第07讲 图形的轴对称（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

第07讲 图形的轴对称 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 轴对称图形的识别 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 题型3 数对称轴的条数 题型4 轴对称折叠问题 题型5 线段垂直平分线性质的应用 题型6 线段垂直平分线的判定证明 题型7 尺规作图（作垂直平分线/轴对称图形） 题型8 垂直平分线与角平分线的综合问题 题型9 动点、存在性综合题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 轴对称图形、两个图形成轴对称、对称轴、对称点、线段垂直平分线、尺规作图、坐标对称、轴对称性质 1. 区分轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，能准确识别对称轴、对称点。 2. 掌握轴对称的核心性质，理解线段垂直平分线的定义、性质与判定。 3. 熟练完成尺规作图：作对称轴、作线段垂直平分线、作轴对称图形。 4. 掌握平面直角坐标系内点关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律，会画坐标对称图形。 5. 运用轴对称、垂直平分线的性质进行线段、角度计算与几何证明。 学习重点：轴对称的概念与性质，线段垂直平分线的性质和判定，坐标对称规律，尺规作轴对称图形。 学习难点：辨析轴对称图形与两个图形成轴对称；利用轴对称性质和垂直平分线完成综合推理证明。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 轴对称图形 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 即时即练剪纸是中国民间传统艺术，观察下列四幅剪纸作品，其中属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 1.对称轴是一条直线，而不是射线或线段． 2.一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． 3.轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 知识点02 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 即时即练如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【方法总结】 轴对称和轴对称图形的性质 1.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 知识点03 线段垂直平分线 1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 即时即练到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 【方法总结】 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等。 题型1 轴对称图形的识别 【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【例2】下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 单个图形对折后重合→轴对称图形；两个图形沿直线对折后重合→成轴对称。牢记对称轴是直线。 【变式1-1】下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 【例1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【技巧归纳】 1.判断技巧：两个图形沿某条直线折叠后能完全重合，则这两个图形成轴对称；成轴对称的图形一定全等，全等图形不一定成轴对称。 2.求解技巧：利用轴对称核心性质 ——对应线段相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线，直接等量代换计算边长、角度。 3.识图要点：找准对称轴、对应点、对应边、对应角，不混淆对应元素。 【变式2-1】如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【变式2-2】如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 题型3 数对称轴的条数 【例1】下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 【例2】下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【技巧归纳】 沿不同方向逐一对折验证，做到不重不漏。熟记常见图形对称轴数量：角（1条）、等腰三角形（1条）、长方形（2条）、正方形（4条）、圆（无数条）。 【变式3-1】观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 【变式3-2】在下列图形中，（　　）的对称轴的条数最多． A．一般等腰三角形 B．长方形 C．等边三角形 D．正方形 题型4 轴对称折叠问题 【例1】如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 【例2】如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是______度． 【技巧归纳】 折叠本质是轴对称，折叠前后对应边、对应角相等，结合内角和、外角计算角度与线段。 【变式4-1】如图，在中，为边上的中线，把沿翻折到，与交于点E．若与的面积相等，．则________ 【变式4-2】如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． (1)折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） (2)若，，求的度数． 题型5 线段垂直平分线性质的应用 【例1】如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【例2】如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 【技巧归纳】 遇垂直平分线，直接转化为 “线段相等”，简化计算与证明。常结合周长计算。 【变式5-1】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【变式5-2】如图中，，是腰的垂直平分线，且的周长为，则___________． 题型6 线段垂直平分线的判定证明 【例1】如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【技巧归纳】 证明线段垂直平分线，需证明两个点到线段两端距离相等（两点确定一条直线）。 【变式6-1】如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【变式6-2】如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 题型7 尺规作图（作垂直平分线/轴对称图形） 【例1】在的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），的三个顶点都在格点上．         (1)在图1中，画一个格点，使与全等，并且使点P在内部； (2)在图2中，画一个格点，使与全等，并且使的一个顶点在一边的垂直平分线上． 【例2】如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 【技巧归纳】 严格遵循作图步骤，圆规半径规范，全程保留作图痕迹，最后书写结论。 【变式7-1】如图，已知点A，B以及直线l． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交直线l于点P（要求保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，M，N是直线l上的两点．若．求证：． 【变式7-2】如图，经过直线外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在的两旁． （2）以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．   （4）作直线． 则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为_____． 题型8 垂直平分线与角平分线的综合问题 【例1】如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹可知：是线段的垂直平分线且交于点D，是的平分线且交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】某数学兴趣小组进行如下探究： 如图，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即． 继续探究，如图，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即，________． (1)【猜想结论】___________； (2)【证明结论】请证明（）中你所猜想的结论； (3)【应用结论】如图，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接． 求证：垂直平分； 在图中画出边上的高（只需体现的位置），则___________．（无需证明） 【技巧归纳】 1.标条件：圈出题中角平分线、垂直平分线、垂直、相等线段/角，逐一标注； 2.作辅助线：按规则补线 —— 遇角平分线向两边作垂线，遇垂直平分线连接线上点与线段端点； 3.转等量：利用两个定理快速转化线段、角度，不用反复证全等； 4.套结论：结合三角形内角和、外角、周长、全等完成计算/证明。 【变式8-1】（1）如图1，于点D，．求证． （2）用（1）的结论证明下题：如图2，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点N，过N分别作交的延长线于点D，于点E，求证：． 【变式8-2】已知：如图，的平分线与的垂直平分线交于点，、，垂足分别为M、N，试探索与的大小关系，并说明理由． 题型9 动点、存在性综合题 【例1】如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（   ） A．12 B．19 C．24 D．48 【例2】在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 【技巧归纳】 1.抓住不变量：角平分线、垂直平分线的性质在动点运动中始终成立； 2.分类讨论：动点在角内 / 角外、线段上 / 延长线上，分别验证定理是否适用； 3.利用 “距离相等” 作为等量关系列等式求解。 【变式9-1】如图，在中，为边的中点，直线交于点，为直线上一动点，为直线上一动点，连接．若，则的最小值为___________． 【变式9-2】如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若是直线上一动点，是直线上一动点，，，则的最小值为___________． 1．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 2．如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（   ） A．3.6 B．4.8 C．6.4 D．8 3．如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 4．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 5．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处，若，则的度数是______． 6．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 7．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点，则的周长为__________． 8．如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 9．项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置． 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像． 1．到点和点的距离相等； 2．到和边的距离相等．    请按要求将图纸绘制，标注出点的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 10．如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 11．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 图形的轴对称 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 轴对称图形的识别 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 题型3 数对称轴的条数 题型4 轴对称折叠问题 题型5 线段垂直平分线性质的应用 题型6 线段垂直平分线的判定证明 题型7 尺规作图（作垂直平分线/轴对称图形） 题型8 垂直平分线与角平分线的综合问题 题型9 动点、存在性综合题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 轴对称图形、两个图形成轴对称、对称轴、对称点、线段垂直平分线、尺规作图、坐标对称、轴对称性质 1. 区分轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，能准确识别对称轴、对称点。 2. 掌握轴对称的核心性质，理解线段垂直平分线的定义、性质与判定。 3. 熟练完成尺规作图：作对称轴、作线段垂直平分线、作轴对称图形。 4. 掌握平面直角坐标系内点关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律，会画坐标对称图形。 5. 运用轴对称、垂直平分线的性质进行线段、角度计算与几何证明。 学习重点：轴对称的概念与性质，线段垂直平分线的性质和判定，坐标对称规律，尺规作轴对称图形。 学习难点：辨析轴对称图形与两个图形成轴对称；利用轴对称性质和垂直平分线完成综合推理证明。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 轴对称图形 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 即时即练剪纸是中国民间传统艺术，观察下列四幅剪纸作品，其中属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 【方法总结】 1.对称轴是一条直线，而不是射线或线段． 2.一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． 3.轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 知识点02 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 即时即练如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案； （2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴的周长． 【方法总结】 轴对称和轴对称图形的性质 1.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 知识点03 线段垂直平分线 1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 即时即练到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 【答案】B 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 【方法总结】 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等。 题型1 轴对称图形的识别 【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形 A、C、D图形都能找到一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，B图形找不到，故B图形不是轴对称图形． 【例2】下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 【技巧归纳】 单个图形对折后重合→轴对称图形；两个图形沿直线对折后重合→成轴对称。牢记对称轴是直线。 【变式1-1】下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 【变式1-2】下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 【例1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 【例2】如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质，逐一判断即可解答求解． 【详解】解：A、与关于直线l对称，，选项A正确，不符合题意； B、，，选项B正确，不符合题意； C、和关于直线对称，，不一定等于，选项C错误，符合题意； D、和△关于直线对称，垂直平分，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【技巧归纳】 1.判断技巧：两个图形沿某条直线折叠后能完全重合，则这两个图形成轴对称；成轴对称的图形一定全等，全等图形不一定成轴对称。 2.求解技巧：利用轴对称核心性质 ——对应线段相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线，直接等量代换计算边长、角度。 3.识图要点：找准对称轴、对应点、对应边、对应角，不混淆对应元素。 【变式2-1】如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即． 【变式2-2】如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【答案】F 【分析】根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，即可得出答案． 【详解】解：由题意，B，关于直线L对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∴此时点F满足条件． 题型3 数对称轴的条数 【例1】下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴条数，需明确各选项图形的对称轴数量，再通过比较得出结果． 【详解】解：∵等腰三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，圆有无数条对称轴． 又∵无数条5条4条3条， ∴对称轴条数最多的是圆， 故选：D． 【例2】下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和轴对称图形的对称轴条数问题，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：从左边起，第一幅图是轴对称图形，对称轴有2条； 第二幅图是轴对称图形，对称轴有2条； 第三幅图是轴对称图形，对称轴有2条； 第四幅图是轴对称图形，对称轴有3条． 故选：D． 【技巧归纳】 沿不同方向逐一对折验证，做到不重不漏。熟记常见图形对称轴数量：角（1条）、等腰三角形（1条）、长方形（2条）、正方形（4条）、圆（无数条）。 【变式3-1】观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 【答案】 （1）、（6） （2）、（5） （4） （3） （7）、（8） 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此求解即可． 【详解】解：没有对称轴的图形是（1）、（6）， 有一条对称轴的图形是（2）、（5）， 有两条对称轴的图形是（4）， 有三条对称轴的图形是（3）， 有三条以上对称轴的图形是（7）、（8）， 故答案为：（1）、（6）；（2）、（5）；（4）；（3）；（7）、（8）． 【变式3-2】在下列图形中，（　　）的对称轴的条数最多． A．一般等腰三角形 B．长方形 C．等边三角形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题关键是理解概念并熟记常见几何图形的对称轴数量． 根据轴对称图形的定义“平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴”判断即可得出结论． 【详解】解：A、一般等腰三角形有一条对称轴； B、长方形有两条对称轴； C、等边三角形有三条对称轴； D、正方形有四条对称轴； 故选：D． 题型4 轴对称折叠问题 【例1】如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，由翻折变换的性质可知，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴． 【例2】如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是______度． 【答案】 【分析】由平行线的性质知，再根据图b折叠计算出，依据图c折叠求出即可． 【详解】∵， ∴， ∵图b是将纸带沿折叠而成， ∴， ∵图c沿折叠而成， ∴． 【技巧归纳】 折叠本质是轴对称，折叠前后对应边、对应角相等，结合内角和、外角计算角度与线段。 【变式4-1】如图，在中，为边上的中线，把沿翻折到，与交于点E．若与的面积相等，．则________ 【答案】/128度 【分析】根据中线的性质和翻折的性质可得出，则，结合已知可求出，，证明，得出，结合，，求解即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的面积相等， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，，， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． (1)折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） (2)若，，求的度数． 【答案】(1)高 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）由折叠可知，即，即可求解； （2）先根据三角形外角的性质求出，根据折叠可知，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知， ， 折痕a是的高． （2）解：，， ， 由折叠可知， ， ． 题型5 线段垂直平分线性质的应用 【例1】如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例2】如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 【答案】8 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 【技巧归纳】 遇垂直平分线，直接转化为 “线段相等”，简化计算与证明。常结合周长计算。 【变式5-1】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 【变式5-2】如图中，，是腰的垂直平分线，且的周长为，则___________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得，继而得到，再根据三角形周长的定义得，可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 题型6 线段垂直平分线的判定证明 【例1】如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据尺规作图利用证明，可得结论； ②利用①的过程可得结论； ③利用直角三角形的性质和角平分线的定义进行判断； ④利用等角对等边得出相等的边，然后根据线段垂直平分线的判定定理得出结论． 【详解】解：①如图所示，连接， 由尺规作图可知，，且， ∴， ∴， 即平分， 故①正确； ②由①可得作图依据是, 故②错误； ③∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④由③可得， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 故④正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个． 