四川成都市石室中学2025-2026学年高二下学期5月分散测试数学试题

**基本信息** 立足高中数学核心知识，融合机器人避障统计、抛物线综合等真实情境与创新应用，梯度设计适配周测学情，考查数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|椭圆离心率、向量夹角等|基础概念辨析，如命题否定考查抽象能力| |多选|3/18|正方体线面关系、统计图表|多维度推理，如导数性质判断发展逻辑思维| |填空|3/15|抛物线切线、组合数学|空间观念与创新意识，如城市道路计数题| |解答|5/77|数列、立体几何、统计、函数导数|综合应用，机器人统计题体现数据意识，函数零点讨论发展理性精神|

石室中学高2024级5月分散测试 数 学 试 题 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．已知命题，，则p的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．如图，双曲线的左焦点为（其中），且，，直线FA分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义域为的函数满足，则（    ） A． B． C．0 D．3 6．已知抛物线上一定点和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，，则Q点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线C：的焦点为，过作不与轴垂直的直线交于两点，设的外心和重心的纵坐标分别为（是坐标原点），则的值为（    ） A．1 B． C． D． 8．椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象，关于椭圆曲线：，下列结论正确的是（    ） A．曲线过点 B．曲线关于点对称 C．曲线关于直线对称 D．若曲线上存在位于轴左侧的点，则 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．2022年的夏季，全国多地迎来罕见极端高温天气．某课外小组通过当地气象部门统计了当地七月份前20天每天的最高气温与最低气温，得到如下图表，则根据图表，下列判断正确的是（    ） A．七月份前20天最低气温的中位数低于25℃ B．七月份前20天中最高气温的极差大于最低气温的极差 C．七月份前20天最高气温的平均数高于40℃ D．七月份前10天（1—10日）最高气温的方差大于最低气温的方差 10．如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C． D．RS与所成角为 11．已知定义在上的连续可导函数，，的导函数为，若，是指数函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．， D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的定义域是 __________． 13．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过上一点（异于原点）作的切线，与轴交于点．若，，则________． 14．现有n个城市（n≥3），任意两个城市之间都有一条双向道路直接相通。从城市A出发规划一条闭合路线，满足以下三个条件： ①路线起点与终点均为城市A； ②每条道路有且仅经过一次； ③途经所有城市。 则这n个城市间共有________条道路（用含n的代数式表示）；若将行走方向相反（顺时针与逆时针）视为两种不同路线，那么符合条件的全程路线共有________种（用含n的代数式表示）。 四、解答题（共5个小题，共77分） 15．（本小题满分13分）在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分）在三棱锥中，，，为中点，平面平面. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（本小题满分15分）2026 年 4 月 19 日， 第二届人形机器人半程马拉松在北京亦庄举行， 来自各地的机器人参赛队伍同场竞技，引发广泛关注.为研究 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 之间是否存在关联，某科研团队对本次参赛的 500 台机器人进行统计，得到如下列联表 （单位：台）： 完成比赛 未完成比赛 搭载智能避障系统 180 70 未搭载智能避障系统 120 130 (1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 有关? (2)从该 500 台机器人中，采用按比例分层抽样的方法（以是否搭载智能避障系统分类），抽取一个容量为 10 的样本.再从这10台机器人中，不放回地随机抽取3台，设其中 “搭载智能避障系统” 的台数为.求的数学期望 . 附： ，其中 . 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（本小题满分17分）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记作.斜率为且不经过点的直线与抛物线相交于、两点，设、的斜率分别为、. (1)求抛物线的方程； (2)判断是否为定值.如果是，求出的值.如果不是，请说明理由； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 19．（本小题满分17分）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)求的零点个数； (3)当时，记与的各零点之和为T，证明：． 参考数据：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B D A C B D D BD AC AC 12． 13．1 14．n（n-1） （n-1）！ 15．(1)；(2) 16．(1)证明略；(2)；(3) 17．(1)“机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛”有关. (2)，分布列为： 18．(1)；(2)是，定值为0；(3). 19．(1)答案略；(2)1个；(3)证明略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $