第09讲 直线的方程（二）（七大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第09讲 直线的方程（二）（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 求直线方程的一般方法 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线： ①平行于x轴?②平行于y轴?③与x轴重合?④与y轴重合? 【知识点1 直线方程的求法】 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程. 【解答过程】由题设，则，可得. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【解答过程】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即； 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即 所以满足题意的直线方程为或. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或； (2)或． 【解题思路】（1）分直线经过原点、直线不经过原点两种情况讨论，根据条件求出方程即可； （2）得出直线斜率，利用点斜式求方程. 【解答过程】（1）当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 因直线过点，则直线的方程为； 当直线不经过原点时，若它在两坐标轴上的截距相等，则斜率， 因直线过点，则直线的方程为，即． 综上所述，所求直线方程为或； （2）因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为1或， 因直线过点，则直线方程为，即或． 【变式1-3】（2026高一上·全国·专题练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）由点斜式方程进行求解即可； （2）由斜截式方程求解即可； （3）由两点式方程求解即可； （4）由截距式方程求解即可. 【解答过程】（1）由点斜式，得直线方程为， 即. （2）由斜截式，得直线方程为， 即. （3）由两点式，得直线方程为， 即. （4）由截距式，得直线方程为， 即. 【题型2 直线过定点问题】 【例2】（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】提取得，从而得到方程组，解出即可. 【解答过程】，即，则，解得. 则过定点. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可. 【解答过程】直线，即，对任意实数，当时，恒成立， 所以点的坐标. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线化为即可求解． 【解答过程】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 【变式2-3】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意列方程组计算即可求解. 【解答过程】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C. 模块三 两条直线的位置关系 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【例3】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案. 【解答过程】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将的坐标代入所求直线的方程，得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【解答过程】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. (1)与直线：垂直； (2)两坐标轴上截距相反. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）由两条直线垂直求出所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程即可； （2）分截距为零和截距不为零两大类进行讨论求解即可. 【解答过程】（1）因为，，所以， 则直线的方程为，即. （2）当两坐标轴上截距为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得， ∴，即. 当两坐标轴上截距不为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得，∴，即. 综上，直线的方程为或. 【变式3-3】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，试求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出点坐标，进而得到中线所在直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）先求出直线的斜率，即可得到高所在直线的斜率，再利用点斜式求解即可. 【解答过程】（1）的中点为， 则中线所在直线的斜率为， 所以中线所在直线的方程为，即. （2）由， 则高所在直线的斜率为2， 所以高所在直线的方程为，即. 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 【例4】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【解答过程】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用平行关系设出直线方程，再代入点，即可写出直线方程. 【解答过程】因为直线与平行，设直线方程为. 因为直线经过，代入解得.所以直线方程为. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·北京西城·期末）与直线平行且过点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平行关系可求斜率，利用点斜式可得答案. 【解答过程】因为所求直线与直线平行，所以斜率为， 因为直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【解答过程】直线的斜率为，所求直线与其平行，故其斜率为， 又直线过点，则所求直线的方程为，即. 故选：C. 【题型5 根据两直线平行求参数】 【例5】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【解答过程】因为已知直线，且 ， 所以，解得， 当时，的方程为，即，此时满足 . 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·河北邢台·期末）若直线与互相平行，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据两直线平行的条件进行求解. 【解答过程】因为直线与互相平行， 所以，解得， 当时，两直线重合， 当时，两直线平行． 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用两直线平行时，斜率间的关系可求答案. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线和直线，若，则（   ） A． B．2或 C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据得到关于的等式，计算验证即可. 【解答过程】若，则，解得或， 当时，直线，即和直线重合，舍去， 当时，直线和直线，此时符合题意. 综上，. 故选：D. 【题型6 根据两直线垂直求参数】 【例6】（25-26高二上·四川巴中·期末）若直线与垂直，则（   ） A．4 B．1 C．4 D．1 【答案】B 【解题思路】利用两直线垂直斜率之积为，列方程求解即可. 【解答过程】时，不合题意，则时， 直线与直线的斜率分别为， 因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·青海海东·期末）已知直线，.若，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解题思路】由两直线垂直的判定列方程求参数值. 【解答过程】由得，可得. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·山西阳泉·期末）“”是“直线和直线垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先判断时两直线是否垂直确定充分性，再由两直线垂直求出的值判断必要性. 【解答过程】当时，两直线分别为和， 根据两直线垂直的判定条件可得：， 所以两直线垂直，充分性成立， 若两直线垂直，则，即， 求解可得或，所以必要性不成立. 所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线垂直得出系数关系计算求参. 【解答过程】两直线垂直，，即解得． 故选：A. 模块四 直线方程的实际应用 【知识点3 直线方程的实际应用】 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【答案】B 【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可. 【解答过程】由题意知：蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过两点，故其斜率， ∴直线方程为， ∴当蜡烛燃尽时，有，即， 故选：B. 【变式7-1】（25-26高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【答案】；铁棒在100℃时的长度是m. 【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答. 【解答过程】依题意，设l与t的关系式为：，是常数， 于是得，解得， 则l与t的关系式为，当时，， 所以所求直线的方程为，铁棒在100℃时的长度是m. 【变式7-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【答案】10.12m 【解题思路】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点即可求出； 【解答过程】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    【变式7-3】（25-26高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【答案】（1）； （2）当时，，此时． 【解题思路】（1）根据题意可得，根据直线的截距式方程即可求解. （2）设，可得，展开配方即可求解. 【解答过程】（1）由题意得， 所以线段所在直线的方程为，即； （2）设，则草坪的占地面积 ， 故当时，，此时． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线互相垂直得到斜率，再结合直线经过点，写出直线的点斜式，再转化为一般式即可. 【解答过程】由题可知，直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 又因为直线过点，故可设点斜式，整理得， 故选：A. 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线过点，且与直线平行，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】将点代入直线求出，再由两条直线平行列方程求，从而可求的值. 【解答过程】因为直线过点， 所以，解得. 因为直线与直线平行， 所以，即，解得， 所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【解答过程】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 4．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知点，则线段的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断直线的斜率，再求的中点坐标，进而求解. 【解答过程】由题可得，直线的斜率不存在，所以线段的垂直平分线的斜率为， 且线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程是． 故选：B. 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线，则下列结论正确的个数是（   ） ①直线的纵截距为1； ②向量是直线的一个方向向量； ③过点与直线平行的直线方程为； ④若直线，则 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】根据纵截距的定义，结合方向向量的定义、平行直线、垂直直线的性质逐一判断即可. 【解答过程】①：由，所以直线的纵截距为，所以本序号说法不正确； ②：由直线方向向量可知该直线的斜率为，恰好是直线的斜率，所以本序号的说法正确； ③：设与直线平行的直线方程为，该直线过， 所以，即直线方程为，所以本序号的说法正确； ④：因为直线的斜率为，所以，所以本序号的说法正确， 结论正确的个数是. 故选：B. 6．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用两点间斜率公式及直线垂直的充要条件结合点斜式计算即可. 【解答过程】由题意可知直线的斜率为，则边上的高所在直线的斜率为， 所以该高线的方程为，整理得. 故选：A. 7．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）过，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】考虑直线斜率不存在，斜率为0和直线斜率存在且不为0时，设出直线方程，求出在两坐标轴上的截距，从而得到方程，求出答案. 【解答过程】当过的直线方程斜率不存在时，直线方程为， 显然，此时在x轴上的截距为6，在y轴上截距不存在，不满足要求； 当过的直线方程斜率为0时，直线方程为， 显然，此时在x轴上截距不存在，在y轴上的截距为，不满足要求； 当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 令得，令得， 由题意得，化简得， 解得或， 故直线方程为或， 即或 故选：D. 8．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】先将直线方程变形得到定点，将点代入直线确定的关系，最后运用基本不等式中的“乘1法”即可. 【解答过程】由，得， 由得，则直线过定点，故， 代入直线，得，整理得， ， 当且仅当时，即时取等号， 故最小值为. 故选：D． 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 【答案】BCD 【解题思路】对于A：将直线方程化为斜截式即可判断斜率；对于B：根据倾斜角的定义即可判断；对于C：过与x轴垂直的直线方程为；对于D：斜率相等，纵截距不相等，两直线平行． 【解答过程】对于选项A：，斜率为，并非，故A错误； 对于选项B：直线是垂直于轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为，故B正确； 对于选项C：过点且与轴垂直的直线方程为，故C正确； 对于选项D：直线与的斜率均为3，且纵截距（1和）不相等，故它们平行，故D正确． 故选：BCD． 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【解题思路】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断. 【解答过程】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC. 11．（25-26高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 【答案】ABC 【解题思路】由，可判断A；边上的高斜率为0，可求边上的高所在直线的方程，判断B；求，由直角三角形面积判断C；求出点，中点，再求，即可得边上的中线所在直线的方程，判断D. 【解答过程】根据题意，，， 则，所以，是直角三角形，A正确； 由，所以边上的高斜率为0， 边上的高则所在直线的方程是，B正确； 由，所以，C正确； 由点，中点，则， 所以边上的中线所在直线的方程是， 即，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）过点且垂直于的直线方程是___________. 【答案】 【解题思路】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程. 【解答过程】由，得，所以直线的斜率为. 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以过点且垂直于的直线方程为，即. 故答案为：. 13．（25-26高二上·湖南常德·期末）直线：恒过定点___________． 【答案】 【解题思路】原方程整理为，解方程组得解. 【解答过程】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为：. 14．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为___________. 【答案】 【解题思路】求出中点坐标，利用两点式求直线方程. 【解答过程】设中点，则，即， 所以边上的中线所在的直线方程为， 整理得， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·贵州黔西南·期中）根据下列条件，求直线方程： (1)过点，且与直线垂直； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据直线垂直得出斜率，点斜式即可求解； （2）分类讨论利用截距相等求解. 【解答过程】（1）直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线方程为， ②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 16．（25-26高二上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据斜率公式求得斜率，再根据两直线垂直时斜率关系求得直线的斜率，由点斜式方程即可求解； （2）分类讨论，当截距为0和截距不为0两种情况即可求解． 【解答过程】（1）由，可得直线AB的斜率为， 因为，故直线的斜率为3， 则直线的方程为，即． （2）当截距均为0时，直线方程为，符合题意， 当截距不为0时，不妨设直线方程为， 又直线经过点A，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或． 17．（25-26高二上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线平行得到斜率，点斜式即可得解； （2）根据直线垂直，得到斜率，即可求解. 【解答过程】（1）∵四边形为平行四边形，∴.∴. ∴直线的方程为，即. （2）∵，∴. ∴直线的方程为，即. 18．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【解答过程】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为， 当时，分母取得最大值，则此时取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 19．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)或； (3). 【解题思路】（1）求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. （3）求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【解答过程】（1）直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 直线的方程（二）（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 求直线方程的一般方法 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线： ①平行于x轴?②平行于y轴?③与x轴重合?④与y轴重合? 【知识点1 直线方程的求法】 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【变式1-3】（2026高一上·全国·专题练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 【题型2 直线过定点问题】 【例2】（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 模块三 两条直线的位置关系 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【例3】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. (1)与直线：垂直； (2)两坐标轴上截距相反. 【变式3-3】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，试求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 【例4】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·北京西城·期末）与直线平行且过点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型5 根据两直线平行求参数】 【例5】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式5-1】（25-26高二上·河北邢台·期末）若直线与互相平行，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式5-2】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式5-3】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线和直线，若，则（   ） A． B．2或 C． D．2 【题型6 根据两直线垂直求参数】 【例6】（25-26高二上·四川巴中·期末）若直线与垂直，则（   ） A．4 B．1 C．4 D．1 【变式6-1】（25-26高二上·青海海东·期末）已知直线，.若，则（   ） A． B． C．4 D． 【变式6-2】（25-26高二上·山西阳泉·期末）“”是“直线和直线垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 模块四 直线方程的实际应用 【知识点3 直线方程的实际应用】 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【变式7-1】（25-26高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【变式7-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【变式7-3】（25-26高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线过点，且与直线平行，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知点，则线段的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线，则下列结论正确的个数是（   ） ①直线的纵截距为1； ②向量是直线的一个方向向量； ③过点与直线平行的直线方程为； ④若直线，则 A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）过，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 8．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 11．（25-26高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 三、填空题 12．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）过点且垂直于的直线方程是___________. 13．（25-26高二上·湖南常德·期末）直线：恒过定点___________． 14．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为___________. 四、解答题 15．（25-26高二上·贵州黔西南·期中）根据下列条件，求直线方程： (1)过点，且与直线垂直； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 16．（25-26高二上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 17．（25-26高二上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 18．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 19．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $