四川成都市石室中学2025-2026学年高二下学期期中数学试题

2025-2026学年度下期高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知数列中，，则（    ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则 （ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 5. 如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则 （ ） A. B. 2 C. D. 6. 某校从2名女生和4名男生中选出3人参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则（ ） A. 0或4 B. 3或4 C. 0或2 D. 2或3 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．M是椭圆C上一点，直线与y轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前项和为，若，则（ ） A. 若为等比数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若，则 D. 若，则数列的周期为3 10. （多选）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，则下列选项正确的是（　　） A. 若a＝2，，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为 B. 若点P在双曲线C上，则直线PF1与PF2的斜率之积为 C. 以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P，且，则双曲线C的离心率 D. 若过的直线l与x轴垂直且与渐近线交于两点，，则双曲线C的渐近线方程为 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且 ，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有_______种（数字作答） 13. 已知抛物线 的焦点为，直线与在第一象限的交点为 ，若，则直线的斜率为__________. 14. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求的最大值. 16. 记各项均为正数的数列的前项和为，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 17. 如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知 ，，将沿直线AC翻折至 （如图2），使得． （1）证明：平面 平面ACD； （2）点F在线段DE上，且二面角 的大小为60°． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值． 18. 已知点 与定点的距离和它到定直线的距离之比为 ． （1）求 的轨迹方程； （2）过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点 作直线的垂线，垂足为 ，设直线的斜率分别为． （i）求的取值范围； （ii）求证：为定值． 19. 给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作 ．类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……， 一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的阶导数，记作， ； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有 ， 我们将称为函数在点处的泰勒展开式．比如在处的泰勒展开式为： ， 由此当时，可以非常容易得到不等式，，，… 请利用上述公式和所学知识完成下列问题： （1）直接写出与 在处的泰勒展开式； （2）证明：对任意正整数，有，其中，． （3）若，恒成立，求的范围；（参考数据） 2025-2026学年度下期高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】36 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析. （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：取 的中点，由题意知， ，所以 ，， 三点共线， 由 得；由得 ， 又，故，所以 ， 又，且 ， ， 平面， 所以 平面，又平面 ， 所以平面 平面； （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i） ;（ii） 【19题答案】 【答案】（1）在处的泰勒展开式： ，其中， 在处的泰勒展开式： ，其中 . （2）证明见解析； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $