第08讲 直线的交点坐标与距离公式讲义-2025年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第08讲：直线的交点坐标与距离公式 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两点间的距离 公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 知识点三　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【例题详解】 题型一、求相交直线的交点坐标或者参数问题 1．（22-23高二上·全国·课后作业）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（    ） A．20 B． C．12 D．4 【答案】A 【分析】由直线与互相垂直，利用一般式的垂直公式可求得，再将垂足代入两直线方程可求出，继而可求. 【详解】因为直线与互相垂直 所以，解的， 所以直线为， 又垂足为，可得，解得， 则垂足为，又其在上， 可得，解得. 所以， 故选：A. 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线：与直线：的交点坐标为 . 【答案】 【分析】联立方程即可求解. 【详解】联立，解得，故交点为， 故答案为： 3．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三条直线，和． (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直得到，解得即可； （2）首先求出与的交点，将交点坐标代入直线中，计算可得. 【详解】（1）解：因为，且， 所以，解得. （2）解：由， 解得，即与的交点为， 因为三条直线相交于一点，所以点在上， 所以，解得. 题型二、两点间的距离问题 4．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率列方程，求得，进而求得. 【详解】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【分析】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】利用两点间距离公式求出各边长，求和即可得到结果. 【详解】， ， ， 的周长为. 故答案为：. 题型三、点到直线的距离或参数问题 7．（2025高三·全国·专题练习）求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）先将直线方程化为一般式；再根据点到直线距离公式即可求解.． （2）特殊状态的直线可数形结合解决． （3）特殊状态的直线可数形结合解决. 【详解】（1）将化为一般式：. 由点到直线距离公式可得： 点到该直线的距离为. （2）将化为：，    因为该直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为 （3）因为直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为. 8．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 9．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 题型四、求点关于直线对称问题 10．（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 11．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）（多选）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【详解】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 12．（24-25高二上·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点为，再利用点斜式方程即可得答案. 【详解】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由直线点斜式方程得直线的方程为：， 化为 故答案为： 题型五、求直线关于直线对称问题 13．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两直线的交点，再在直线取点，并求其关于直线的对称点，由两点即可求出结果. 【详解】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即， 故选：C. 14．（21-22高二·全国·课后作业）一次函数所表示的直线为，若、关于x轴对称，则的倾斜角为 . 【答案】 【分析】先求得直线的方程，即可求得直线的斜率，进而求得的倾斜角 【详解】设点为直线上任意一点，点关于x轴的对称点为 由直线与直线关于x轴对称，可知点在直线上 则有，则直线的方程为，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，则 即直线的倾斜角为 故答案为： 15．（20-21高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 题型六、两平行线间的距离 16．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 17．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 【答案】 【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离. 【详解】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离. 故答案为：. 18．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）当时与相交，即可求出的值； （2）根据一般式下两直线平行的条件得到方程（不等式）组，求出的值，再由距离公式计算可得. 【详解】（1）因为直线与直线， 当直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离. 题型七、直线关于点、直线对称问题 19．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 20．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 21．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 题型八、距离的综合应用 22．（2022高二·江苏·专题练习）已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意先作出点关于直线的对称点，然后连接，则直线与的交点为所求； （2）连接，则与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：由题意知，点、在直线的同一侧． 由平面几何的知识可知，先作出点关于直线的对称点， 然后连接，则直线与的交点为所求． 设，则且， 解得，，， 直线的方程为． 由，解得， 即为所求； （2）连接，则与直线的交点即为所求， 易得直线的方程为， 联立，解得， 即为所求． 23．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为，然后由点到直线的距离为，列方程可求出的值，再求出点关于点对称，再在直线上任取一点，求出其关于点的对称点，从而可求出直线的方程； （2）设原点为关于直线的对称点为，则，当三点共线时取等号，然后求出直线的方程，联立直线的方程与直线的方程可求出点的坐标. 【详解】（1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为， 因为点到直线的距离为， 所以， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 当时，， 则直线与轴交于点， 点，关于点的对称轴分别为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， （2）设原点为关于直线的对称点为，则， 所以， 所以当三点共线时取等号， 设，则，解得，即， 所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，即. 24．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程； （2）将直线写成，可求定点，即可证； （3）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程. 【详解】（1）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. （2）由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. （3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时， 由，则，故，整理得. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 2．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两条直线的交点，并根据交点在第一象限，解出的取值范围即可. 【详解】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 3．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线之间距离介于两直线重合和两直线与直线垂直这两种情况之间，故求出两种临界情况即可得到两直线之间的距离的取值范围. 【详解】当两直线都与垂直时，它们之间的距离达到最大， 此时， 当两直线重合时其距离为0. 所以． 故选：B. 4．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用两点间距离公式及斜率坐标公式计算判断. 【详解】依题意，，，即， 又线段的中点为，线段的中点为，即线段与互相平分， 因此四边形是矩形，而直线的斜率，直线的斜率， 即，则，所以矩形是正方形. 故选：B 5．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为； 点和到直线的距离相等可知， 解得或. 故选：C 6．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 7．（13-14高三·全国·课后作业）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解. 【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线， 则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0， 根据平行线间的距离公式得 所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6， 即l：x＋y－6＝0. 根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 9．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 二、多选题 10．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 【答案】AC 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 故选：AC. 11．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） A．直线必过定点 B．点关于直线对称的点是 C．直线的斜率为 D．点到的距离是 【答案】ACD 【分析】将直线方程变形，可求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；利用点与点关于直线对称，求出点关于直线对称的点的坐标，可判断B选项；求出直线的斜率，可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线方程可化为， 由可得，所以，直线必过定点，A对； 对于B选项，设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 所以，点关于直线对称的点的坐标为，B错； 对于C选项，直线的斜率为，C对； 对于D选项，点到的距离是，D对. 故选：ACD. 12．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（   ） A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意可知直线为的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论. 【详解】易知的中点坐标为，则点在直线上， 所以，解得， 所以直线的斜率为. 又因为，所以， 解得. 故选：ABD 13．（24-25高二上·江苏常州·期中）下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．直线过定点 D．点关于直线的对称点是 【答案】ACD 【分析】令可求直线在轴上的截距判断A；分斜率存在与不存在两种情况可判断B；求得的定点可判断C；由点关于直线的对称点可判断D. 【详解】对于A，令，可得，所以直线在轴上的截距为，故A正确； 对于B，经过定点的直线斜率存在时可以用方程表示， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 故经过定点的直线方程为或，故B错误； 对于C，由， 方程为过直线与直线的交点的直线， 由，解得， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，点关于直线的对称点是，故D正确. 故选：ACD. 14．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．当实数时，直线和互相垂直 【答案】BCD 【分析】对于A，由直线过定点，按参数整理，令参数的系数为0求解即可；对于B，利用点关于直线的对称的性质求解；对于C，利用平行线之间的距离公式求解；对于D，利用直线垂直的系数关系判定即可. 【详解】对于A，，，故直线过定点，故A错误； 对于B，设点关于直线的对称点为,则 即点关于直线的对称点为，B正确； 对于C， ，，故C正确； 对于D， 时，，故直线和互相垂直，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 15．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知点和，点在轴上，且，则点的坐标为 . 【答案】或 【分析】设，因为，所以由勾股定理可得，将表达式化简求解即可. 【详解】因为点在轴上，设，因为， 所以由勾股定理可得， 即，解得或， 所以点的坐标是或. 故答案为：或. 16．（24-25高三下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当与直线垂直时，点与动点P之间距离|AP|有最小值，通过计算点A到直线的距离即可求解. 【详解】已知直线方程为，点， 根据点到直线的距离公式，代入得到： 因此，点到直线的最短距离即|AP|的最小值为. 故答案为：. 17．（24-25高二上·四川雅安·期中）已知点关于直线对称，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出的斜率，然后根据点斜式即可求解. 【详解】∵， ∴， 又的中点， ∴ 整理得：. 故答案为：. 18．（22-23高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线的方程为. （1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程 ； （2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程 . 【答案】 . 【分析】根据题意，由点关于点对称的点在直线上，列出方程即可得到结果；由题意可得直线与直线的交点，求出关于直线对称的点为，即可得到直线方程. 【详解】因为直线和直线关于点对称， 在直线上任取一点，则关于点对称的点在直线上， 将点代入直线可得， 所以直线的方程为； 设直线与直线的交点为， 所以，解得，则， 在直线上取点，设关于直线对称的点为， 则① 因为与的中点坐标为， 所以② 由①②可得，所以 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线经过点和点， 所以直线的两点式方程为， 整理得直线的一般式方程为. 故答案为: ;. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 20．（2025高三·全国·专题练习）两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由过定点的两条平行直线可得，极限思想可得出其最小要大于重合时的距离，最大时为与直线垂直时. 【详解】由极限思想可得，两直线的距离， 而当平行线，与直线垂直时，两平行线的距离最大，即， 所以，． 故答案为： 四、解答题 21．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知，． (1)若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程； (2)在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）易知当直线l过线段AB中点时，l的方程为；当直线l与线段AB平行时，利用直线的点斜式方程计算即可求解； （2）易知点关于y轴对称的点为，当且仅当，P，B三点共线时，利用直线的两点式方程求出直线的方程，即可求解. 【详解】（1）当直线l过线段AB中点时，则线段AB的中点C的坐标为， ∵直线l过点，且点A，B到l的距离相等， ∴直线l的方程为， 当直线l与线段AB平行时，则， 得直线l的方程为：，即， ∴综上所知：所求的直线l的方程为和； （2）点关于y轴对称的点为，则， 当且仅当，P，B三点共线时，的最小值为5. 由两点式可知，直线的方程为， 化简，得，当时，， 所以点P的坐标为. 22．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线． (1)若经过两点的直线与直线垂直，求此时直线的斜率； (2)时，若点关于直线的对称点为点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据两点坐标求解斜率，即可根据垂直关系求解， （2）根据点关于直线对称，求解，即可由两点间距离公式求解. 【详解】（1）由得， 由于，所以， （2）当时， 设点关于直线的对称点为点，则 ，解得, 故，所以 23．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出在轴和轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果； （2）由求出，再由两平行线的距离求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 24．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 25．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 26．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）（1）求函数的最小值． （2）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）问题转化为求x轴上点到两点的距离之和的最小值，应用将军饮马模型求最小值，注意取值条件； （2）设直线相关交点为，根据是的中点，列方程求参数，应用点斜式求直线方程. 【详解】（1）由，表示x轴上点到两点的距离之和， 又关于x轴对称点为，显然，    如上图，，仅当与原点重合时等号成立， 所以函数最小值为. （2）若直线与和分别交于，      则是的中点，故，即，可得， 所以，则， 故直线的方程为，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲：直线的交点坐标与距离公式 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　两条直线的交点 1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 . (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两点间的距离 公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 知识点三　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【例题详解】 题型一、求相交直线的交点坐标或者参数问题 1．（22-23高二上·全国·课后作业）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（    ） A．20 B． C．12 D．4 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线：与直线：的交点坐标为 . 3．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三条直线，和． (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值． 题型二、两点间的距离问题 4．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，，则的周长为 ． 题型三、点到直线的距离或参数问题 7．（2025高三·全国·专题练习）求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 8．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 9．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 题型四、求点关于直线对称问题 10．（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）（多选）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 题型五、求直线关于直线对称问题 13．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（21-22高二·全国·课后作业）一次函数所表示的直线为，若、关于x轴对称，则的倾斜角为 . 15．（20-21高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 题型六、两平行线间的距离 16．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 17．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 18．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 题型七、直线关于点、直线对称问题 19．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 21．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 题型八、距离的综合应用 22．（2022高二·江苏·专题练习）已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 23．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 24．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 2．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 5．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 7．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 11．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） A．直线必过定点 B．点关于直线对称的点是 C．直线的斜率为 D．点到的距离是 12．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（   ） A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 13．（24-25高二上·江苏常州·期中）下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．直线过定点 D．点关于直线的对称点是 14．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．当实数时，直线和互相垂直 三、填空题 15．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知点和，点在轴上，且，则点的坐标为 . 16．（24-25高三下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 17．（24-25高二上·四川雅安·期中）已知点关于直线对称，则直线的方程为 . 18．（22-23高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线的方程为. （1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程 ； （2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程 . 19．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 20．（2025高三·全国·专题练习）两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为 ． 四、解答题 21．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知，． (1)若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程； (2)在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标． 22．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线． (1)若经过两点的直线与直线垂直，求此时直线的斜率； (2)时，若点关于直线的对称点为点，求线段的长度． 23．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 24．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 25．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 26．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）（1）求函数的最小值． （2）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$