【例2】如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 【技巧归纳】 证明线段垂直平分线，需证明两个点到线段两端距离相等（两点确定一条直线）。 【变式6-1】如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先证明是线段的垂直平分线，从而可得，再根据等边对等角得出，结合可求得，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质得出，进而求得； （2）先根据的周长为20，得到，结合，可得，再根据，，可得，进而得到，从而可求得． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 题型7 尺规作图（作垂直平分线/轴对称图形） 【例1】在的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），的三个顶点都在格点上．         (1)在图1中，画一个格点，使与全等，并且使点P在内部； (2)在图2中，画一个格点，使与全等，并且使的一个顶点在一边的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质作图即可； （2）根据网格特点作出的垂直平分线，再根据全等三角形的性质作图即可． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：直线l是的垂直平分线，所求三角形如图所示． 【例2】如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作图—垂直平分线的作图步骤，逐步作图即可； （2）延长到点E，使，连接，先推导出，得到，进而推导出，得到，可证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所作； （2）解：如图，延长到点E，使，连接， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【技巧归纳】 严格遵循作图步骤，圆规半径规范，全程保留作图痕迹，最后书写结论。 【变式7-1】如图，已知点A，B以及直线l． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交直线l于点P（要求保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，M，N是直线l上的两点．若．求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，画出中垂线，确定点即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：由作图可知，， 又∵， ∴， ∴． 【变式7-2】如图，经过直线外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在的两旁． （2）以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．   （4）作直线． 则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为_____． 【答案】、、、、、 【分析】连接、、、、、、、，由作图可得，，再结合等腰三角形的定义分析即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、、、、、、， 由作图可得：，， 故等腰三角形有、、、， 不一定是等腰三角形的为、、、、、． 题型8 垂直平分线与角平分线的综合问题 【例1】如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹可知：是线段的垂直平分线且交于点D，是的平分线且交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得，由作图可得平分，垂直平分，从而得出，，由等边对等角得出，求出的度数，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【例2】某数学兴趣小组进行如下探究： 如图，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即． 继续探究，如图，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即，________． (1)【猜想结论】___________； (2)【证明结论】请证明（）中你所猜想的结论； (3)【应用结论】如图，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接． 求证：垂直平分； 在图中画出边上的高（只需体现的位置），则___________．（无需证明） 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)见解析；． 【分析】（）根据角平分线的性质、三角形面积公式可得答案； （）过作于点，作于点，根据角平分线的性质可得，然后由，从而求证； （）连接，由得， 又， 从而得，又是的中点，则，所以，得点在垂直平分线上，然后证明，得，所以点在垂直平分线上，从而可证垂直平分； 根据高的定义画出高，然后延长交延长线于点，设，，则有，，再证明，所以，，通过，根据得出，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）证明：如图，过作于点，作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）证明：如图，连接， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， 又∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分； 如图，即为所求， 延长交延长线于点， 设，， 由得， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 1.标条件：圈出题中角平分线、垂直平分线、垂直、相等线段/角，逐一标注； 2.作辅助线：按规则补线 —— 遇角平分线向两边作垂线，遇垂直平分线连接线上点与线段端点； 3.转等量：利用两个定理快速转化线段、角度，不用反复证全等； 4.套结论：结合三角形内角和、外角、周长、全等完成计算/证明。 【变式8-1】（1）如图1，于点D，．求证． （2）用（1）的结论证明下题：如图2，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点N，过N分别作交的延长线于点D，于点E，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，垂直平分线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质． （1）证明，即可证明结论； （2）连接、，再根据已知条件可知，再根据全等三角形的判定即可得出． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：连接， 同理（1）得， 平分，，， ∴， 在和中，， ， ． 【变式8-2】已知：如图，的平分线与的垂直平分线交于点，、，垂足分别为M、N，试探索与的大小关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】题目主要考查角平分线的性质、垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用是解题关键． 连接，根据角平分线及垂直平分线的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质证明全等即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∵D为平分线上的点，、， ∴， ∴， ∴． 题型9 动点、存在性综合题 【例1】如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（   ） A．12 B．19 C．24 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了三线合一 ，中垂线的性质与判定，垂线段最短，作，根据等腰三角形三线合一的性质，与垂直平分线的性质定理得到，根据垂线段最短，得到，结合的最小值为，得到，根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接，作，垂足为，连接， ∵，是边的中线， ∴，， ∴是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线，且点F与点H重合时，有最小值，最小值为的长 ∵的最小值为， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 【答案】(1)绘图及说明见解析，5 (2)见解析 【分析】（1）画法：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N，根据作图直接写出的最小值即可； （2）过P作于点F，于点D，通过导角得到，则．再证明，得到由平行线间间距相等可得，则，即可证明垂直平分则． 【详解】（1）解：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N， ∵，E是中点， ∴， ∵，点是M关于的对称点， ∴，且点在上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴在中， ∴得到最小值为5； （2）解：过P作于点F，于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 由平行线间间距相等可得， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， 【技巧归纳】 1.抓住不变量：角平分线、垂直平分线的性质在动点运动中始终成立； 2.分类讨论：动点在角内 / 角外、线段上 / 延长线上，分别验证定理是否适用； 3.利用 “距离相等” 作为等量关系列等式求解。 【变式9-1】如图，在中，为边的中点，直线交于点，为直线上一动点，为直线上一动点，连接．若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，垂线段最短，求三角形的高；连接，，过点作于点，根据已知可得垂直平分，则，根据垂线段最短可得的最小值为的长，进而根据三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∵为边的中点，直线交于点， ∴， ∴ ∴的最小值为的长， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式9-2】如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若是直线上一动点，是直线上一动点，，，则的最小值为___________． 【答案】12 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识． 连接，过点A作于点H，求出，证明，当且仅当A、F、G三点共线时，，则当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时，据此即可求出答案． 【详解】解：连接，过点A作于点H， ∵，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线分别交于点，点， ∴， ∴， 当且仅当A、F、G三点共线时，， ∵点是直线上的一动点， ∴当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时， 即的最小值为12． 故答案为：12． 1．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 2．如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（   ） A．3.6 B．4.8 C．6.4 D．8 【答案】B 【分析】令与相交于点，由折叠的性质可得，且，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，令与相交于点， ， 由折叠的性质可得，且， ∵在中，已知，，，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 4．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：观察可知，只有D选项的图形能找到一条直线，使图形折叠后能够完全重合，是轴对称图形，其余图形都不是轴对称图形． 5．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处，若，则的度数是______． 【答案】/118度 【分析】先求出，由折叠的性质可得，最后再由平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴由折叠的性质可得， 由题意可得：， ． 6．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 【答案】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出的周长，再结合三角形三边关系得出当点、、在同一直线上时，的值最小为，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， ∴的周长最小值是． 7．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点，则的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得出，，则可求出的周长等于，从而可求出的周长． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 同理， ∴的周长， 故答案为：． 8．如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【答案】/112度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到，，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：∵点关于，的对称点， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：． 9．项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置． 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像． 1．到点和点的距离相等； 2．到和边的距离相等．    请按要求将图纸绘制，标注出点的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作边的垂直平分线和的平分线，两直线交于点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 10．如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】先根据折叠的性质可得折痕是的线段垂直平分线，再利用尺规作图作的线段垂直平分线，分别交于点D，交于点E，则即为所求。 【详解】解：如图，折痕即为所求. 11．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）证明见解析，的面积为12 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点H，可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点Q，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得；在线段上取点，使得，求出和，可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，分别是，的高， ∴． 故答案为：； （2）证明：如图2，于点H， 在和中， ， ∴， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，∵， ∴， 延长交的延长线于点Q， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 如图4，在线段上取点，使得， ∵， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $