第09讲 等腰三角形（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

第09讲 等腰三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 等边对等角 题型2 三线合一 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 题型4 根据等角对等边证明边相等 题型5 根据等角对等边求边长 题型6 含30°角的直角三角形 题型7 等腰三角形的性质和判定 题型8 等边三角形的性质 题型9 等边三角形的判定 题型10 最短路径问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等腰三角形、等边三角形、腰、底边、顶角、底角、三线合一、等角对等边、等边对等角、轴对称、分类讨论、几何证明 1. 理解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握各部分名称。 2. 熟练掌握等腰三角形的性质与判定，掌握“三线合一”核心定理。 3. 掌握等边三角形的性质与判定，了解含30°直角三角形的性质。 4. 能利用等腰三角形性质求边长、角度，规范完成几何证明。 5. 掌握等腰三角形分类讨论思想，避免漏解。 学习重点：掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，熟练运用三线合一解题。 学习难点：灵活运用三线合一，掌握等腰三角形边长、角度的分类讨论，解决综合几何问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 即时即练如图，在中，，过的中点O作，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，易证平分，由角平分线的性质定理即可得到； （2）由，，先求出，由及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴平分， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【方法总结】 等腰三角形的其他性质： 1.等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． 2.等腰三角形两底角的平分线相等． 3.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 4.当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点02 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 即时即练已知：如图，点是的边的中点，，，垂足分别为点，，且．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键． （1）运用证明，进而得到； （2）根据题意得到，由（1）知，运用证明，推出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ， ； （2）证明：是边的中点， ， 在和中，， ， ， 是等腰三角形． 【方法总结】 1.“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． 2.“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点03 等边三角形及其性质 1.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．也是特殊的等腰三角形。 2.等边三角形的性质： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° （2）三边都相等 （3）有三条对称轴 （4）同样满足三线合一 即时即练如图，，都是等边三角形，与相交于点O，与相交于点P，与相交于点Q． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，即可得到； （2）由得到，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 即． 【方法总结】 1.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； 2.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点04 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： 1.定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 即时即练如图， 在四边形中，，，平分 ，连接． (1)求证：； (2)若，判断的形状， 并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再由三线合一即可证明； （2）先由直角三角形的性质得到，而，再由即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点E为的中点，即； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵，， ∴，， ∵由（1）得，即， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． 知识点05 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 即时即练如图，和均为等腰直角三角形，，在上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用同角的余角相等证明角相等，再结合等腰直角三角形的边相等，根据证明全等； （2）由全等三角形可得，进而证明为直角，再用含角的直角三角形性质求长． 【详解】（1）解：， ，， ， 和均为等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ． （2）解：是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【方法总结】 1.该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． 2.这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． 3.该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． 4.在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 题型1 等边对等角 【例1】如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，进而可得，再根据三角形外角定理可得的度数． 【详解】解：， ， 由翻折可知，又， ， ， ． 【例2】等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当外角的邻补角为等腰三角形的底角时，底角为，符合三角形内角和定理， 情况2：当外角的邻补角为等腰三角形的顶角时，顶角为，则底角为， 综上，等腰三角形的底角为或． 【技巧归纳】 1.解题思路：先找相等边，再直接推出对应角相等，结合三角形内角和、外角性质倒角求值； 2.易错提醒：仅适用于同一个三角形，不可跨三角形使用；底角恒为锐角。 【变式1-1】如图，这是公元前五世纪古希腊人发明的一种“三等分角”的仪器的模型，模型中，如果在一次测量中，则的度数为___________． 【答案】/80度 【分析】根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ∴ ， ∴ ， ， ． 【变式1-2】如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 题型2 三线合一 【例1】如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，P，D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由等积法可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴． 【例2】如图，在等腰三角形中，，于点D，于点E．若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，再利用含角的直角三角形的性质分别求出和的长度，最后通过求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵于点E， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【技巧归纳】 1. 适用前提：仅限等腰三角形，针对顶角和底边； 2. 核心逻辑：顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，知一推二，无需证全等； 3. 解题用途：快速得垂直、线段平分、角平分三类隐藏条件，简化证明和计算。 口诀：等腰底边一中线，垂直角分全兑现。 易错提醒：腰上的高、中线、角平分线不重合，严禁乱用三线合一。 【变式2-1】如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 【变式2-2】如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， 中，，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最小值， 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 【例1】如图，已知点，在线段上，交于点，，，．求证： 【答案】见解析 【分析】根据题意容易证得，进而得到，结论即可得到证明． 【详解】因为， 所以． 所以． 又因为，， 所以（SAS）． 所以． 所以． 【例2】如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，作直线与相交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由尺规作图可知：直线垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可知，再根据角之间的关系求出的度数； （2）根据三角形外角的性质可得：，根据等角对等边即可求出的度数． 【详解】（1）解  如下图所示，在中， ，， ，      由尺规作图可知：直线垂直平分， ， ， ， ； （2）解：，， ， 在中， ，， ， ． 【技巧归纳】 1.核心思路：欲证三角形为等腰，优先证三角形内两个内角相等； 2.常用倒角途径：平行线内错角相等、角平分线分角相等、对顶角、三角形外角性质； 易错提醒：必须是三角形内部两角相等，方可判定等腰。 【变式3-1】如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【分析】本题考查了补角的定义，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质． （1）根据已知条件利用补角的定义得到，再利用等边对等角得出，证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论得到，再由等角对等边可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：是等腰三角形， 理由：由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式3-2】如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识，数形结合是关键，根据角平分线的定义，平行线的性质得到，结合等腰三角形的定义即可求解． 【详解】证明：∵平分的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 题型4 根据等角对等边证明边相等 【例1】如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，从而可得，，然后利用等角对等边可得，，即可解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 【例2】如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______． 【答案】7 【分析】在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，最后计算即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点D， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【技巧归纳】 1. 适用场景：直接证明线段相等困难时，优先转化为证角相等； 2. 核心规则：同一三角形中，等角对等边，等角对应的侧边一一相等； 3. 答题技巧：先倒角证两角相等，再直接写对应边相等，简化全等步骤。 易错提醒：区分角与对应边，避免错找对应线段。 【变式4-1】如图，在中，，，和的角平分线、交于点O，，垂足为点D，且与交于点G． (1)求和的度数； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）首先，根据三角形的内角和定理及垂直的定义求出，，，再根据角平分线的性质求出，，最后，再根据外角的性质求出的度数； （2）首先，根据垂直的定义及三角形的内角和求出，然后，再由（1）知，运用“等角对等边”知识可知． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵为的外角， ∴； （2）证明：在中，，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 题型5 根据等角对等边求边长 【例1】如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，，可得，，即可得的长． 【详解】解：∵在中，、的平分线交于点， ∴，， ∵过点，交、于点、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 【例2】如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】平分，构造了等腰三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 中，， ． 【技巧归纳】 1. 解题流程：题干/图形找等角判定等腰三角形对应边等量代换； 2. 周长计算：利用等边替换，将不规则折线边长转化为已知线段长度； 3. 复杂题型：结合多次等角转换，得到多组等边，分步求解边长。 易错提醒：计算后必须检验三角形三边关系，舍去无解情况。 【变式5-1】如图，在中，，于点D，，．则的长为______． 【答案】8 【分析】在上截取，连接，得出是的垂直平分线，得出相等的边和角，然后利用三角形的外角定理以及等角对等边进行求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，得到，即可推出； （2）由角平分线和平行线的性质得到，推出，然后由等角对等边求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴． ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 题型6 含30°角的直角三角形 【例1】如图，中，，，于H，若，则__________． 【答案】6 【分析】根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例2】如图，中，，是高，，若，则_____． 【答案】1 【分析】由题意得出和是含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半解决问题． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， ∵是高，， ∴， ∴． 【技巧归纳】 1. 核心定理：Rt△中，30°锐角所对的直角边=斜边； 2. 反向推导：Rt△中，若一条直角边等于斜边一半，则该直角边对角为30°； 3. 解题用途：快速求直角三角形边长、线段倍分关系，无需勾股定理。 易错提醒：必须是直角三角形+30°内角，普通三角形不适用。 【变式6-1】如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据直角三角形两锐角互余得，再利用线段垂直平分线的性质得，继而得到，进而可得，然后根据含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，平分，，，于点，，则___________． 【答案】 【分析】过点作，利用角平分线性质得到，再结合平行线、三角形外角性质可证为含角的直角三角形，结合求出，进而得到． 【详解】解：如图，过点作， 平分，，， ，， ， ， ， ， ， ． 题型7 等腰三角形的性质和判定 【例1】如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由，，，根据“”证明，得，，所以，推导出，则； （2）连接并延长交于点，由，，推导出，而，，可根据“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】（1）点、分别在边、上，与相交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （2）连接并延长交于点， ，， ， ， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ，平分， ． 【例2】如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】过点作于点，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ， ，故③正确； 为边上的高， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故④正确； ，， ， 平分， ， ，故②正确； 综上分析可知，①②③④正确． 【技巧归纳】 1. 先判定后用性质：先证等腰，再用等边对等角、三线合一解题； 2. 常结合模型：角平分线+平行线、折叠对称、三角形外角综合倒角。 易错提醒：区分性质与判定因果，判定是“等角推等边”，性质是“等边推等角 【变式7-1】如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】由直角三角形的性质可得，由垂直的定义及平角的定义可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可证明，再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为： ． 【变式7-2】已知∶如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为24，求的周长． 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得到，求出，利用等腰三角形的性质求出,继而得到； （2）先求出，再推出,计算即可得到答案． 【详解】（1）解∶的垂直平分线交于点， ， 是等腰三角形； 又， ， ； （2）解：的垂直平分线交于点，， ，， 的周长为24， ， 的周长． 题型8 等边三角形的性质 【例1】如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作点关于对称的点，连接，与交于点，根据“将军饮马”模型，得出此时取得最小值，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，作点关于对称的点，连接，与交于点， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∴点在上， ，， ， 此时，取得最小值． ，， 点为的中点， 平分， ． 【例2】如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得出，，由中点的定义得出的长，在中利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【技巧归纳】 1. 核心性质：三边相等、三角均为60°、三条对称轴、满足三线合一； 2. 解题核心：所有边角均相等，可自由等量代换，快速倒角、证边相等； 3. 综合应用：等边三角形内角60°是全等证明、角度计算的核心条件。 易错提醒：等边三角形是特殊等腰三角形，但不可用普通等腰性质一概而论。 【变式8-1】中，，，在上取点D，使，则_____． 【答案】/30度 【分析】先根据等腰三角形性质与三角形内角和定理求出的底角度数，通过构造等边三角形得到全等三角形，再利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质计算的度数． 【详解】解：∵， ∴． 以为边，在外侧作等边，连接． 则，． ∴． ， ． 又， ． ∴，，． ， 是等腰三角形，，． ∴． 三点共线， ． 【变式8-2】如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 题型9 等边三角形的判定 【例1】如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等角对等边、三角形内角和定理和两直线平行同位角相等，求得和利用“”证得，然后根据全等三角形对应角相等即可解答； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，求得，再根据有一个内角是的等腰三角形为等边三角形即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【例2】如图，平分，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由角平分线性质可得，然后通过等边对等角即可求证； （）由，，可得，所以，由（）可知，从而可得，则有，最后由等边三角形的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：平分，，， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由（）可知， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【技巧归纳】 等腰三角形仅有一个60°角，不能判定为等边三角形。 【变式9-1】如图，已知点是内的一点，，分别是点关于的对称点，连接，与分别相交于点，已知． (1)求的周长； (2)连接，若，判定的形状，并说明理由． 【答案】(1)10cm (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得，进而可结论． 【详解】（1）解：分别是点关于的对称点， 垂直平分，垂直平分 的周长为 （2）等边三角形，理由如下： 连接 分别是点关于的对称点， 垂直平分垂直平分， ， ，， ， ， ， 又， ， 是等边三角形. 【变式9-2】如图，在中，点是的中点，且，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，已知． (1)求证：是等边三角形，请完成以下证明过程； 证明：点是的中点，________， 垂直平分， ________________， 又，， ________________， 是等边三角形． (2)判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可证得结论； （2）由等边三角形的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由对顶角相等，结合已知可得，可得，即可得线段与的大小关系． 【详解】（1）证明：点是的中点，， 垂直平分， ， 又，， ， 是等边三角形． （2）解：．理由： 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又是的中点， ， ． 题型10 最短路径问题 【例1】如图，是一个正方形格纸，中点坐标为，点的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，和关于哪条直线对称？ (2)作出关于轴对称的图形； (3)在轴上求作一点，使的和最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据已知点坐标确定原点、坐标轴位置，建立平面直角坐标系，根据轴对称的性质得到和的对称轴． （2）根据轴对称的性质找到各端点关于轴对称的对应点，连线即可得到．关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． （3）最短路径问题：利用轴对称将折线和转化为直线段，根据“两点之间线段最短”求解即可． 【详解】（1）解：根据中点坐标为，点的坐标为， 建立平面直角坐标系如下图， 如图所示，点的坐标为，点的坐标分别为， 和的对应点的连线被y轴垂直平分， ∴和关于y轴对称； （2）解：如图，的三点关于轴对称的对应点分别为 ，连接对应点得，即为所求； （3）解：如图，作关于轴的对称点， 和关于轴对称，点M在x轴上， ， ， 当在一条直线上时，最小， 连接，和轴的交点即为所求点，此时最小． 【例2】如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图、线段中点的性质及轴对称求最短路径（两点之间线段最短），解题关键是利用网格的对称性和格点特征构造辅助线． 小问1：选择格点C、D，通过证明，再利用全等三角形的性质即可得到的中点． 小问2：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）如图2，点即为所求． 【技巧归纳】 1. 核心原理：轴对称转化+两点之间线段最短； 2. 通用步骤：作定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，线段长度即为最短路径； 3. 模型口诀：一线两点作对称，连线最短无争议； 4. 角度求解：结合等腰、等边三角形性质，求最短路径对应的夹角。 易错提醒：找错对称点、选错对称轴，导致最短路径计算错误。 【变式10-1】如图，的面积为6，，，点、、分别是、、边上的动点，则周长的最小值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 根据对称性质，将周长转换为一条直线，作点关于、的对称点、，连接，，，，，，证明是等边三角形，得周长的最小值为，由对称性和是等边三角形可得，求出的最小值即可得结论． 【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接，，，，，， 由轴对称可得，，，，，， ∴当，，，在一条直线上时，的周长最小，即周长的最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长的最小值为的长， 根据垂线段最短，可知时，最小，即周长最小， ∵的面积为6，，即， ∴，即周长最小值为4． 故答案为：4． 【变式10-2】如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键． 先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解． 【详解】解：过C作于F，交于，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 即当点三点共线，且时，的最小值为的长， ∴， 即当取得最小值时，． 故答案为：． 1．如图，是等边三角形，动点D从点B出发，沿方向运动到终点A，以为边向上作等边，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证，由此可得阴影部分的面积为等边三角形的面积． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分面积的变化情况是一直不变 ． 2．如图，在中，，．若平分交于D，于E，且交于O．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】结论①：利用等腰三角形的三线合一即可证明；结论②：证明即可判断；结论③：证明即可；结论④：缺少全等的条件，无法证明两三角形全等． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴，，即①正确； ∴， ∵， 而， ∴，即②错误； ∵，，，， ∴， ∴， ∴，即③正确； ∵，， ∴， ∴不一定等于， ∴和不全等，即④错误， 综上所述，正确的结论有①③，共2个． 3．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【详解】解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 4．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，可知；根据角平分线的性质可知，根据等角对等边可知，根据含角的直角三角形的性质，可知，等量代换可知；可知，根据，可得：，所以可得：；由等腰三角形的三线合一可得，所以可知垂直平分线段，进而可得答案． 【详解】解：连接，， 由作法得，， 垂直平分， ，故①正确； ，， ， 由作法得平分， ， ， ， 在中，， ， ，故②正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ，    ， ， 垂直平分线段，故④正确． 故正确的个数有3个． 5．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 【详解】∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 6．如图，D，E分别是的中点，，垂足为D，，垂足为E，交于点F，若，则__________． 【答案】18 【分析】连接，根据垂直平分线的判定及性质可得为等边三角形，结合图形，利用等边三角形的性质及各角之间的关系可得，由所对的直角边是斜边的一半可得，结合图形即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵点D是中点且于点D， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点E是中点且于点E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 在中， ， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，，和相交于点，连接． （1）要使，应添加的条件是_____（添加一个条件即可）． （2）在（1）的条件下，图中全等的三角形（不包括）还有_____对． 【答案】 （答案不唯一） 2 【分析】（1）依据全等三角形的判定添加条件即可； （2）根据（1）中，得出，根据证明，得出，根据等边对等角得出，进而得出，则可根据证明. 【详解】解：（1）添加， 理由：在和中， ， ∴ 或添加， 理由：在和中， ， ∴； 或添加， 理由：在和中， ， ∴；； （2）若（1）添加， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，即， 又，， ∴， 故还有2对全等三角形； 若（1）添加， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，即， 又，， ∴， 故还有2对全等三角形； 若（1）添加， ∵， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，即， 又，， ∴， 故还有2对全等三角形. 8．已知，是等边三角形，是中线，延长至，使． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作的垂线交于点，请直接写出图中所有与线段相等的线段（不包括本身）． 【答案】(1)见解析 (2)与线段相等的线段有：，， 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据等边对等角得出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，结合等角对等边即可证明； （2）根据等边三角形的性质得出，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据直角三角形的性质得出，根据等边三角形的判定和性质得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵，是中线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，是中线， ∴， 在中，， 故， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故， 即， 故与线段相等的线段有：，，． 9．已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接． (1)如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形； (2)当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵点D，E关于直线对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴． ∵点D为线段的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形； (2)解：补全图形如图所示， 线段与的数量关系：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵F为线段的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∵点D，E关于直线对称， ∴． ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 【分析】（1）由对称性知，由等边三角形的性质得，从而，由等边三角形的判定即可证明结论； （2）按题意补全图形即可；线段与的数量关系：；延长到点G，使，连接，易证明，从而得，得；再证明，得，从而． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 11．已知：如图，在中，，，，垂足分别为，与交于点． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，可得； （2）由得，由得，进而证明，推出，进而即可证明垂直平分． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，连接并延长，交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 等腰三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 等边对等角 题型2 三线合一 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 题型4 根据等角对等边证明边相等 题型5 根据等角对等边求边长 题型6 含30°角的直角三角形 题型7 等腰三角形的性质和判定 题型8 等边三角形的性质 题型9 等边三角形的判定 题型10 最短路径问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等腰三角形、等边三角形、腰、底边、顶角、底角、三线合一、等角对等边、等边对等角、轴对称、分类讨论、几何证明 1. 理解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握各部分名称。 2. 熟练掌握等腰三角形的性质与判定，掌握“三线合一”核心定理。 3. 掌握等边三角形的性质与判定，了解含30°直角三角形的性质。 4. 能利用等腰三角形性质求边长、角度，规范完成几何证明。 5. 掌握等腰三角形分类讨论思想，避免漏解。 学习重点：掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，熟练运用三线合一解题。 学习难点：灵活运用三线合一，掌握等腰三角形边长、角度的分类讨论，解决综合几何问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 即时即练如图，在中，，过的中点O作，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【方法总结】 等腰三角形的其他性质： 1.等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． 2.等腰三角形两底角的平分线相等． 3.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 4.当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点02 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 即时即练已知：如图，点是的边的中点，，，垂足分别为点，，且．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【方法总结】 1.“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． 2.“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点03 等边三角形及其性质 1.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．也是特殊的等腰三角形。 2.等边三角形的性质： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° （2）三边都相等 （3）有三条对称轴 （4）同样满足三线合一 即时即练如图，，都是等边三角形，与相交于点O，与相交于点P，与相交于点Q． (1)求证：； (2)求的度数． 【方法总结】 1.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； 2.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点04 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： 1.定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 即时即练如图， 在四边形中，，，平分 ，连接． (1)求证：； (2)若，判断的形状， 并说明理由． 知识点05 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 即时即练如图，和均为等腰直角三角形，，在上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【方法总结】 1.该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． 2.这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． 3.该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． 4.在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 题型1 等边对等角 【例1】如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（    ） A． B．或 C．或 D． 【技巧归纳】 1.解题思路：先找相等边，再直接推出对应角相等，结合三角形内角和、外角性质倒角求值； 2.易错提醒：仅适用于同一个三角形，不可跨三角形使用；底角恒为锐角。 【变式1-1】如图，这是公元前五世纪古希腊人发明的一种“三等分角”的仪器的模型，模型中，如果在一次测量中，则的度数为___________． 【变式1-2】如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型2 三线合一 【例1】如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】如图，在等腰三角形中，，于点D，于点E．若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【技巧归纳】 1. 适用前提：仅限等腰三角形，针对顶角和底边； 2. 核心逻辑：顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，知一推二，无需证全等； 3. 解题用途：快速得垂直、线段平分、角平分三类隐藏条件，简化证明和计算。 口诀：等腰底边一中线，垂直角分全兑现。 易错提醒：腰上的高、中线、角平分线不重合，严禁乱用三线合一。 【变式2-1】如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-2】如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 【例1】如图，已知点，在线段上，交于点，，，．求证： 【例2】如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，作直线与相交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【技巧归纳】 1.核心思路：欲证三角形为等腰，优先证三角形内两个内角相等； 2.常用倒角途径：平行线内错角相等、角平分线分角相等、对顶角、三角形外角性质； 易错提醒：必须是三角形内部两角相等，方可判定等腰。 【变式3-1】如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式3-2】如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 题型4 根据等角对等边证明边相等 【例1】如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 【例2】如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______． 【技巧归纳】 1. 适用场景：直接证明线段相等困难时，优先转化为证角相等； 2. 核心规则：同一三角形中，等角对等边，等角对应的侧边一一相等； 3. 答题技巧：先倒角证两角相等，再直接写对应边相等，简化全等步骤。 易错提醒：区分角与对应边，避免错找对应线段。 【变式4-1】如图，在中，，，和的角平分线、交于点O，，垂足为点D，且与交于点G． (1)求和的度数； (2)求证：． 【变式4-2】如图，，E是上的一点，且，，求证：． 题型5 根据等角对等边求边长 【例1】如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【例2】如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【技巧归纳】 1. 解题流程：题干/图形找等角判定等腰三角形对应边等量代换； 2. 周长计算：利用等边替换，将不规则折线边长转化为已知线段长度； 3. 复杂题型：结合多次等角转换，得到多组等边，分步求解边长。 易错提醒：计算后必须检验三角形三边关系，舍去无解情况。 【变式5-1】如图，在中，，于点D，，．则的长为______． 【变式5-2】如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型6 含30°角的直角三角形 【例1】如图，中，，，于H，若，则__________． 【例2】如图，中，，是高，，若，则_____． 【技巧归纳】 1. 核心定理：Rt△中，30°锐角所对的直角边=斜边； 2. 反向推导：Rt△中，若一条直角边等于斜边一半，则该直角边对角为30°； 3. 解题用途：快速求直角三角形边长、线段倍分关系，无需勾股定理。 易错提醒：必须是直角三角形+30°内角，普通三角形不适用。 【变式6-1】如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，平分，，，于点，，则___________． 题型7 等腰三角形的性质和判定 【例1】如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【例2】如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【技巧归纳】 1. 先判定后用性质：先证等腰，再用等边对等角、三线合一解题； 2. 常结合模型：角平分线+平行线、折叠对称、三角形外角综合倒角。 易错提醒：区分性质与判定因果，判定是“等角推等边”，性质是“等边推等角 【变式7-1】如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【变式7-2】已知∶如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为24，求的周长． 题型8 等边三角形的性质 【例1】如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 核心性质：三边相等、三角均为60°、三条对称轴、满足三线合一； 2. 解题核心：所有边角均相等，可自由等量代换，快速倒角、证边相等； 3. 综合应用：等边三角形内角60°是全等证明、角度计算的核心条件。 易错提醒：等边三角形是特殊等腰三角形，但不可用普通等腰性质一概而论。 【变式8-1】中，，，在上取点D，使，则_____． 【变式8-2】如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 题型9 等边三角形的判定 【例1】如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【例2】如图，平分，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【技巧归纳】 等腰三角形仅有一个60°角，不能判定为等边三角形。 【变式9-1】如图，已知点是内的一点，，分别是点关于的对称点，连接，与分别相交于点，已知． (1)求的周长； (2)连接，若，判定的形状，并说明理由． 【变式9-2】如图，在中，点是的中点，且，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，已知． (1)求证：是等边三角形，请完成以下证明过程； 证明：点是的中点，________， 垂直平分， ________________， 又，， ________________， 是等边三角形． (2)判断线段与的大小关系，并说明理由． 题型10 最短路径问题 【例1】如图，是一个正方形格纸，中点坐标为，点的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，和关于哪条直线对称？ (2)作出关于轴对称的图形； (3)在轴上求作一点，使的和最小． 【例2】如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【技巧归纳】 1. 核心原理：轴对称转化+两点之间线段最短； 2. 通用步骤：作定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，线段长度即为最短路径； 3. 模型口诀：一线两点作对称，连线最短无争议； 4. 角度求解：结合等腰、等边三角形性质，求最短路径对应的夹角。 易错提醒：找错对称点、选错对称轴，导致最短路径计算错误。 【变式10-1】如图，的面积为6，，，点、、分别是、、边上的动点，则周长的最小值为_____． 【变式10-2】如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 1．如图，是等边三角形，动点D从点B出发，沿方向运动到终点A，以为边向上作等边，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 2．如图，在中，，．若平分交于D，于E，且交于O．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 4．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 6．如图，D，E分别是的中点，，垂足为D，，垂足为E，交于点F，若，则__________． 7．如图，，和相交于点，连接． （1）要使，应添加的条件是_____（添加一个条件即可）． （2）在（1）的条件下，图中全等的三角形（不包括）还有_____对． 8．已知，是等边三角形，是中线，延长至，使． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作的垂线交于点，请直接写出图中所有与线段相等的线段（不包括本身）． 9．已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接． (1)如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形； (2)当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 10．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 11．已知：如图，在中，，，，垂足分别为，与交于点． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，求证：垂直平分． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $