精品解析：2026年四川省达州市中考数学试题

**基本信息** 这份中考数学试卷融合文化传承与现实应用，通过良渚文化玉勒（第1题）、天元术（第14题）等素材及盐水浓度（第5题）、劳动教育基地（22题）等情境，考查抽象能力、运算能力与数据意识，体现数学与生活的深度联结。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/40分|立体图形识别、对称、转化思想等|以良渚文化情境（第1题）考查空间观念，盐水浓度计算（第5题）体现模型意识| |填空题|5题/20分|概率、全等三角形、阴影面积等|天元术史料（第14题）渗透文化传承，正六边形与圆弧面积（第15题）综合几何直观| |解答题|10题/90分|数据分析、函数探究、几何综合等|劳动教育基地问题（22题）融合几何与方程，新定义函数（23题）培养创新思维，交通安全竞赛分析（18题）强化数据意识|

达州市2026年初中学业水平暨高中阶段学校招生统一考试数学 本考试为闭卷考试、考试时间120分钟、满分150分．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 温馨提示： 1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信息是否一致． 2．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，超出答题区答案无效．在草稿纸、试题卷上作答无效． 3．不要折叠、弄破、弄皱答题卡，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀等影响答题卡整洁． 4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 棱柱 D. 棱锥 2. 点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 食盐的主要成分是 ，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在时，汤咸淡适中，味道最佳，小明向锅里倒入水，要想烧出味美的汤，可放入盐（ ）（水的密度是，） A. B. C. D. 6. “转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（ ） ① ② ③ 一元二次方程 ↓ 或 一元一次方程 ④ 多项式 多项式 单项式 多项式 单项式 单项式 A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 三角形的一个外角等于它的两个内角之和 C. 带根号的数都是无理数 D. 一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定 8. 为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量， 表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（ ） A. 当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B. 当乙的质量为时，体积为 C. 甲物质的密度小于乙物质的密度 D. 甲物质的密度等于乙物质的密度 9. 若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 10. 二次函数 （，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：① ；②；③当 时，y的值随着x值的增大而增大；④， 是关于x的方程 （）的两个根．正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示．则 ________ （填“ ”或“ ”）． 12. 6把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是________． 13. 如图，、．请你添加一个条件________，使得 ． 14. 中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 15. 如图，已知正六边形 的中心为 、边心距，分别以 、 为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边 ， 所围成的阴影部分面积是________． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 计算． 17. 化简：． 18. 为了增强学生的交通安全意识，某校对七、八年级学生开展了交通安全知识竞赛活动．以下是本次竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）的数据收集、整理、分析过程． 【收集数据】从七、八年级学生中各随机抽取30名学生的竞赛成绩进行记录数据． 【整理数据】将收集的60名学生的竞赛成绩进行整理（成绩均不低于60分，用x表示），将成绩分为四个等级：A等级（ ）；B等级（ ）；C等级（ ）；D等级（ ）． 下面给出了部分数据： 七年级30名学生竞赛成绩的数据是： 65、65、69、72、73、74、74、75、75、78、78、79、82、83、84， 84、85、85、85、86、87、88、89、93、94、96、97、97、98、100． 八年级30名学生竞赛成绩在B等级中的数据是： 89、88、87、87、85、85、83、88、82、83． 【描述数据】根据整理的数据、绘制出如下统计图表： 所抽取学生竞赛成绩得分统计表 统计量年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 a b 众数 c 83 【分析数据】根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的________，________， ________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对交通安全知识掌握得更好？请说明理由；（言之有理即可） （3）该校八年级有学生600人，请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数． 19. 在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆． （1）在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________； （2）对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上） （3）通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，E、F是正方形 的对角线 所在直线上的两点，且 ． 求证：四边形 是菱形． 20. 在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为 的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 21. 已知：如图，P为 外一点， 与 相切于点A．连接，， 为 的直径、连接 ． （1）试判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若 的半径为、，求 的长． 22. 综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路 （忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（ ）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（ ）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得： 米， 米，米，米， ； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多 ，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的 倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 （1）任务一：求四边形空地的面积； （2）任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； （3）任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“ ”“ ”或“ ”） 23. 数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定 与的关系时，由函数表达式得，去分母得 ，因为 ，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” 【问题解决】 （1）对于函数①，② ，③ ．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”； （2）若与是“友好函数”，如图2，当时， 的取值范围是______；若与 是“相连函数”，则 的值为______； （3）如图3，过点的直线、对应的函数分别与（ ， ），（ ， ）是“相连函数”，相连点分别为 ， ，、与 轴分别交于 ， 两点，已知 ， ，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， 两点．与 轴交于点 ．直线经过点 、与 轴交于点． （1）求 的值及抛物线的函数表达式； （2）若线段 在抛物线的对称轴上运动，且 ，求四边形周长最小时点 的坐标； （3）将抛物线沿射线 方向平移个单位长度，点 为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以 ， ， 为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在．说明理由． 25. 综合与探究 【方法探究】 （1）如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ （2）如图2， 是 的直径，C是 上的动点（C不与A重合）、D是 的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； （3）【问题解决】如图3，直线， 是 上一点，，垂足为N，、 是射线上的动点，连接，过点 在 上方作射线， 是上的一点，连接 ，，求线段 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州市2026年初中学业水平暨高中阶段学校招生统一考试数学 本考试为闭卷考试、考试时间120分钟、满分150分．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 温馨提示： 1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信息是否一致． 2．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，超出答题区答案无效．在草稿纸、试题卷上作答无效． 3．不要折叠、弄破、弄皱答题卡，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀等影响答题卡整洁． 4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 棱柱 D. 棱锥 【答案】A 【解析】 【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A选项符合． 2. 点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点关于 轴对称的坐标变化规律，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于 轴对称的点的坐标为， 又∵点 的坐标为， ∴ 对称点的横坐标变为，纵坐标保持 不变， ∴ 的坐标为． 3. 两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形对边平行的性质，利用平行线的同位角相等及对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图 矩形纸条的对边平行 水平纸条的上下边平行，倾斜纸条的左右边平行 水平纸条上下边平行 倾斜纸条左右边平行 与是对顶角 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式运算中合并同类项法则和幂的运算法则，根据对应运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵和不是同类项，不能合并，∴A错误． 选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，，∴B错误． 选项C：∵，∴C错误． 选项D：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴D正确． 5. 食盐的主要成分是 ，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在时，汤咸淡适中，味道最佳，小明向锅里倒入水，要想烧出味美的汤，可放入盐（ ）（水的密度是，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据体积和密度求出水的质量，再利用浓度公式列出不等式，得到盐的质量取值范围，即可选出符合范围的选项，本题用到浓度公式，溶液质量=溶质质量+溶剂质量． 【详解】解：∵，水的密度为 ∴水的质量为 设放入盐的质量为，根据浓度要求在， 可得不等式： 解左边不等式： 得 解右边不等式： 得 ∴盐的质量范围约为， 选项中只有在此范围内．故选 ． 6. “转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（ ） ① ② ③ 一元二次方程 ↓ 或 一元一次方程 ④ 多项式 多项式 单项式 多项式 单项式 单项式 A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．①属于分类讨论思想；②将平行四边形转化为长方形；③将一元二次方程转化为一元一次方程；④将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式． 【详解】解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想； ②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想； ③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想； ④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想． 综上所述，用到转化思想的是②③④． 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 三角形的一个外角等于它的两个内角之和 C. 带根号的数都是无理数 D. 一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题真假判断，根据对顶角相等，三角形的外角的性质，无理数的定义，方差的意义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等， ∴A是真命题； ∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和， 选项B未说明“不相邻”， ∴B是假命题； ∵是有理数，说明带根号的数不一定是无理数， ∴C是假命题； ∵一组数据的方差越大，数据波动越大，这组数据越不稳定， ∴D是假命题． 8. 为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量， 表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（ ） A. 当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B. 当乙的质量为时，体积为 C. 甲物质的密度小于乙物质的密度 D. 甲物质的密度等于乙物质的密度 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象读取甲、乙对应的质量和体积数据，利用密度公式分别计算两者的密度，再结合图象特征逐项判断； 【详解】解：由图象可知，当时，，，即，  A正确； 当时，由图象可知，  B错误； 当时，；当时，； ，， ，  C、D错误． 9. 若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 【详解】解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为 和 ． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为 和 ， 分两种情况讨论：①若腰长为 ，底边长为 ，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为 ，底边长为 ，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为 ， 故选C． 10. 二次函数 （，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：① ；②；③当 时，y的值随着x值的增大而增大；④， 是关于x的方程 （）的两个根．正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据表格中 值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导 ， ， 的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知， 和 时 值均为 ， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时 ，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为 ，时， 随 增大而减小，③错误． ④已知 是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得 ，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示．则 ________ （填“ ”或“ ”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，点 在点 的左侧．根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数， ． 12. 6把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】随机事件的概率等于该事件包含的等可能结果数除以所有等可能的结果总数，本题只需确定总结果数和符合条件的结果数，代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，所有等可能的结果总数为 ，能打开门锁的结果数为 ， 因此能打开门锁的概率是． 13. 如图，、．请你添加一个条件________，使得 ． 【答案】 （答案不唯一，如或等）． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，根据线段的和差关系得出，此时具备了一边一角对应相等，根据全等三角形的判定定理 、 或 添加相应的条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加 ， 在 和中， ． 若添加 在 和中， ． 若添加 在 和中， ． 14. 中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【答案】3780 【解析】 【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，标有“元”的为一次项，故图2中最上方一行表示二次项系数，结合算筹记数规则（个位纵、十位横、百位纵、千位横）解读数值即可． 【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， 图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位， 千位为横式，表示 ，百位为纵式，表示 ，十位为横式（参考图1中千位 的表示），表示 ，个位为，表示 ， 该多项式的二次项系数为． 15. 如图，已知正六边形 的中心为 、边心距，分别以 、 为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边 ， 所围成的阴影部分面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 、 、 ，由题意可得 、 、 交于点 ，得出是等边三角形，利用等边三角形的性质和三角函数可计算出 ．由正多边形的内角公式可得，用正六边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接 、 、 ， 在正六边形 中，，， ∵点 为正六边形 的中心， ∴ 、 、 交于点 ， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ． 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，用到特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、算术平方根、绝对值的相关知识，分别计算各项后再合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题先对原式的分子分母分别因式分解．再将分式除法转化为乘法．约分后即可得到化简结果．用到平方差公式和分式的运算法则． 【详解】解：原式 ． 18. 为了增强学生的交通安全意识，某校对七、八年级学生开展了交通安全知识竞赛活动．以下是本次竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）的数据收集、整理、分析过程． 【收集数据】从七、八年级学生中各随机抽取30名学生的竞赛成绩进行记录数据． 【整理数据】将收集的60名学生的竞赛成绩进行整理（成绩均不低于60分，用x表示），将成绩分为四个等级：A等级（ ）；B等级（ ）；C等级（ ）；D等级（ ）． 下面给出了部分数据： 七年级30名学生竞赛成绩的数据是： 65、65、69、72、73、74、74、75、75、78、78、79、82、83、84， 84、85、85、85、86、87、88、89、93、94、96、97、97、98、100． 八年级30名学生竞赛成绩在B等级中的数据是： 89、88、87、87、85、85、83、88、82、83． 【描述数据】根据整理的数据、绘制出如下统计图表： 所抽取学生竞赛成绩得分统计表 统计量年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 a b 众数 c 83 【分析数据】根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的________，________， ________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对交通安全知识掌握得更好？请说明理由；（言之有理即可） （3）该校八年级有学生600人，请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数． 【答案】（1）84，86，85 （2）解：我认为八年级的学生对交通安全知识掌握得更好，理由如下： ∵七年级与八年级的平均数相同，都为83分，而八年级学生成绩的中位数为86分，大于七年级学生成绩的中位数为84分， ∴八年级的学生对交通安全知识掌握得更好； （3）220人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可； （2）根据平均数，中位数进行分析求解即可； （3）根据竞赛成绩不低于90分的学生人数的百分比，再乘以总人数即可解答． 【小问1详解】 解：七年级从低到高排列后第15名，16名学生的竞赛成绩是84分，84分， ∴， ∵七年级30名学生竞赛成绩出现次数最多的为85， ∴众数， ∵八年级A组有11人， ∴八年级30名学生竞赛成绩从高到低排列，第15名，16名学生的竞赛成绩是87分，85分， 即八年级中位数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数有220人． 19. 在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆． （1）在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________； （2）对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上） （3）通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，E、F是正方形 的对角线 所在直线上的两点，且 ． 求证：四边形 是菱形． 【答案】（1）相等，相等且互相垂直 （2）一组邻边相等的矩形（答案不唯一） （3）证明：连接 交 于点 ，如图 四边形 是正方形， ， ， ． ， ， 即 ． 又 ， 四边形 是平行四边形． ， ∴四边形 是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据矩形，正方形的判定进行求解即可； （2）根据正方形的判定进行求解即可； （3）连接 交 于点 ，根据正方形的性质，得到 ， ， ，继而推导出 ，得到四边形 是平行四边形，再根据，可得到四边形 是菱形，即可解答． 【小问1详解】 解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形， 即在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为相等，相等且互相垂直； 【小问2详解】 解：由一组邻边相等的矩形是正方形，可知 横线上的答案为一组邻边相等的矩形（答案不唯一）； 【小问3详解】 略 20. 在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为 的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 【答案】米 【解析】 【分析】通过构造直角三角形，分别求出 、 ，利用分段垂直高度累加法，由即可求解． 【详解】解：过点 作于 ，过点 作于 ，交 于点 ． 由题意可得：， ∴， ∴四边形为矩形，故， 在中，米，， （米） ∴米． 在 中，米，， （米） 小山高度（米）． 答：这座小山的高度米． 21. 已知：如图，P为 外一点， 与 相切于点A．连接，， 为 的直径、连接 ． （1）试判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若 的半径为、，求 的长． 【答案】（1） 与 相切，理由如下： 连接 ， ∵ 与 相切， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 与 相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得 ，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明，然后根据“边角边”证明，可得，进而得出答案； （2）作 ，根据垂径定理得 ，再根据勾股定理求出，然后说明，可得，则此题可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点O作 于点D， ∴． 在 中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 22. 综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路 （忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（ ）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（ ）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得： 米， 米，米，米， ； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多 ，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的 倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 （1）任务一：求四边形空地的面积； （2）任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； （3）任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“ ”“ ”或“ ”） 【答案】（1） 平方米 （2）甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得 ，进而根据勾股定理证明 是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解； （2）设甲菜苗的单价为 元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解． （3）根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ， ， ∴米 ∵米，米， ∴ ∴ ∴ 是直角三角形，且 ∴平方米； 【小问2详解】 设甲菜苗的单价为 元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意得， 解得： ，经检验 是原方程的解，且符合题意， ∴乙菜苗的单价为元， 答：甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 【小问3详解】 甲种菜苗的数量为（株），成活数为（株） 乙种菜苗的数量为（株），成活数为（株） ∵ ∴ 23. 数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定 与的关系时，由函数表达式得，去分母得 ，因为 ，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” 【问题解决】 （1）对于函数①，② ，③ ．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”； （2）若与是“友好函数”，如图2，当时， 的取值范围是______；若与 是“相连函数”，则 的值为______； （3）如图3，过点的直线、对应的函数分别与（ ， ），（ ， ）是“相连函数”，相连点分别为 ， ，、与 轴分别交于 ， 两点，已知 ， ，求的值． 【答案】（1）陌生；友好 （2） 或 ； （3） 【解析】 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时， 的取值范围；联立与 ，由求出 的值； （3）设直线的函数解析式为 ，直线的函数解析式为 ，将 与联立，并结合可得，进而计算出点 的坐标为，同理，点 的坐标为．由 可得 ，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【小问1详解】 解：对于①与②，联立得 ， 整理，得 ， ∵ ， ∴该方程无实数解，即与 无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得 ， 整理，得 ， ∴ ， ∴与 有两个交点， ∴①与③是“友好函数”； 【小问2详解】 解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为 和 ，且在 和 部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时， 的取值范围是 或 ； 联立与 ，得， ， 整理，得 ， ∵与 是“相连函数”， ∴ ， 解得； 【小问3详解】 解：设直线的函数解析式为 ，直线的函数解析式为 ， 联立 与，得， ， 整理，得 ， ∵ 与是“相连函数”， ∴ ， ∴ ，即， ∴直线的函数解析式为 ， 将 代入 ，得， ∴点 的坐标为， 同理，点 的坐标为， ∴ ，即 ， ∴ ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， 两点．与 轴交于点 ．直线经过点 、与 轴交于点． （1）求 的值及抛物线的函数表达式； （2）若线段 在抛物线的对称轴上运动，且 ，求四边形周长最小时点 的坐标； （3）将抛物线沿射线 方向平移个单位长度，点 为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以 ， ， 为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在．说明理由． 【答案】（1） ， （2） （3）存在，、、、 【解析】 【分析】（1）将点 代入直线方程求 ，得到 点坐标，再代入抛物线交点式求系数 ，展开得抛物线表达式； （2） 、 为定长，将周长最小转化为求的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利用两点之间线段最短确定 点位置，联立直线与对称轴求解； （3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设 点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：∵直线与 轴交于点， ∴把，代入得， 解得 ， ∴直线解析式为， ∵直线经过点 ，且点 在 轴上， ∴令 ，得 ， ∴， ∵抛物线与 轴交于点 ， ∴把代入，得， 解得， ∴， 综上所述， ，抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ， ∴， ∵ ， ∴四边形的周长为：， ∴求四边形周长的最小值，只需求的最小值， ∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∵ 、 在直线 上，且 ， 在 上方， ∴设，， 如图：把点 向上平移2个单位得，作与关于直线 对称，则，连接、、、、， 在四边形中， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与关于直线 对称， 在直线 上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当 点在与直线 的交点处时，最小， 设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵当 时，， ∴； 【小问3详解】 解：∵抛物线与 轴交于 ， 两点， ∴令 ，得， 解得： 或 ， ∵ 在 左侧， ∴，， ∵由（1）知，， ∴，， ∴， ∵抛物线沿射线 方向平移个单位长度，且 在抛物线上，， ∴ 点沿射线 方向平移个单位长度后与 点重合， ∵，， ∴抛物线沿射线 方向平移个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，如图： ∵抛物线的对称轴为直线 ， ∴平移后对称轴为直线 ， ∵点 为平移后的抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，， ， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴， 若，如图： 则， ∴， 解得 或 ， ∴或， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴． 25. 综合与探究 【方法探究】 （1）如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ （2）如图2， 是 的直径，C是 上的动点（C不与A重合）、D是 的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； （3）【问题解决】如图3，直线， 是 上一点，，垂足为N，、 是射线上的动点，连接，过点 在 上方作射线， 是上的一点，连接 ，，求线段 的最大值． 【答案】（1）相等，等底等高的三角形面积相等 （2） 点D的运动路径是以线段 为直径的圆（不包含点 ）． 证明：连接， ∵ 是 中点， 是 的中点， ∴是 的中位线 ∴． 又∵ 是直径 ∴， ∴， ∴点 在以 为直径的圆上． 又∵点 、 不重合，故点D不与点 重合， ∴点D的运动路径是以线段 为直径的圆（不包含点 ）． （3）8 【解析】 【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等即可得出结论； （2）根据三角形中位线性质可得，由此得出，根据角所对弦是直径，可得点D的运动路径是以线段 为直径的圆（不包含点 ）； （3）过点 作，交 于 ，交 于 ，利用（1）可得，根据求得，再由四边形是平行四边形，可得，由可得是直角三角形，取 中点 ，则，根据点到圆上一点的距离最值即可得，即当点 在 延长上时， 最大，最大值为． 【小问1详解】 解：​、​、​面积相等． 理由：它们共底边 ，且由于，顶点到直线​的距离（即高）相等，故面积相等． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点 作，交 于 ，交 于 ， 由（1）可得：， ∵，，， ∴，即， 解得：， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，即， ∴， ∴点 在以 为直径的半圆弧（ 上方，不含 、 两点）上运动， 取 中点 ，则，连接 、 ， ∴， 当点 在 延长上时， 最大，最大值为， ∵ ，， ∴ ，即， ∴， ∴， 即 最大值为8． 【点睛】解题关键是利用平行转化三角形面积，抓“定角对定弦”构造辅助圆，化“动”为“静”；利用“圆外一点到圆上点的最大距离”模型，巧解线段最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $