第05讲 不等式与不等式组18题型6重难（暑假培优讲义）新八年级数学新教材人教版

第05讲 不等式与不等式组（培优讲义） 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 6 题型1 不等式 6 题型2 不等式解及解集的概念 7 题型3 在数轴上表示解集 9 题型4 不等式的性质及其应用 10 题型5 一元一次不等式的识别 11 题型6 解一元一次不等式 13 题型7 求一元一次不等式的特殊解 15 题型8 不等式与绝对值的综合应用 16 题型9 利用不等式的解集解含有字母常数的不等式 18 题型10 一元一次不等式组的识别 20 题型11 解一元一次不等式组 21 题型12求一元一次不等式组的特殊解 23 题型13 判断不等式（组）解的过程并改正 25 题型14 根据不等式组的解集求字母的范围 27 题型15 由实际问题列一元一次不等式 28 题型16 由实际问题列一元一次不等式组 30 题型17 一元一次不等式的实际应用 32 题型18 一元一次不等式组的实际应用 34 释疑惑·重难拓展 37 题型1 一元一次不等式与方程（组）的综合 37 题型2 一元一次不等式组与方程（组）的综合 39 题型3 利用不等式的整数解求取值范围 40 题型4 利用不等式组的整数解求取值范围 42 题型5 一元一次不等式（组）与新定义问题 43 题型6一元一次不等式（组）与方案选择问题 47 知中考·真题探源 51 练好题·提分培优 58 课标要点 1.了解不等式、不等式的解、解集的意义，能在数轴上表示不等式的解集。 2.掌握不等式的基本性质，能运用性质进行简单变形。 3.能解一元一次不等式，并能在数轴上表示解集。 4.能解由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，会用数轴确定解集。 5.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题。 析知识·讲要点 知识点01 不等式的定义 ★不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【注意】 1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2、不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应. 知识点02 不等式的解（解集）与解不等式 ★1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个. ★2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． 【注意】不等式的解集必须符合两个条件：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. ★3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式． ★4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． ★5、在数轴上表示不等式的解集： 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： （1）定边界点：在数轴上要标出原点和边界点,有等号边界点画实心圆点(表示包括这一点),无等号边界点 画空心圆圈(表示不包括这一点). （2）定方向：大于向右，小于向左. ★6、不等式解集的验证方法: 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 知识点03 不等式的性质 ★1、不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±c＞b±c； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或； ★2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． ★3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c． 知识点04 利用不等式的性质解简单不等式 ★1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化． ★2、应用时要注意把握两关： ①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 知识点05 一元一次不等式 ◆一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【概念解析】 （1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0. （2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． （3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点06 一元一次不等式的解法 ◆1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式． ◆2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 【注意】 （1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． （2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点07 一元一次不等式的应用 ◆1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． ◆2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． ◆3、列一元一次不等式解实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系. （2）设未知数：可直接设，也可间接设. （3）列出不等式. （4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 . （5）写出答案. 知识点08 一元一次不等式组 ★一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【注意】 一个一元一次不等式组包含三个条件： （1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式； （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； （3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个. 知识点09 一元一次不等式组的解集 ★1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 . ★2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共的部分. ★3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ） 不等式 组 数轴 表示 解集 解集 x＞a x＜a b＜x＜a 无 解 归纳 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 知识点10 一元一次不等式组的解法 ★1、解不等式：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. ★2、求一元一次不等式组解集的方法： ①分别求出各个不等式的解集； ②在数轴上寻找各不等式解集公共部分； ③写出不等式组的解集. ★3、一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点11 一元一次不等式组的实际应用 ★1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案． ★2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 剖题型·讲技巧 题型1 不等式 方法技巧 1. 识别：含 ＜、＞、≤、≥、≠ 的式子； 2. 判断：不含未知数也可以是不等式； 3. 易错：= 连接的是方程，不是不等式。 1．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子是不等式”即可逐一判断选项． 【详解】解：是用等号连接的等式，不符合不等式定义，A不符合要求； 没有连接不等号表示不等关系，不符合不等式定义，B不符合要求； 是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义，C符合要求； 是用等号连接的等式，不符合不等式定义，D不符合要求． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断选项，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式． 【详解】解：∵A选项满足所有三个条件，是一元一次不等式； B选项中未知数次数为2，不满足条件； C选项含有两个未知数，不满足条件； D选项中是分式，不等号左边不是整式，不满足条件． 3．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，即用不等号连接的式子是不等式，逐个判断式子，统计符合条件的个数即可求解． 【详解】解：∵ ①是等式，不含不等号，不属于不等式； ②是代数式，不含不等号，不属于不等式； ③是代数式，不含不等号，不属于不等式； ④含有不等号，属于不等式； ⑤含有不等号，属于不等式； ∴ 属于不等式的共有2个． 题型2 不等式解及解集的概念 方法技巧 1. 解：使不等式成立的未知数的值（具体数）； 2. 解集：所有解的范围（整体区间） 3. 区别：解是 “点”，解集是 “范围”； 4. 验证：代值检验是否成立。 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 3．（23-24七年级下·河南周口·期中）下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解的定义，准确计算是解题的关键，根据不等式解的定义分别判断①②③是否正确即可解答． 【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确； ②把代入不等式，成立，故是不等式的解，正确； ③不等式的解集为，正确． 故选C. 题型3 在数轴上表示解集 方法技巧 1. 边界：有等号画实心，无等号画空心； 2. 方向：大于向右，小于向左； 3. 口诀：实含空不含，大右小左。 1．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图所示，在数轴上表示了关于的某不等式的解集，则这个不等式可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可得这个不等式的解集为，与每个选项对比由此即可得结果． 【详解】解：根据数轴可得这个不等式的解集为， 选项A、该不等式的解集为，符合题意； 选项B、该不等式的解集为，不符合题意； 选项C、该不等式的解集为，不符合题意； 选项D、该不等式的解集为，不符合题意． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由不等式可知：解集在数轴上表示为． 3．（25-26八年级下·山西太原·期中）若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由数轴可知，左边端点是空心圆，右边端点是实心点，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是． 题型4 不等式的性质及其应用 方法技巧 1. 加减：同加同减，方向不变； 2. 乘除正数：方向不变； 3. 乘除负数：方向一定变号； 4. 字母讨论：含字母系数时，分正负讨论。 1．（2026·江苏无锡·二模）如果，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：由于不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，则，故A正确； 选项B：由于不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，则，故B错误； 选项C：由于不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，则，故C错误； 选项D：由于，移项得，故D错误． 2．（2026·山东济宁·二模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可根据不等式的基本性质逐一判断各选项，即可解答． 【详解】解：已知， 对A选项，不等式两边同时加1，不等号方向不变，得，A不成立； 对B选项，不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，B不成立； 对C选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得，C不成立； 对D选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，得 ，即 ，D成立． 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)若，则a__________b； 若，则a__________b； 若，则a__________b；（填“”、“”或“”） (2)这种比较大小的方法称为“求差法”，请尝试用这种方法比较与的大小． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据等式和不等式的基本性质逐一判断即可； （2）求出与的差，根据差的正负判断即可． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， ； ， ， ． （2）解： ， ， ． 题型5 一元一次不等式的识别 方法技巧 1. 四条件：整式、1 个未知数、次数为 1、系数≠0； 2. 排除：含分母未知数、未知数次数≥2、多未知数； 3. 形式：ax+b＞0（a≠0）。 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义判断各选项，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边为整式的不等式． 【详解】解：选项A 、 ，只含1个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式定义 选项B、 ，未知数次数为2，不符合定义 选项C 、 ，含有两个未知数，不符合定义 选项D 、 ，是分式，不是整式，不符合定义 ∴答案选A． 2．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1，不等号两边都是整式．根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； B、是分式，不是整式，不符合定义，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； D、未知数的次数为2，不符合定义，故该选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 题型6 解一元一次不等式 方法技巧 1. 步骤：去分母→去括号→移项→合并→化系数为 1； 2. 关键：去分母、化系数为 1 遇负数要变号； 3. 结果：写成 x＞a 或 x＜a。 1．（2026·浙江嘉兴·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：, 移项：， 合并同类项：， ∵是“”， ∴是实心原点， ∵是小于等于， ∴数轴上的线向左画． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再按照解一元一次不等式的基本步骤计算即可； （2）先去分母，再去括号，最后按照解一元一次不等式的基本步骤计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）解下列不等式： (1)； (2)； (3)解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2) (3)；不等式解集在数轴上表示见详解 【分析】（1）移项，合并，系数化1，求出不等式的解集， （2）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集， （3）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 解得：， 解集在数轴上表示如下： 题型7 求一元一次不等式的特殊解 方法技巧 1. 先求解集范围； 2. 再找整数、正整数、负整数、非负整数； 3. 数轴圈出，逐个列出，不重不漏。 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 【答案】；数轴见解析；正整数解为：1，2，3，4． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得， 这个不等式的正整数解为：1，2，3，4． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值． 【答案】 ，的最大整数值为 【详解】解：∵代数式与的差大于1， ∴， ， ， ， ； 则的最大整数值为． 3．（25-26七年级下·福建福州·阶段检测）解不等式并求出所有负整数解： 【答案】 不等式的解集为，所有负整数解为，，． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即不等式的解集为， 所有负整数解为，，． 题型8 不等式与绝对值的综合应用 方法技巧 1.先解不等式，确定 x 的取值范围. 2.判断绝对值内式子的正负. 3. 按 “正不变、负变号” 去绝对值，再化简计算. 1．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（　　） A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1 【答案】B． 【分析】由不等式的基本性质3可得a﹣1＜0，即a＜1，再利用绝对值的性质化简可得． 【详解】解：∵（a﹣1）x＞1可化为x， ∴a﹣1＜0， 解得a＜1， 则原式＝1﹣a﹣（2﹣a） ＝1﹣a﹣2+a ＝﹣1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 2．已知5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，化简|2x﹣1|﹣|1+2x| 【答案】2． 【分析】根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再根据x的取值范围去掉绝对值符号把代数式化简即可． 【详解】解：解不等式5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4， 去括号得，5x+5﹣3x＞4x+6+4， 移项得，5x﹣3x﹣4x＞6+4﹣5， 合并同类项得，﹣2x＞5， 系数化为1得，x． 故|2x﹣1|﹣|1+2x|＝1﹣2x+1+2x＝2． 【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是求出x的取值范围，再根据取绝对值符号的法则去掉绝对值符号． 3．阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据题中所给出的例子进行解答即可； （2）根据题中所给的实例列出关于的不等式组，求出其解集即可． 【详解】（1）解：的解集是， 不等式的解集为：． 故答案为：； （2）解：的解集是， 求的解集是， 可化为， 求的解集实质上是求不等式组， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键． 题型9 利用不等式的解集解含有字母常数的不等式 方法技巧 1. 把字母当常数，正常解不等式；2. 比较结果与已知解集，列等式 / 不等式；3. 重点：系数正负决定不等号方向，分类讨论。 1．（25-26七年级下·湖南常德·期中）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式的解集确定的符号，与的数量关系，再代入待解不等式，结合不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵ ， 移项得， 又∵该不等式的解集为 ， ∴，且 ， 可得， 由得， 将代入不等式，得， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集确定的符号，得到与的数量关系，再代入待求不等式，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：， 移项，得， ∵解集是， ∴，且，即， 将代入不等式，得，， 合并同类项，得， ∵， ∴两边同除以，得． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【答案】 【分析】根据已知条件，判断出，再求得不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集是， ，， ，整理得：， 把代入得，整理得：， ， ， ， ， ． 题型10 一元一次不等式组的识别 方法技巧 1. 条件：2 个及以上一元一次不等式、同一未知数； 2. 排除：含多元、高次、非整式； 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·单元测试）下列不等式组是一元一次不等式组的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式组的定义判定则可．由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组． 【详解】A. 是一元一次不等式组；    B. 中有2次项，故不是一元一次方程组； C. 中含有两个未知数，故不是一元一次方程组；    D. 中含有两个未知数，故不是一元一次方程组； 故选A. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的识别，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解答本题的关键，属于基础题． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型11 解一元一次不等式组 方法技巧 1. 分别解每个不等式； 2. 数轴表示，找公共部分 3. 口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了。 1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，列不等式组，即可作答． 【详解】第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，点在第二象限， ， 解不等式，解得， 解不等式，得， 取两个不等式解集的公共部分，得． 2．（2026·浙江舟山·一模）解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 【答案】，图见解析 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上画出两个解集，确定其公共部分即可． 【详解】解： 由①得： 解得； 由②得： 解得， ∴在数轴上表示两个不等式的解集如下： ∴不等式组的解集为：． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式得， 解不等式得， ， ， 则不等式组的解集为； （2）解： 解不等式得， ， 解不等式得， ， ， ， 则不等式组的解集为． 题型12求一元一次不等式组的特殊解 方法技巧 1. 先求不等式组解集； 2. 在解集内找整数、正整数等； 3. 数轴定位，写出所有符合条件的值。 1．（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它的所有的整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为1，2． 【分析】分别解两个不等式，求出解集，再找出整数解即可． 【详解】解：解不等式①得； 解不等式②得； 因此，不等式组的解集为， 所有整数解为1，2． 2．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）求不等式组的解集，并用数轴表示解集，写出最大整数解． 【答案】，数轴见解析，它的最大整数解是． 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示解集为： 则它的最大整数解是：． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解不等式组，并求出它所有非负整数解的和． 【答案】；3 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：， 非负整数解为：、、， 则所有非负整数解的和为． 题型13 判断不等式（组）解的过程并改正 方法技巧 1. 查步骤：去分母漏乘、去括号变号、移项忘变号； 2. 重点：乘除负数是否变号； 3. 按正确步骤重写，标注错误点。 1．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 (1)小明的解法是从第_________步开始出错的，第四步的依据是_________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)三，不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变） (2)见解析 【分析】（）根据解不等式的基本步骤逐一判断即可； （）根据解不等式的基本步骤解答即可； 本题考查了解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：小明的解法是从第三步开始出错的，第四步的依据是不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）， 故答案为：三，不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以，得． 2．（25-26八年级下·广东茂名·期中）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解不等式：． 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 任务： (1)上述过程中，第一步的依据是 ，第___步出现错误，具体错误是 ； (2)该不等式的解集应为______． 【答案】(1)不等式的性质；四；不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变 (2) 【分析】（1）第一步两边同时乘以正数20，是根据不等式的性质进行变形；结合一元一次不等式的解法逐步判断即可； （2）纠正错误后，得出正确的结果即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是不等式的性质； 第四步出现错误，具体错误是：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：． 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以，得． 3．（25-26九年级下·广东河源·阶段检测）解不等式组． 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①，得……………………第1步            ……………………第2步                   ……………………第3步                       ……………………第4步 (1)该同学的解答过程第___________步出现了错误，错误原因是____________，不等式①的正确解集是___________； (2)解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】(1)4；不等号的方向没有改变； (2)不等式②的解集：；不等式组的解集： 【详解】（1）解：不等式两边同除以同一个负数，不等号改变方向，第4步没有改变方向， ∴第4步出现了错误，错误原因是不等号方向没有改变， 解不等式：， ， ， ， ，即不等式①的正确解集是． （2）解不等式②：， ， ， ， ∴不等式组的解集为． 题型14 根据不等式组的解集求字母的范围 方法技巧 1. 把字母当常数，解不等式组； 2. 结合已知解集，画数轴定边界； 3. 端点：是否可取等号，单独验证。 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式组无解说明两个不等式没有公共解集，据此推导参数a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式没有公共解集， 可得． 2．（24-25八年级下·广东清远·月考）如果不等式组的解集是，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，求出每个不等式的解集，根据不等式的解集和不等式组的解集即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 故选：C． 3．（25-26七年级下·四川眉山·期中）若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解不等式组，得到用，表示的解集，再与已知解集的端点对应，求出，后代入计算． 【详解】解：已知， 解得， 由不等式组的解集为， 可得， 解得， 故． 题型15 由实际问题列一元一次不等式 方法技巧 1. 抓关键词：至少 (≥)、最多 (≤)、不超过 (≤)、不低于 (≥)； 2. 设未知数，列不等式； 3. 检验：结果符合实际意义（整数、正数）。 1．（2024秋•柯桥区期末）某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（　　） A．10x﹣（20﹣x）＞170 B．10x﹣（20﹣x）≥170 C．10x﹣5（20﹣x）＞170 D．10x﹣5（20﹣x）≥170 【答案】C． 【分析】利用小辉的得分＝10×答对题目数﹣5×答错或不答题目数，结合小辉的得分超过170分，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：10x﹣5（20﹣x）＞170． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 2．（2025春•杏花岭区校级期中）小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．210x+90（12﹣x）≥1.7 B．210x+90（12﹣x）≤1.7 C．210x+90（12﹣x）≥1700 D．210x+90（12﹣x）≤1700 【答案】C． 【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可． 【详解】解：根据题意列不等式为：210x+90（12﹣x）≥1700， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找出题目中的数量关系是解此题的关键． 3．（2024春•临汾期中）某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（　　） A．10x﹣5（20﹣x）＞80 B．10x﹣5（20﹣x）≤80 C．10x﹣5x≥80 D．10x﹣5（20﹣x）≥80 【答案】D． 【分析】据答对题的得分：10x；答错题的得分：﹣5（20﹣x），得出不等关系：得分不低于80分，列出一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意可列出的不等式为10x﹣5（20﹣x）≥80， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，要特别注意：答错或不答都扣5分，至少即大于或等于． 题型16 由实际问题列一元一次不等式组 方法技巧 1. 找两个不等关系； 2. 分别列不等式，组成组； 3. 解后取整数解，符合题意。 1．（2024春•阳江期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜6x+10＜4 B．0＜6x+10＜8x C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4 D．8x＜6x+10＜4 【答案】C． 【分析】设有x人，由于每位学生分6本书，则还剩10本书，则书有（6x+10）本；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本，就是书的本数6x+10﹣8（x﹣1）大于0，并且小于4，根据不等关系就可以列出不等式． 【详解】解：设有x人，则书有（6x+10）本，由题意得： 0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4， 故选：C． 【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 2．（2024春•郏县期中）用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】如果设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组． 【详解】解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物． ∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空， ∴装满的有x﹣1辆车， 由题意，得， 即：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，表示出货物总量，再根据题目中的关键语句列出不等式组． 3．（2024秋•沙坪坝区校级期末）某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车x辆，则下列不等式组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据“该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个”即可列出不等式组． 【详解】解：设租赁甲型客车x辆，则租赁乙型客车（10﹣x）辆， 根据题意得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，准确找出不等关系是解决问题的关键． 题型17 一元一次不等式的实际应用 方法技巧 1. 审题：找不等关系； 2. 设元、列不等式、求解； 3. 取舍：实际问题取整数、正数； 4. 常见：方案、费用、数量、分配。 1．（2025春•沈河区校级月考）为了满足生物实验实验考试需求，学校决定购买一批显微镜和光照培养箱．经市场调查，显微镜的价格为880元/台，光照培养箱的价格为600元/台．学校准备采购这两种器材共15台，且总费用不超过12000元，则最多可购买多少台显微镜？ 【答案】10 【分析】设购买x台显微镜，则购买（15﹣x）台光照培养箱，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过12000元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设购买x台显微镜，则购买（15﹣x）台光照培养箱， 根据题意得：880x+600（15﹣x）≤12000， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为10． 答：最多可购买10台显微镜． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 2．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)场 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案． 【详解】（1）解：设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． （2）解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得：． ∴至少胜5场． 3．（25-26七年级下·山东济南·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物，方案一购买书本所需要的费用为，方案二购买书本所需要的费用为，请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用： (2)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)当时，选择方案二；当时，选择方案一；当时，选择两种方案都可 【分析】（1）根据两种优惠方案，进行列式，即可作答； （2）根据题意分别列出不等式和方程求解． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； （2）解：当时，解得：， 当时，选择方案二； 当时，解得：， 当时，选择方案一； 当时，解得， 当时，选择两种方案都可． 题型18 一元一次不等式组的实际应用 方法技巧 1.找两个限制条件； 2.列组、求解集、找整数解； 3.选最优：成本最低、数量最多等； 4. 作答：写完整答案。 1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)方案1：生产A产品2件，B产品8件；方案2：生产A产品3件，B产品7件；方案3：生产A产品4件，B产品6件 (2)生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元 【分析】（1）设生产A种产品件，则生产B种产品件，根据“工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元”列不等式组求解即可； （2）根据（1）中方案分别计算利润，比较即可； 【详解】（1）解：设生产A种产品件，则生产B种产品件（为非负整数）， 根据题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴， 对应三种生产方案：方案1：生产A产品2件，B产品8件； 方案2：生产A产品3件，B产品7件； 方案3：生产A产品4件，B产品6件； （2）解：方案1：总利润（万元）， 方案2：总利润（万元）， 方案3：总利润（万元）， ∵， ∴生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品2包 (2)共有2种配餐方案：A种食品7包，B种食品1包和A种食品8包，B种食品0包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，列出方程组和不等式组是解题的关键； （1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各配餐方案． 【详解】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 由题意得， 解得， 即应选用A种食品3包，B种食品2包； （2）解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， ∴， ∴共有2种配餐方案：A种食品7包，B种食品1包和A种食品8包，B种食品0包． 3．（25-26七年级下·上海·期中）为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． (1)每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 【答案】(1)每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元 (2)购进A种徽章的个数是40个 【分析】（1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是个． 释疑惑·重难拓展 题型1 一元一次不等式与方程（组）的综合 1．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求a的值． 【答案】 【详解】解：， ， 解得， ∴不等式的最小整数解为， 把代入，得， 解得． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先解方程得到，再根据方程的解为非负数得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 方程的根是非负数， 解得． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】先求得不等式的最小整数解为．代入一元一次方程求得，再代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式，得． ∴不等式的最小整数解为． ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴将代入方程，得， 解得． ∴． 题型2 一元一次不等式组与方程（组）的综合 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于x，y的方程组，且x，y满足．求a的取值范围． 【答案】 【分析】求出方程组的解，进而求出，再根据已知列出关于a的不等式组解答即可求解； 【详解】解：解二元一次方程组，得 ， ∴， ∴， 解得； 2．（25-26七年级下·北京昌平·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先利用加减消元法求出的值，再根据建立一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， ∴， 解得． 3．（25-26七年级下·湖南永州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数m的取值范围． (2)在（1）的条件下，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把①和②相加，整理后根据列出关于的不等式求解即可； （2）根据（1）中所得，化简绝对值即可计算． 【详解】（1）解：， 由①②，可得， ∴， ∵， ∴，解得； （2）解：∵， ∴ ． 题型3 利用不等式的整数解求取值范围 1．（25-26七年级下·北京·期中）一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确非负整数的定义，再根据不等式有且只有两个非负整数，确定符合条件的非负整数，进而推导的取值范围。 【详解】解：∵非负整数为 ，不等式的解集有且只有两个非负整数， ∴符合条件的两个非负整数只能是和， ∵解集需要包含和，且不能包含下一个非负整数， ∴可得． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如果不等式只有个正整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解不等式得到的取值范围，再确定个正整数解的具体值，据此得到的取值范围． 【详解】解：， 移项，得， ∵该不等式只有个正整数解， ∴正整数解为，，， ∴的取值范围为． 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】a为19或20或21 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为19或20或21． 题型4 利用不等式组的整数解求取值范围 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有3个整数解，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， 不等式组的解集为 ； 不等式组有且只有3个整数解， 3个整数解为，可得：， 不等式两边同乘得：， 移项得：， 系数化为得：． 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解得，则可得关于的不等式组的个整数解是、、、，然后列出不等式组即可求出的取值范围． 【详解】解：， ， ， ∴关于的不等式组的个整数解是、、、， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 3．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 题型5 一元一次不等式（组）与新定义问题 1．（2026·江西宜春·二模）定义一种运算，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则列出正确的一元一次不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】解： ，， ∴， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 解得． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）定义一种法则“”如下：，如：，若，则的值为____． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，分两种情况列出等式，结合每种情况的取值范围检验，舍去不符合条件的解，即可得到的值． 【详解】解：根据新定义的运算法则，分两种情况讨论： 情况1：当，解不等式得， 根据法则可得 ， 因此列方程得， 解得，满足，符合条件； 情况2：当，解不等式得， 根据法则可得 ， 因此列方程得， 解得，不满足，舍去； 综上，的值为． 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 或 (3) 【分析】（1）先求出不等式①、②、③的解集，判断即可； （2）先求出方程组的解和的值，根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可； （3）先求出方程和解不等式组，求出n的范围，根据正整数“梦想解”的和为10，得出，最后可得答案． 【详解】（1）解：解①得：，故不是①的“梦想解”， 解②得：，故不是②的“梦想解”， 解③得：，故是③的“梦想解”， 是方程和不等式③的“梦想解”； （2）解方程组，得， ， 方程组的解是不等式组的“梦想解”， ， 解不等式组得：， 为整数， 或； （3）解方程：，得：， 解不等式组，得：， 关于x的方程和关于x的不等式组有“梦想解”， ， 解不等式组得：， 因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1，2，3，4， ，解得：， 综上：． 4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组．的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组．的“关联方程”． (1)方程_____（填“是”或“不是”）不等式组．的“关联方程”； (2)关于x的方程是不等式组．的“关联方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有2个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有2个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 解得， 解不等式组， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵在的范围内， ∴方程是不等式组．的“关联方程”； （2）解：， 解得， ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 ∴， 解得， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 解得， ∴． 题型6一元一次不等式（组）与方案选择问题 1．（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）某加工厂加工一批定长板材，已知若采用方案一：用4台A型设备和8台B型设备，每天可加工136件；若采用方案二：用7台A型设备和6台B型设备，每天可加工142件． (1)求1台A型设备和1台B型设备每天分别可以独立加工多少件？ (2)该工厂计划采购A，B两种设备共15台，要求A型设备数量不低于B型设备的，且每天加工的数量不少于168件，共有几种采购方案？哪种方案最省钱？（已知A型设备单价1万元，B型设备单价0.8万元） 【答案】(1)1台A型每天加工件，1台B型每天加工件 (2)共有两种方案，方案 1：A型5台，B型10台； 方案 2：A型6台，B型9台；方案1最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）设1台A型每天加工x件，1台B型每天加工y件，根据题意列二元一次方程组解答即可； （2）设采购A型m台，则B型台，根据题意列一元一次不等式组解答即可； 【详解】（1）解：设1台A型每天加工x件，1台B型每天加工y件， 根据题意得方程组：， 解得 答：1台A型每天加工件，1台B型每天加工件． （2）解：设采购A型m台，则B型台， 得不等式组：， 解得，， ∴ ∵m为整数，则或， 共 2 种方案，方案 1：A型5台，B型10台，费用万元； 方案 2：A型6台，B型9台，费用万元； 故方案 1最省钱． 2．“疫情无情，人间有爱”．为扎实做好复工复课工作，教育局准备租借甲、乙两种型号的车为全市各中小学配送防疫物资．已知2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨． (1)1辆甲型车和1辆乙型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ (2)教育局现有防疫物资37吨需要配送，计划同时租用甲、乙两种型号车共10辆（都要有），一次运完．若设甲型车租了m辆，请你帮教育局设计租车方案； (3)在题（2）的条件下，若1辆甲型车需租金100元/次，1辆乙型车需租金120元/次．设租车总费用为Q元，请用含m的代数式表示Q，并确定哪一种租车方案的费用最少，最少租车费用是多少？ 【答案】(1)1辆甲型车满载物资时一次运3吨，1辆乙型车满载物资时一次运4吨 (2)方案一：租甲型车1辆，乙型车9辆；方案二：租甲型车2辆，乙型车8辆；方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆 (3)，方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆的费用最少，最少为1140元 【分析】（1）设1辆甲型车满载物资时一次运x吨，1辆乙型车满载物资时一次运y吨．根据2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨建立方程组求解即可； （2）设租借甲型车m辆，则租借乙型车辆，根据运送的物资不低于37吨建立不等式求出m的取值范围即可得到答案； （3）分别求出租用甲型车和乙型车的费用，二者求和可表示出Q，再根据（2）所求代入对应的m的值求出三种方案的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设1辆甲型车满载物资时一次运x吨，1辆乙型车满载物资时一次运y吨． 根据题意，得 解得 答：1辆甲型车满载物资时一次运3吨，1辆乙型车满载物资时一次运4吨． （2）解：设租借甲型车m辆，则租借乙型车辆． 由题意得：， 解得 又∵同时租借甲乙两型号车（都要有）， ， ∵m为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：方案一：租甲型车1辆，乙型车9辆；方案二：租甲型车2辆，乙型车8辆；方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆； （3）解：由题意得， 方案一的费用：（元） 方案二的费用：（元） 方案三的费用：（元）， ∵， ∴方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆的费用最少，最少为1140元． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）综合实践：为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具．若购买个鲁班锁和个九连环需要元；购买个鲁班锁和个九连环需要 元． 【基础设问】 （1）每个鲁班锁和每个九连环各多少元? （2）学校决定购买这两种活动道具共个，总费用不超过元，那么学校最多可以购买多少个鲁班锁? 【能力设问】 （3）学校决定再次购买这两种活动道具共个且购买鲁班锁的数量不少于九连环数量的倍，恰逢商场进行促销优惠活动鲁班锁打八五折销售，九连环售价不变，若学校准备用不超过元的资金购买这两种活动道具，请给出相应的购买方案． （4）若该兴趣小组只需要鲁班锁，购买时商家给出两种优惠方案，方案一：所有鲁班锁按售价打八折；方案二：免费赠送个鲁班锁，其他鲁班锁均打九折，购买鲁班锁的数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算? 【答案】（）鲁班锁元，九连环元；（）最多买个；（）方案：购买九连环个，鲁班锁个；方案：购买九连环个，鲁班锁个；方案：购买九连环个，鲁班锁个；方案：购买九连环个，鲁班锁个；（）时，方案一更划算． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一元一次不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设每个鲁班锁元，每个九连环元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设购买鲁班锁个，则九连环个，根据题意得，求出的范围即可求解； （）设购买九连环个，则鲁班锁个，根据题意得，解得，然后取的整数值即可求解； （）设购买鲁班锁个，根据题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设每个鲁班锁元，每个九连环元， 根据题意得，，解得：， 答：每个鲁班锁元，每个九连环元； （）设购买鲁班锁个，则九连环个， 根据题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴学校最多可以购买个鲁班锁； （）设购买九连环个，则鲁班锁个， 根据题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或或或， ∴方案：购买九连环个，鲁班锁个； 方案：购买九连环个，鲁班锁个； 方案：购买九连环个，鲁班锁个； 方案：购买九连环个，鲁班锁个； （）设购买鲁班锁个， 根据题意得：，解得：， 答：购买鲁班锁的数量大于时，按方案一购买比按方案二购买要划算． 知中考·真题探源 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 2．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】C 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有_______个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 6．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 7．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【详解】（1）解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； （2）移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 故答案为：． 8．（2025·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【答案】不等式组的解集为，它的所有负整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为，它的所有负整数解为． 9．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 练好题·提分培优 1．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意； B、包括，故该选项不符合题意； C、包括，故该选项不符合题意； D、包括，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知不等式的解集为，则这个解集在数轴上的表示正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】在数轴上表示不等式的解集，掌握“大于向右，小于向左，有等号画实心，无等号画空心”的原则． 【详解】解：把，在数轴上表示如图所示．    3．（2025·河北邢台·三模）不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了解不等式、解集的表示．根据数轴表示的不等式解集，与不等式的解集对比即可得到答案． 【详解】解：由题意，得解集为． ∵， 则， ， ， 故选B． 4．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解关于的一元一次方程，得到用含的式子表示，再根据“解是非负数”列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程 ， 移项得：， 合并同类项：， 系数化为 1：， 方程的解是非负数， ， 即， 解得：． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）“五一”期间，某商场推出一款蓝牙耳机，进价为元/个，标价为元/个．为了吸引顾客，商场决定打折销售，但要保证每件商品的利润率不低于，该耳机最多可以打几折，下列选项正确的是（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】C 【分析】根据利润率不低于的条件，列不等式，求解即可得到最大折扣． 【详解】解：设该耳机打折销售，则售价为元，根据题意，得 ， 整理得， 解得， 即该耳机最多可以打折． 6．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【答案】B 【分析】根据不等式各部分的实际意义，结合x表示原同学人数，分析不等式中每个代数式对应的实际含义，即可判断横线上的条件． 【详解】解：∵设有名原同学，给出的不等式为 ， ∴代表每人分本，代表比原人数多个人，即可以多分给个人， ∴横线上的条件为每人分本，则恰好可多分给个人． 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式组，得到，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式；再解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得， ， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先化简不等式组，然后再根据不等式组无解确定m的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式组可化为， ∵该不等式组无解， ∴． 9．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 10．（2026八年级·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有个，则的取值范围是； ④若它有解，则． 则结论正确的是___________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，关键在于先分别解出两个不等式，再根据解集的不同情况（给定解集、无解、整数解个数、有解）反推参数的取值或范围．先解出不等式组的解集为，再结合不同条件逐一分析参数的取值，进而判断各个结论的正确性． 【详解】解： 解不等式①，得： 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 解不等式②，得： 移项，得， 系数化为，得， 因此不等式组的解集为； ①若解集为，则， 解得，故①正确； ②当时，， 此时不等式组为，不存在满足条件的，不等式组无解，故②正确； ③若不等式组的整数解仅有个，因为，所以整数解为， 因此可得， 不等式三边同乘，得， 三边同加，得，与给出的不符，故③错误； ④若不等式组有解，则需满足， 解得，即，故④正确； 综上，正确结论为①②④． 故答案为①②④． 12．（2026·重庆·一模）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】 ；；；， 【分析】分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解不等式， 两边同乘去分母得， 化简得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 所以，原不等式组的解集为， 所以，原不等式组的整数解为，． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查求一元一次不等式（组）的解集与整数解． （1）根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并，逐步计算即可； （2）分别求出一元一次不等式①，②的解集，再求出它们的公共部分，最后求出x的整数解即可． 【详解】解：（1）去括号，得 ， 移项并合并，得 ， 系数化为1，得 ． 将不等式的解集在数轴上表示如图： （2） 解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式组的解集为， ∴x的整数解为． 14．（25-26七年级下·河南开封·期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出方程组的解，再根据“为负数，为非正数”列不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质得到，进而求出的取值范围，再求整数解即可． 【详解】（1）解：解方程组得 ∵为负数，为非正数， （2）解：∵ ∴ ∵的解集为 当为或时，不等式的解集为． 15．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程用含k的式子表示x、y，根据方程组的解都是非负数得出关于k的不等式组，解之可得； （2）把（1）中方程组的解代入，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴， ∵方程组的解都是非负数， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：． 16．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于x、y的方程满足方程组，若x、y均为非负数． (1)求m的取值范围； (2)化简式子． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解方程组可得，然后根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）先判断和的正负，然后根据绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：， 解得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 17．（25-26七年级下·山东济南·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物，方案一购买书本所需要的费用为，方案二购买书本所需要的费用为，请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用： (2)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)当时，选择方案二；当时，选择方案一；当时，选择两种方案都可 【分析】（1）根据两种优惠方案，进行列式，即可作答； （2）根据题意分别列出不等式和方程求解． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； （2）解：当时，解得：， 当时，选择方案二； 当时，解得：， 当时，选择方案一； 当时，解得， 当时，选择两种方案都可． 18．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某商场准备购进、两种类型的便携式风扇到嘉家超市出售．已知台型风扇和台型风扇进价共元，台型风扇和台型风扇进价共元． (1)求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？ (2)商场准备购进这两种风扇共台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，商场准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的倍，购进、两种风扇的总金额不超过元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】(1)型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元 (2)共有种进货方案，方案：购进型风扇台，型风扇台的费用最低，最低费用为元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用． （1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，根据题意列出二元一次方程组求解风扇单价； （2）设购进型风扇台，则购进型风扇台，根据题意列出不等式组确定进货方案，并根据单价判断最低费用方案． 【详解】（1）解：设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元， 依题意，得：， 解得：． 答：型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元． （2）解：设购进型风扇台，则购进型风扇台，依题意， 得， 解得：， 又为正整数， 可以取、、、， 共有种进货方案， 方案：购进型风扇台，型风扇台； 方案：购进型风扇台，型风扇台； 方案：购进型风扇台，型风扇台； 方案：购进型风扇台，型风扇台． 型风扇进货的单价大于型风扇进货的单价， 方案：购进型风扇台，型风扇台的费用最低，最低费用为元． 答：共有种进货方案，方案：购进型风扇台，型风扇台的费用最低，最低费用为元． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 不等式与不等式组（培优讲义） 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 6 题型1 不等式 6 题型2 不等式解及解集的概念 6 题型3 在数轴上表示解集 7 题型4 不等式的性质及其应用 8 题型5 一元一次不等式的识别 8 题型6 解一元一次不等式 9 题型7 求一元一次不等式的特殊解 10 题型8 不等式与绝对值的综合应用 11 题型9 利用不等式的解集解含有字母常数的不等式 12 题型10 一元一次不等式组的识别 13 题型11 解一元一次不等式组 13 题型12求一元一次不等式组的特殊解 14 题型13 判断不等式（组）解的过程并改正 15 题型14 根据不等式组的解集求字母的范围 17 题型15 由实际问题列一元一次不等式 18 题型16 由实际问题列一元一次不等式组 19 题型17 一元一次不等式的实际应用 20 题型18 一元一次不等式组的实际应用 21 释疑惑·重难拓展 23 题型1 一元一次不等式与方程（组）的综合 23 题型2 一元一次不等式组与方程（组）的综合 24 题型3 利用不等式的整数解求取值范围 24 题型4 利用不等式组的整数解求取值范围 25 题型5 一元一次不等式（组）与新定义问题 25 题型6一元一次不等式（组）与方案选择问题 26 知中考·真题探源 28 练好题·提分培优 31 课标要点 1.了解不等式、不等式的解、解集的意义，能在数轴上表示不等式的解集。 2.掌握不等式的基本性质，能运用性质进行简单变形。 3.能解一元一次不等式，并能在数轴上表示解集。 4.能解由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，会用数轴确定解集。 5.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题。 析知识·讲要点 知识点01 不等式的定义 ★不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【注意】 1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2、不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应. 知识点02 不等式的解（解集）与解不等式 ★1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个. ★2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． 【注意】不等式的解集必须符合两个条件：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. ★3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式． ★4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． ★5、在数轴上表示不等式的解集： 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： （1）定边界点：在数轴上要标出原点和边界点,有等号边界点画实心圆点(表示包括这一点),无等号边界点 画空心圆圈(表示不包括这一点). （2）定方向：大于向右，小于向左. ★6、不等式解集的验证方法: 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 知识点03 不等式的性质 ★1、不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±c＞b±c； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或； ★2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． ★3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c． 知识点04 利用不等式的性质解简单不等式 ★1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化． ★2、应用时要注意把握两关： ①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 知识点05 一元一次不等式 ◆一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【概念解析】 （1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0. （2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． （3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点06 一元一次不等式的解法 ◆1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式． ◆2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 【注意】 （1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． （2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点07 一元一次不等式的应用 ◆1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． ◆2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． ◆3、列一元一次不等式解实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系. （2）设未知数：可直接设，也可间接设. （3）列出不等式. （4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 . （5）写出答案. 知识点08 一元一次不等式组 ★一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【注意】 一个一元一次不等式组包含三个条件： （1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式； （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； （3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个. 知识点09 一元一次不等式组的解集 ★1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 . ★2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共的部分. ★3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ） 不等式 组 数轴 表示 解集 解集 x＞a x＜a b＜x＜a 无 解 归纳 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 知识点10 一元一次不等式组的解法 ★1、解不等式：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. ★2、求一元一次不等式组解集的方法： ①分别求出各个不等式的解集； ②在数轴上寻找各不等式解集公共部分； ③写出不等式组的解集. ★3、一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点11 一元一次不等式组的实际应用 ★1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案． ★2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 剖题型·讲技巧 题型1 不等式 方法技巧 1. 识别：含 ＜、＞、≤、≥、≠ 的式子； 2. 判断：不含未知数也可以是不等式； 3. 易错：= 连接的是方程，不是不等式。 1．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2 不等式解及解集的概念 方法技巧 1. 解：使不等式成立的未知数的值（具体数）； 2. 解集：所有解的范围（整体区间） 3. 区别：解是 “点”，解集是 “范围”； 4. 验证：代值检验是否成立。 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 3．（23-24七年级下·河南周口·期中）下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 题型3 在数轴上表示解集 方法技巧 1. 边界：有等号画实心，无等号画空心； 2. 方向：大于向右，小于向左； 3. 口诀：实含空不含，大右小左。 1．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图所示，在数轴上表示了关于的某不等式的解集，则这个不等式可能是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山西太原·期中）若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 题型4 不等式的性质及其应用 方法技巧 1. 加减：同加同减，方向不变； 2. 乘除正数：方向不变； 3. 乘除负数：方向一定变号； 4. 字母讨论：含字母系数时，分正负讨论。 1．（2026·江苏无锡·二模）如果，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济宁·二模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)若，则a__________b； 若，则a__________b； 若，则a__________b；（填“”、“”或“”） (2) 这种比较大小的方法称为“求差法”，请尝试用这种方法比较与的大小． 题型5 一元一次不等式的识别 方法技巧 1. 四条件：整式、1 个未知数、次数为 1、系数≠0； 2. 排除：含分母未知数、未知数次数≥2、多未知数； 3. 形式：ax+b＞0（a≠0）。 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型6 解一元一次不等式 方法技巧 1. 步骤：去分母→去括号→移项→合并→化系数为 1； 2. 关键：去分母、化系数为 1 遇负数要变号； 3. 结果：写成 x＞a 或 x＜a。 1．（2026·浙江嘉兴·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解不等式： (1)； (2) 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）解下列不等式： (1)； (2)； (3)解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 题型7 求一元一次不等式的特殊解 方法技巧 1. 先求解集范围； 2. 再找整数、正整数、负整数、非负整数； 3. 数轴圈出，逐个列出，不重不漏。 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值． 3．（25-26七年级下·福建福州·阶段检测）解不等式并求出所有负整数解： 题型8 不等式与绝对值的综合应用 方法技巧 1.先解不等式，确定 x 的取值范围. 2.判断绝对值内式子的正负. 3. 按 “正不变、负变号” 去绝对值，再化简计算. 1．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（　　） A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1 2．已知5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，化简|2x﹣1|﹣|1+2x| 3．阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 题型9 利用不等式的解集解含有字母常数的不等式 方法技巧 1. 把字母当常数，正常解不等式；2. 比较结果与已知解集，列等式 / 不等式；3. 重点：系数正负决定不等号方向，分类讨论。 1．（25-26七年级下·湖南常德·期中）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 题型10 一元一次不等式组的识别 方法技巧 1. 条件：2 个及以上一元一次不等式、同一未知数； 2. 排除：含多元、高次、非整式； 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·单元测试）下列不等式组是一元一次不等式组的是(   ) A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 题型11 解一元一次不等式组 方法技巧 1. 分别解每个不等式； 2. 数轴表示，找公共部分 3. 口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了。 1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·一模）解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式组： (1)； (2)． 题型12求一元一次不等式组的特殊解 方法技巧 1. 先求不等式组解集； 2. 在解集内找整数、正整数等； 3. 数轴定位，写出所有符合条件的值。 1．（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它的所有的整数解． 2．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）求不等式组的解集，并用数轴表示解集，写出最大整数解． 3. （25-26七年级下·江苏扬州·期中）解不等式组，并求出它所有非负整数解的和． 题型13 判断不等式（组）解的过程并改正 方法技巧 1. 查步骤：去分母漏乘、去括号变号、移项忘变号； 2. 重点：乘除负数是否变号； 3. 按正确步骤重写，标注错误点。 1．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 (1)小明的解法是从第_________步开始出错的，第四步的依据是_________； (2)请写出正确的解题过程． 2．（25-26八年级下·广东茂名·期中）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解不等式：． 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 任务： (1)上述过程中，第一步的依据是 ，第___步出现错误，具体错误是 ； (2)该不等式的解集应为______． 3．（25-26九年级下·广东河源·阶段检测）解不等式组． 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①，得……………………第1步            ……………………第2步                   ……………………第3步                       ……………………第4步 (1)该同学的解答过程第___________步出现了错误，错误原因是____________，不等式①的正确解集是___________； (2)解不等式②，并写出该不等式组的解集． 题型14 根据不等式组的解集求字母的范围 方法技巧 1. 把字母当常数，解不等式组； 2. 结合已知解集，画数轴定边界； 3. 端点：是否可取等号，单独验证。 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东清远·月考）如果不等式组的解集是，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川眉山·期中）若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型15 由实际问题列一元一次不等式 方法技巧 1. 抓关键词：至少 (≥)、最多 (≤)、不超过 (≤)、不低于 (≥)； 2. 设未知数，列不等式； 3. 检验：结果符合实际意义（整数、正数）。 1．（2024秋•柯桥区期末）某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（　　） A．10x﹣（20﹣x）＞170 B．10x﹣（20﹣x）≥170 C．10x﹣5（20﹣x）＞170 D．10x﹣5（20﹣x）≥170 2．（2025春•杏花岭区校级期中）小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．210x+90（12﹣x）≥1.7 B．210x+90（12﹣x）≤1.7 C．210x+90（12﹣x）≥1700 D．210x+90（12﹣x）≤1700 3．（2024春•临汾期中）某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（　　） A．10x﹣5（20﹣x）＞80 B．10x﹣5（20﹣x）≤80 C．10x﹣5x≥80 D．10x﹣5（20﹣x）≥80 题型16 由实际问题列一元一次不等式组 方法技巧 1. 找两个不等关系； 2. 分别列不等式，组成组； 3. 解后取整数解，符合题意。 1．（2024春•阳江期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜6x+10＜4 B．0＜6x+10＜8x C．0＜6x+10﹣8（x﹣1）＜4 D．8x＜6x+10＜4 2．（2024春•郏县期中）用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•沙坪坝区校级期末）某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车x辆，则下列不等式组正确的是（　　） A． B． C． D． 题型17 一元一次不等式的实际应用 方法技巧 1. 审题：找不等关系； 2. 设元、列不等式、求解； 3. 取舍：实际问题取整数、正数； 4. 常见：方案、费用、数量、分配。 1．（2025春•沈河区校级月考）为了满足生物实验实验考试需求，学校决定购买一批显微镜和光照培养箱．经市场调查，显微镜的价格为880元/台，光照培养箱的价格为600元/台．学校准备采购这两种器材共15台，且总费用不超过12000元，则最多可购买多少台显微镜？ 2．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 3．（25-26七年级下·山东济南·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物，方案一购买书本所需要的费用为，方案二购买书本所需要的费用为，请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用： (2)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 题型18 一元一次不等式组的实际应用 方法技巧 1.找两个限制条件； 2.列组、求解集、找整数解； 3.选最优：成本最低、数量最多等； 4. 作答：写完整答案。 1．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 3．（25-26七年级下·上海·期中）为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． (1)每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 释疑惑·重难拓展 题型1 一元一次不等式与方程（组）的综合 1．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求a的值． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 题型2 一元一次不等式组与方程（组）的综合 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于x，y的方程组，且x，y满足．求a的取值范围． 2．（25-26七年级下·北京昌平·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 3．（25-26七年级下·湖南永州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数m的取值范围． (2)在（1）的条件下，化简． 题型3 利用不等式的整数解求取值范围 1．（25-26七年级下·北京·期中）一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如果不等式只有个正整数解，则的取值范围是________． 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 题型4 利用不等式组的整数解求取值范围 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______． 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 3．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 题型5 一元一次不等式（组）与新定义问题 1．（2026·江西宜春·二模）定义一种运算，则不等式的解集是______． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）定义一种法则“”如下：，如：，若，则的值为____． 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组．的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组．的“关联方程”． (1)方程_____（填“是”或“不是”）不等式组．的“关联方程”； (2)关于x的方程是不等式组．的“关联方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有2个整数解，试求m的取值范围． 题型6一元一次不等式（组）与方案选择问题 1．（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）某加工厂加工一批定长板材，已知若采用方案一：用4台A型设备和8台B型设备，每天可加工136件；若采用方案二：用7台A型设备和6台B型设备，每天可加工142件． (1)求1台A型设备和1台B型设备每天分别可以独立加工多少件？ (2)该工厂计划采购A，B两种设备共15台，要求A型设备数量不低于B型设备的，且每天加工的数量不少于168件，共有几种采购方案？哪种方案最省钱？（已知A型设备单价1万元，B型设备单价0.8万元） 2．“疫情无情，人间有爱”．为扎实做好复工复课工作，教育局准备租借甲、乙两种型号的车为全市各中小学配送防疫物资．已知2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨． (1)1辆甲型车和1辆乙型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ (2)教育局现有防疫物资37吨需要配送，计划同时租用甲、乙两种型号车共10辆（都要有），一次运完．若设甲型车租了m辆，请你帮教育局设计租车方案； (3)在题（2）的条件下，若1辆甲型车需租金100元/次，1辆乙型车需租金120元/次．设租车总费用为Q元，请用含m的代数式表示Q，并确定哪一种租车方案的费用最少，最少租车费用是多少？ 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）综合实践：为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具．若购买个鲁班锁和个九连环需要元；购买个鲁班锁和个九连环需要 元． 【基础设问】 （1）每个鲁班锁和每个九连环各多少元? （2）学校决定购买这两种活动道具共个，总费用不超过元，那么学校最多可以购买多少个鲁班锁? 【能力设问】 （3）学校决定再次购买这两种活动道具共个且购买鲁班锁的数量不少于九连环数量的倍，恰逢商场进行促销优惠活动鲁班锁打八五折销售，九连环售价不变，若学校准备用不超过元的资金购买这两种活动道具，请给出相应的购买方案． （4）若该兴趣小组只需要鲁班锁，购买时商家给出两种优惠方案，方案一：所有鲁班锁按售价打八折；方案二：免费赠送个鲁班锁，其他鲁班锁均打九折，购买鲁班锁的数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算? 知中考·真题探源 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有_______个． 6．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 7．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 8．（2025·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 9．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 练好题·提分培优 1．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知不等式的解集为，则这个解集在数轴上的表示正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   3．（2025·河北邢台·三模）不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 4．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）“五一”期间，某商场推出一款蓝牙耳机，进价为元/个，标价为元/个．为了吸引顾客，商场决定打折销售，但要保证每件商品的利润率不低于，该耳机最多可以打几折，下列选项正确的是（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 6．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是_______． 9．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 10．（2026八年级·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 11．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有个，则的取值范围是； ④若它有解，则． 则结论正确的是___________．（填序号） 12．（2026·重庆·一模）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 14．（25-26七年级下·河南开封·期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 15．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 16．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于x、y的方程满足方程组，若x、y均为非负数． (1)求m的取值范围； (2)化简式子． 17．（25-26七年级下·山东济南·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物，方案一购买书本所需要的费用为，方案二购买书本所需要的费用为，请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用： (2)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 18．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某商场准备购进、两种类型的便携式风扇到嘉家超市出售．已知台型风扇和台型风扇进价共元，台型风扇和台型风扇进价共元． (1)求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？ (2)商场准备购进这两种风扇共台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，商场准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的倍，购进、两种风扇的总金额不超过元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $