精品解析：陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

汉中市仁德学校高二上学期期中考试试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2. 已知m为实数，直线，，若，则实数m的值 A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，求出的值； 【详解】解：当时，两直线方程分别为和，不满足条件． 当时，则，， 由得得或， 由得，则， 故选：B 【点睛】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题. 3. 点到直线的距离为2，则的值为（ ） A. 3 B. C. 或2 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据点坐标及直线方程，应用点线距离公式可得，即可求参数的值. 【详解】由题设，到直线的距离， ∴，解得或. 故选：D 4. 判断直线与圆的位置关系（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 5. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的性质求解即可. 【详解】因为双曲线的，，所以，. 又因为双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 6. 已知正方体的棱长为，若，，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】 由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 7. 若圆与圆有三条公切线，则（ ） A. 21 B. 19 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得圆与圆外切，进而求出. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆与圆恰有三条公切线，得圆与圆外切，则 即，解得， 故选：C 8. 已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】由题意，关于原点对称，设，， ，故选A. 【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质与离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用，斜率之积的范围为，得到 ，进而构造出关于的不等式，最后解出的范围. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知两直线与，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 当时， D. 当时，与之间的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，运用消去参数，对于B，运用截距概念；对于C，运用两直线垂直时，斜率之积为；对于D，两直线平行时，斜率相等，结合平行线距离公式计算.我们将根据这些性质来逐一分析每个选项. 【详解】对于选项A，对于直线，当时，，解得. 所以直线过定点，选项A正确. 对于选项B，对于直线，令，则，解得. 所以直线在轴上的截距为，选项B错误. 对于选项C，直线，其斜率；直线，其斜率.当时，，即， ，解得，选项C正确. 对于选项D，当时，，解得. 此时，即. 两平行直线与之间的距离公式为. 对于与，距离，选项D错误. 故选；AC. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小； B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面； C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角； D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为即可判断；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小，而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由，可得，故四点不共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ，由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 抛物线的方程为 C. 直线的方程为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件得到抛物线方程为，利用“点差法”求出直线的斜率，得到直线的方程为，和抛物线方程联立求出，即可得到答案． 【详解】解：由焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确； 故抛物线方程为，焦点，故B错误； 则，， 若是线段AB的中点，则， 所以，即， 又直线经过焦点，所以直线的方程为，故C正确； 由，得，则， 所以，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程即可得出答案． 【详解】因为表示椭圆，所以 故答案为且 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，属于基础题． 13. 双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再由焦点到渐近线的距离为可得，即可得答案； 【详解】由题意得：， 双曲线的方程为， 故答案为：. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为，考查运算求解能力，属于基础题. 14. 中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意得：，因此椭圆离心率 考点：椭圆离心率 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l的方程为. （1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程； （2）求与直线l平行且距离为2的直线方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直，设出待求直线方程，再根据点在直线上，即可求得直线方程； （2）根据直线平行，设出目标直线方程，结合平行线之间的距离公式，则问题得解. 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为， 把点代入，得：，解得， ∴过点且与直线l垂直的直线方程为：. （2）设与直线l平行且距离为2的直线方程为， 则， 解得或. ∴与直线l平行且距离为2的直线方程为或. 【点睛】本题考查直线方程的求解，涉及直线平行和直线垂直，以及平行线之间的距离公式，属综合基础题. 16. 已知空间中三点，，，设，． （1）若且，求实数； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【小问1详解】 ， 所以， 则， 解得． 【小问2详解】 因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 17. （1）已知椭圆C的两焦点分别为，且经过点，求椭圆C的标准方程. （2）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设椭圆C的标准方程为，由椭圆定义求得，再由求得，得椭圆方程； （2）设双曲线的方程为（且），由焦点坐标求得，得双曲线方程． 【详解】解：（1）设椭圆C的标准方程为 则 又 椭圆C的标准方程为 （2）设双曲线的方程为（且）， 因为焦点为，因此， 则 所求双曲线的方程为 18. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． 【小问1详解】 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 19. 已知椭圆的离心率为，其左焦点为．点，过点的直线（不垂直于坐标轴）与交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及左焦点求解即可. （2）由可得 ，求出和的值，求得和的斜率之和，从而得到成立． （3）由面积，令，，得，结合二次函数性质求解即可． 【小问1详解】 由题意得，，．可知，， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 证明：根据题意，设直线的方程为，，，， 由，可得 ， 则，， 所以， 而 ，所以， 所以成立． 【小问3详解】 ． 令，，则， 又，所以当，即时，取得最大值，为. 故面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市仁德学校高二上学期期中考试试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知m为实数，直线，，若，则实数m的值 A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或 3. 点到直线的距离为2，则的值为（ ） A. 3 B. C. 或2 D. 或3 4. 判断直线与圆的位置关系（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 5. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为，若，，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 7. 若圆与圆有三条公切线，则（ ） A. 21 B. 19 C. 9 D. 8. 已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知两直线与，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 当时， D. 当时，与之间的距离为 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小； B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面； C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角； D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 抛物线的方程为 C. 直线的方程为 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是___________. 13. 双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______ 14. 中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l的方程为. （1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程； （2）求与直线l平行且距离为2的直线方程. 16. 已知空间中三点，，，设，． （1）若且，求实数； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 17. （1）已知椭圆C的两焦点分别为，且经过点，求椭圆C的标准方程. （2）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程. 18. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 19. 已知椭圆的离心率为，其左焦点为．点，过点的直线（不垂直于坐标轴）与交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $