第14讲 等腰三角形（3个知识点+8个题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第14讲 等腰三角形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 等腰三角形的性质】 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”. 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”. 【知识点2 等腰三角形的判定】 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【知识点3 作一个等腰三角形】 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2） ①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 【题型1 利用等边对等角直接求角度】 【例1】如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，中，，将折叠，使得点B与点A重合，折痕交于D，交于E，若，则的度数为 ． 【变式1-2】如图，在中，为上一点，且，求的度数． 【变式1-3】如图，在中，，是角平分线，是高，，，求和的度数． 【题型2 方程思想求角度】 【例2】如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，中，，垂直平分，垂直平分，则的度数为 ． 【变式2-3】如图，在中，分别为边上的点，，．若，则的度数为 ． 【题型3 分类讨论思想求角度】 【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式3-1】已知是的高，，，则的度数为 ． 【变式3-2】中，，边的垂直平分线交直线于点M，交于点D，若，则的度数为 ． 【变式3-3】如图，，点A在上，垂直平分分别交、于点B、C．点D在射线上，不与点O、B重合，当是等腰三角形时，求的度数． 【题型4 “三线合一”的应用】 【例4】如图，在中，点、在边上，，．求证：． 【变式4-1】如图，已知：，，．求度数． 【变式4-2】如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【变式4-3】如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【题型5 确定等腰三角形的个数】 【例5】在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式5-1】如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-2】如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【题型6 尺规作等腰三角形】 【例6】如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高． 【变式6-1】如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式6-2】如图，为直线外一点，点，在直线上，已知为锐角．请用尺规作图法，在直线上求作一点，使得，（保留作图痕迹，不写作法） 【变式6-3】线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型7 等腰三角形的判定与性质】 【例7】如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点，若，求的度数． 【变式7-1】如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线EF交于点E，交于点O，交于点F，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【变式7-2】已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式7-3】如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【题型8 等腰三角形与全等三角形的综合】 【例8】如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【变式8-1】如图1，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接． (1)①求证：； ②求的度数； (2)如图2，若为中边上的高，，，请直接写出四边形的面积． 【变式8-2】【常见类型】 （1）如图1，已知：，且．求证：． 【变式拓展】 （2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，是等腰直角三角形，，为中点，交延长线于点于点． 求证：；． 【变式8-3】在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E． (1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证：； (2)在射线上取点G，使，连接，，与交于点H．如图2，若，，求线段的长． 1．等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（    ） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 2．如图，在中，，在上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（    ） A． B． C．或 D．或 4．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，已知…，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 6．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 7．如图，中，、分别平分和，过点平行于的直线分别交、于点、，已知，，的周长为 ． 8．如图，在中，是的平分线，且，是的中点，若，则 ． 9．如图，，，则 ． 10．已知等腰中，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 ． 11．（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形，并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）； （2）已知内角度数的两个三角形如图②、图③所示，能否分别画一条直线把他们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．     12．如图，在中，，点、、分别在边、、上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 13．如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． (1)求证：是的中点； (2)求证． 14．如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．    (1)试说明：； (2)若，求的度数． 15．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．    (1)如图1，当点D在线段上，且． ①证明：； ②证明：平分． (2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 等腰三角形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 等腰三角形的性质】 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”. 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”. 【知识点2 等腰三角形的判定】 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【知识点3 作一个等腰三角形】 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2） ①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 【题型1 利用等边对等角直接求角度】 【例1】如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，得到，再根据是的角平分线得到，然后利用三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-1】如图，中，，将折叠，使得点B与点A重合，折痕交于D，交于E，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠AEC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠的性质知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，为上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等边对等角的性质是解题关键．由等边对等角的性质可得，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， 【变式1-3】如图，在中，，是角平分线，是高，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的高与角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，是高，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴． 【题型2 方程思想求角度】 【例2】如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据三角形的内角和定理求得，再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求得，，再利用三角形的外角性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【变式2-1】如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，灵活运用等边对等角成为解题的关键． 由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，进而完成解答． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-2】如图，中，，垂直平分，垂直平分，则的度数为 ． 【答案】/ 度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得到，，，再根据三角形的内角和定理进行计算求解即可． 【详解】解： 垂直平分，垂直平分， ，， ， ，，， ，即， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，分别为边上的点，，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，设，由可得，即得，得到，进而可得，，再得到，最后根据列出方程即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 分类讨论思想求角度】 【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解决本题的关键．分别从此等腰三角形为锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵，， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴三角形的顶角为， 故选C． 【变式3-1】已知是的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．当高在等腰三角形外部时；当高在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：当高在等腰三角形外部时，如图： ， ， ， ， 是是的外角， ， ， ； 当高在等腰三角形内部时，如图： ， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或 【变式3-2】中，，边的垂直平分线交直线于点M，交于点D，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点，根据题意画出示意图是解题的关键．根据题意，分2种情况①点M在边上，②点M在延长线上，连接，利用线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的性质分别得到，，，设，结合图形利用三角形内角和定理列出方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：①若点M在边上，如图，连接， ， ， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， ； ②若点M在延长线上，如图，连接， ， ， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【变式3-3】如图，，点A在上，垂直平分分别交、于点B、C．点D在射线上，不与点O、B重合，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】或或 【分析】由线段垂直平分线的性质推出,由等腰三角形的性质得,由三角形的外角性质得到，当时，得到,求出，当时，得到,求出，当时，得到,由三角形内角和定理求出,即可得解． 【详解】解：垂直平分, , , , 由题意知在的延长线上， 当时， , ， 当时， , 当时， , , 的度数是或或. 【题型4 “三线合一”的应用】 【例4】如图，在中，点、在边上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作于点，由等腰三角形的性质可得，再求出，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：作于点， ， ， ， ，即， ， ． 【变式4-1】如图，已知：，，．求度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长到点E，使得，证明，得到，推出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点E，使得， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即点C为的中点， ， ， 是等腰三角形， 是底边上的中线， ， ． 【变式4-2】如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边对等角证明，运用三角形的内角和定理即可解决问题． （2）连接、；证明，得到，运用等腰三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，连接、； 在与中， ， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴垂直平分． 【变式4-3】如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等腰，可得，由题意知，，则，根据，计算求解即可； （2）如图，作于，则，证明，则，进而可得． 【详解】（1）解：∵以为底边向上作等腰， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5 确定等腰三角形的个数】 【例5】在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点C，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形． 【详解】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到8个． 故选：D． 【变式5-1】如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示，分以下情况讨论： ①当为等腰底边时，符合条件的点有个：； ②当为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：； ∴点的个数是个， 故选：A． 【变式5-2】如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点B，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个； ②当时，以点A为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个； ③当时，以点O为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个， ， 故选：D． 【变式5-3】如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 【题型6 尺规作等腰三角形】 【例6】如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，通过得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角． （1）先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求； （2）先作出的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，在角平分线上截取，过点作，分别交、于点、点，即得所求． 【详解】（1）解：作法：先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求； （2）解：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角， ②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即， ③作， ④作的角平分线， ⑤在上取点，使， ⑥过点作，分别交、于点、点， 【变式6-1】如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得，进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解． 【详解】解：如图， 根据作图可得 ∴ 【变式6-2】如图，为直线外一点，点，在直线上，已知为锐角．请用尺规作图法，在直线上求作一点，使得，（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质．作线段的垂直平分线交直线于点，再连接，得到，进而得到，推出，最后以为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，得到，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 【变式6-3】线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可． 本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握尺规作垂线的方法是解决问题． 【详解】解：连接，作的垂直平分线交于点，连接，则就是所求的以为底边的等腰三角形，如图： 【题型7 等腰三角形的判定与性质】 【例7】如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识： （1）根据角平分线的定义得，由平行线的性质得，，可得，可得出是等腰三角形； （2）由（1）知，得出，由角平分线定义得出，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分 ∴． ∵ ∴，． ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 【变式7-1】如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线EF交于点E，交于点O，交于点F，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，灵活运用中垂线的性质和等腰三角形的性质成为解题的关键． （1）根据中垂线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而说明是的中垂线可得，进而得到即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得，再根据中垂线的性质以及三角形的内角和可得；再根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的中垂线， ∴， ∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-2】已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 【变式7-3】如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)15° 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质． （1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得． （2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【详解】（1）证明：为线段的垂直平分线， ． ，点为的中点， 为线段的垂直平分线． ． ． ∴为等腰三角形． （2）解：，点为的中点， 为的平分线． ． ． ． ∵为等腰三角形， ． ． 【题型8 等腰三角形与全等三角形的综合】 【例8】如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式8-1】如图1，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接． (1)①求证：； ②求的度数； (2)如图2，若为中边上的高，，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)35 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用证明，即可证明结论；②由全等三角形的性质得到，由等腰直角三角形的性质得到，则由平角的定义得到，利用角的和差求出答案； （2）由得出，然后判定出，再得出，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可解答． 【详解】（1）①证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵均为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴； （2） ， ，， 在中，，， ， ， ， ∵，， ∴； 由（1）得， ∴四边形的面积的面积的面积 ． 【变式8-2】【常见类型】 （1）如图1，已知：，且．求证：． 【变式拓展】 （2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，是等腰直角三角形，，为中点，交延长线于点于点． 求证：；． 【答案】（1）详见解析 （2）①详见解析；②详见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）根据证明，即可得证； （2）①根据证明，即可得证； ②连接，过点作交于点，证明，可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的数量关系即可得证． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：①交延长线于点，于点， ， 为中点， ， ， ， ； ②如图，连接，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式8-3】在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E． (1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证：； (2)在射线上取点G，使，连接，，与交于点H．如图2，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键； （1）由余角的性质可得，再加上以及直角即可证明； （2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得，即可得到 ，，进一步可证明，得到；由可得，得到，得到 ，BG=2AE，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴， ，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴； ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 1．等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（    ） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 【答案】C 【分析】题目给出了一个外角等于，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当角为顶角的外角时，顶角为； ②当为底角的外角时，底角为， 顶角为，不符合题． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，解题的关键是做题时要注意分情况进行讨论． 2．如图，在中，，在上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是熟练进行逻辑推理．先设，由可知，，由可知，由三角形外角的性质可知，根据可知，再在中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得：． ∴． 故选：C． 3．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴不存在； 综上所述，或， 故选：D． 4．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【详解】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 5．如图，已知…，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探索，熟练掌握三角形的外角性质、等腰三角形的性质及不完全归纳法的运用是解题关键． 根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以写出前面几个的度数及其与顶点下标的关系,然后通过类比和不完全归纳法可以得到 ． 【详解】解：∵，， ， ∵， ∴ ， 同理可得： ，， ∴， ∴ 故选：C ． 6．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 7．如图，中，、分别平分和，过点平行于的直线分别交、于点、，已知，，的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分线的定义求解即可．证明三角形是等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴三角形的周长为． 故答案为：． 8．如图，在中，是的平分线，且，是的中点，若，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形角平分线、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形“三线合一”的性质是解题关键．根据三角形“三线合一”的性质可得，，进而可得，的值，再结合三角形角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，是的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，，，则 ． 【答案】/75度 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形的外角的性质逐一求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴． 故答案为：． 10．已知等腰中，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，三种情况画出对应的图形，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，再根据角度之间的关系进行求解即可． 【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段上， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段的延长线上， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当是钝角三角形时，点D在线段的延长线上， ∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为；或或． 11．（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形，并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）； （2）已知内角度数的两个三角形如图②、图③所示，能否分别画一条直线把他们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．     【答案】（1）见解析；（2）图②能，顶角分别是132°和84°，图③不能 【分析】（1）本题中，只要找到斜边中点，然后连接直角顶点和斜边中点，那么分成的两个三角形就是等腰三角形．那么只要作AC的垂直平分线就可以了．AC的垂直平分线与AB的交点就是AB的中点； （2）本题要先根据三角形的内角和求出另一角的度数，然后看看是否能分成等腰三角形，图2可以将∠B分成24°和48°．图3不能分成等腰三角形． 【详解】（1）作线段AC的垂直平分线，交于点，交于点；过点、作直线．直线即为所求．    理由：∵为的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴．             （2）图②能画一条直线把它分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是和．图③不能分割成两个等腰三角形．   . 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和三角形的内角和，等腰三角形的判定等知识点．注意本题作图中的理论依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 12．如图，在中，，点、、分别在边、、上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；三角形的内角和定理的应用，熟记基础图形的性质与判定是解本题的关键． （1）证明，可得，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先求解，证明，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， 在中，由三角形内角和定理，得 又， 的度数为． 13．如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． (1)求证：是的中点； (2)求证． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）连接，由直角三角形的性质可得，由是中线得，进而可得，即得，再根据三角形三线合一即可求证； （）由等腰三角形的性质得，，再根据三角形外角性质即可求证； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是的中点； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．    (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合线段的垂直平分线性质证明； （2）根据等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形中等边对等角原理，直角三角形的性质和三角形内角和定理计算． 【详解】（1）因为，点是的中点， 所以，所以是的垂直平分线， 所以， 因为是的垂直平分线，所以， 所以； （2）因为，点是的中点， 所以平分， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 15．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．    (1)如图1，当点D在线段上，且． ①证明：； ②证明：平分． (2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）①先证，根据即可证明；②根据等边对等角可证，根据可得，进而可证； （2）分①点D在线段上，②点D在射线上，③点D在射线上，分别加以讨论即可． 【详解】（1）证明：① ， ， ， 在和中， ， ； ② 中，， ， 由①得， ， ， 平分． （2）解：， ①点D在线段上，如图：    ， ， ， 在和中， ， ； ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在射线上时，如图：    ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在射线上时，如图：    同理可得 ， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$