精品解析：陕西省西安中学2024-2025学年度高二上学期期中考试数学试题

西安中学2024－2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、选择题（本题共8小题，每题3.5分，共28分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直列方程，化简求得. 【详解】由题意，， 因为平面的一个法向量， 所以， 所以， 解得. 故选：A 2. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出时a数值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，解得或 当时，直线，直线，此时， 当时，直线，直线，此时， 综上，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若和都为基底，则可以为 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系对称判断A；利用空间位置关系的向量证明判断B；利用空间基底的意义判断C；求出直线与平面所成角判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A错误； 对于B，若直线的方向向量为，平面的法向量为，，有，则或，B错误； 对于C，由是空间向量的一个基底，得，，不共面，则，不共线， 假设，则，即，，共面， 与是空间的一个基底矛盾，因此不可以为，C错误； 对于D，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线与平面所成的角为，D正确. 故选：D 4. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 5. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】公切线的条数确定两圆的位置关系，进而得到圆心距和两圆的半径之间的关系，计算即可. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得． 故选：C. 6. 如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算，利用向量表示，再根据向量的模的性质，数量积的运算律求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 又，，，，， 所以 所以. 故选：C. 7. 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 8. 已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法可得，由，，可得，可求椭圆的离心率. 【详解】设，所以， 两式相减得，即， 又，所以，整理得， 又，，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每题4分，共12分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求） 9. 向量，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，，设，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为 C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 11. 设椭圆的方程为，其中椭圆的左、右焦点分别为，，与轴相交的左、右顶点分别为，两点，为椭圆上的任意一点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 线段长度的取值范围为 C. 的最大值为25 D. 当P不与A,B重合时，直线与直线斜率乘积恒为 【答案】BC 【解析】 【分析】设出点P的坐标，计算判断ABD；利用椭圆定义结合基本不等式求解判断C. 【详解】由，得，，设，有， 对于A，假设存在点，使得，即， 于是，显然无解，A错误； 对于B，，而，因此，B正确； 对于C，，， 当且仅当时取等号，因此最大值为，C正确. 对于D，直线的斜率积，D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每题4分，共12分） 12. 如下图，在三棱锥中，设，若，则________________．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理结合向量的加减法运算和已知条件求解 【详解】因为 所以 ， 因为， 所以， 故答案为： 13. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以矩形的中心为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角. 【详解】以矩形的中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为四边形为矩形，，和都是正三角形， 所以平面，且是线段的垂直平分线． 设，则，， 所以，所以，， 设异面直线与所成的角为，故． 故答案为：. 14. 设点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将四边形PACB的面积表示为，当点P是线段CO的延长线与圆O的交点时，最大，计算求出即可. 【详解】圆C的方程可化为，则圆心为，半径为2， 连接PC，则在中，， 所以四边形PACB的面积， （由切线长定理知，故） 连接CO并延长，当点P是线段CO的延长线与圆O的交点时，最大， 此时， 所以四边形PACB面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点分别为，，. （1）求AB边上的高所在直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据高线的性质，结合互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 ∵，， ∴AB的斜率， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为，化简得. 【小问2详解】 直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积. 16. （1）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程； （2）已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上，若面积的最大值为12，求此椭圆的方程. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率，可以设，椭圆焦点位置不确定，所以分别讨论焦点在轴上和焦点在轴上，利用椭圆中，根据题意分别求出和，代入到椭圆标准方程即可. （2）根据题意知，且，所以，所以若面积的最大，则最大即可，由此可求出，根据题意知，所以由求出和，代入到椭圆标准方程即可. 【详解】（1）因为椭圆离心率，所以设， 因为在椭圆中，所以，所以， 因为短轴长为，所以，所以，即， 所以，所以， 所以，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为， 当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为， 所以，椭圆的方程为或. （2）设点坐标为，因为椭圆的两焦点为， 所以，则， 所以当最大时，的面积的最大，且，所以， 因为点在椭圆上，所以点坐标为，所以， 所以，且，即， 因为在椭圆中，所以， 所以椭圆的方程为. 17. 在长方体中，，点在AB上，且． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法线面夹角； （2）利用向量法求得点到平面的距离. 【小问1详解】 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以到平面的距离为. 18. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． （1）求点的轨迹方程； （2）若，求点的轨迹的方程； （3）过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）点，利用两点距离表示关系，并化简即可； （2）设点，，由，由表示出，代入点的轨迹方程即可得出答案； （3）设圆心到直线，的距离分别为，则，表示出四边形面积，由基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 设点，点满足， 所以可得， 化简可得． 【小问2详解】 设点，， 由（1）点满足方程： ，， 即 ，， 代入上式消去可得的轨迹方程为． 【小问3详解】 设圆心到直线，的距离分别为，则， ， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，四边形面积的最大值为7． 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，． （1）求的长； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程，求可得的长. （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其余弦值，结合二面角与二面角互补可得结论. （3）过点作，证明平面，过点作交于点，在上取点，使得，证明，结合条件可求. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 因为平面，底面，所以. 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成的角， 设，则. 在中，. 又，所以，解得或（舍去），所以. 【小问2详解】 在平面内，过点作交的延长线于点，连接. 因为底面，底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为为的中点，，四边形为矩形， 所以，所以，所以。 所以，设二面角的平面角为，则， 所以，所以. 所以二面角的平面角的正弦值为. 【小问3详解】 存在符合条件的点，依题意得，， 又，所以. 又，所以，又平面，所以平面. 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，得， 又平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得. 连接，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，易知，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2024－2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、选择题（本题共8小题，每题3.5分，共28分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若和都为基底，则可以为 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 4. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 6. 如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每题4分，共12分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求） 9. 向量，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为 C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 11. 设椭圆的方程为，其中椭圆的左、右焦点分别为，，与轴相交的左、右顶点分别为，两点，为椭圆上的任意一点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 线段长度的取值范围为 C. 的最大值为25 D. 当P不与A,B重合时，直线与直线斜率乘积恒为 三、填空题（本题共3小题，每题4分，共12分） 12. 如下图，在三棱锥中，设，若，则________________．（用表示） 13. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 14. 设点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为______. 四、解答题（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点分别为，，. （1）求AB边上的高所在直线的方程； （2）求的面积. 16. （1）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程； （2）已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上，若面积的最大值为12，求此椭圆的方程. 17. 在长方体中，，点在AB上，且． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 18. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． （1）求点的轨迹方程； （2）若，求点的轨迹的方程； （3）过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，． （1）求的长； （2）若为线段的中点，求二面角的正弦值； （3）请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $