平面向量的概念及线性运算（全国通用）-2027年高考数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念及线性运算，涵盖向量的基本概念、线性运算、参数求解及共线定理应用等高考核心考点，按“概念-运算-定理-应用”逻辑构建知识体系。通过考点梳理、方法指导（如常用结论总结）、真题训练（各地期中及模拟题）等环节，帮助学生系统突破向量表示与运算难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用“概念辨析-图形直观-逻辑推理”教学策略，如在向量线性运算中结合梯形、三角形图形分析，培养学生数学眼光和几何直观。设置选择、填空、解答分层练习，配合共线定理应用的参数求解专题，强化数学思维和符号表达能力。通过真题情境化训练，帮助学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

5.1 平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．规定：零向量与任意向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 几何意义 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λ a|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】λ，μ为实数． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【注意】当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． [常用结论] 1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝(＋). 2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1. 3．若G为△ABC的重心，则有 (1)＋＋＝0；(2)＝(＋). 4．对于任意两个向量a，b，都有 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式) 考点一　平面向量的概念 考点二　向量的线性运算 考点三　根据向量的线性运算求参数 考点四　向量共线定理的应用 考点一　平面向量的概念 1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量的长度是0 B．向量是有向线段 C．若，则 D．若是共线的单位向量，则 【答案】AC 【详解】对于A，由零向量的定义可知，A正确； 对于B，向量可以用有向线段表示，不能说向量是有向线段，B错误； 对于C，由向量相等的定义可知，C正确； 对于D，若是共线的单位向量，则或，D错误． 2．（25-26高三上·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①加速度是有方向有大小的量，故①正确； ②若，则与不一定平行，②错误； ③若向量，则直线与直线平行或共线，③错误； ④两个向量不能比较大小，④错误； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量，⑤正确； ⑥方向相同，大小相等的两个向量为相等向量，表示它们的有向线段的起点可能不同，⑥错误； 所以其中错误的有4个. 3．（25-26高三上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BD 【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B：当时，和可以是任意向量，不一定平行，B错误； 选项C：是与同向的单位向量，C正确； 选项D：当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误. 4．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 【答案】B 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 5．（25-26高三上·广东深圳·期中）（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“”的充要条件是且 C．若与共线，与共线，则与共线 D．向量与不共线，则与都是非零向量 【答案】ABC 【分析】利用共线向量，向量的模，充分必要条件的定义进行判定． 【详解】对于A，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，故A错误； 对于B，充要条件是且方向相同，故B错误； 对于C，当时，与共线不一定成立，故C错误； 对于D，向量与不共线，则与都是非零向量，故D正确． 6．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．平行向量一定是共线向量 C．两个单位向量的和一定不是单位向量 D．若，是不共线向量，则向量，都是非零向量 【答案】BD 【分析】应用向量的定义判断A，应用平行向量的定义判断B，D，应用特殊向量的加法及单位向量判断C. 【详解】由向量的定义可知A错误； 由平行向量的定义可知平行向量一定是共线向量，B正确； 当两个单位向量的夹角为时，这两个单位向量的和还是单位向量，C错误； 因为零向量与任何向量平行，所以当，是不共线向量时，向量，都是非零向量，D正确. 考点二　向量的线性运算 7．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用平面向量线性运算法则，结合等边三角形外心与重心重合的性质，将用不同基底表示，逐一验证选项. 【详解】选项A、B：等边三角形中，为中点，外心在中线上， 且满足，因此， 是中点，故. 则 ，故A正确、B错误； 选项C、D：由上述推导过程可得，故C正确、D错误. 8．（25-26高三上·广西河池·期中）如图所示，D，E分别为AB，CD的中点，若向量，用表示向量．    【答案】 【分析】利用向量的加法和中线向量公式即可求解. 【详解】    由D，E分别为AB，CD的中点，利用中线向量公式可得：， 则， 因为，，所以，， 则代入可得：. 9．（25-26高三上·四川成都·期中）如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）方法一，利用三角形相似，将其用表示出来，再由（1）即可求得； 方法二，利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由图，． （2）设，则 ． 设，则，则，解得， 所以． 方法二：            （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 10．（25-26高三上·广东汕尾·期中）在中，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：根据向量的运算法则，先用、表示，再用、表示，整理化简即可； 法二：取中点，根据向量的运算法则，先用、表示，再用、表示，整理化简即可. 【详解】（法一）根据题意，因为，根据平面向量的运算法则，可得. （法二）取中点，由题意可知，为中点，如图， 则. 11．（25-26高三上·江苏·期中）在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形法则，以及平面向量基本定理，结合已知条件分析求解即可. 【详解】如图所示： 因为， 所以， 又，所以. 12．（25-26高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点（靠近点），记，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加法的三角形法则，将 表示为 ，结合已知条件求出 和 关于基底向量 的表达式，代入计算即可. 【详解】由题意可知，在梯形中，， 又因为，，， 所以 ，即， 则，， 又因为的中点，则， 因为线段的四等分点（靠近点 ）， 则。 因为为的中点，所以， 所以 . 考点三　根据向量的线性运算求参数 13．（2026高一·全国·专题练习）在平行四边形中，分别是的中点，若，则______，______． 【答案】 /0.4 【分析】如图设与相交于点，根据共线可得，又，可得，再利用向量线性运算即得. 【详解】设与相交于点，如图， 设，又， 所以，即， 所以，解得， ， 即， 所以，． 故答案为：； 14．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_______. 【答案】2 【分析】由已知可得向量与向量共线，设，根据向量线性运算法则可得，，由此可得，根据平面向量基本定理可得，，由此可得结论. 【详解】由已知向量与向量共线，故可设， 所以， 因为，所以， 故， 所以， 又， ，不共线， 由平面向量基本定理可得，，， 所以， 故答案为： 15．（25-26高三上·天津红桥·阶段检测）如图，在中，是的中点，点N在边上，且，与相交于点，设，则_________；_________.（注：用和来表示） 【答案】 【分析】根据中线的向量表示求出，设，，再由平面向量基本定理列出方程即可求出得解. 【详解】因为是的中点，， 所以， 设， 则 ， 设，则， 所以，解得， 所以. 故答案为：； 16．（25-26高三上·四川雅安·阶段检测）在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数__________． 【答案】4 【分析】利用定比分点将化简，由平面向量共线定理计算可得结果. 【详解】根据题意可得， 所以， 由与平行可得， 即，又不共线， 所以，解得. 故答案为：4 17．（25-26高三上·广东中山·期中）（多选）如图， 在中，为的中点， ，与交于点，若 ，则下面对于的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用平面向量基本定理及平面向量的线性运算，结合三点共线的向量性质，即可得出. 【详解】， 因为，所以，即， 由三点共线，所以，即，故A正确； 又为的中点，所以，即， 由三点共线，所以，即，故C正确； 则由，可解得， ，故B错误； ，故D错误. 故选：AC 18．（25-26高三上·云南·阶段检测）在平行四边形中，，则______． 【答案】/0.25 【分析】根据平面向量线性运算及平面向量基本定理可得结果. 【详解】如图，因为在平行四边形中，，所以， 所以，所以， 所以，则，所以． 故答案为：. 考点四　向量共线定理的应用 19．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 20．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量基本定理和共线向量定理的推论求解可得. 【详解】由题意可得． 因为是的中点，所以． 因为三点共线，所以． 又因为，所以， 所以，消去，可得．    21．（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（     ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】先根据向量的性质得到，再使用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由于是的中点，故. 而点在直线上，故， 从而， 当且仅当等号成立. 22．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 【答案】A 【分析】根据题意求出，结合与的关系分析判断即可. 【详解】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 23．（25-26高三上·广西梧州·期中）已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．    (1)，表示向量，； (2)判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 【答案】(1)， (2)，，三点共线．证明见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）首先表示出，即可得到，从而得证； 【详解】（1）， 因为． 所以. （2），，三点共线．证明如下; 由于， 所以， 所以， 因为为公共点， 所以，，三点共线． 24．（25-26高三上·河北沧州·期中）（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 【答案】（1）因为，是不共线的两个向量，且，， 所以， 因为，所以， 所以与共线. 又与有公共点，所以三点共线. （2） 【分析】（1）根据向量共线定理证明与共线，再由与有公共点，得三点共线； （2）由向量共线定理设存在实数，使得，根据向量相等，列 出相应方程组，求解可得实数的值. 【详解】（1）略 （2）若与共线， 则存在实数，使得， 即， 因为与不共线，所以， 整理得，，解得. 所以. 25．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 【答案】9 【分析】利用 平面向量三点共线的结论得到，利用基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】、、三点共线（该直线不过原点），且， ，， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为. 26．（25-26高三上·四川南充·期中）记直线与的边交于两点，且． (1)若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； (2)若直线恒过的重心，试求的最小值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）第一小问结合已知条件运用向量的线性运算规律即可表示出，第二小问先将用表示，再根据三点共线得到； （2）利用为重心得到，再根据三点共线得到，运用基本不等式知识即可得到的最小值． 【详解】（1）（i）因为，所以， 则． （ii）因为，所以，由（i）知， 所以， 因为三点共线，所以，所以． （2）因直线恒过的重心，连接并延长交于点， 则为的中点，所以， 因为，所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3． 1．（25-26高三上·广东广州·期中）已知，为非零向量，则“”是“存在实数，使”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设非零向量的夹角为， 对两边平方，得： 化简得，即. 因为为非零向量，故，又，所以，即与同向共线. 若“存在实数，使”，则与共线（同向或反向）. 充分性：由可知与同向共线，因此两向量必然共线， 即存在实数，使成立，故充分性成立. 必要性：举反例，若与反向共线，如，则，而， 故不成立，故必要性不成立. 2．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 【答案】B 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相等向量的定义判断B；根据向量夹角的定义判断C；根据平行四边形的判定判断D． 【详解】对于A，单位向量为模为1的向量，故A正确； 对于B，若，由于方向不确定，故不一定相等，故B错误； 对于C，在等边三角形中，与的夹角为，故C正确； 对于D，若，则平面四边形一定是平行四边形，故D正确． 3．（25-26高三上·上海·期中）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中和中，根据向量三角形加法法则建立等量关系即可表示出. 【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在中，， 在中，，又为的中点，为的中点， 所以，，因此， 又因为，所以. 4．（25-26高三上·河北·期中）在中，，，，为中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，结合图象的几何运算求解即可. 【详解】如图所示：连接, 因为为中点， 所以 5．（25-26高三上·安徽亳州·期中）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算计算即可. 【详解】由，得. . 6．（25-26高三上·河南·阶段检测）在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算及平面向量基本定理求得的值. 【详解】， 则，，解得 7．（25-26高三上·浙江·阶段检测）在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图可得：. 8．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图，在中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N．设，，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量基本定理及共线向量定理的推论列式求解. 【详解】在中，由点O是线段BC上靠近点B的三等分点，得， 则，即， 而，，则， 由共线，得，所以. 9．（25-26高三上·重庆·期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的推论建立关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出目标函数的最小值. 【详解】由点在线段上（不含端点），，得， 则，因此 ， 当且仅当，即，时取得等号， 所以的最小值为. 10．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）（多选）在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（   ） A． B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由得，， 又共线，则，所以，A正确； 对于B，由得，， 当且仅当时取等号，即的最小值为，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，C正确； 对于D，由得，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，D正确． 11．（25-26高三上·黑龙江·期中）（多选）已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为三点共线，所以. 所以，即，解得或. 12．（25-26高三上·四川成都·期中）（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量与相等，则，重合 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据向量共线定理可判断AB；根据向量的减法可判断C；根据垂直关系的向量表示可判断D. 【详解】对于A：与共线，与共线，而与不一定共线，所以等式不成立，A错误. 对于B：若，，则不存在实数使，B错误. 对于C：因为，所以，即，所以，重合，C正确. 对于D：由，得，则，不一定有，D错误. 13．（2026高一·全国·专题练习）对于任意三个向量，下列命题中正确的序号是______. ①若则 ② ③ ④若满足，且与反向，则 【答案】③ 【分析】根据零向量的性质、平面向量模的性质逐一判断即可. 【详解】对于①，由于零向量与任意向量均共线，则当时，不确定的关系，错误； 对于②，显然若时，，错误； 对于③，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知， 当且仅当两向量共线同向时取得等号，正确； 对于④，由向量的定义知，向量不能比大小，错误. 故答案为：③ 14．（25-26高三上·河南南阳·阶段检测）在中，为上一点且满足．若P为线段上一点，且为正实数），则的最小值为_______． 【答案】 【分析】先根据向量线性运算及三点共线的充要条件推导与的等量关系，再利用基本不等式的“1的代换”求目标式的最小值． 【详解】由得，即， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立． 15．（2026高三·全国·专题练习）设D是的边AB上的点，若，，则______． 【答案】 【分析】利用基底表示平面向量，根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即． 16．（25-26高三上·山东·期中）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 【答案】3 【详解】连接，如图所示， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为三点共线， 所以，所以． 17．（2026高三·全国·专题练习）设向量和不共线．若，，，且A，C，F三点共线，则实数k的值为______． 【答案】2 【分析】根据已知得，利用向量共线的基本定理有，列方程组求参数值即可得. 【详解】∵，， ∴， ∵A，C，F三点共线， ∴，从而存在实数，使得， ∴，又，是不共线的非零向量， ∴，因此． 18．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期中）在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 【答案】 【分析】将往上思考，再根据与的关系和三点共线的性质求出m，n最后得出答案. 【详解】由题知，，， 设, 因为三点共线，所以，解得，则， 故. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．规定：零向量与任意向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 几何意义 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λ a|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 【注意】λ，μ为实数． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【注意】当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． [常用结论] 1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝(＋). 2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1. 3．若G为△ABC的重心，则有 (1)＋＋＝0；(2)＝(＋). 4．对于任意两个向量a，b，都有 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式) 考点一　平面向量的概念 考点二　向量的线性运算 考点三　根据向量的线性运算求参数 考点四　向量共线定理的应用 考点一　平面向量的概念 1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量的长度是0 B．向量是有向线段 C．若，则 D．若是共线的单位向量，则 2．（25-26高三上·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 4．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 5．（25-26高三上·广东深圳·期中）（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“”的充要条件是且 C．若与共线，与共线，则与共线 D．向量与不共线，则与都是非零向量 6．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．平行向量一定是共线向量 C．两个单位向量的和一定不是单位向量 D．若，是不共线向量，则向量，都是非零向量 考点二　向量的线性运算 7．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·广西河池·期中）如图所示，D，E分别为AB，CD的中点，若向量，用表示向量．    9．（25-26高三上·四川成都·期中）如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 10．（25-26高三上·广东汕尾·期中）在中，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·江苏·期中）在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点（靠近点），记，，则（    ）    A． B． C． D． 考点三　根据向量的线性运算求参数 13．（2026高一·全国·专题练习）在平行四边形中，分别是的中点，若，则______，______． 14．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_______. 15．（25-26高三上·天津红桥·阶段检测）如图，在中，是的中点，点N在边上，且，与相交于点，设，则_________；_________.（注：用和来表示） 16．（25-26高三上·四川雅安·阶段检测）在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数__________． 17．（25-26高三上·广东中山·期中）（多选）如图， 在中，为的中点， ，与交于点，若 ，则下面对于的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·云南·阶段检测）在平行四边形中，，则______． 考点四　向量共线定理的应用 19．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 20．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（     ） A．2 B．4 C． D．8 22．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 23．（25-26高三上·广西梧州·期中）已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．    (1)，表示向量，； (2)判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 24．（25-26高三上·河北沧州·期中）（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 25．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 26．（25-26高三上·四川南充·期中）记直线与的边交于两点，且． (1)若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； (2)若直线恒过的重心，试求的最小值． 1．（25-26高三上·广东广州·期中）已知，为非零向量，则“”是“存在实数，使”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 3．（25-26高三上·上海·期中）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北·期中）在中，，，，为中点，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·安徽亳州·期中）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河南·阶段检测）在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·浙江·阶段检测）在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图，在中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N．设，，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 9．（25-26高三上·重庆·期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D．2 10．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）（多选）在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（   ） A． B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（25-26高三上·黑龙江·期中）（多选）已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·四川成都·期中）（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量与相等，则，重合 D．若，则 13．（2026高一·全国·专题练习）对于任意三个向量，下列命题中正确的序号是______. ①若则 ② ③ ④若满足，且与反向，则 14．（25-26高三上·河南南阳·阶段检测）在中，为上一点且满足．若P为线段上一点，且为正实数），则的最小值为_______． 15．（2026高三·全国·专题练习）设D是的边AB上的点，若，，则______． 16．（25-26高三上·山东·期中）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则______________． 17．（2026高三·全国·专题练习）设向量和不共线．若，，，且A，C，F三点共线，则实数k的值为______． 18．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期中）在中，是的中点，与交于点，若，则___________． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $