第06讲 角的平分线（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

第06讲 角的平分线 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用角平分线定义求角度 题型2 尺规作角平分线（作图题） 题型3 运用角平分线性质证明线段相等 题型4 运用角平分线判定证明角平分线 题型5 角平分线+辅助线（作垂线）综合题 题型6 角平分线与全等三角形综合 题型7 多角平分线组合计算角度 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 角平分线、尺规作图、性质、判定、点到直线的距离、辅助线 1.理解角平分线的概念，会用尺规作一个已知角的平分线，掌握作图原理与步骤。 2.掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，并能运用定理进行计算和推理。 3.掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 4.能区分角平分线的性质与判定，结合全等三角形、平行线等知识综合解题。 5.学会遇角平分线作垂线的常用辅助线作法，规范书写几何证明过程。 学习重点：角平分线的尺规作图；角平分线的性质定理与判定定理的理解及直接应用。 学习难点：角平分线的尺规作图；角平分线的性质定理与判定定理的理解及直接应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 角平分线的定义 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何语言：若射线OC平分∠AOB，则：∠AOC =∠BOC =∠AOB。 3.补充：一个角有且只有一条角平分线。 即时即练如图，在中，，平分，交于点D，于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线定理，根据已知条件结合角平分线定理可得出，从而求得的值． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【方法总结】 1.角的平分线是射线；三角形的角平分线是线段，二者概念不同，不能混用表述。 2.把一个角分成两个相等的角的射线是角平分线。 知识点02 尺规作已知角的平分线 1.作图工具 无刻度直尺、圆规（禁止使用量角器） 2.已知、求作 已知：∠AOB 求作：射线OC，使OC平分∠AOB 3.作图步骤（标准四步） 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、E； 分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C； 过点O、C作射线OC。 结论：射线OC即为所求作的角平分线。 4.作图原理 连接DC、EC，由作图可知OD=OE，DC=EC，OC=OC， 根据SSS可证△ODC≌△OEC，因此∠DOC=∠EOC。 5.作图要求 全程保留作图痕迹； 第二步两弧半径必须大于DE，否则两弧无法相交。 即时即练下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：点到、两边距离相等， 点在的角平分线上， 由作法可知，选项C中 为 的角平分线，选项A、B、D均不符合题意． 【方法总结】 1.第一步半径长短适中，保证弧与角的两边有清晰交点即可。 2.第二步两弧半径必须大于DE，且两次画弧圆规半径保持一致，两弧交点必须落在角内部。 3.全程保留所有圆弧、交点等作图痕迹，不可擦除。 4.最后必须规范书写作图结论。 知识点03 角平分线的性质定理 1.定理内容：角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。 2.关键：距离指点到直线的垂线段长度。 3.几何语言: ∵OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E， ∴PD = PE 4.使用场景：已知角平分线 + 垂直，直接证明两条垂线段相等，无需再证全等。 即时即练如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．由已知结合角平分线的性质可得，，再根据三角形面积计算公式可求出的面积． 【详解】解：∵为的平分线，于E，于F， ∴， ∵，，， ∴． 【易错提醒】 1.这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； 2.该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； 3.使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； 4.运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点04 角平分线的判定定理（性质逆定理） 1.定理内容：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2.几何语言： ∵点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线上。 3.使用场景：已知垂线段相等+垂直，证明射线是角平分线。 即时即练如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， 平分． （2）解：由（1）得， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【易错提醒】 角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上。 题型1 利用角平分线定义求角度 【例1】已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 【答案】或 【分析】根据作图步骤可得为的角平分线，作时分两种情况，分别计算的度数即可． 【详解】解：由作图步骤可知，是的角平分线， ∵， ∴， 如图，当在内部时， ， 如图，当在内部时， ， ∴的度数为或． 【例2】如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【答案】 【分析】根据作图可得平分，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：由作图得平分， ∵， ∴， ∵， ∴． 【技巧归纳】 角平分线分角为两个相等的角，直接用∠半角=∠原角计算 【变式1-1】如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为： 【变式1-2】如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，过作于点，过作于点，根据角平分线的性质可得，然后分当在点右侧时，当在点左侧时两种情况，分别通过全等三角形的判定与性质即可求解，掌握以上知识点及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∵是的平分线， ∴， 当在点右侧时，如图，则， ∵， ∴， ∴，即， 当在点左侧时，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的度数为或， 故选：． 题型2 尺规作角平分线（作图题） 【例1】如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，为的平分线，，结合角平分线的性质可得，即可判断A选项；由已知条件可证明，可得，即可判断B选项；根据，，可得，即可判断D选项，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，为的平分线，， ， ． 故A选项正确，不符合题意； ，， ． ． 故B选项正确，不符合题意； 在中，， 在中，， ． 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出， 故C选项不正确，符合题意． 故选：C． 【例2】如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 【技巧归纳】 牢记四步作图法，圆规半径规范，保留全部作图痕迹，最后写结论。 【变式2-1】画一画，想一想：如图，已知， (1)请用尺规作出的角平分线．（要求：保留作图痕迹，不写做法） (2)你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出做法，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的步骤，逐步画出角平分线即可； （2）根据作的步骤，逐步画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为的角平分线； （2）解：如图， ①在射线上，利用三角板的同一条直角边作出， ②利用三角板作出，交于点E， ③连接， 则为的角平分线． 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的角平分线． 【变式2-2】如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由垂线段最短可得，当时，的值最小，再结合角平分线的性质定理即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：平分， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴由角平分线的性质定理可得，即的最小值为． 题型3 运用角平分线性质证明线段相等 【例1】已知：如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．求证：； 【答案】见解析 【分析】过点P作于D，根据角平分线的性质即可得到． 【详解】证明：过点P作于D， ∵和的角平分线相交于点P，且， ∴， ∴． 【例2】如图，在中，． (1)①在图1中作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求的面积． (2)如图2，平分，F是线段上一点，延交线段于H点，，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）①根据角平分线的作法作图即可； ②过点作于点，由角平分线的性质得到，再结合三角形面积公式求解即可． （2）过点分别作于，于，根据角平分线的性质可得，再证明，即可得证． 【详解】（1）①解：即为的平分线，如图所示． ②解：如图，过点作于点． ∵平分，，， ∴， ∴ ； （2）证明：过点分别作于，于． 平分， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， ， ． 【技巧归纳】 角平分线+双垂直⟹ 垂线段直接相等，省略全等步骤。 【变式3-1】如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为5． 【变式3-2】如图，四边形中，平分，，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为，的长为． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明△，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，再证，可得，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 题型4 运用角平分线判定证明角平分线 【例1】已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 【例2】已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【技巧归纳】 先证两条垂线段相等，结合垂直条件，判定射线为角平分线 【变式4-1】课本再现 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明 已知：如图，点在内部，，，垂足分别为，且．求证：点在的平分线上． (2)定理应用 如图，四边形中，，，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的补角相等，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明，所以，从而得证； （）过点作，，垂足分别是点，，由同角的补角相等得出，然后证明，所以，最后由角平分线的判定即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上； （2）证明：过点作，，垂足分别是点，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 【变式4-2】如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． （2）解：，，，且， ， ， ， ，故的面积为32． 题型5 角平分线+辅助线（作垂线）综合题 【例1】如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 【答案】2 【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此求解即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴点到直线的距离． 【例2】如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【答案】12 【分析】利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵， ． 又∵， ． 【技巧归纳】 见角平分线，立刻向角两边作垂线，构造相等线段，再结合全等解题。 【变式5-1】如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【变式5-2】如图，的外角和的平分线、相交于点P，于E且，若的周长为，，则的面积为________． 【答案】7.5 【分析】过点P作于F，作于G，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据，求出，然后求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点P作于F，作于G，连接， ∵和的平分线、交于P，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵的周长为15， ∴， ， ． 题型6 角平分线与全等三角形综合 【例1】如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 【答案】 ①②④⑤ 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点，证明是解此题的关键；根据角平分线的性质即可判断①；证明得到② ， 即可判断②，根据即可判断④，根据同角的余角相等即可判断⑤，并得到③错误． 【详解】解：∵，平分，， ∴，故①正确； 在和中， ∴， ∴ ， ∴平分，故②正确 ，故④正确； ∵ ∴，故⑤正确； ∵，而， ∴， ∴平分错误，故③错误； 综上所述，正确的有①②④⑤． 【例2】如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】如图作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，，再逐项分析即可得出结果． 【详解】解：如图：如图作于点，于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故（1）正确； ∴，即的值不变，故（2）正确； ∵，， ∴，， ∴，即四边形的面积不变，故（3）正确； ∵为定角， ∴，为定角， ∵， ∴的形状确定， ∵的长度变化， ∴的长度变化，故（4）错误； 综上所述，正确的有（1）、（2）、（3），共个． 【技巧归纳】 角平分线提供一组等角，结合公共边、垂直条件，用 AAS/ASA 证明三角形全等 【变式6-1】如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，结合，可得结论. 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴． （2）解：， 理由如下： ∵，     ∴． ∵，，  ∴． 【变式6-2】如图，点E，F分别在的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①过点P作于点H，根据角平分线性质得，再根据点P在的内部得点P在的平分线上，据此可对结论①进行判断；②依据“”判定和全等，和全等得，，由此得，进而得，据此可对结论②进行判断；③根据和全等，和全等得，，由此得，据此可对结论③进行判断；④设，则，，，由此可得，进而得当时，，依题意可知不一定等于，据此可结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点P作于点H，如图所示： 是的平分线，，， ， 是的平分线，，， ， ， 又点P在的内部， 点P在的平分线上， 平分，故结论①正确； ②，， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ， ，故结论②不正确； ③，， ，， ， 又， ，故结论③正确； ④设， 在中，， ，， ， 当时，，即当时，， 依题意可知：不一定等于， 不一定等于，故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是①③，共2个． 题型7 多角平分线组合计算角度 【例1】如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可知，，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，，垂足分别为， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴； ∵，平分， ∴，， ∵和的平分线分别为相交于点O，且，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【例2】如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 【技巧归纳】 多次利用角平分线分角，结合三角形内角和、外角性质分步计算。 【变式7-1】如图，中，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；其中正确的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别分析四个结论的正确性，利用三角形内角和、角平分线性质、全等三角形判定等知识逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的两条角平分线和相交于点P， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 如图，作于点Q，于点F，于点H， ∵平分，平分，与交于点P， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分，故②正确； 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故③错误； ∵，且， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 【变式7-2】如图，在中，，，，和的平分线交于点O，于点M，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．用角平分线的性质定理求得，再利用等积法求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 过O分别作的垂线，垂足为D、E，连接， ∵O是和的平分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 1．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵，的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图： ∵平分，，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴的最小值为． 2．如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（   ） A．8 B．20 C．28 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是在边与边的高线． 作边与边的高线，由角平分线的性质可得高线相等，再根据，可求解边的垂线的长度，由此可得边的垂线的长度，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作交于点E，交于点F，如图， ∵为的平分线，且，， ∴， ∵， 即，解得， ∴， ∴， 则． 故选：B ． 3．如图，是的角平分线，分别是的高，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理. 根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，根据三角形的面积公式即可得出. 【详解】解：A.∵是的角平分线，且分别是的高， ∴， 该选项正确，不符合题意； B.∵分别是的高， ∴， 由选项A得，， 又∵， ∴， ∴， 该选项正确，不符合题意； C.根据给出条件，不能得出，该选项错误，符合题意； D. 由选项A得，，且分别是的高， ∴， 该选项正确，不符合题意； 故选：C． 4．如图，中，，用尺规作如下操作：①在，上分别截取，使；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线交于点．若，为上一动点，则的最小值为（   ）． A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短．由作法可知，平分，由垂线段最短可知，当时有最小值，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作法可知，平分， 由垂线段最短可知，当时有最小值， ，， ，即的最小值为1， 故选：B． 5．如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 6．如图，在的平分线交于D．过C点作于G，交于E．过D点作于F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是________ ． 【答案】①③⑤ 【分析】此题主要考查角平分线的性质定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质和三角形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 由，得，再由三角形外角的性质得，得；根据角平分线的性质，得，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出；等量代换得，从而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 且， ∴，①正确； ∴， 又平分，，于F， ∴． ∵E到与的距离相等， ∴，③正确； ∵， ∴，⑤正确． 无法证明以及． 故答案为：①③⑤． 7．如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】在上截取线段，作，垂足为，容易证明，则．由垂线段最短可得，点、、都在垂线段上时，最小，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，作，垂足为， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴当点、、都在垂线段上时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 8．如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； （2）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 10．如图，在中，于D，平分． (1)若，且，求和的度数； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）先推导出，，得到，则，进而推导出，根据三角形的内角和即可求出的度数； （2）过点E作于点F，于点M，先推导出，求出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ， ， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点F，于点M，如图 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 解得， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 角的平分线 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用角平分线定义求角度 题型2 尺规作角平分线（作图题） 题型3 运用角平分线性质证明线段相等 题型4 运用角平分线判定证明角平分线 题型5 角平分线+辅助线（作垂线）综合题 题型6 角平分线与全等三角形综合 题型7 多角平分线组合计算角度 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 角平分线、尺规作图、性质、判定、点到直线的距离、辅助线 1.理解角平分线的概念，会用尺规作一个已知角的平分线，掌握作图原理与步骤。 2.掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，并能运用定理进行计算和推理。 3.掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 4.能区分角平分线的性质与判定，结合全等三角形、平行线等知识综合解题。 5.学会遇角平分线作垂线的常用辅助线作法，规范书写几何证明过程。 学习重点：角平分线的尺规作图；角平分线的性质定理与判定定理的理解及直接应用。 学习难点：角平分线的尺规作图；角平分线的性质定理与判定定理的理解及直接应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 角平分线的定义 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何语言：若射线OC平分∠AOB，则：∠AOC =∠BOC =∠AOB。 3.补充：一个角有且只有一条角平分线。 即时即练如图，在中，，平分，交于点D，于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【方法总结】 1.角的平分线是射线；三角形的角平分线是线段，二者概念不同，不能混用表述。 2.把一个角分成两个相等的角的射线是角平分线。 知识点02 尺规作已知角的平分线 1.作图工具 无刻度直尺、圆规（禁止使用量角器） 2.已知、求作 已知：∠AOB 求作：射线OC，使OC平分∠AOB 3.作图步骤（标准四步） 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、E； 分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C； 过点O、C作射线OC。 结论：射线OC即为所求作的角平分线。 4.作图原理 连接DC、EC，由作图可知OD=OE，DC=EC，OC=OC， 根据SSS可证△ODC≌△OEC，因此∠DOC=∠EOC。 5.作图要求 全程保留作图痕迹； 第二步两弧半径必须大于DE，否则两弧无法相交。 即时即练下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 1.第一步半径长短适中，保证弧与角的两边有清晰交点即可。 2.第二步两弧半径必须大于DE，且两次画弧圆规半径保持一致，两弧交点必须落在角内部。 3.全程保留所有圆弧、交点等作图痕迹，不可擦除。 4.最后必须规范书写作图结论。 知识点03 角平分线的性质定理 1.定理内容：角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。 2.关键：距离指点到直线的垂线段长度。 3.几何语言: ∵OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E， ∴PD = PE 4.使用场景：已知角平分线 + 垂直，直接证明两条垂线段相等，无需再证全等。 即时即练如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 1.这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； 2.该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； 3.使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； 4.运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点04 角平分线的判定定理（性质逆定理） 1.定理内容：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 2.几何语言： ∵点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线上。 3.使用场景：已知垂线段相等+垂直，证明射线是角平分线。 即时即练如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 【易错提醒】 角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上。 题型1 利用角平分线定义求角度 【例1】已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 【例2】如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【技巧归纳】 角平分线分角为两个相等的角，直接用∠半角=∠原角计算 【变式1-1】如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【变式1-2】如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 题型2 尺规作角平分线（作图题） 【例1】如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 【技巧归纳】 牢记四步作图法，圆规半径规范，保留全部作图痕迹，最后写结论。 【变式2-1】画一画，想一想：如图，已知， (1)请用尺规作出的角平分线．（要求：保留作图痕迹，不写做法） (2)你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出做法，并证明． 【变式2-2】如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．无法确定 B． C．1 D．2 题型3 运用角平分线性质证明线段相等 【例1】已知：如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．求证：； 【例2】如图，在中，． (1)①在图1中作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求的面积． (2)如图2，平分，F是线段上一点，延交线段于H点，，求证：． 【技巧归纳】 角平分线+双垂直⟹ 垂线段直接相等，省略全等步骤。 【变式3-1】如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3-2】如图，四边形中，平分，，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 题型4 运用角平分线判定证明角平分线 【例1】已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【例2】已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【技巧归纳】 先证两条垂线段相等，结合垂直条件，判定射线为角平分线 【变式4-1】课本再现 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明 已知：如图，点在内部，，，垂足分别为，且．求证：点在的平分线上． (2)定理应用 如图，四边形中，，，求证：平分． 【变式4-2】如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 题型5 角平分线+辅助线（作垂线）综合题 【例1】如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 【例2】如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【技巧归纳】 见角平分线，立刻向角两边作垂线，构造相等线段，再结合全等解题。 【变式5-1】如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【变式5-2】如图，的外角和的平分线、相交于点P，于E且，若的周长为，，则的面积为________． 题型6 角平分线与全等三角形综合 【例1】如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 【例2】如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论： （1）恒成立； （2）的值不变； （3）四边形的面积不变； （4）的长不变． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【技巧归纳】 角平分线提供一组等角，结合公共边、垂直条件，用 AAS/ASA 证明三角形全等 【变式6-1】如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【变式6-2】如图，点E，F分别在的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型7 多角平分线组合计算角度 【例1】如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 【例2】如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【技巧归纳】 多次利用角平分线分角，结合三角形内角和、外角性质分步计算。 【变式7-1】如图，中，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；其中正确的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】如图，在中，，，，和的平分线交于点O，于点M，则的长为________． 1．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（   ） A．8 B．20 C．28 D．34 3．如图，是的角平分线，分别是的高，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，用尺规作如下操作：①在，上分别截取，使；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线交于点．若，为上一动点，则的最小值为（   ）． A． B．1 C． D．2 5．如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 6．如图，在的平分线交于D．过C点作于G，交于E．过D点作于F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是________ ． 7．如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 8．如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 9．解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 10．如图，在中，于D，平分． (1)若，且，求和的度数； (2)若，，，，求的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $