第07讲 直线的倾斜角与斜率（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第07讲 直线的倾斜角与斜率（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 倾斜角与斜率 我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么,如何用坐标表示直线呢?为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来. 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线经过点，，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·河北唐山·期末）已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A． B．60° C．120° D．150° 【变式1-3】（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·广东·期末）潮阳实验学校校园内有两栋教学楼，坐标分别为和，则连接两楼的直线斜率为（    ） A． B．2 C． D．-2 【变式2-2】（25-26高二上·江苏连云港·期末）过两点和的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）在中，，的中点，重心，则边所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【变式4-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例5】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·四川内江·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块三 两条直线平行和垂直的判定 【知识点2 两条直线平行和垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型6 两条直线平行的判定及求参】 【例6】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，若，则（   ） A．-1 B．3 C．-1或-3 D．-1或3 【变式6-1】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 【题型7 两条直线垂直的判定及求参】 【例7】（25-26高二上·山东济南·期末）已知直线与垂直，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式7-1】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式7-2】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）若点在直线上的垂足为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】（25-26高二上·广东汕尾·期末）已知直线，直线，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型8 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例8】（25-26高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式8-3】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 4．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）若直线和互相垂直，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 10．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·福建三明·阶段检测）已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（25-26高二上·江西宜春·期末）过，两点的直线的倾斜角为__________. 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是__________. 14．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 16．（2026高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 17．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 18．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 19．（2026高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 直线的倾斜角与斜率（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 倾斜角与斜率 我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么,如何用坐标表示直线呢?为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来. 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线经过点，，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由两点式斜率公式求得斜率，再结合倾斜角的范围求解即可. 【解答过程】因为直线经过点，，所以的斜率为， 又直线倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【解答过程】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·河北唐山·期末）已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A． B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解题思路】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可. 【解答过程】直线的方程为，，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，即. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【解答过程】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线的斜率公式可得出直线的斜率. 【解答过程】直线经过点和点，则直线的斜率为. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·广东·期末）潮阳实验学校校园内有两栋教学楼，坐标分别为和，则连接两楼的直线斜率为（    ） A． B．2 C． D．-2 【答案】A 【解题思路】根据直线的斜率计算公式计算即可. 【解答过程】由直线的斜率计算公式可得. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·江苏连云港·期末）过两点和的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两点间的斜率公式计算即可 【解答过程】由 所以直线的斜率为： 故选：D. 【变式2-3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）在中，，的中点，重心，则边所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先根据条件可求出点、的坐标，然后可算出答案. 【解答过程】因为，的中点，所以点的坐标为 因为重心，所以点的坐标为 所以. 故选：B. 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合图象应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答过程】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答. 【解答过程】当直线l的倾斜角为时，直线l的斜率不存在； 当直线l的倾斜角时，直线l的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线l的斜率的取值范围是. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解答过程】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对直线的斜率的取值范围进行分类讨论，利用倾斜角与斜率的关系可得出的倾斜角取值范围. 【解答过程】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据过两点的直线的斜率公式列方程求解. 【解答过程】因为经过，两点的直线的倾斜角为45°， 所以该直线的斜率，即，解得. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【解答过程】依题意，得，解得， 故选：C． 【变式4-2】（25-26高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可. 【解答过程】显然，则，即，解得. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【解题思路】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【解答过程】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B. 【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例5】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【解答过程】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【解答过程】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【解答过程】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 【变式5-3】（25-26高二上·四川内江·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【解答过程】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 模块三 两条直线平行和垂直的判定 【知识点2 两条直线平行和垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型6 两条直线平行的判定及求参】 【例6】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，若，则（   ） A．-1 B．3 C．-1或-3 D．-1或3 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式求解. 【解答过程】由直线：与直线：平行， 得，所以或. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先由两直线平行求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【解答过程】若直线与直线平行， 当时，两直线为和直线，平行，符合； 当时，两直线为和直线， 则， 综上，直线与直线平行的充要条件是. 所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两直线平行的条件判断即可. 【解答过程】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【解答过程】若，则，解得或3， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则时，. 故选：A. 【题型7 两条直线垂直的判定及求参】 【例7】（25-26高二上·山东济南·期末）已知直线与垂直，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】利用两条直线垂直的公式求解. 【解答过程】将直线化为， 直线与垂直， ，. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解题思路】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【解答过程】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）若点在直线上的垂足为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意结合直线垂直列式求解即可. 【解答过程】由题意得，解得，所以. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高二上·广东汕尾·期末）已知直线，直线，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据结论求出的充要条件，再根据充分条件、必要条件的定义判断. 【解答过程】的充要条件为， 即，得或， 故是的充分不必要条件. 故选：A. 【题型8 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例8】（25-26高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【解答过程】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【解答过程】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式8-3】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【解题思路】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【解答过程】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可求解. 【解答过程】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为． 故选：D. 2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】利用两点斜率公式计算即可. 【解答过程】点所在直线的斜率为. 故选：A. 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【解题思路】由两直线平行的条件计算． 【解答过程】由题意，， 时，方程是，的方程是，平行； 时，方程可化为，方程化为，两直线重合，舍去， 故选：A. 4．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【解答过程】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 5．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）若直线和互相垂直，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用两直线垂直，它们的斜率乘积为，即可求解. 【解答过程】由直线和互相垂直，可得：， 解得：， 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解题思路】假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解. 【解答过程】若，则，即， 解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符合； 当时，，，符合要求； 综上，可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 【答案】A 【解题思路】根据斜率公式得出的关系，再利用基本不等式求的最大值. 【解答过程】因为直线过点和，且倾斜角为135°， 所以，得， 因为点在第一象限，所以， 所以，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【解答过程】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【解答过程】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 10．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【解答过程】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD. 11．（25-26高二上·福建三明·阶段检测）已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】根据两直线平行与垂直关系求出参数值即可判断各选项. 【解答过程】若，则，即，解得或， 当时，直线，，即，两直线重合，不合题意；所以A错误； 当时，直线，，所以，所以B正确； 若，则，解得；所以C错误，D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高二上·江西宜春·期末）过，两点的直线的倾斜角为__________. 【答案】 【解题思路】利用直线倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【解答过程】设该直线的倾斜角为，易知， 由题意知，即； 可得. 故答案为：. 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是__________. 【答案】7 【解题思路】根据斜率相等计算. 【解答过程】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【解答过程】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 【答案】(1)； (2)； 【解题思路】根据经过两点的直线斜率计算公式以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【解答过程】（1）因为，， 所以斜率， 又倾斜角为，，故； （2）因为，， 所以斜率， 又倾斜角为，，故. 16．（2026高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行 (2)重合 (3)垂直 (4)垂直 【解题思路】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【解答过程】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 17．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【解答过程】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 18．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据直线平行的条件列出方程，求解即可； （2）分与两种情况，结合直线垂直的条件列出方程，求解即可. 【解答过程】（1），， 因为，所以，解得或. 又因为，且与不能重合，所以，即， 故. （2）当时，，解得； 当时，直线斜率不存在，倾斜角为；而，倾斜角为， 满足，合题意，故或. 19．（2026高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【解答过程】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $