精品解析：江苏省连云港市灌南县实验中学2024-2025学年下学期八年级数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学试题 时间：100分钟，总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A 一岁一枯荣 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 举头望明月 3. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　　） A. B. C. D. 4. 平行四边形的一边长是10cm，那么它的两条对角线的长可以是（ ） A. 4cm和6cm B. 6cm和8cm C. 8cm和10cm D. 10cm和12cm 5. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，则长不可能等于（ ） A. B. 5 C. D. 6 8. 如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 为了了解学生的视力情况，现从学校3000名学生中随机抽取了400名学生进行调查，其中样本容量是_____________． 10. 投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是_____________． 11. 能够直接反映出统计数值所占的百分比的统计图是_______________． 12. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在边上，则的长为_______________． 13. 顺次连接平行四边形的各边中点，所得的图形一定是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小方格都是边长为的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为_____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒2个单位长度的速度沿轴向下平移，经过______________秒，该直线可将分成面积相等的两部分． 16. 如图，在四边形中，相交于点，，，，，用含，的代数式表示的面积是______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，， （1）若与关于点成中心对称（点与点对应），试在图中画出． （2）将（1）中的绕点顺时针旋转得到，试在图中画出． 18. 某校为了丰富学生的课后社团活动，在体育类社团活动中开设了四种运动项目：A跳绳，B排球，C乒乓球，D篮球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图所示的尚不完整的统计图表． 问卷情况统计表 运动项目 人数 A跳绳 B排球 5 C乒乓球 40 D篮球 问卷情况扇形统计图 （1）统计表中_________________，_______________； （2）在扇形统计图中，“A”对应的圆心角的度数是________________； （3）若该校共有1350名学生，请你估计最喜欢“A跳绳”的学生人数是多少？ 19. 某校生物兴趣小组开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，如图记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果： 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 种子发芽的频率（结果保留小数点后三位） 0.920 0.880 0.909 0.891 0902 0.901 0901 0.901 （1）根据表中数据，这种植物发芽的概率估计值为______________；（精确到0.1） （2）若该小组准备了5000粒种子进行发芽培育，问： ①这批种子发芽的粒数约为多少？ ②若该校的劳动基地需要这种植物发芽的种子7200粒，试估算该小组还需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 20. 如图，在中，点分别在，上，且．求证：． 21. 如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF． 22. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．求证：四边形为矩形． 23. 如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于、，垂足为，连接、．若四边形的面积是24，且，求四边形的周长． 24. 在中，，平分，于点，点是的中点．请你画出图形并探究、、这三条线段的数量关系． 25. 在正方形中，点、分别为边、上的动点，且 （1）如图①，求证：； （2）如图②，当点为线段中点，连接，求证：； （3）如图③，若正方形边长为9，连接，点是的中点，为上的点，且，则的最小值是_______________． 26. 综合与实践 在矩形中，，，将沿翻折，使顶点落在点处． 【初步探究】 （1）如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为________________； 【深入思考】 （2）若点在射线上，点在矩形外，且满足，在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； 【拓展提升】 （3）若点在线段上，点是线段三等分点，现将沿翻折，点对应点为点，且、、三点共线，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学试题 时间：100分钟，总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 一岁一枯荣 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 举头望明月 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】解：A、一岁一枯荣，为必然事件，不符合题意； B、锄禾日当午是随机事件，不符合题意； C、手可摘星辰为不可能事件，符合题意； D、举头望明月是随机事件，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件含义是解题的关键． 3. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”， 第一步应是假设， 故选：A． 4. 平行四边形的一边长是10cm，那么它的两条对角线的长可以是（ ） A. 4cm和6cm B. 6cm和8cm C. 8cm和10cm D. 10cm和12cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系逐一判断即可． 【详解】解：A、取对角线的一半与已知边长，得2，3，10，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、取对角线的一半与已知边长，得3，4，10，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、取对角线的一半与已知边长，得4，5，10，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、取对角线的一半与已知边长，得5，6，10，能构成三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形三边的关系，解题的关键是熟知相关知识点． 5. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据菱形的判定方法逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、对角线互相平分，且根据勾股定理的逆定理可得有一个角是直角，即对角线互相垂直，故可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； B、四边相等的四边形是菱形，故该选项不符合题意 C、对角线互相平分，不能证明菱形，故该选项符合题意． D、根据已知角可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，由等边三角形的性质推出，据此求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，则的长不可能等于（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，证明四边形为矩形，进而得到，根据垂线段最短，得到时最短，勾股定理求出的长，等积法求出的最小值，进行判断即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点P为斜边上一动点， ∴当时最短， 由勾股定理，得：， 当时，则：，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长不可能为； 故选A． 8. 如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由AB2+AC2=BC2，得出∠BAC=90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；最后求出S▱AEFD=6，故④正确；即可得出答案． 【详解】解：∵AB=3，AC=4，BC=5，32+42=52， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴AB⊥AC，故①正确； ∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAE=150°， ∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°， ∴∠DBF=∠ABC， 在△ABC与△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC=DF=AE=4， 同理可证：△ABC≌△EFC（SAS）， ∴AB=EF=AD=3， ∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确； ∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确； 过A作AG⊥DF于G，如图所示： 则∠AGD=90°， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠FDA=180°-∠DFE=180°-150°=30°， ∴AG=AD=， ∴，故④正确； ∴正确的个数是4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABC≌△DBF是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 为了了解学生的视力情况，现从学校3000名学生中随机抽取了400名学生进行调查，其中样本容量是_____________． 【答案】400 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本，明确考查的对象总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．根据总体、个体、样本的定义解答即可． 【详解】解：为了了解学生的视力情况，现从学校3000名学生中随机抽取了400名学生进行调查，其中样本容量是400， 故答案为：400． 10. 投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是_____________． 【答案】②③① 【解析】 【分析】本题主要考查可能性大小的比较，解题关键是理解：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意得，①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数不大于4包括4种情况；③掷得的点数是奇数包括3种情况，分别比较情况数的大小即可获得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况； 而①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数不大于4包括4种情况；③掷得的点数是奇数包括3种情况，故发生的可能性由大到小的顺序排为②③①． 故答案为：②③①． 11. 能够直接反映出统计数值所占的百分比的统计图是_______________． 【答案】扇形统计图 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，理解并掌握扇形统计图的特点是解题关键．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系． 【详解】解：能够直接反映出统计数值所占的百分比的统计图是扇形统计图． 故答案为：扇形统计图． 12. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在边上，则的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，旋转性质；由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则，故． 【详解】解：由题意以及旋转的性质知，， ， ， ， 故为等边三角形，即， 则， 故答案为：． 13. 顺次连接平行四边形的各边中点，所得的图形一定是______． 【答案】平行四边形 【解析】 【详解】解：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是▱ABCD四边的中点． 连接AC、BD， ∵E、F是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线； ∴EF∥AC； 同理可证：GH∥AC∥EF，EH∥BD∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 故顺次连接平行四边形各边中点的图形为平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题考查中点四边形． 14. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小方格都是边长为的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为_____________． 【答案】（3，2） 【解析】 【分析】设旋转中心为M点．根据旋转中心必然在一组对应点的中垂线上，可得M在线段AD的中垂线上，所以点M的纵坐标为2．设M（x，2），又M在线段BE的中垂线上，所以ME=MB，依此列出方程，求解即可． 【详解】解：设旋转中心为M点． ∵△DEF是由△ABC旋转得到的， ∴M在线段AD的中垂线上， ∵A（1，0），D（1，4）， ∴点M在直线y=2上，即点M的纵坐标为2． 设M（x，2）， ∵M在线段BE的中垂线上， ∴ME=MB， ∵E（1，3），B（2，0）， ∴（x-1）2+（2-3）2=（x-2）2+（2-0）2， 解得x=3． ∴旋转中心M的坐标为（3，2）． 故答案为（3，2）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质：旋转中心在一组对应点的中垂线上是解题的关键．也考查了两点间的距离公式． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒2个单位长度的速度沿轴向下平移，经过______________秒，该直线可将分成面积相等的两部分． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数平移、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一次函数综合应用等知识，理解题意，正确作出辅助线是解题关键．设经过秒，该直线可将分成面积相等的两部分，由一次函数图像平移的特征可得该直线的解析式为，设此时直线交于点，过点轴于点，过点轴于点，易得四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得；再确定点的坐标，然后求解即可． 【详解】解：设经过秒，该直线可将分成面积相等的两部分， 此时，该直线的解析式为， 如下图，设此时直线交于点，过点轴于点，过点轴于点， 则， ∴四边形为矩形， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 若直线可将分成面积相等的两部分， 则有， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， 对于直线， 当时，可有，解得， 当时，可有，解得， ∴， ∴， ∴， 解得秒， ∴经过3秒，该直线可将分成面积相等的两部分． 故答案为：3． 16. 如图，在四边形中，相交于点，，，，，用含，的代数式表示的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，作交延长线于， 作于，可得四边形为矩形，进而可证，得到，，即得四边形为正方形，得到，即可得，得到，最后根据三角形的面积公式计算即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作交延长线于， 作于， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，， （1）若与关于点成中心对称（点与点对应），试在图中画出． （2）将（1）中的绕点顺时针旋转得到，试在图中画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点及旋转变换的性质． （1）根据中心对称的定义分别作出点B、C变换后的对应点，再顺次连接可得； （2）分别作出点、，绕点顺时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得． 【小问1详解】 解：如图，为所求； 【小问2详解】 解：如上图，为所求 ． 18. 某校为了丰富学生的课后社团活动，在体育类社团活动中开设了四种运动项目：A跳绳，B排球，C乒乓球，D篮球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图所示的尚不完整的统计图表． 问卷情况统计表 运动项目 人数 A跳绳 B排球 5 C乒乓球 40 D篮球 问卷情况扇形统计图 （1）统计表中_________________，_______________； （2）在扇形统计图中，“A”对应的圆心角的度数是________________； （3）若该校共有1350名学生，请你估计最喜欢“A跳绳”的学生人数是多少？ 【答案】（1）20，35 （2） （3）270人 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布表与扇形统计图，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． （1）先由C组人数除以占比求出总人数，再由总人数乘以D组占比求出n，再由总人数减去人数求出m； （2）用乘以A组占比即可； （3）用1350乘以A组占比即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案：20，35； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：最喜欢“A跳绳”的学生有270人． 19. 某校生物兴趣小组开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，如图记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果： 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 种子发芽的频率（结果保留小数点后三位） 0.920 0.880 0.909 0.891 0.902 0.901 0.901 0.901 （1）根据表中数据，这种植物发芽的概率估计值为______________；（精确到0.1） （2）若该小组准备了5000粒种子进行发芽培育，问： ①这批种子发芽的粒数约为多少？ ②若该校的劳动基地需要这种植物发芽的种子7200粒，试估算该小组还需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 【答案】（1） （2）①这批种子发芽的粒数约为粒；②该小组还需要准备粒种子进行发芽培育． 【解析】 【分析】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键． （1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）①用5000乘以发芽的概率即可；②根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据，发芽的概率估计值为； 【小问2详解】 解：①（粒） 答：这批种子发芽的粒数约为粒； ②（粒） 答：该小组还需要准备粒种子进行发芽培育． 20. 如图，在中，点分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质及判定，根据四边形是平行四边形，得出，，由，从而可得到，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形 ． 21. 如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF． 【答案】证明见解析． 【解析】 【详解】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题． 试题解析：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF． 考点：平行四边形的判定与性质． 22. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．求证：四边形为矩形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定、菱形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据菱形的性质可得，，进而可得，结合可证明四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 23. 如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于、，垂足为，连接、．若四边形的面积是24，且，求四边形的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练的证明四边形是菱形是解本题的关键；先证明四边形是平行四边形，再证明，从而证明四边形是菱形，利用菱形的性质与勾股定理求解，再求解周长即可． 【详解】证明：四边形是矩形，垂直平分， ， ， 又， ， ，且 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形； ， 设， ∴，， ∵四边形的面积是24， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 四边形的周长． 24. 在中，，平分，于点，点是的中点．请你画出图形并探究、、这三条线段的数量关系． 【答案】或，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全到呢个三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质，正确理解题意，画出图形是解题的关键．分时，时，两种情况讨论，延长交于点D，证明，推出，再证明是的中位线，即可得出结论． 【详解】解：或，理由如下： 当时，如图，延长交于点D， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E为中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即； 当时，如图， 同理， ∴， ∴点E为中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即； 综上，、、这三条线段的数量关系为：或． 25. 在正方形中，点、分别为边、上的动点，且 （1）如图①，求证：； （2）如图②，当点为线段中点，连接，求证：； （3）如图③，若正方形边长为9，连接，点是的中点，为上的点，且，则的最小值是_______________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质易得，证明推出，进而求出，得到，即可证明结论； （2）取中点O，连接，设交于点M，由（1）知，利用直角三角形的性质可得，推出，证明，同理（1）得，进而证明为中点，垂直平分，推出，得到， 由，即可得出结论； （3）作点关于的对称点，连接，由（1）知，利用直角三角形的性质可得，当三点共线时，有最小值，即有最小值，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：取中点O，连接，设交于点M， 由（1）知， ∵点O是中点， ∴， ∵点为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理（1）得， ∵， ∴为中点，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：作点关于的对称点，连接， 则， 由（1）知， ∵点 M 是的中点， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，直角三角形的性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 综合与实践 在矩形中，，，将沿翻折，使顶点落在点处． 【初步探究】 （1）如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为________________； 【深入思考】 （2）若点在射线上，点在矩形外，且满足，在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； 【拓展提升】 （3）若点在线段上，点是线段的三等分点，现将沿翻折，点对应点为点，且、、三点共线，求的长． 【答案】（1）；（2）作图见解析，；（3）或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得：，再由折叠的性质得，再根据即可得出答案； （2）先作的垂直平分线，再以为圆心为半径画弧交的垂直平分线于点E，连接，易得，最后作的角平分线交射线于点Q即可；设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，易求，利用勾股定理求出，得到，证明，得到，设，则，由，建立方程求解即可； （3）延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，求出，，证明，推出，得到三点共线，分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程，求出，再根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 由勾股定理得： ∵点E落在对角线上， 由折叠的性质得 ∴； （2）解：如图所示为所求， 设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， 解得：， ∴； （3）延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，则，， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 如图，当时，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$