山东泰安市泰山区2025-2026学年高二下学期期末考试考前适应性测试自编数学试题

**基本信息** 高二数学期末适应性测试，涵盖函数导数、概率统计等核心知识，以大学生消费调查等现实情境设计解答题，梯度分明，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|集合运算、导数应用、二项式定理|基础概念辨析，如第2题通过导函数图象判断单调性| |多选题|3题18分|函数极值、排列组合、事件概率|多选项分层考查，如第10题结合相邻与不相邻排列| |填空题|3题15分|曲线公切线、二项式系数、分段函数|中档题综合应用，如第12题两曲线公切线求解| |解答题|5题77分|二项式定理、概率统计（分层抽样与独立性检验）、函数单调性与极值|现实情境与能力提升结合，如第16题大学生消费调查体现数据观念，第19题函数极值点综合考查逻辑推理|

山东省泰安市泰山区2026年高二期末考试考前适应性测试 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 3．（本题5分）的展开式中的系数是（   ） A．80 B．16 C．10 D．8 4．（本题5分）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．64种 5．（本题5分）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 8．（本题5分）若，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知函数，则（    ） A．的极小值点为2 B．的极小值为 C．当恰有1个零点时，的取值范围是 D．当恰有2个零点时，的取值范围是 10．（本题6分）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（     ） A．共有种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 11．（本题6分）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数________． 13．（本题5分）已知，则__________． 14．（本题5分）已知函数，则________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 16．（本题15分）近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑．为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计．通过整理得到如图所示的频率分布直方图．已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人． 参考数据与参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中．    (1)求的值． (2)估计月消费金额的中位数 (3)依据小概率值的独立性检验，分析月消费金额在2000元以上的大学生与性别是否有关？ 17．（本题15分）已知函数为奇函数． (1)求并判断的单调性． (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（本题17分）小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 19．（本题17分）已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区2026年高二期末考试考前适应性测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B D C D D BC AC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】解一元二次不等式求得集合，根据交集的定义计算即可得出结果. 【详解】先解集合 ， 因为 等价于 ， 解得 ，即 . 集合 ， 所以. 故选：C 2．D 【分析】根据图象判断的单调性和正负，再根据的单调性与的正负的关系判断的单调性及极值可得答案. 【详解】由图可知， 当时，，所以在区间上单调递减，故AC错误； 根据图象，在区间上单调递增，B错误； 在区间上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，D正确； 故选：D. 3．C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项， 令，得，所以的系数是. 故选：C 4．B 【分析】先把4人分成3组，再把3组分到3个不同的社会实践服务点即可. 【详解】先从4名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余2名学生安排到3个不同的服务点，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 故选：B 5．D 【分析】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【详解】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：. 6．C 【详解】对于BD，散点图分布总体是斜向上，故BD中对应的两个变量之间是正相关； 对于AC，散点图分布总体是斜向下，但C中散点分布较为集中， 而A中散点分布较为分散，故C中对应的两个变量相关性较强且为负相关. 7．D 【分析】结合，只需，即可求得答案. 【详解】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则，所以， 所以． 故选：D 8．D 【详解】因为单调递增，，所以，即， 因为，所以，又，即， 因为，所以， 综上 9．BC 【分析】先求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性判断A，进而得出极值判断B，最后结合零点定义判断D. 【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，A错误，B正确. 当时，，当时，， 当恰有1个零点时，或，得，C正确. 当恰有2个零点时，且，得，D错误. 故选：BC. 10．AC 【分析】对于选项A，根据全排列的排列数进行求解；对于选项B，利用捆绑法和分步乘法计数原理进行求解；对于选项C，利用插空法和分步乘法计数原理进行求解；对于选项D，利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】对于选项A：3名学生和2名教师共5个人进行全排列，有种排法，所以A正确； 对于选项B：将2名老师看成一个整体，与3名学生全排列，有种排法， 2名教师内部有种排法，共有种排法，所以B错误； 对于选项C：3名学生全排列有种排法，形成4个空位，2名教师插入4个空位有种排法， 共有种排法，所以C正确； 对于选项D：从3名学生选2名学生排在两端，有种排法，剩下3人全排列有种排法. 共有种排法，所以D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式进行计算，逐项判断即可. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，且，所以， 所以，故C错误； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】先设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出两曲线在切点处的切线方程，再根据公切线过原点这一条件，联立切线方程求解切点坐标，进而求出实数的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，因为与曲线相切， 所以，消去，得，解得，所以， 设与曲线相切于点，由，得，即，解得， 因为是与曲线的公共点， 所以，消去，得，即，解得． 故答案为： 13． 【分析】利用二项式定理先求，再令得，进而求解. 【详解】由题意有：，令有：， 所以， 故答案为：. 14． 【分析】因为当时，，，由此可得，再结合函数解析式求即可得答案. 【详解】因为当时，， 则， 因为当时，， 所以， 即. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法可得系数和的值，即可求解； （2）先构造二项式展开，再得相应系数的正负，然后去绝对值,即可用赋值法求对应系数和. 【详解】（1）已知， 令，可得， 令，可得， 所以． （2）展开式的通项为． 当r为偶数时，； 当r为奇数时，． 所以． 令，则， 即． 16．(1) (2)元 (3)有关． 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得答案； （2）由频率分布直方图估计中位数计算方式可得答案； （3）由题可得相关列联表，然后计算对应卡方进行独立性检验即可. 【详解】（1）由直方图知，各矩形面积之和为1， 则，解得； （2）由频率分布直方图知， 前3个矩形面积之和为：； 前4个矩形面积之和为： ， 设中位数为，∴， ∴，∴月消费金额的中位数为百元，即元； （3）故月消费金额超过2000元的大学生人数为人， 由分层抽样知，男生、女生抽样的人数分别为600人和400人， 由题知，月消费金额超过2000元的男生人数为100人，由条件可以列出列联表： 男生 女生 合计 消费金额不超过2000元 500人 250人 750人 消费金额超过2000元 100人 150人 250人 合计 600人 400人 1000人 提出零假设：月消费金额在2000元以上的大学生与性别无关． 故， 所以在犯错的概率不超过的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关． 17．(1)，在上为增函数 (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，可求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可；判断出函数在上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由函数的奇偶性与单调性得出对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据一元二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）对任意的，，则函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则，解得， 此时，， ，故函数为奇函数，合乎题意， 函数在上为增函数，理由如下： 任取、且，则， 所以， 即，所以函数在上为增函数. （2）因为函数为上的奇函数，且为增函数， 由得， 所以，即对任意的恒成立， 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 18．(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件乘法概率公式求解即可. （2）结合组合数及对立事件概率公式，根据独立事件乘法概率公式求解即可. （3）求出及随机变量的取值，利用条件概率分别求出对应的概率，进而求解分布列，代入数学期望公式求解即可. 【详解】（1）表示连续取球3次且3次都取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （2）表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （3）表示连续取球5次，且前4次中有2次取到红球，第5次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 由题意随机变量可取， 根据条件概率可得， ， 则的分布列为 3 4 5 所以． 19．(1) (2)1 (3) 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【详解】（1）由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； （2）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $