精品解析：江苏连云港市灌南县2025-2026学年八年级下学期期中考试数学 试卷

2025－2026学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学试题 （满分分值：150分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 在平行四边形 中， ，则度数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. “掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件 C. 描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图 D. 调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查 3. 与的最大公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 6. 四边形中，若，则这个四边形是（ ） A. 一般梯形 B. 等腰梯形 C. 直角梯形 D. 任意四边形 7. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点B距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为定值，E是边上的动点（不与点C，D重合）， 交对角线于点F， 交于点G， 于点H．现给出下列结论：①； ② 的周长为定值； ③的长度为定值， 则正确的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ① 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 灌南县硕项湖是本地重要的饮用水应急备用水源地，被划为生态红线保护区，严格管控开发．为调查湖内的水质情况，管理人员适合采用_____（填“普查”或“抽样调查”） 10. 已知在一个样本中，将100个数据分成3组，并列出频率分布表，其中第一组与第二组的频率之和是，那么第三组的频数是______（频率=频数与总数的比值）． 11. 已知平行四边形相邻两边长分别为4和6，则平行四边形的周长为________． 12. 如果因式分解的结果为，那么_________． 13. 已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共100个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为______个． 14. 如图， 的顶点 的坐标分别是，则顶点的坐标是_____． 15. 如图，正方形的边长为，将边绕点顺时针旋转至，连接 ，若 ，则线段的长为_____． 16. 四边形是菱形， ，且，为对角线（不含点）上任意一点，的最小值是_____． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 19. 联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 （1）请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 20. 在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况： 下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据： 抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地 的频数m 63 120 186 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.63 0.60 0.62 0.63 0.62 a 0.62 b 0.61 c （1）填写表中的空格； （2）画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图； （3）根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖不着地”的概率为______． 21. 如下图，把（单位：）、、三个电阻串联起来．设线路上通过的电流为（单位：），线路两端的电压为（单位：），则．当，，，时，求线路两端的电压． 22. 如图是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． （1）找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； （2）过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 23. 如图，长方形A的长和宽分别为a，b，长方形B的长和宽分别为，b，面积分别为和． （1） _______，_______．（请用含a，b的代数式表示） （2）试证明． 24. 已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上F点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求的面积． 25. 我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式 ； （2）解决问题： ①若 ，，则的值为________； ②如图2，为上一点，分别以，为边作正方形， ，连接，，．若与 的面积和为，的面积为 ，求的长； （3）类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为与的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式可以分解因式为 ； 26. 综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图1，在中，，，点在上（且不与点、重合），在的外部作，使 ，连接，过点作，过点作交于点，连接． 根据以上操作，判断：四边形的形状是_____； （2）迁移探究 明明同学所在的“认真・坚持”学习小组“异想天开”，将绕点逆时针旋转，如图2，当点落在线段上时，请你： ①求证：四边形是矩形； ②连接 ，若，求的长； （3）拓展应用 亮亮同学所在的“感恩・责任”学习小组受此启发，将绕点继续逆时针旋转，能使四边形为菱形，若，请你直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学试题 （满分分值：150分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 在平行四边形 中， ，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. “掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件 C. 描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图 D. 调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵必然事件是一定会发生的事件，打开电视时不一定正在播放《新闻联播》， ∴A选项错误； ∵随机事件是可能发生也可能不发生的事件，掷质地均匀的骰子，向上一面的数字可能为1到6中任意一个，得到数字2是可能发生也可能不发生的事件，即是随机事件， ∴B选项正确； ∵折线统计图适合反映数据的变化趋势，扇形统计图仅能反映各部分占总体的比例，要描述一周内最高气温的变化情况，适宜用折线统计图， ∴C选项错误； ∵全面调查适用于范围小，易完成的调查，长江某段水域范围大，无法对所有鱼类进行全面调查，适宜用抽样调查， ∴D选项错误． 3. 与的最大公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式最大公因式的求解，需分别确定系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，再将它们相乘得到最大公因式. 【详解】解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的， ∴与的最大公因式是． 故选：C． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把多项式化为几个整式乘积的形式，结合提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、因式分解的结果需为几个整式的乘积，选项结果是和差形式，且正确分解结果为，选项错误； C、因式分解要求每个因式都必须是整式，选项结果中是分式，不是整式，选项错误； D、，选项正确． 5. 山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可． 【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比（即成活频率）逐渐稳定在附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为． 故选：C． 6. 四边形中，若，则这个四边形是（ ） A. 一般梯形 B. 等腰梯形 C. 直角梯形 D. 任意四边形 【答案】C 【解析】 【分析】先根据四边形内角和定理求出四个内角的度数，再利用同旁内角互补判断对边的平行关系，进而确定四边形的形状． 【详解】解：∵四边形内角和为，且， 设，则， ∴， 解得 ， ∴ ，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴不平行于，四边形是梯形， ∵梯形内角，符合直角梯形的特征， ∴这个四边形是直角梯形． 7. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点B距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答． 【详解】解：∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 8. 如图，正方形的边长为定值，E是边上的动点（不与点C，D重合）， 交对角线于点F， 交于点G， 于点H．现给出下列结论：①； ② 的周长为定值； ③的长度为定值， 则正确的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ① 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先证明得到，，再证明得到．①的结论正确；延长至点，使，连接，先证明得到，，再证明得到，即可得到 的周长为定值；②的结论正确；连接，与交于点，证明得到为定值，③的结论正确 【详解】解：连接，如图， ∵是正方形， ∴． ∵ ， ∴． ∴，． ∵ ， ∴． ∵四边形 的内角和为， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ ． ∴． ∴①的结论正确； 延长至点，使，则，连接，如图， ∵，， ∴． ∴，． ∵ ， ∵．即． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴ 的周长为定值； ∴②的结论正确； 连接，与交于点，如图， ∵是正方形， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵正方形的边长为定值， ∴的长为定值． ∴③的结论正确； ∴正确的结论为①②③， 故选：A． 【点睛】本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 灌南县硕项湖是本地重要的饮用水应急备用水源地，被划为生态红线保护区，严格管控开发．为调查湖内的水质情况，管理人员适合采用_____（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】根据普查与抽样调查的适用范围判断，调查湖内水质范围广，无法进行全面调查，因此选择合适的调查方式. 【详解】解：∵普查得到的调查结果较为准确，但耗费大量人力物力与时间，适用于调查范围小、可全面开展调查的情况； 抽样调查适用于调查范围广，无法进行全面调查的情况.本题调查硕项湖内的水质，调查范围大，无法开展全面普查， ∴适合采用抽样调查. 10. 已知在一个样本中，将100个数据分成3组，并列出频率分布表，其中第一组与第二组的频率之和是，那么第三组的频数是______（频率=频数与总数的比值）． 【答案】40 【解析】 【分析】此题考查了频率的意义，用到的知识点是各个小组的频率之和是1．根据频率的意义，各个小组的频率之和是1，可得第三组的频率是，再计算即可． 【详解】解：各个小组的频率之和是1，第一组与第二组的频率之和是 ， 第三组的频率是； 第三组的频数为． 故答案为：． 11. 已知平行四边形相邻两边长分别为4和6，则平行四边形的周长为________． 【答案】20 【解析】 【详解】解：平行四边形相邻两边长分别为和，平行四边形对边相等， 平行四边形的周长为． 12. 如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【解析】 【分析】将展开后与比较求出， ，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 13. 已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共100个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为______个． 【答案】33 【解析】 【分析】由题意知，摸到红球的频率逐渐趋于，即摸到红球的概率为，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率逐渐稳定于， ∴摸到红球的概率为， ∴（个）， 故答案为：33． 【点睛】本题考查了由频率估计概率．解题的关键在于熟练掌握：大量重复实验时，事件发生的频率逐渐稳定于某个固定的值，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 如图， 的顶点 的坐标分别是，则顶点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可看成由平移得到，进而根据坐标变化规律求解. 【详解】解：∵ 中， ∴可由平移得到， ∴， ∵， ∴ ∴， 即：． 15. 如图，正方形的边长为，将边绕点顺时针旋转至，连接 ，若 ，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作 于，由正方形的性质、旋转的性质，以及三线合一的性质，证明出得，设，可利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点作 于， 四边形是正方形，边长为， ， ， ， ， 为中点，即 ， 又， ， 又， ， ， 设，则， 在 中，， 即，解得（舍去）， ． 16. 四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点B逆时针旋转得到 ，点A对应点F，点M的对应点为E，连接，，过点C作于点H，根据等边三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，求解即可； 【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到 ，点A对应点F，点M的对应点为E，连接，，过过点C作于点H，如图所示： 由旋转的性质得：，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，，且， ∴， ， ∴为等边三角形， 在中，，于点H， ∴， 在 中，由勾股定理得：， ∵， 在中，由勾股定理得：， 根据“两点之间线段最短”得：， 即 ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式分解即可． （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据分别得到 ，，根据平行四边形的定义即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴ ． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义是解题的关键． 19. 联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 （1）请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； （2）请补全上面的频数分布直方图； （3）若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 【答案】（1）25，20， （2） 由（1）得 ，则频数分布直方图如图， （3）估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人． 【解析】 【分析】（1）用100乘以第2组的百分比即可求a，求出第4组所占百分比即得m，用乘以第3组人所占百分比即得圆心角； （2）根据（1）所得a的值，画图即可； （3）用1800乘以周末阅读时长达到30分钟的百分比即可． 【小问1详解】 解： ， 第4组所占百分比为： ，则 ， 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角为： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：周末阅读时长达到30分钟所占百分比为 ， （人） 答：若全校有学生1800人，估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人． 20. 在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况： 下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据： 抛掷次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地 的频数m 63 120 186 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.63 0.60 0.62 0.63 0.62 a 0.62 b 0.61 c （1）填写表中的空格； （2）画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图； （3）根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖不着地”的概率为______． 【答案】（1）0.60；0.61；0.61 （2）见解析 （3）0.61 【解析】 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）根据实验数据，先描点，再用线段顺次连接，即可得到折线统计图； （3）利用频率估计概率即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，，． 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：通过大量实验，发现图钉“钉尖不着地”的频率逐渐稳定在附近， 估计“钉尖不着地”的概率为． 21. 如下图，把（单位：）、、三个电阻串联起来．设线路上通过的电流为（单位：），线路两端的电压为（单位：），则．当，，，时，求线路两端的电压． 【答案】线路两端的电压为 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，串联电路的电压公式，掌握提取公因式简化计算是解题的关键． 先对电压公式提取公因式简化计算，再代入电阻和电流的数值求出总电压． 【详解】解：． 当，，，时， 原式， 线路两端的电压为 ． 22. 如图是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． （1）找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； （2）过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 【答案】（1） 如图，点为所求： （2）如图，直线为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和网格的特点，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点找到点使得平行且等于即可． （2）利用平行四边形的对称性，找到对角线、的交点，过点、作直线交于点即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，长方形A的长和宽分别为a，b，长方形B的长和宽分别为，b，面积分别为和． （1） _______，_______．（请用含a，b的代数式表示） （2）试证明． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确表示出和是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求可得，可证明，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：由题意得， ；； 【小问2详解】 证明：， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上F点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，作的角平分线，交于点，点即为所求； （2）由矩形的性质可得 ，，由折叠的性质可得 ，由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图：点即为所求； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴ ，， 由折叠的性质可得 ， ∴ ， ∴的面积为． 25. 我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式 ； （2）解决问题： ①若 ，，则的值为________； ②如图2，为上一点，分别以，为边作正方形， ，连接，，．若与 的面积和为，的面积为 ，求的长； （3）类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为与的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式可以分解因式为 ； 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，运用整体思想和数形结合思想是关键． （1）根据题意，图形符合完全平方公式，写出即可； （2）①根据完全平方公式的变形进行计算即可； ②设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，通过构造完全平方公式可得，因此； （3）分析图形可得大长方形的长为，宽为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，其余的小长方形的面积均为，根据面积相等写出等式即可． 【小问1详解】 解：由图可知，大正方形的面积为，两个小正方形的面积分别为和，长方形的面积为， ∴数学公式为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴； ②设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，， 由题意可知，，， 将 ，得， ， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：由图可知，大长方形的长为，宽为， 由面积相等可得，． 26. 综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图1，在中，，，点在上（且不与点、重合），在的外部作，使 ，连接，过点作，过点作交于点，连接． 根据以上操作，判断：四边形的形状是_____； （2）迁移探究 明明同学所在的“认真・坚持”学习小组“异想天开”，将绕点逆时针旋转，如图2，当点落在线段上时，请你： ①求证：四边形是矩形； ②连接 ，若，求的长； （3）拓展应用 亮亮同学所在的“感恩・责任”学习小组受此启发，将绕点继续逆时针旋转，能使四边形为菱形，若，请你直接写出线段的长． 【答案】（1）平行四边形 （2）①见解析；② （3）或 【解析】 【分析】（1）由得到四边形是平行四边形， （2）①，， 得到，点E落在线段上则点D在上，由四边形是平行四边形，，得到四边形是矩形；②连接，四边形是矩形得 ，证 ，得，从而得到，即可得解； （3）当点D在的左侧时，连接延长 交于K，设直线交于H，交于N，当点D在的右侧时，连接延长 交于点，利用全等的性质推出是等腰直角三角形，再结合垂直平分线的性质和勾股定理求出的长，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①证明：∵，， ， ∴， ∵点E落在线段上， ∴点D在上， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； ②解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点D在的左侧时，如图，连接延长 交于K，设直线交于H，于N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在的右侧时，连接 交于K，延长 交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：AF的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $