数列与其他知识交汇融合问题 课件-2027届高三数学一轮复习

数列与其他知识交 汇融合问题 1 新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列 解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,而数列与其他知识的 交汇备受青睐,如2025年全国卷1第16题考查的是数列与导数的交汇， 2024年新课标Ⅰ卷第19题考查的是数列与概率的交汇,2024年新课标Ⅱ 卷第19题考查的是数列与解析几何的交汇,本专题将探究数列中交汇 融合问题. 2 数列与集合交汇融合问题通常涉及数列的项与集合的元素之间 的关系，以及利用集合的性质对数列进行分析或构造.常见类型有： 集合的性质与数列的项的关系、数列的子集与和的关系、新定义的 数列与集合的问题. 类型一 数列与集合的交汇问题 3 例1 [2022·新高考全国Ⅱ卷] 已知为等差数列， 为公比为2的 等比数列，且 . （1）证明： ; 证明：设等差数列的公差为，由 , 得,故. 由 ,得, 故，将 代入上式,整理得 ,得证. 4 （2）求集合, 中的元素个数. 解：由（1）知, 由 ，得 ， 即,即. 因为 ,所以, 由,可得， ， 故集合, 中的元素个数为9. 5 [总结反思] 对于数列与集合交汇问题，解题思路如下： （1）明确数列的通项公式或递推关系，以便分析数列的性质. （2）分析集合的元素构成和性质，如元素的范围、和、差等. （3）结合数列和集合的条件进行推导和计算，可能涉及等差、等比 数列的求和公式，或利用集合的包含关系、元素的组合等. 6 自测题 已知数列满足，且, . （1）求数列 的通项公式； 解：由题得， 当 时，， 又 满足上式， . 7 （2）集合,, ,，将集合 的所有非空子集中最小元素 相加，其和记为，求 . 解：由题意知,3,4, ,，则的非空子集共有 个. 其中最小元素为2的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的 集合有个，含3个元素的集合有个， ，含 个元素的集合 有 个， 故最小元素为2的子集个数为 ； 8 同理最小元素为3的子集个数为 ；…… 最小元素为 的子集个数为1. ①， ， 由得 . 数列与函数、导数的交汇融合问题是高中数学的难点和重点， 常以压轴题的形式出现.这类问题主要考查两个方向：一是利用函数 解析式构造数列，二是通过导数研究函数性质来解决数列问题. 类型二 数列与函数、导数的交汇问题 10 例2 [2025·全国一卷］已知数列中，， . （1）证明：数列 是等差数列； 证明：因为，所以 ， 即， 由等差数列的定义可得，数列 为等差数列. 11 （2）给定正整数，设函数 ，求 . 解：令，可得 ， 即是以 为首项，1为公差的等差数列， 所以 . 因为 ， 所以 , 12 将与 代入上式， 可得 . 令 , 则 ， 所以 , 所以 . [总结反思] 对于数列与函数、导数的交汇问题的解题思路如下： （1）利用函数性质求解数列问题，需结合函数的单调性、周期性、 对称性等性质分析数列的特征； （2）当数列的通项公式或递推公式与函数相关时，需将数列问题转 化为函数问题求解，可通过函数的最值、零点等性质确定数列的取 值范围或证明数列的性质； （3）利用导数证明数列不等式，先通过导数研究函数的单调性、凹 凸性等性质，再将函数的结论应用于梳理不等式的证明. 14 自测题 1.若函数满足,，且在 上有且仅有一个零点，则在 上的零点之和不可能为( ) A.21 000 B.20 750 C.20 500 D.20 250 [解析] 由,得 ， 两式作差得，所以的周期为100. 设 在上的零点为，则， 易知在 上有 20个零点， 依次为,,, ,. √ 15 当 时，在上有21个零点, 依次为,, , ， 其和 ， 因为，所以； 当时， 在上有 20个零点， 依次为,, , ， 其和， 因为 ，所以 . 综上，零点之和的取值范围为 ， 故选A. 2.[2025·四川德阳二模] 已知数列的前项和为 ，满足 ，且 . （1）求数列 的通项公式； 17 解：当时，， 因为，所以 ，所以， 当时， ，所以 , 所以 ， 又,,成立， 所以对 成立， 所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以 . 18 （2）令, ，讨论 与 的大小关系. 解：因为 ， 所以， 所以 . 令 ， 则 ， 19 两式相减得， 所以 ， 所以 ， 所以 . 当时， ； 当时，，易知 ， 所以 . 综上， . 数列与解析几何交汇融合问题是高考和竞赛中的常见题型，通 常涉及数列的递推关系、通项公式与解析几何中的直线、圆、椭圆、 双曲线、抛物线等图形的性质相结合. 类型三 数列与解析几何的交汇问题 21 例3 [2025·江西赣州二模] 已知点到点的距离比到 轴的距 离大1，点的轨迹为.点在上，过点 作斜率为 的直线交于另一点，设与关于轴对称，过点 作斜率为 的直线交于另一点，设与关于轴对称， ，以此类推， 设 . 22 （1）求 的方程； 解：当点在轴左侧时，点在轴的负半轴上， 的方程为； 当点在轴右侧（包括轴）时，点的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，方程为. 综上， 的方程为和 . 23 （2）设数列的前项和为，证明： ； 证明：因为点在上，所以，可得 ， 依题意得, ， 因为 ， 所以， 所以数列 是首项为2，公差为4的等差数列， 所以 ， 则 . 24 因为 ， 所以. 易知 为递增数列，，所以 . 综上， . （3）求 的面积. 解：由（2）得, , ， 所以 , ， 26 因为 ， 所以 . [总结反思] 对于数列与圆锥曲线的综合问题，主要是关注直线与坐标轴或圆锥 曲线的交点坐标的递推关系组成的数列. 自测题 [2026·湖南长沙模拟] 位于第一象限或 轴正半轴的一点 满足，过作曲线 的切线，切点为 ，且满足，设为关于 的对称点. （1）证明： . 证明：由，可得，所以 ， 所以 ， 又因为为关于的对称点，所以 ， 所以式可化为，即 ， 即 . 29 （2）若过的另一条切线切曲线于，设为关于 的 对称点，如此重复进行下去，若为关于切点 的对称点，设 . （ⅰ）证明： 为等差数列； 30 证明：设过的切线方程为 . 由消去得 ， 令，即 ， 得 . 由（1）可推得, 不妨设 ，则， 易知， ， 则，即 ， 所以 为等差数列. 31 （ⅱ）若，求 的值. 解：由题意及 的结论可得, ， 此时, 的公差 ， 所以 . 32 例 ［补充使用］[2026·湖南湘潭模拟] 在军事信息传输过程中，为 了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作.为生 成密钥序列，现定义一个简单的加密算法 ，它的作用是在第 轮对密钥片段进行一次变换.具体变换规则如下：若 为奇 数，则将在第轮变换中让序列 的奇数项的值增加1，偶数项 的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列 的奇数 项的值增加 ，偶数项的值减少2.若初始密钥序列 ，，则加密序列 的所 有项之和为.已知数列的前项和为，且满足 . 教 师 备 用 习 题 33 （1）写出，并求出 ； 解： ， 则 ， 则 ， 则 ， 则 . ， 当时， ， 则，即 ， 又，所以 . 教 师 备 用 习 题 34 （2）求 ； 解：经过变换，各项之和增加 ， 经过变换，各项之和增加 ， 故经过，两轮变换，各项之和增加 ， 则 . 当为偶数时， ， 当 为奇数时， . 综上, 教 师 备 用 习 题 35 （3）证明： . 证明：因为 ， 所以 ， 教 师 备 用 习 题 36 因为 …+ ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 作业手册 38 1.已知一组数据10，13，17，25，47的第80百分位数为，若6， ， 成等差数列，则 ( ) A.21 B.23 C. D. [解析] 因为，所以， 又6，， 成等差数列，所以 .故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39 2.[2023·全国乙卷]已知等差数列的公差为 ,集合 .若,,则 ( ) A. B. C.0 D. [解析] 依题意，在等差数列 中， ， 显然关于 的函数的最小正周期为3， 而，即 最多有3个不同的取值， 又集合, 中只有2个元素， √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 所以在,,中，有 或 若 ，则有， 解得 . 当 时， ； 当 时， . 故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.若数列满足，，则称数列 为 斐波那契数列，若把斐波那契数列中的奇数用1替换，偶数用 替 换得到数列，在数列 的前10项中任取3项，则这3项之和为1 的不同取法有( ) A.60种 B.63种 C.35种 D.100种 [解析] 由题意得,数列 中各项依次为奇数、奇数、偶数、奇数、 奇数、偶数、 ，所以数列的前10项中，有7项为1，3项为 ， 若所取3项之和为1，则取2个值为1的项，1个值为 的项， 所以不同的取法种数为 .故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 42 4.[2025·江苏苏州三模]在平面直角坐标系中，过点的直线 与抛物线交于,两点，若直线,, 的斜率依次成等比 数列，则直线 的斜率为( ) A. B. C.2 D.3 [解析] 设直线的方程为，, ， 将直线的方程代入抛物线方程得 ， 所以,. 因为，所以 ,所以, 所以,故直线的斜率为 .故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 43 5.已知函数,为函数 的正零点，若 表示不超过的最大整数，则数列 的前10项和 ( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 44 [解析] 是关于的二次函数，其图象的对称轴方程为 ， 因为，且在区间 上单调递增， 所以正零点一定在区间上， 又因为 , ， 所以 ，所以， 所以 ， 所以 .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 45 6.已知定义在上的可导函数满足 ，若递增数列 满足，，且， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 设,可得， 因为 ，所以， 所以在 上单调递增. 因为，所以. 由 在上单调递增，且， ， 可得， √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 46 因为 是递增数列，，，， 所以 ，所以，即 , 可得,可得 , 所以 , 又满足上式，所以 . 对于A，,由,在 上单调 递增，得,即,得 , 所以,故A错误； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对于B，,当 时， , 但不能确定,故B错误； 对于C，当 时，,故C正确； 对于D，当 时，, 因为,所以无法判断 是否成立，故D错误. 故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.[2026·北师大附中月考]已知数列 的各项都 不相等，圆 ，圆 ，若圆 平 分圆的周长，则 的所有项的和为( ) A.2024 B.2025 C.4048 D.4050 [解析] 由 两式相减可得公共弦所在直线的方程为 ， 即， √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 49 因为圆 平分圆的周长， 所以公共弦过圆的圆心. 圆 的标准方程为，则圆心为 ， 所以，即， 又 的所有项的和 ， 所以 ， 两式相加得 ， 因为，所以 ， 所以 .故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知函数满足，，设 ， 为数列的前项和，则使得成立的最小整数 为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 [解析] 因为，所以 ， 又，所以，所以， 所以是以 为首项，2为公比的等比数列， 所以 ， 所以 ， √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 51 所以，所以， 所以 ， 又 ， ， 所以使得成立的最小整数 为9.故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.（多选题）设正整数 ,其中 ,记 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 对于A， , , ,A正确. √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 53 对于B,取 ，则, ,而, , ,B错误. 对于C, , ， , ,C正确. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对于D, , ,D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.[2025·安徽蚌埠模拟] 已知数列满足， ， 且，令，则数列 的前6项和 为____. 17 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 56 [解析] 由题意可知，则 ， 所以， 由 ，得， 即， 所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 所以数列 的前6项和为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.[2026·漳州模拟] 已知函数 ，且 的图象的相邻两条 对称轴之间的距离为 . （1）求 的单调递增区间； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 58 解： ， 因为的图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以 的最小正周期为 ，所以 ， 又，所以 ，所以 . 令 ， ， 解得 ，， 所以 的单调递增区间为， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 59 （2）将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列 ，求 数列 的前30项和. 解：令，得， 所以 ，或 ， ， 即 ，或 ，， 所以是以 为首项， 为公差的等差数列， 所以是以为首项， 为公差的等差数列， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 61 12.已知点在抛物线 上，按照如下方法依 次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线 交于另一点，令为关于轴的对称点，记 的坐标为 . （1）求点 的坐标； 解：由在抛物线上，得， 解得 ，所以抛物线的方程为 . 由得，解得或 ， 则点的坐标为，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 62 （2）求证：数列是等差数列，并求， ； 解：方法一：过， 且斜率为的直线 的方程为 ， 由得 ， 解得或 . 因为点在抛物线上，所以 ， 且，所以 ，可得 ， 所以， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 63 方法二：因为，， 在抛物线 上，所以 两式相减得 ， 所以 ， 所以，所以数列 是首项为2，公差为4的等差数列， 所以， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 64 （3）求 的面积. 解：设点在轴上的射影为点，则 ， 由（2）知， ， ， ， 同理可得 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 65 ， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.设集合 且 , 中所有 的数从小到大排列构成数列，并将数列 的各项依次按照上小下大，左小右大，第 行共有 项的原则，写成如图所示的数表. （1）写出该数表第4行各项的数； 解：由题意知，第4行各项为,,, ， 所以第4行各项的数为17，18，20，24. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 67 （2）求 ； 解：因为数表前9行共有（项）， 所以 在第10行从左往右的第5项， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 68 （3）设位于数表的第行，若，且该数列前 项的和能被 整除，求 的最小值. 解：数表第 行所有项的和为 ， 设数表前行所有项的和为 ，则 ， 令 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 69 则 ， 两式相减得， 可得 ，所以 . 设为数表的第行的第项，所以数列前 项的和为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意知，前行的总项数，解得， 因为 ，所以，所以 ， 因为，所以 ， 所以 ，即 . 因为该数列前项的和能被整除，所以，即 ， 所以，可得，所以， 可得的最小值为32，所以 的最小值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型一 例1（1）证明略. （2）9. 自测题（1）</m>. （2）<m></m>. 类型二 例2（1）证明略. （2）<m></m>. 自测题 1.A 2.（1）<m></m>.（2）m></m>. 类型三 例3（1）m><m></m>和</m>. （2）证明略. （3）</m>. 自测题（1）证明略. （2）（ⅰ）证明略. （ⅱ）</m>. 答 案 核 查 72 1.A 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C 7.D 8.B 9.ACD 10.17 11.（1）<m></m>，<m></m>.（2）<m></m> . 12.（1）<m></m>.（2）证明略，</m>，<m></m>.（3）</m>. 13.（1）17，18，20，24. （2）</m>. （3）</m>. 答 案 核 查 $