + b + (-c)。在计算时，可以先将所有运算转化为加法，再利用加法运算律简化计算；也可以按从左到右的顺序依次计算。为了书写简便，加法运算中可以省略各个加号和括号，例如(-20) + (+3) + (+5) + (-7)可以写成-20 + 3 + 5 - 7，读作“负20正3正5负7的和”，或者读作“负20加3加5减7”。 2.2 有理数的乘法与除法 2.2.1 有理数的乘法 · 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 例如：(-3) × (-5) = +(3×5)=15；(-4) × 6 = -(4×6)=-24；7 × 0=0。 · 倒数：乘积是1的两个数互为倒数。若a和b互为倒数，则ab=1；0没有倒数，倒数等于本身的数是1和-1。例如0.5的倒数是2。 · 多个有理数相乘的符号法则：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数；再把各个因数的绝对值相乘得到积的绝对值。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 · 有理数乘法运算律： 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即 ab = ba。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即 (ab)c = a(bc)。 3. 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即 a(b + c) = ab + ac，推广可得a(b + c + d)=ab+ac+ad，也可以逆用分配律简化计算，即ab+ac=a(b+c)。 2.2.2 有理数的除法 · 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，这样就将除法运算转化为乘法运算进行计算。 也可以得到另一表述：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 · 例如：(-12) ÷ (-3) = +(12÷3)=4；(-10) ÷ 5 = -(10÷5)=-2；0 ÷ (-8)=0；6 ÷ (-1/2)=6 × (-2)=-12。 · 有理数乘除混合运算：一般先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后计算结果，按照从左到右的顺序进行计算。 2.3 有理数的乘方 2.3.1 乘方的相关概念 · 乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 例如，在(-5)²中，底数是-5，指数是2，读作“负5的2次方”；在-5²中，底数是5，指数是2，表示“5的平方的相反数”，二者意义不同，结果也不同（(-5)²=25，-5²=-25），计算时需要注意区分。 · 乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0；任何非零数的0次幂都等于1。 例如：(-2)³=-8，(-2)⁴=16，3⁵=243，0³=0，5⁰=1。 2.3.2 有理数混合运算 有理数混合运算的顺序： 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2.3.3 科学记数法 对于大于10的数，可以表示成a×10ⁿ的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。例如，1500000用科学记数法表示为1.5×10⁶；-26000可以表示为-2.6×10⁴。 对于小于-10的数也可以用类似的方法表示，符号不变，只需要将绝对值用科学记数法表示即可。 2.4 近似数 在实际生活和计算中，有时不需要或无法得到精确数，这时就需要用近似数来表示。 2.4.1 近似数的定义 · 近似数：与精确数接近的数叫做近似数，近似数一般是通过测量、估算等方法得到的。例如，测量得到的身高1.70m，体重55kg，都是近似数；而一个班级的人数45人，是精确数。 2.4.2 精确度 · 精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度来表示。一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 4. 例如，近似数1.70精确到百分位（即0.01位），1.7精确到十分位（即0.1位）；近似数5.0×10³精确到百位，5×10³精确到千位。 2.4.3 有效数字 · 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 5. 例如，近似数0.0305有3个有效数字，分别是3、0、5；近似数1.70有3个有效数字，分别是1、7、0；近似数5.0×10³有2个有效数字，分别是5、0。 2.4.4 近似数的取法 · 四舍五入法：是最常用的取近似数的方法，即把要保留的数位后面的数字四舍五入，大于或等于5则向前一位进1，小于5则舍去。 6. 例如，将3.14159精确到百分位，看千分位数字1，1<5，舍去，得到3.14；将3.14159精确到0.001，看万分位数字5，5≥5，向前一位进1，得到3.142。 · 进一法：在实际问题中，有时需要不管舍去部分的数字是多少，都要向前一位进1。例如，用一辆载重5吨的汽车运6.2吨货物，需要运2次，而不是1次，这里就用到了进一法。 · 去尾法：在实际问题中，有时需要不管舍去部分的数字是多少，都直接舍去。例如，用一块长10米的布做衣服，每件衣服用布1.5米，能做6件衣服，而不是7件，这里就用到了去尾法。 【类型一】正负数的定义 1．下面各数是负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“小于0的数是负数”判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 负数的定义为小于0的数， 又∵ ，，，， ∴ 只有是负数． 2．下列各数中，是正数的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：是正数，是负数，既不是正数，也不是负数. 3．在数字，0，，，，106，中，正数有________，负数有________． 【答案】 【分析】本题主要考查正负数的定义，关键是熟记定义判断即可．根据正数与负数的定义即可判断． 【详解】解：根据大于零的数为正数，小于零的数为负数可得正数有， 负数有， 故答案为：；． 【类型二】相反意义的量 1．微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作元，那么向商家付款20元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】收款与付款是相反意义的量，收款记为正，则付款记为负，据此记数即可． 【详解】解：∵二维码收款10元记作元， ∴向商家付款应记作负数， 又∵向商家付款20元， ∴记作元． 2．某高山气象站记录显示，凌晨5点的山体气压比标准海平面气压低60百帕，记作“百帕”．那么比标准海平面气压高50百帕记作（   ） A．百帕 B．百帕 C．百帕 D．百帕 【答案】C 【分析】根据题目给定的记法，推导出高气压的记法即可得到答案． 【详解】解：∵题目规定，比标准海平面气压低记作负数，比标准低60百帕记作百帕， ∴比标准海平面气压高应记作正数， 因此比标准海平面气压高50百帕记作百帕． 3．中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向东走30米记作米，那么向西走40米记作_______米． 【答案】 【详解】解：“正”和“负”相对，若向东走米记作米，那么向西走米记作米． 【类型三】数轴上表示有理数 1．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，点位于和之间， ∴ ∵，而，，， ∴ 点表示的数可能是． 2．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据数轴上各点的位置，确定各点表示的数的范围，进而找到表示的点． 【详解】解：， 表示的点应在和之间， 观察数轴可知：点在和之间，点在和之间，点在和之间，点在和之间， 数轴上表示的点可能是点． 3．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    【答案】3 【分析】先由数轴上两点间距离公式可得，即，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 【详解】解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，，5， ∴， ∵， ∴， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴． 【类型四】相反数的定义 1．的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，根据定义直接推导即可得到结果． 【详解】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数， 给定数为，改变符号后为， 的相反数是 ， 故选：C． 2．若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 【答案】C 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴. 3．如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 【答案】B 【分析】从数轴上可以直接看出五个点表示的数，根据相反数的定义即可作答． 【详解】解：点A表示的数是2，与2互为相反数的数是，点B表示的数是， ∴与点A表示的数互为相反数的数对应的点是点B． 【类型五】绝对值的定义 1．的绝对值是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 2．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 3．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 【类型六】有理数的大小比较 1．下列各数中，比小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】有理数大小比较法则，正数大于0，0大于负数，负数绝对值越大反而越小，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵且， ∴， 观察四个选项，， ∴比小的数是． 2．在标准大气压下，液态氧的沸点是，液态甲醛的沸点是，液态氨的沸点是，水的沸点是．其中沸点最低的液体是（     ） A．液态氧 B．液态甲醛 C．液态氨 D．水 【答案】A 【详解】解：∵，，，且， ∴根据有理数比较法则负数小于正数，两个负数，绝对值大的反而小可得，， 因此沸点最低的液体是液态氧． 3．比较大小：（1）______；（2）_____；（3）______0． 【答案】 【分析】先对需要化简的数进行化简，再根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小，进行比较即可． 【详解】解：（1），，且， ； （2），， ； （3）， ． 【类型七】有理数的加法 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值．先判断两个加数是异号，再判断绝对值大小，根据加法法则解答即可． 【详解】解：∵3与异号，且，，， ∴． 2．计算：___________． 【答案】 【详解】． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【类型八】有理数的减法 1．下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 即符合要求的数是． 2．计算：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法求解即可． 【详解】解：． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2) (3) (4)18.18 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【类型九】有理数的乘法 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 2．若，，且，则_________ ． 【答案】7或 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴时；时， 则或． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）先计算乘法，再计算加法即可； （2）利用有理数的乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【类型十】有理数的除法 1．计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 2．已知，，，则的值等于____________． 【答案】8或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． 3．【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【答案】（1）解法二； （2） 【分析】（1）除法没有分配律，解法一错误使用了分配律，解法二通过倒数转化为乘法，运用乘法分配律计算是正确的； （2）先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，最后取倒数得到原式的结果． 【详解】（1）解：解法一中将拆分为的做法不符合运算法则，除法不满足分配律，是错误的； 解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符合法则，是正确的． 正确的解法是解法二． （2）解：原式的倒数为， ． 原式． 【类型十一】有理数的乘方 1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【详解】解：． 2．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，首先负数的奇次幂是负数，其次符号不同的两个数相加，符号取绝对值较大的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． 【详解】解： 3．计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 【类型十二】有理数的混合运算 1．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2)3.5 (3) (4) (5)0 (6) 【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算； （2）根据有理数的加法结合律计算； （3）根据有理数的乘法分配律计算； （4）先算有理数的乘法，再根据有理数的加减法法则计算； （5）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （6）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解： ； （4）解： = ； （5）解： ； （6）解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，同时去绝对值，然后算乘法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 【类型十三】有理数分类 1．把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ }； 负分数：{ }； 正有理数：{ }． 【答案】0，；，，； ，，，2.56 【详解】解：非正整数：{0，} 负分数：{，，} 正有理数：{，，，2.56} 2．把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【答案】(1)8.5，0.3，12， (2)0，12， (3)，， 【分析】根据正数、整数、负分数的定义，对给出的数逐一判断，归类填入对应集合即可，大于0的数为正数，整数包含正整数、0、负整数，小于0的分数为负分数，有限小数属于分数. 【详解】（1）解：大于0的数是正数，因此正数集合为{8.5，0.3，12，，…}； （2）解：整数包含正整数、0、负整数，因此整数集合为{0，12，，…}； （3）解：小于0的分数是负分数，因此负分数集合为{，，，…}． 3．把下列各有理数填在相应的括号内： ，25，，，4.7，，0，， 正有理数集合{…}； 负有理数集合{…}； 正整数集合{…}； 负整数集合{…}； 整数集合{…}． 【答案】25，4.7，，；，，，；25；；25，，0 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． 根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正有理数集合{25，4.7，，，…}； 负有理数集合{，，，，…}； 正整数集合{25，…}； 负整数集合{，…}； 整数集合{25，，0，…}． 【类型十四】数轴上表示数并比较大小 1．在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、根据数轴比较有理数的大小等知识点，掌握数轴上点的特点是解题的关键． 根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并用“＜”连接起来即可． 【详解】解：把各数表示在数轴上，如图所示： 用“＜”连接起来为． 2．在数轴上表示下列各数：，0，2，，，并将这些数用“<”号顺次连接起来． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据正负数把各数表示在数轴上，再根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【详解】解：在数轴上表示各数如图所示： 这些数用“<”号顺次连接：． 3．把下列各数在数轴上表示出来，并且用“”把它们连接起来． ，，0，，． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数和实数的大小比较等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答． 【详解】解：如图： 【类型十五】正负数的应用 1．一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把所有数据相加即可解答； （2）把跑过的路程相加即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 2．出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车在公司的东方，距离公司千米 (2)共需要元油费 (3)司机这天下午运营是盈利，盈利了元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，分析题意从中获取相关信息是解题的关键． （1）把所给的行程数据相加分析即可； （2）运算出总路程，再运算油费即可； （3）求出出租车的总收入，再减去油费即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：（千米）， 答：出租车在公司的东方，距离公司3千米． （2）解：总路程（千米）， 油费（元）， 答：共需要33元油费． （3）解：超过千米的行程有9，，，，，，，，共次行程， 超过部分（千米）， 不超千米的行程有：，，共2次行程， 所以出租车的收入为：（元）， （元）， 答：司机这天下午运营是盈利，盈利了元． 3．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． （1）根据表格作答即可； （2）把出入数据相加即可； （3）根据每周的变化推导即可； （4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解． 【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 【类型一】倒数的定义 1．的倒数是（     ） A． B． C． D．2026 【答案】D 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数， ， 的倒数是 2．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 3．若，则“”表示的数是____． 【答案】 【分析】根据倒数的定义可得与互为倒数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与互为倒数， ∴“”表示的数是． 【类型二】科学记数法与近似数 1．据新华社北京2025年1月7日电，2024年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：∵科学记数法要求， 将变形为满足要求的时，小数点向左移动6位得到， ∴． 2．下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【答案】A 【分析】将科学记数法或带“万”的近似数，还原为数后再判断最后一位所在数位得到精确度，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：对于A：，最后一位有效数字在百位，精确到百位，正确； 对于B：精确到十分位时，看百分位数字为，四舍五入得，错误； 对于C：万，最后一位有效数字在百位，万精确到百位，错误； 对于D：精确到个位，四舍五入的近似数为，错误． 3．“全民行动，共同节约”，我国14亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约1400000000度，这个数用科学记数法表示为___________． 【答案】 【详解】解：14亿． 【类型三】绝对值的非负性 1．已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，和为零则每个必为零，从而求出a和b的值，再计算a的b次幂． 本题考查了有理数的非负性，乘方，熟练掌握非负性，乘方运算是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， ∴ ，即 ， ，即 ， ∴ ， 故选：A． 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须为零，那么得到且，求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ 且， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ ， 故选：C． 3．如果，那么的值为____． 【答案】9 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值，准确的计算是解决本题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴且， ∴， ∴，． 则． 故答案为：9． 【类型四】点在数轴上的平移 1．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 2．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 3．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 【类型五】有理数的加减法混合应用 1．食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 【答案】(1)180，90 (2)五，一 (3)660千克 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格即可解答； （3）对表格中所有数据求和再加200即可解答； 【详解】（1）解：根据表格可知，星期四运进大米180千克，运出大米90千克； （2）解：根据表格可知，星期五只运出大米，而没有运进大米；星期一运出的大米和运进的大米同样多． （3）解： 千克， 答：如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余660千克大米． 2．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【详解】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟． 3．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 【类型六】有理数的乘除法混合应用 1．某运输队运送一批物资，要一次全部运完，每辆车的载质量与所用车的数量如下表． 每辆车的载质量/吨 2 2.5 4 5 所用车的数量/辆 60 48 30 24 (1)每辆车的载质量与所用车的数量是不是成反比例关系？说明理由； (2)如果每辆车的载质量是8吨，需要多少辆车才能一次运完？ 【答案】(1)每辆车的载质量与所用车的数量成反比例关系，详见解析 (2)需要15辆车才能一次运完 【分析】本题考查了反比例关系的判断及利用反比例关系解决实际问题． （1）通过计算每辆车的载质量与所用车数量的乘积判断是否成反比例关系即可； （2）根据总物资吨数不变计算载质量为8吨时所需车辆数即可． 【详解】（1）解：每辆车的载质量与所用车的数量成反比例关系， 理由如下：因为（一定），乘积一定， 所以每辆车的载质量与所用车的数量成反比例关系． （2）解：（辆）， 即需要15辆车才能一次运完． 2．近年来，我国的新能源汽车越来越受消费者青睐，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”（如下表）． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 里程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________km； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知这辆新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家新能源汽车这7天的行驶用了多少元钱电费？ 【答案】(1)49 (2)400（千米） (3)36（元） 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第二天，最少的一天是第六天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走． 故答案为：49； （2）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：用电的费用： 答：小明家这7天的行驶费用是36元． 3．江西九江某茶叶生产合作社收购茶叶，按照规定每袋茶叶的标准质量为100克，超过的克数记为正数，不足的克数记为负数．现抽查5袋茶叶，测得数据如下（单位：克）：，，，，． (1)5袋茶叶的实际总质量是多少克？ (2)若每千克茶叶售价200元，这5袋茶叶共值多少元？ (3)若合格品的标准为质量不低于98克且不高于102克，则这5袋茶叶中有几袋是合格品？ 【答案】(1)5袋茶叶的实际总质量为501克 (2)这5袋茶叶共值100.2元 (3)有2袋是合格品 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义． （1）根据正负数的实际意义，列出算式求解即可； （2）根据题意，列出算式，根据有理数的混合运算法则进行求解即可； （3）求出每袋的质量，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：5袋茶叶的实际总质量为： （克）， 所以，5袋茶叶的实际总质量为501克； （2）解：这5袋茶叶共值： （元）， 所以，这5袋茶叶共值100.2元； （3）解：第1袋：克，不合格， 第2袋：克，合格， 第3袋：克，不合格， 第4袋：克，不合格， 第5袋：克，合格， 所以，有2袋是合格品． 【类型七】有理数的乘方应用 1．有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 【答案】米2． 【分析】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．根据第1次截去一半，剩下的面积米2，第2次截去一半，剩下的面积米2，依此类推，即可得到6次后剩下的纸片的面积． 【详解】解：第1次截去一半，剩下的面积米2， 第2次截去一半，剩下的面积米2， 第6次截去一半，剩下的面积（米2）． 所以第6次后剩下的纸片的面积是米2． 2．拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【答案】(1)64根 (2)8次 【分析】本题主要考查了有理数乘乘方的应用． （1）计算即可得出答案． （2）由即可得出答案． 【详解】（1）解：（根） 则第6次捏合后，可得64根面条． （2）解：因为， 所以经过8次捏合后可得到256根面条． 3．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 【类型一】程序流程图 1．李宏同学设计了一个运算程序如图所示．按照程序进行运算，程序运行到“判断是否大于100”为一次运行．若时，则该运算程序能输出结果时至少需要运行（　　） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算．根据所给程序运算法则求解即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∴该运算程序能输出结果时至少需要运行3次． 故选：C 2．小星在学习“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序．若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是代数式求值，有理数的混合运算，解题关键是弄清题中的运算程序． 把代入运算程序中计算，如大于或等于则把其结果再代入运算程序中计算，如小于则直接输出结果． 【详解】解：当时，， 当时，， 输出的结果是． 故选：． 3．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【答案】7 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．根据程序框图列式计算，直至结果为1即可． 【详解】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数 3 的熵， 故答案为：7． 【类型二】幻方幻圆问题 1．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律题，熟练找准规律是解题的关键． 根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，可以得到、、的关系，观察发现，小正方形的顶点数字和与左上斜线的数字和之间的关系，进而分情况讨论求解即可． 【详解】解：假设填数图中右上角为、左下角为、中间右下角为， 每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，设为， 则， 即， 根据得：， 所有数的总和为： ， 则， 即 因此； 由题意可知，、、、为2、、6、中的数， 由可得， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 综上，该填数图余下的空位一共有种填法． 故选：B． 2．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．三阶幻方中填写了一些数字和字母，则的值是（   ） A．11 B．12 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的加减法，第3行上的数字和等于，因此，，即可求解． 【详解】解：∵第3行上的数字和等于， ∴，， ∴， 故选：B． 3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是______．    【答案】9 【分析】由题意可知，图（2）中幻方的每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和为，即进而得出、的值，即可求出a的值． 【详解】解：由题意可知，幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等， 即图（2）中幻方的每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和为， 则， ， ， 即a的值是9， 故答案为：9．    【点睛】本题考查了有理数加减法的应用，正确理解幻方—九宫格的要求是解题关键． 【类型三】绝对值分类讨论 1．已知，，且，则的值是（   ） A．3或 B．7或 C．或 D．10或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的加法，有理数的乘法． 根据绝对值的定义可知，，结合，筛选出满足条件的a和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， 当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：D． 2．已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法，根据绝对值的定义求出x，y的值，根据，分两种情况分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故选：D． 3．已知，，且，则_______． 【答案】 【分析】先由绝对值的性质求出、的可能值，再通过加法运算判断哪些组合满足和为正的条件，最后计算符合条件的、的乘积． 【详解】解：∵，， ∴或，或． ①当，时，，满足条件，此时； ②当，时，，满足条件，此时； ③当，时，，不满足的条件，舍去； ④当，时，，不满足的条件，舍去． 综上，的值为． 【类型四】新定义运算 1．新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据新运算可得，再根据，把代入，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 故选：A 2．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 3．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义．熟练掌握定义的新运算，倒数定义，有理数的除法运算法则是解题的关键．乘积是1的两个数互为倒数 把1化成，根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【类型五】二进制 1．17世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制”记数法的人，用“二进制”记数只需数字0和1．对于“二进制”整数可理解为“逢二进一”．例如：十进制数，则十进制数3在二进制中表示为；十进制数，则十进制数5在二进制中表示为．若（为正整数），则表示的二进制数为，其中，或．下列说法正确的个数为（   ） ①二进制数转化为十进制数为10； ②十进制数89转化为二进制数为； ③计算：； A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算和新定义运算，根据题意，利用二进制数与十进制数的转化方法逐项判断即可． 【详解】解：①，故①说法正确； ② ， 故②说法正确； ③ ； ； ； ∴ 故③错误， 故选：B． 2．我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中，相当于十进制中的7，又如：，相当于十进制中的27．那么二进制中的11001相当于十进制中的_________． 【答案】25 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题干给定的方法，列出算式进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：25 3．综合与实践 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．在日常生活中我们最常用的是十进制（逢十进一），而计算机内部使用的是二进制（逢二进一）．二进制只用和两个数字，各数位权重是的幂次．例如，二进制可以表示为： ， 因此等于十进制数． 请解决以下问题 (1)问题一：将二进制数转换为十进制数，写出转换过程． (2)问题二： ①计算二进制加法：，写出计算过程． ②先将和分别转换为十进制数，再用十进制加法计算它们的和． ③将第①问的二进制加法结果转换为十进制数，对比第②问的结果，你发现了什么？ 【答案】(1)，过程见解析 (2)①，见解析；②，，；③，二进制加法结果与十进制加法结果一致 【分析】本题考查有理数的乘方运算，二进制与十进制的互化，二进制加法运算，理解二进制转十进制的方法是解题关键． （1）将二进制数从右到左按位权展开，每一位数字乘以的对应次幂后求和，即可转换为十进制数； （2）①对两个二进制数从右向左逐位相加，遵循“逢二进一”的规则完成加法运算；②先将两个二进制数分别展开转换为十进制数，再按十进制加法规则计算它们的和；③将①得到的二进制加法结果展开转换为十进制数，与问题二②的结果对比，发现两种进制下的运算结果一致． 【详解】（1）解：　据题可知， ． 答：． （2）①解：从右向左逐位相加，逢二进一， 可得． 答：． ②解：， ， ． ③解： ， 由②可知，二进制加法结果与十进制加法结果一致． 答：24，二进制加法结果与十进制加法结果一致． 【类型六】数轴折叠问题 1．如图，小丽在纸上画了一条不完整的数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点和表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是（    ） A．或4 B．或5 C．或4 D．或5 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法，能正确找出折叠点是解题的关键．表示点和表示3的点重合，则折叠的点表示1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到折叠点（表示1的点）距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示3的点重合， ∴折叠点为和3的中点，它表示1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到折叠点（表示1的点）距离都是4， 当点在折叠点右侧时，对应的数为， 当点在折叠点左侧时，对应的数是， ∴点A表示的数是5或． 故选∶D． 2．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面，若数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则数轴上表示数的点与表示数2的点重合．折叠纸面，使数轴上表示数的点与表示数0的点重合，数轴上表示数3的点与表示数________的点重合；若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，则M表示的数为 ________； 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答；依据M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】解：因为数轴上数表示的点与数表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数表示的点与数表示的点重合． ∵，两点之间的距离为，并且，两点经折叠后重合， ∴，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：，． 3．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 【类型七】绝对值1与-1的化简 1．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程． 【提出问题】两个有理数a，b满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b两个有理数都为正数或都为负数． 分下列两种情况讨论： ①当a，b都是正数，即时，则； ②当a，b都是负数，即时，则． 综上所述，值为2或． 请根据上面的解题思路，解答下面的问题． (1)三个有理数a，b，c满足，求的值． (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)3或 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）由题意，得a，b，c都是正数或其中一个为正数，另两个为负数，分下列两种情况讨论求解； （2）由题意得a，b，c中正数有2个，负数有1个，则，再化简绝对值． 【详解】（1）解：由题意，得a，b，c都是正数或其中一个为正数，另两个为负数，分下列两种情况讨论： ①当a，b，c都是正数，即时， ； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， ． （2）解：因为a，b，c为三个不为0的有理数，且， 所以a，b，c中正数有2个，负数有1个， 所以， 所以. 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①、、都是正数，即时，则 ②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则 综上所述，的值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)填空： ①当时，则的值为___________； ②已知、、是有理数，当时，则的值为___________； (2)已知、、是有理数，当时，求的值； (3)已知、、是有理数，，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘法，分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）①根据绝对值的意义，得出，，代入式子即可求解； ②仿照题目给出的思路和方法，解决即可； （2）根据， 分 ,,为一负两正或三负两种情况讨论，再化简求值即可； （3）根据已知等式，利用绝对值的意义判断出中负数有1个，正数有2个，原式利用绝对值的意义化简计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴， ∴的值为； 故答案为：． ②是不为的有理数，当时，即， ∴ 或， 当时，； 当 时，． 故答案为：． （2）∵， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， 当、、都是负数，即时， 则：； 、、有一个为负数，另两个为正数时，设， 则； （3）为三个不为的有理数，且，， ∴， ∴a、、中一个为负数，另两个为正数，设， ． 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或； (2)1 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． （2）根据，，为三个不为的有理数，且，得出，，中负数有个，正数有个，从而得，即可解答． 【详解】（1）解：因为， 所以，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， 当，，都是负数，即，，时， 则：； ，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则； 综上所述，值为或． （2）解：因为，，为三个不为的有理数，且， 所以，，中负数有个，正数有个， 所以， 所以． 【类型八】绝对值最值问题 1．数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则 ______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 【答案】(1)①4；②，1或 (2)或1 (3)①1；②5；③4 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）①数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 当，即， 所以或， 解得或， 故答案为：1或； （2）若代数式的最小值是3， 即， 所以或， 解得或， 故答案为：或1； （3）①当有最小值是， 故答案为：1； ②当时，有最小值，最小值为， 故答案为：5； ③当时，有最小值，最小值为， 故答案为：4． 2．请阅读下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，；如图3，点A、B都在原点的左边，；如图4，点A、B在原点的两边，． 综上，数轴上A、B两点的距离表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－1和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－1和5的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ； (3)当x满足条件 时，取最小值，最小值是 ； (4)当取最小值时，相应的x应满足的条件是 ； (5)当取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ； (6)为定值时，相应的x的取值范围是 ，定值是 ． 【答案】(1)4，4，6 (2)；1或 (3)；8 (4) (5)；1020100 (6)； 【分析】本题考查的是两点间的距离公式，解题的关键明白两点间的距离就是两个数差的绝对值． （1）利用两点间的距离公式求解即可； （2）利用两点间的距离公式求解即可； （3）当有三个点时，距离和最小，就取中间的点； （4）距离带系数时，优先使系数最大的距离为0； （5）点有多个时，取中间的，和最小； （6）系数最大的项为0即可． 【详解】（1）解：，，； 故答案为：4；4；6； （2）解：， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：；1或； （3）解：表示到，3，7这三个数的距离的和， 当x取中间数3时，到三个数的距离的和最小， 最小值为； 故答案为：；8； （4）解：分三种情况讨论： ①， ， ∵， ∴； ②， ， ∵， ∴； ③， ， ∵， ∴， 综上所述，， 当时，最小值为． 故答案为：； （5）解：当取最小值时，x应在1与2020的最中间的两个数之间取值， 即1010与1011， ∴． 将或1011代入原式中， 当时，前2019项前后两项对称，等于1009， ∴它们的和为， 当时，后2019项前后两项对称，等于1009， ∴它们的和为， 故答案为：；1020100； （6）解：为定值，即含x项为0， 观察系数，，或， ∴①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②，无解， ∴当时，原式为定值． 此时，． 故答案为：；． 3．【阅读理解】 的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离：就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1 如图②，在1和2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1 所以到1和2的距离之和最小值是1 【问题解决】 (1)类比得出的最小值是________ (2)请你结合图④探究：的最小值是________，此时为________；的最小值为________． (3)如图⑤，已知整数到，2的距离之和小于4，写出的所有可能取值，并求出它们的和为多少？ 【答案】(1)3 (2)2；2；9 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解绝对值方程： （1）根据题干绝对值的几何意义，再结合数轴即可得到答案； （2）由数轴可知，a在1和3之间时有最小值，最小值为，而当时，有最小值，最小值为0，则当时，和能同时取得最小值，据此求解即可；同理可推出当a在3和4之间时有最小值，据此求解即可； （3）由已知得，分三种情况讨论：①时；②时；③时，求解绝对值方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，的几何意义是这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和， 当在3的左边，可以看出到3和6的距离之和大于3； 当在3和6之间（包括在3，6上），可以得到到3和6的距离之和等于3； 当在6的右边，从图中很明显可以看出到3和6的距离之和大于3； ∴到3和6的距离之和最小值是3， 故答案为：3； （2）解：同理可得当a在1和3之间时有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，能取得最小值，最小值为； 同理当a在1和6之间时有最小值5， 当a在2和5之间时，有最小值3， 当a在3和4之间时，有最小值1， ∴当a在3和4之间时，，，能同时取得最小值， ∴当a在3和4之间时有最小值，最小值为； 故答案为：2；2；9； （3）解：到，2的距离之和小于4， ， ①当时，， 解得：， ； ②当时，， ； ③当时，， 解得：， 综上可知，当到，2的距离之和小于4时，的范围为． 【类型九】裂项与数列求和 1．请先阅读下列材料，然后解答问题： 【材料1】 因为， 所以 ； 【材料2】 因为， 所以 ． (1)根据材料1，计算：． (2)根据材料2，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查规律探索，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）归纳材料1所给的规律为，据此将每项拆分，然后合并计算即可； （2）归纳材料2所给的规律为，据此将每项拆分，然后合并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 2．如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来：______； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现：______． (2)兴趣小组的同学继续探索算式， 发现：，， 则和之间的数量关系为：， 请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②． (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字规律、有理数的混合运算等知识点，根据题意归纳出裂项规律成为解题的关键． （1）①根据小红的发现归纳规律即可解答；②先运用①得到的规律裂项，然后再计算即可； （2）先类比（1）归纳出裂项规律，然后再运用裂项规律进行裂项，最后计算即可； （3）先类比（1）（2）得到裂项规律，然后根据裂项规律裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：①，，，…… 故答案为：； ② ． 故答案为：． （2）解：类比（1）结合可得：， ∴ ． （3）解：由（1）（2）可类比出： 3．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 【类型十】有理数的圈次方 1．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”．一般地，把记作：，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ； （2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈次方都等于 B．任何非零数的圈次方都等于它的倒数 C．圈次方等于它本身的数是或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 E．互为相反数的两个数的圈次方互为相反数 F．互为倒数的两个数的圈次方互为倒数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【答案】（）；；（）；（）；（）． 【分析】（）利用的圈次方的意义，进行计算即可解答； （）利用的圈次方的意义，逐一判断即可解答； （）利用的圈次方的意义计算即可； （）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； 本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键. 【详解】解：（）， ， 故答案为：；； （）.因为，所以任何非零数的圈次方都等于，正确； .因为，所以任何非零数的圈次方都等于它的倒数，正确； .圈次方等于它本身的数是，说法错误，， .根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； .互为相反数的两个数的圈次方不一定互为相反数，错误，圈偶数次方相等，如 ，； .互为倒数的两个数的圈次方互为倒数，正确，如，， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）原式 ． 2．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究（1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______， A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．______；______；______． 【答案】（1）；；（2）C；试一试：；；； 【分析】（1）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1）； （2）根据（1）的方法即可求解； 试一试：根据法则计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解：A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 故答案为：C； 试一试：解：； ； ； 故答案为：，，． 3．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方、比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的n次方”，特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：______； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______：（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算：． 【答案】（1）1；（2）ABD；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：1； （2）A．因为，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B．因为，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； C．如，则圈n次方等于它本身的数是1或，说法错误； D．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 故答案为：ABD； （3）， 故答案为：； （4）解： ． 【类型十一】数轴动点求t 1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点表示的数为6，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向A匀速运动，当点Q到达终点A后，P，Q两点都停止运动，设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ， (2)填空：当时，则点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，此时线段的中点表示的数为 ； (3)当点Q到达终点A时，运动时间t为多少？此时线段的中点表示的数是多少？ 【答案】(1)10，1 (2)，2，0 (3)，3.5 【分析】本题考查数轴与有理数，熟练掌握两点间的距离公式和线段的中点计算公式，是解题的关键： （1）根据题干给定的2个公式进行计算即可； （2）根据点的移动规则，求出点表示的数，进而求出线段PQ的中点表示的数即可； （3）根据时间等于路程除以速度，求出，进而求出此时点表示的数，再根据线段中点公式进行计算即可． 【详解】（1）解：；线段的中点表示的数为； 故答案为：10，1； （2）由题意，点表示的数为；点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为； 故答案为：，2，0； （3）由（1）知：， ∴， 此时点表示的数为，线段的中点表示的数是． 2．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)求数轴上点表示的数，并直接写出点表示的数（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点、同时出发．求： ①若点沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇时，此时点表示的数； ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)所表示的数为8，所表示的数为： (2)①4；②秒或秒或4秒或16秒 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）①根据相遇问题的特点求解即可；②分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10， ∴，即数轴上点所表示的数为8， ∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴所表示的数为：； （2）解：①根据题意得秒，， 答：点表示的数是4； ②当点向左运动时， 点不超过，则秒， 点超过，则秒， 当点向右运动时， 点不超过，则秒， 点超过，则秒， 答：当点与点间的距离为6个单位长度时，点的运动时间为秒或秒或4秒或16秒． 3．【背景知识】 数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离． 【综合运用】 如图①，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，且满足． （1）则______，______，A、B两点之间的距离为______． （2）点P和点Q分别从点A、点B同时出发，都沿数轴负方向运动．点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）．t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______（用含t的代数式表示）． 【延伸拓展】 （3）如图②，半径为2的圆从点A沿正方向在数轴上滚动． ①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______； ②滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？ 【答案】（1），12，16；（2）；；（3）①，；②． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，非负数的性质，数轴上的动点问题， （1）根据非负数的性质求出a、b的值，进而根据两点间的距离公式计算即可； （2）表示出、的值，进而根据点A、B表示的数作答即可； （3）①求出圆的周长，进而求出滚动后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A表示的数作答即可； ②求出滚动n周后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A表示的数作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴A、B两点之间的距离为． 故答案为：，12，16； （2）解：∵点P和点Q分别从点A、点B同时出发，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）， ∴、， ∵点A、B表示的数分别为、12，点P和点Q都沿数轴负方向运动， ∴点P对应的数是，点Q对应的数是． 故答案为：；； （3）解：①∵圆的半径为2， ∴圆的周长为， ∴滚动一周后圆与数轴的接触点移动了个单位，滚动两周后圆与数轴的接触点移动了个单位， ∵点A表示的数为， ∴滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是． 故答案为：，； ②滚动n周后圆与数轴的接触点移动了个单位， ∵点A表示的数为， ∴滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是． 1．（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）年元旦假期国内出游亿人次．数据亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵亿 ∴亿． 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减法运算法则计算判断A，B，再根据有理数的除法计算判断C，然后根据有理数的乘方解答D． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某地白天的最高气温是，到了晚上12时，气温下降了，该地当晚12时的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】气温下降用减法计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 白天最高气温为，当晚12时气温下降了 ∴当晚12时的气温为 因此答案选B． 4．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数精确到万分位 C．近似数与2000的意义完全一样 D．近似数万与的精确度不同 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度概念，精确度由最后一位有效数字所在的位置决定． 【详解】解：近似数的精确度取决于最后一位数字的位置， A、精确到百分位，精确到十分位，精确度不同，故A错误； B、的最后一位在万分位，精确到万分位，故B正确； C、精确到百位，2000精确到个位，意义不同，故C错误； D、万，精确到百位；，精确到百位，精确度相同，故D错误 故答案为：B． 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）的倒数是______，______，的相反数是______． 【答案】 / 【分析】本题考查倒数、绝对值、相反数的定义，根据对应概念计算即可． 【详解】根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，可得 的倒数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得 ； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得 的相反数是． 6．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）若规定新运算：，则 ______． 【答案】8 【分析】先利用新定义将转化为有理数四则混合运算，然后利用有理数四则混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 7．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若，且，那么的值是________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义确定x和y的所有可能取值，再结合的条件筛选出符合的取值，最后计算的值即可. 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴或． 当时， ； 当时， ． 故答案为或． 8．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】按照有理数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 9．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，3.1415，，0 正整数集合：________________________________； 自然数集合：________________________________； 负有理数集合：________________________________； 非负整数集合：________________________________． 【答案】见详解 【分析】先将能化简的数化简，再按照正整数、自然数、负有理数和非负整数的定义解答． 【详解】解：，，， 正整数集合：； 自然数集合：； 负有理数集合：； 非负整数集合：． 10．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某仓库周一到周五的货物进出记录如下（表示进库，表示出库，单位：吨）： (1)周二结束时，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物吨，求仓库原有的货物吨数． 【答案】(1) 多了，多吨 (2) 吨 【分析】（）将周一和周二的货物变化量相加，根据结果的正负判断货物比原来多了吨； （）先算出周一到周五的总变化量，再用周五结束时的货物总量减去总变化量，得到原有货物吨数． 【详解】（1）解：∵进出记录按顺序，周一为吨，周二为吨， ∴周二结束的总变化量： 结果为正， 说明货物比原来多了，多吨； （2）解：周一到周五五天的总变化量： 说明周五结束时，货物比原来一共多了吨， ∵周五结束共有货物吨， ∴原有货物为：吨． 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）在数轴上距有个单位长度的点所表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，解题需分所求点在已知点左侧和右侧两种情况讨论，避免漏解． 【详解】解：∵数轴上距有个单位长度的点存在两种情况， ①当所求点在的左侧时， ∴该点表示的数为； ②当所求点在的右侧时， ∴该点表示的数为； 综上，符合条件的数是或． 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上的点M，N分别表示，2， ∴点M到点N的距离为 ． 3．（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得出a和b的范围，进而得出，，根据有理数运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴，，，， 故A、B、D错误，C正确． 4．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）比较大小： ________ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义分别计算出两个幂的值，再比较所得结果的大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 6．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知， ，满足题意． 7．（24-25六年级上·北京·期中）的值等于____________． 【答案】或3 【分析】根据、的正负性（同正、同负、一正一负）分类讨论，结合绝对值的性质计算式子的值． 【详解】解：由题可知且， 分以下四种情况讨论： ①当时， ， 原式； ②当时， ， 原式； ③当时， ， 原式； ④当时， ， 原式， 综上，式子的值为3或． 8．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 9．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的大小比较，结合新定义，即可求解； （2）根据新定义列出算式进行计算，即可求解； （3）根据新定义列出算式进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 10．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【答案】(1)的值是，的值是； (2)；经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【分析】本题考查了有理数的运算、绝对值、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （）根据题意可得的符号相反，且，根据可得的值； （）根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇时点对应的数值； 根据题意和分类讨论的数学思想即可求解． 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，， ∴，， ∴的值是，的值是； （2）解：由题意可得， 相遇所需的时间：（秒）， ∴点对应的数是：， ∴点对应的数为； 相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 综上可得，经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（  ） A． B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义， ∵ ， ∴ 的倒数是． 2．（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的点与刻度尺的位置对应关系，关键是找出刻度尺刻度与数轴上数的数量关系． 【详解】解：∵刻度尺上对应数轴上的3，对应数轴上的0，数轴的单位长度是， ∴刻度尺上的刻度值与数轴上对应的数的和为3， ∴刻度尺上对应数轴上的数为； 故选：D． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴与有理数，根据，，且，得到点和点在与0之间，且点在点的左侧，且，进而得到，得到点的位置在中间，即可得出结果． 【详解】解：∵，，且， ∴点和点在与0之间，且点在点的左侧，， ∴， ∴点的位置在中间， 故满足题意的只有选项A； 故选A 4．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则计算即可. 【详解】解：原式 ． 6．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 【答案】 【分析】根据数轴上两点间的距离公式，分别求出点，，所对应的数即可解决问题． 【详解】解：①为原点，，， 点所对应的数为， ， 点所对应的数为， ； ②原点在图中数轴上点的右边，且， 点所对应的数为， ，， 点所对应的数为，点所对应的数为， ； 故答案为：；． 7．（25-26九年级上·四川成都·期末）小明同学设计了一种运算程序：输入正整数，则输出另一个正整数．具体程序如下：①若为偶数，则输出；②若为奇数，则输出．对正整数进行一次输入和输出称为对的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对的二次变换，依此类推．例如，输入正整数，根据是偶数，对进行一次变换输出的数为；将再次输入，根据是奇数，对进行二次变换后输出的数为． （1）若输入正整数进行二次变换后输出的数为，则满足条件的的值为__________； （2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为，则正整数的值为__________． 【答案】 或 或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． (1)根据二次变换输出的数为，逆推第一次变换输出为，再逆推输入为或； (2)根据两次变换输出积为，推导第一次输出为，再逆推输入为或． 【详解】(1) 解：设第一次变换后输出的数为， 二次变换后输出的数为， 当为偶数时，， ， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， ； 当为奇数时，， ， 不符合题意，舍去； 故答案为：或； (2) 设第一次变换输出为，第二次变换输出为，则有， 若为偶数，则， 则有， 解得：， 或， 或； 若为奇数，则， ， 整理得：， 方程无整数解； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过180度，每度元；超过180度，超出部分每度0.6元． (1)小明家12月用电150度，应交电费多少元？ (2)小红家12月用电220度，应交电费多少元？ 【答案】(1)75元 (2)114元 【分析】（1）因为，所以利用每度元进行计算即可； （2）因为，所以先计算180度电的费用，再计算超过180度电的费用． 【详解】（1）解：因为， 所以应交电费（元）， 答：应交电费75元； （2）解：因为， 所以应交电费（元）， 答：应交电费114元． 9．（25-26七年级上·福建福州·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．请根据以下素材，完成探究任务． 素材1 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为蓝本，大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为八进制数得到了一个四位数，将这个四位数看成一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，体现了中国古代数学的灿烂文化． 素 材2 进位制约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制．例如：十进制数（规定时，），为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数转换为十进制数为：，将十进制数46转换为三进制数，因为．即，则，所以46转换为三进制数为． 素材 3 若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”． 任务1 将二进制数转换为十进制数． 任务2 将十进制数56转换为四进制数． 任务3 判断与是否互为“久久数”，并说明理由． 【答案】任务1：二进制数转换为十进制数23； 任务2：十进制数56转换为四进制数； 任务3：与是互为“久久数”，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，掌握其运算法则是解题的关键． 任务1：根据材料提示的二进制转十进制的计算方法计算即可； 任务2：按照材料提示把十进制转换为四进制即可； 任务3：根据“久久数”的规则，先将转换为十进制得，再将转换为十进制得，最后由，即可求解． 【详解】解：任务1：二进制数转换为十进制数： ， 答：二进制数转换为十进制数23； 任务2：∵，即， ， 十进制数56转换为四进制数． 答：十进制数56转换为四进制数； 任务3：与是互为“久久数”，理由如下： ， ， ， 与是互为“久久数”． 10．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7；（2）7；（3）时，式子有最小值为6，见解析；（4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一、二章 有理数、有理数的运算 思维导图 第一章 有理数 1.1 正数与负数 在生产生活中，人们需要记录具有相反意义的量，因此产生了正数与负数的概念： · 正数：大于0的数叫做正数，正数前面的“+”号可以省略不写，例如3、1.8%、3.5，都属于正数。 · 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数，负数小于0，例如-3、-2.7%、-4.5，都属于负数。 · 0的意义：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点；0不仅可以表示“没有”，还可以表示确定的基准量，例如0℃表示特定的温度，海平面的海拔高度记为0m。 · 相反意义的量：同一问题中，正数和负数分别表示一对相反意义的量。例如，若向东走5m记为+5m，则向西走3m记为-3m；若收入200元记为+200元，则支出100元记为-100元；常见的相反意义量有：上升/下降、增加/减少、盈利/亏损、向东/向西、收入/支出、高于/低于基准等。 1.2 有理数及其大小比较 1.2.1 有理数的相关概念 · 有理数的分类： 分类标准 具体类别 包含内容 按定义分类 整数 正整数（1,2,3...）、0、负整数（-1,-2,-3...） 按定义分类 分数 正分数、负分数（有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都属于分数） 按正负分类 正有理数 正整数、正分数 按正负分类 零 0 按正负分类 负有理数 负整数、负分数 注意：无限不循环小数（如π）不能化为分数，因此不属于有理数。 · 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数。 数轴的性质：数轴上从左到右的点对应的数逐渐增大，因此原点左侧的点对应的数都是负数，原点右侧的点对应的数都是正数。 · 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如2和-2互为相反数，0的相反数是0。 几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等。 性质：若a和b互为相反数，则a+b=0，即a=-b；任意数a的相反数是-a。 · 绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即： 当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a。因此，任意一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。 1.2.2 有理数大小比较 · 数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大，因此正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 · 绝对值比较法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例如，比较-3和-2的大小，|-3|=3，|-2|=2，3>2，因此-3<-2。 · 常用结论：对于任意两个有理数a、b，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b。 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 2.1.1 有理数的加法 · 有理数加法法则： 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+3)+(+5)=+(3+5)=+8；(-2)+(-4)=-(2+4)=-6。 2. 异号两数相加，绝对值相等时和为0（即互为相反数的两数相加得0）；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如：(+3)+(-3)=0；(+5)+(-2)=+(5-2)=+3；(-7)+(+4)=-(7-4)=-3。 3. 一个数同0相加，仍得这个数。例如：0+(-5)=-5；6+0=6。 · 有理数加法运算律： 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 a + b = b + a。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即 (a + b) + c = a + (b + c)。 运算律常用技巧：互为相反数的两个数先相加（凑0），同号的数先相加，分母相同的数先相加，几个数相加能得到整数的先相加，简化计算过程。 2.1.2 有理数的减法 · 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)。这样就可以将减法运算转化为加法运算进行计算。 · 例如：5 - 3 = 5 + (-3) = 2；0 - (-4) = 0 + (+4) = 4；(-6) - 2 = (-6) + (-2) = -8。 2.1.3 有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算可以统一为加法运算，例如：a + b - c = a + b + (-c)。在计算时，可以先将所有运算转化为加法，再利用加法运算律简化计算；也可以按从左到右的顺序依次计算。为了书写简便，加法运算中可以省略各个加号和括号，例如(-20) + (+3) + (+5) + (-7)可以写成-20 + 3 + 5 - 7，读作“负20正3正5负7的和”，或者读作“负20加3加5减7”。 2.2 有理数的乘法与除法 2.2.1 有理数的乘法 · 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 例如：(-3) × (-5) = +(3×5)=15；(-4) × 6 = -(4×6)=-24；7 × 0=0。 · 倒数：乘积是1的两个数互为倒数。若a和b互为倒数，则ab=1；0没有倒数，倒数等于本身的数是1和-1。例如0.5的倒数是2。 · 多个有理数相乘的符号法则：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数；再把各个因数的绝对值相乘得到积的绝对值。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 · 有理数乘法运算律： 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即 ab = ba。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即 (ab)c = a(bc)。 3. 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即 a(b + c) = ab + ac，推广可得a(b + c + d)=ab+ac+ad，也可以逆用分配律简化计算，即ab+ac=a(b+c)。 2.2.2 有理数的除法 · 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，这样就将除法运算转化为乘法运算进行计算。 也可以得到另一表述：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 · 例如：(-12) ÷ (-3) = +(12÷3)=4；(-10) ÷ 5 = -(10÷5)=-2；0 ÷ (-8)=0；6 ÷ (-1/2)=6 × (-2)=-12。 · 有理数乘除混合运算：一般先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后计算结果，按照从左到右的顺序进行计算。 2.3 有理数的乘方 2.3.1 乘方的相关概念 · 乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 例如，在(-5)²中，底数是-5，指数是2，读作“负5的2次方”；在-5²中，底数是5，指数是2，表示“5的平方的相反数”，二者意义不同，结果也不同（(-5)²=25，-5²=-25），计算时需要注意区分。 · 乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0；任何非零数的0次幂都等于1。 例如：(-2)³=-8，(-2)⁴=16，3⁵=243，0³=0，5⁰=1。 2.3.2 有理数混合运算 有理数混合运算的顺序： 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2.3.3 科学记数法 对于大于10的数，可以表示成a×10ⁿ的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。例如，1500000用科学记数法表示为1.5×10⁶；-26000可以表示为-2.6×10⁴。 对于小于-10的数也可以用类似的方法表示，符号不变，只需要将绝对值用科学记数法表示即可。 2.4 近似数 在实际生活和计算中，有时不需要或无法得到精确数，这时就需要用近似数来表示。 2.4.1 近似数的定义 · 近似数：与精确数接近的数叫做近似数，近似数一般是通过测量、估算等方法得到的。例如，测量得到的身高1.70m，体重55kg，都是近似数；而一个班级的人数45人，是精确数。 2.4.2 精确度 · 精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度来表示。一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 4. 例如，近似数1.70精确到百分位（即0.01位），1.7精确到十分位（即0.1位）；近似数5.0×10³精确到百位，5×10³精确到千位。 2.4.3 有效数字 · 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 5. 例如，近似数0.0305有3个有效数字，分别是3、0、5；近似数1.70有3个有效数字，分别是1、7、0；近似数5.0×10³有2个有效数字，分别是5、0。 2.4.4 近似数的取法 · 四舍五入法：是最常用的取近似数的方法，即把要保留的数位后面的数字四舍五入，大于或等于5则向前一位进1，小于5则舍去。 6. 例如，将3.14159精确到百分位，看千分位数字1，1<5，舍去，得到3.14；将3.14159精确到0.001，看万分位数字5，5≥5，向前一位进1，得到3.142。 · 进一法：在实际问题中，有时需要不管舍去部分的数字是多少，都要向前一位进1。例如，用一辆载重5吨的汽车运6.2吨货物，需要运2次，而不是1次，这里就用到了进一法。 · 去尾法：在实际问题中，有时需要不管舍去部分的数字是多少，都直接舍去。例如，用一块长10米的布做衣服，每件衣服用布1.5米，能做6件衣服，而不是7件，这里就用到了去尾法。 【类型一】正负数的定义 1．下面各数是负数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各数中，是正数的是（   ） A． B． C． D．0 3．在数字，0，，，，106，中，正数有________，负数有________． 【类型二】相反意义的量 1．微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作元，那么向商家付款20元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．某高山气象站记录显示，凌晨5点的山体气压比标准海平面气压低60百帕，记作“百帕”．那么比标准海平面气压高50百帕记作（   ） A．百帕 B．百帕 C．百帕 D．百帕 3．中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向东走30米记作米，那么向西走40米记作_______米． 【类型三】数轴上表示有理数 1．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 2．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    【类型四】相反数的定义 1．的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 3．如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 【类型五】绝对值的定义 1．的绝对值是（     ） A．3 B． C． D． 2．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 3．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【类型六】有理数的大小比较 1．下列各数中，比小的数是（     ） A． B． C． D． 2．在标准大气压下，液态氧的沸点是，液态甲醛的沸点是，液态氨的沸点是，水的沸点是．其中沸点最低的液体是（     ） A．液态氧 B．液态甲醛 C．液态氨 D．水 3．比较大小：（1）______；（2）_____；（3）______0． 【类型七】有理数的加法 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是(     ) A． B． C． D． 2．计算：___________． 3．计算： (1)； (2) 【类型八】有理数的减法 1．下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 2．计算：______． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【类型九】有理数的乘法 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 2．若，，且，则_________ ． 3．计算： (1)； (2)． 【类型十】有理数的除法 1．计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 2．已知，，，则的值等于____________． 3．【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【类型十一】有理数的乘方 1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 2．计算：______． 3．计算：． 【类型十二】有理数的混合运算 1．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1)； (2)． 【类型十三】有理数分类 1．把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ }； 负分数：{ }； 正有理数：{ }． 2．把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 3．把下列各有理数填在相应的括号内： ，25，，，4.7，，0，， 正有理数集合{…}； 负有理数集合{…}； 正整数集合{…}； 负整数集合{…}； 整数集合{…}． 【类型十四】数轴上表示数并比较大小 1．在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来． 2．在数轴上表示下列各数：，0，2，，，并将这些数用“<”号顺次连接起来． 3．把下列各数在数轴上表示出来，并且用“”把它们连接起来． ，，0，，． 【类型十五】正负数的应用 1．一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 2．出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 3．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【类型一】倒数的定义 1．的倒数是（     ） A． B． C． D．2026 2．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．若，则“”表示的数是____． 【类型二】科学记数法与近似数 1．据新华社北京2025年1月7日电，2024年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 2．下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 3．“全民行动，共同节约”，我国14亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约1400000000度，这个数用科学记数法表示为___________． 【类型三】绝对值的非负性 1．已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如果，那么的值为____． 【类型四】点在数轴上的平移 1．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【类型五】有理数的加减法混合应用 1．食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 2．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 3．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【类型六】有理数的乘除法混合应用 1．某运输队运送一批物资，要一次全部运完，每辆车的载质量与所用车的数量如下表． 每辆车的载质量/吨 2 2.5 4 5 所用车的数量/辆 60 48 30 24 (1)每辆车的载质量与所用车的数量是不是成反比例关系？说明理由； (2)如果每辆车的载质量是8吨，需要多少辆车才能一次运完？ 2．近年来，我国的新能源汽车越来越受消费者青睐，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”（如下表）． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 里程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________km； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知这辆新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家新能源汽车这7天的行驶用了多少元钱电费？ 3．江西九江某茶叶生产合作社收购茶叶，按照规定每袋茶叶的标准质量为100克，超过的克数记为正数，不足的克数记为负数．现抽查5袋茶叶，测得数据如下（单位：克）：，，，，． (1)5袋茶叶的实际总质量是多少克？ (2)若每千克茶叶售价200元，这5袋茶叶共值多少元？ (3)若合格品的标准为质量不低于98克且不高于102克，则这5袋茶叶中有几袋是合格品？ 【类型七】有理数的乘方应用 1．有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 2．拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 3．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【类型一】程序流程图 1．李宏同学设计了一个运算程序如图所示．按照程序进行运算，程序运行到“判断是否大于100”为一次运行．若时，则该运算程序能输出结果时至少需要运行（　　） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 2．小星在学习“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序．若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 3．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【类型二】幻方幻圆问题 1．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 2．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．三阶幻方中填写了一些数字和字母，则的值是（   ） A．11 B．12 C．15 D．16 3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是______．    【类型三】绝对值分类讨论 1．已知，，且，则的值是（   ） A．3或 B．7或 C．或 D．10或 2．已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 3．已知，，且，则_______． 【类型四】新定义运算 1．新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 3．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为________． 【类型五】二进制 1．17世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制”记数法的人，用“二进制”记数只需数字0和1．对于“二进制”整数可理解为“逢二进一”．例如：十进制数，则十进制数3在二进制中表示为；十进制数，则十进制数5在二进制中表示为．若（为正整数），则表示的二进制数为，其中，或．下列说法正确的个数为（   ） ①二进制数转化为十进制数为10； ②十进制数89转化为二进制数为； ③计算：； A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中，相当于十进制中的7，又如：，相当于十进制中的27．那么二进制中的11001相当于十进制中的_________． 3．综合与实践 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．在日常生活中我们最常用的是十进制（逢十进一），而计算机内部使用的是二进制（逢二进一）．二进制只用和两个数字，各数位权重是的幂次．例如，二进制可以表示为： ， 因此等于十进制数． 请解决以下问题 (1)问题一：将二进制数转换为十进制数，写出转换过程． (2)问题二： ①计算二进制加法：，写出计算过程． ②先将和分别转换为十进制数，再用十进制加法计算它们的和． ③将第①问的二进制加法结果转换为十进制数，对比第②问的结果，你发现了什么？ 【类型六】数轴折叠问题 1．如图，小丽在纸上画了一条不完整的数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点和表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是（    ） A．或4 B．或5 C．或4 D．或5 2．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面，若数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则数轴上表示数的点与表示数2的点重合．折叠纸面，使数轴上表示数的点与表示数0的点重合，数轴上表示数3的点与表示数________的点重合；若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，则M表示的数为 ________； 3．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【类型七】绝对值1与-1的化简 1．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程． 【提出问题】两个有理数a，b满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b两个有理数都为正数或都为负数． 分下列两种情况讨论： ①当a，b都是正数，即时，则； ②当a，b都是负数，即时，则． 综上所述，值为2或． 请根据上面的解题思路，解答下面的问题． (1)三个有理数a，b，c满足，求的值． (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①、、都是正数，即时，则 ②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则 综上所述，的值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)填空： ①当时，则的值为___________； ②已知、、是有理数，当时，则的值为___________； (2)已知、、是有理数，当时，求的值； (3)已知、、是有理数，，，求的值． 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为的有理数，且，求的值． 【类型八】绝对值最值问题 1．数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则 ______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 2．请阅读下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，；如图3，点A、B都在原点的左边，；如图4，点A、B在原点的两边，． 综上，数轴上A、B两点的距离表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－1和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－1和5的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ； (3)当x满足条件 时，取最小值，最小值是 ； (4)当取最小值时，相应的x应满足的条件是 ； (5)当取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ； (6)为定值时，相应的x的取值范围是 ，定值是 ． 3．【阅读理解】 的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离：就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1 如图②，在1和2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1 所以到1和2的距离之和最小值是1 【问题解决】 (1)类比得出的最小值是________ (2)请你结合图④探究：的最小值是________，此时为________；的最小值为________． (3)如图⑤，已知整数到，2的距离之和小于4，写出的所有可能取值，并求出它们的和为多少？ 【类型九】裂项与数列求和 1．请先阅读下列材料，然后解答问题： 【材料1】 因为， 所以 ； 【材料2】 因为， 所以 ． (1)根据材料1，计算：． (2)根据材料2，计算：． 2．如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来：______； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现：______． (2)兴趣小组的同学继续探索算式， 发现：，， 则和之间的数量关系为：， 请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 3．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【类型十】有理数的圈次方 1．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”．一般地，把记作：，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ； （2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈次方都等于 B．任何非零数的圈次方都等于它的倒数 C．圈次方等于它本身的数是或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 E．互为相反数的两个数的圈次方互为相反数 F．互为倒数的两个数的圈次方互为倒数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 2．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究（1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______， A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．______；______；______． 3．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方、比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的n次方”，特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：______； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______：（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算：． 【类型十一】数轴动点求t 1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点表示的数为6，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向A匀速运动，当点Q到达终点A后，P，Q两点都停止运动，设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ， (2)填空：当时，则点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，此时线段的中点表示的数为 ； (3)当点Q到达终点A时，运动时间t为多少？此时线段的中点表示的数是多少？ 2．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)求数轴上点表示的数，并直接写出点表示的数（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点、同时出发．求： ①若点沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇时，此时点表示的数； ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为6个单位长度？ 3．【背景知识】 数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离． 【综合运用】 如图①，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，且满足． （1）则______，______，A、B两点之间的距离为______． （2）点P和点Q分别从点A、点B同时出发，都沿数轴负方向运动．点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）．t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______（用含t的代数式表示）． 【延伸拓展】 （3）如图②，半径为2的圆从点A沿正方向在数轴上滚动． ①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______； ②滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？ 1．（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）年元旦假期国内出游亿人次．数据亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某地白天的最高气温是，到了晚上12时，气温下降了，该地当晚12时的气温是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数精确到万分位 C．近似数与2000的意义完全一样 D．近似数万与的精确度不同 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）的倒数是______，______，的相反数是______． 6．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）若规定新运算：，则 ______． 7．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若，且，那么的值是________． 8．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，3.1415，，0 正整数集合：________________________________； 自然数集合：________________________________； 负有理数集合：________________________________； 非负整数集合：________________________________． 10．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某仓库周一到周五的货物进出记录如下（表示进库，表示出库，单位：吨）： (1)周二结束时，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物吨，求仓库原有的货物吨数． 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）在数轴上距有个单位长度的点所表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）比较大小： ________ ． 6．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 7．（24-25六年级上·北京·期中）的值等于____________． 8．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 9．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 10．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（  ） A． B． C．2026 D． 2．（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算：___________． 6．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 7．（25-26九年级上·四川成都·期末）小明同学设计了一种运算程序：输入正整数，则输出另一个正整数．具体程序如下：①若为偶数，则输出；②若为奇数，则输出．对正整数进行一次输入和输出称为对的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对的二次变换，依此类推．例如，输入正整数，根据是偶数，对进行一次变换输出的数为；将再次输入，根据是奇数，对进行二次变换后输出的数为． （1）若输入正整数进行二次变换后输出的数为，则满足条件的的值为__________； （2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为，则正整数的值为__________． 8．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过180度，每度元；超过180度，超出部分每度0.6元． (1)小明家12月用电150度，应交电费多少元？ (2)小红家12月用电220度，应交电费多少元？ 9．（25-26七年级上·福建福州·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．请根据以下素材，完成探究任务． 素材1 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为蓝本，大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为八进制数得到了一个四位数，将这个四位数看成一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，体现了中国古代数学的灿烂文化． 素 材2 进位制约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制．例如：十进制数（规定时，），为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数转换为十进制数为：，将十进制数46转换为三进制数，因为．即，则，所以46转换为三进制数为． 素材 3 若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”． 任务1 将二进制数转换为十进制数． 任务2 将十进制数56转换为四进制数． 任务3 判断与是否互为“久久数”，并说明理由． 10．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 学科网（北京）股份有限公司 $