第九章 课时8 概率和其他知识的交汇课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦概率与统计、数列、导数的交汇考点，依据高考评价体系分析考情，明确知识网络交汇处的命题趋势，通过典型例题梳理分层抽样、分布列、递推数列等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法归纳+素养提升”，如以2025唐山开学考真题为例，解析疏散时间均值方差计算与分布列求解，培养数据观念和数学建模素养。规律方法总结事件分解、导数求最值等技巧，帮助学生掌握答题逻辑，教师可借此系统开展专题复习，提升备考效率。

课时8 慨率和其代 地知识的交汇 一、考情分析 新高考以能力立意是数学命题的指导思 势.近几年将概率与统计、数列、函数、 创新能力和数学建模等核心素养. 想，在知识网络交处设计试题，突破定 导数结合，成为创新问题，考查考生的 二、考点扫描 考点一概率与统计的交汇 例1某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度， 汁多爽口，余味清香”而闻名为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对 脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持已知脐橙分类标准：果径 玉为一级果，果径丕正①为二级果，果径还或8数m以上 为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测 量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图， 个频率 组距 0.060 0.045 0.030 0.018 0.013 0.004 065707580859095100果径/mm (1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数； (2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径一一中抽出9个脐橙， 为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数 X的分布列和数学期望； (3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买 100个，其中一级果的个数为Y,记一级果的个数为k的概率为，写出 的表达式，并求当k为何值时，最大 【解】(1)果径[⑤8的频率为 果径的 频率为 故果径的中位数在区85，不妨设 为a,则 解得C8,所以估计这1000个脐橙的果径的 中位数为81. (2)果径 之之的频率之比为 所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4,3,2，故随机变 乐x的所有可能取值大0O之则心3七生瓷意 意e3含以x的分布列下： X 0 1 2 3 0 40 30 4 84 84 84 84 期望 (3)依题意知， 这批果实中一级果的颗率/05是 每个果实相互独立， 则4则g〔 ,令 RY-KH 0) 一，解得夏，故当时， © ☑+D 即 当时， 之， 即€ 所以 E,即一级果的个数最有可能为30个 规律方法： 高考常将频率直方图与概率分布等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率 直方图，能利用频率直方图正确计算出各组数据.概率问题以计算为主，往往和 实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来 对点训练(2025·河北唐山市开学考试)台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见 的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散某地有关 部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间 的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间， 12 13 14 取整数)小时 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间1的均值和 方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调 查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的 居民点数量，求X的分布列 【解】(1) 所以估计这一地区居民点疏散所需时间的均值为15， 所以估计这一地区居民点疏散所需时间的方 差为1.66.所以均值为15，方差为1.66 (2)因为17小时，18小时两组的频率之比为03，所以在超过16小时的13 个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人，再从这13个居民点中抽取5个， X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，X可取0,1,2， 3生 X的分布列如下： X 0 2 3 28 70 40 5 P 143 143 143 143 考点二概率与数列的交汇 例2甲、乙两人投篮，每次由其中一 篮，若未命中则换为对方投篮.无论之 为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8. 篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率. 人投篮，规则如下：若命中则此人继续投 前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投 (2)求第i次投篮的人 (3)己知：若随机变量 n n n, 则E(GX)=9. 求E(). 是甲的概率. X服从两点分布，且P(X 记前n次（即从第1次到 1)=1-P(X=0)=9,i=1,2,…, 第n次投篮)中甲投篮的次数为Y, 【解】(1)记“第i次投篮的人是甲 件B,所以PB2)=P(AB2)+P(B1B2)= +0.5×0.8=0.6. ”为事件A,“第i次投篮的人是乙”为事 P(A)P(B2A)+P(B)P(B2B1)=0.5×(1-0.6 (2)设PA)=p,依题可知，PB,)=1一p,则PA+1)=PAA+1)十PBA+)= P(A)P(A+1A)十PB,)P4+B,),即p+1=0.6p,十(1-0.8)X(1-p)=0.4p,+0.2.构 心比资风.ti-a+以=-则} 因为周 5 318 5 i=1,2,…,n,所以当n∈N*时，E)=p1十p2十… 朗；-朗 规律方法： 高考有时将概率与数列交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中 所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键 对点训练(2025·重庆期初考试)王先生准备每天从骑自行车和开车两种出行 方式中随机选择一种出行.从即日起出行方式选择规则自定如下：第一天选择骑 自行车出行，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若 得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种 出行方式.设pn∈N)表示事件“第n天王先生选择骑自行车出行”的概率. (1)用pm-1表示pnn≥2)； (2)求pnn≥2)： 【解】①）汉一茨性起标4校均与现京得到正百向上的发款对6.心，引 Pes3)-cax0+c1x+a×日- 用 16 则PE≥)=1-PE<3)= 516 Am-1表示事件“第n一1)天王先生选择的是骑自行车出行”，An表示事件“第n 天王先生选择的是骑自行车出行”，由全概率公式知pn=P(An)=P(AnAn-1)P(Am +p44N-)=m1…PG<3+0-pPE≥3-+6-) 11 t6所以+。m≥2 3 2w小2百*n 1 Pn 所以 2 3 F以充号关有反对 18 Pn-1 2 月于E目g8 2 1,所以A2苏以A20, 公北为的等比数列，从而n号 8 考点三概率与导数的交汇 例3某盒子内装有60个小球（除颜色之外，其他完全相同），其中有若干个黑球， 其他均为白球.为了估计黑球的数目，设计如下实验：从盒子中有放回地抽取4 个球，记录该次所抽取的黑球数目X,作为一次实验结果.进行上述实验共5次， 记录下第i次实验中实际抽到黑球的数目x.已知从该盒子中任意抽取一个球，抽 到黑球的概率为p0<p<1) (1)求X的分布列 (2)实验结束后，已知第i次实验中抽到黑球的数目，如 1 2 3 4 5 Xi 2 3 2 3 3 设函数》 ①求p)的极大值点po; ②根据①估计该盒子中黑球的数目，并说明理由 表所示 【解】(1)从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑球数目X,因为从 该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为p(0<p<1).所以X~B(4,p),所以 X的分布列如下： X 0 1 2 3 4 P (1-p)4 4p(1-p)3 6p2(1-p2 4p(1-p) Di 2)①1)）可知，fp)=Tsx21n[6p2(1-p]+3ln[4p(1-p]=8In2+ 2n3计13hp7a1-所以f0-月乙。20g令0=0，解得p p1-pp(1-p) 知)单调递减所以)存在唯一的极大值点= 20 ②估计盒了中黑球的数目为60p=39,理由如下：由①可知，当且仅当p=时， 20 p)取得最大值；即 取得最大值，出现上述实验结果的概率最大， 以可以认为从盒子中仟意抽取一个球，抽到黑球的概率为 ,从而估计该盒子 中黑球的数目为39是合理的 规律方法： 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率决策方案的 最佳选择是将概率最大（最小）或均值最大（最小）的方案作为最佳方案，这往往借 助于函数、不等式、数列的有关性质去实现 对点训练一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物 为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代..，该微生 物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体 繁殖下一代的个数， (1)已知 ,求(5： (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一个最小正实根，求证：当≤时，p-1,当 时，D<1; (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义. (2)【证明】设 因为了，故 ,若曰，则要，故 因为 菱，故（内有两个不同零点 西，且®每，且中时，八毛：9时， 八E:故刊在(-X,(树上为增函数，在()上为减函数， 若=，因为冈在（化*为增函数且(，而当年0四时，因为（冈 在（上为减诚函数，故大头符事，故为 的一个最小正实根，若，因为八（且在(Q) 上为减函数，故1为 的一个最小正实根.综上，若 曰，则日若曰，则，故2安法此时 .受，故（冈有两个不同零点 飞水，且©，且华时，代寸；对时， 八寸(；故fx)在(S),(上为增函数，在（飞）上为减函数， 而八)，故大过（又交容，故代刈在(Qx)存在一个零点p, 且p<1所以p为的一个最小正实根，此时p1,故当 时，p1 (3)【解】意义：每一个该种微生 灭绝，若繁殖后代的平均数超过1 物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然 则若干代后被灭绝的概率小于1. 米 感谢观看 THANKS