陕西省西安市东城第一中学等校2025-2026学年高二上学期期中检测数学试题（A卷）

2025—2026学年（上）高二年级期中检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码料贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.3在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的. 1. 直线在y轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线C：的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知Q为直线l：上的动点，点P满足，记点P的轨迹为E，则（ ） A. E是一个半径为的圆 B. E是一条与l垂直的直线 C. E是两条与l平行的直线 D. E上的点到l的距离为 5. 如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和直线，P是l上的动点，过点P向圆C作两条切线，设两切线的夹角为θ，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 8. 已知A，B是椭圆上的两个动点，且直线与圆相切，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程C：，则下列结论正确的是（ ） A. 若则方程C表示椭圆 B. 若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C. 存在m，使方程C表示直线 D. 存在m，使方程C表示抛物线 10. 已知是圆C：上的动点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知抛物线C：（）的焦点为，过点F的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 原点O在l上的射影在圆上 D. 若，则AB中点的横坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，则________． 13. 已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 14. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 16. 如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． （1）求证：； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值． 17. 已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． （1）求E的方程； （2）过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥外接球的表面积. 19. 已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为，，过点作不与x轴重合的直线l与C交于D，E（E在D的左侧）两点，，交于点M． （1）求C的方程； （2）求证：为定值（，分别为，的斜率）； （3）求的取值范围． 2025—2026学年（上）高二年级期中检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码料贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.3在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1） 设AC的中点为D，线段BC的四等分点为E，且，连接MD，DE，NE， 则，∴，， ∵M为AP的中点，D为AC的中点，∴，， 又P是的中点，∴． ∴，，∴四边形DMNE是平行四边形， ∴， 又，， ∴． （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）证明：依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点． 【18题答案】 【答案】（1） ∵底面，平面，平面， ∴，在矩形中， ∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 则 得证： （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，． 设直线l的方程为，，， 联立l与C的方程，得 消去x并整理，得， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴， 即为定值． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $