精品解析：广东省汕头市龙湖区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度第二学期期末学生学业质量评估 八年级数学 总分：120分考试 时间：120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、4不是二次根式，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案． 【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限， ∴， ∴的值可为2， 故选：D． 【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键． 3. 如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在中，，，则不一定成立，该选项不符合题意； B、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则不一定成立，该选项不符合题意； C、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在中，，该选项符合题意； D、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则不一定成立，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形性质，熟记平行四边形对角线相互平分是解决问题的关键． 4. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 5. 清溪中学在劳动基地开展主题为“春种秋收”的劳动教育活动，九年级（1）班师生共参与了剪枝、锄地、除草、浇水、施肥五项实践活动，已知五个项目的参与人数分别是，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 11，9 B. 10，9 C. 10，11 D. 11，11 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数的概念可知，11出现两次，次数最多，众数为11；将数据按大小顺序排列，位于第3个数即为中位数． 【详解】解：由题意，11出现两次，次数最多， ∴众数为11； 将数据按大小顺序排列为：7，9，11，11，12，故中位数为11； 故选：D． 【点睛】本题考查众数、中位数的概念，属于基础题，理解众数和中位数的概念是解题的关键． 6. 如图，数轴上点、、表示的数分别为，和3，点为原点，则以、、为边长构造三角形，则构造的三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴求得，根据勾股定理逆定理，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∴以、、为边长构造三角形，则构造的三角形为直角三角形 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 7. 为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如右图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴，， ∴，即之间的距离是， 故选：． 【点睛】本题主要考查中位线，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 8. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（ ） A. 13.5尺 B. 14尺 C. 14.5尺 D. 15尺 【答案】C 【解析】 【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解． 【详解】解：设绳索有x尺长，则 102+（x+1-5）2=x2， 解得：x=14.5． 故绳索长14.5尺． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 9. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和平角的定义判断结论①；根据正方形的性质解得的值，再求得的值，即可判断结论②；过点作，交于点，交于点，过点作，交延长线于点，易知和均为等腰直角三角形，然后借助勾股定理计算、的值，即可判断结论③；根据三角形面积公式计算的面积，即可判断结论④． 【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形，点在同一直线上， ∴，， ∴，故结论①正确； ∵四边形和四边形均为正方形，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论②正确； ∵过点作，交于点，交于点，过点作，交延长线于点，如下图， ∵，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，，， ∴， ， 故结论③错误； ， 故结论④正确， 综上所述，结论①②④正确，共计3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积、勾股定理、平角的定义等知识，综合性较强，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是______． 【答案】3（小于4的实数都可） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式无意义的条件，根据二次根式无意义的条件是被开方数小于0就行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内没有意义， ∴，即， ∴符合题意的x值可以为3， 故答案为：3（小于4的实数都可）， 12. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，记录每人10次射击成绩，得到各人的射击成绩平均数和方差如表中所示，则成绩最稳定的是______． 统计量 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.2 9.2 方差 0.60 0.62 0.50 0.44 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据方差越小，成绩越稳定进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴四人中丁的方差最小， ∴成绩最稳定的是丁， 故答案为：丁． 13. 如图，在中，平分交于点E，若，则的大小为__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得ADBC，ABCD，再由平行线的性质求得∠ABC=120°，又由角平分线定义得∠ABE=60°，即可由平行线的性质求得∠DEB度数． 【详解】解：∵在中， ∴ADBC，ABCD， ∴∠A+∠ABC=180°， ∵ ∴∠ABC=120°， ∵平分 ∴∠ABE=60° ∵ABCD， ∴∠ABE+∠DEB=180°， ∴∠DEB=120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，先求出点P的坐标，再根据函数图象找到直线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴ 由函数图象可知，直线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围为， ∴关于x的不等式的解集为 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点F是AE的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 16. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出，，，推出的纵坐标为，即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，第17、18题各5分，第19题6分，共16分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可． 【详解】解： ． 18. 一次函数图象经过，两点． （1）求此一次函数表达式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用（1）中解析式计算自变量为6所对应的函数值即可． 【小问1详解】 设一次函数解析式为， 把，代入得 ， 解得， 所以一次函数解析式为 【小问2详解】 当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 19. 如图，是等腰三角形，． （1）利用直尺和圆规作边上的中线（不写做法，保留作图痕迹）； （2）延长到D，使，连接，． 求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） ∵为中线， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）过点B作的垂线，垂足为M即可； （2）首先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据三线合一得到，从而证明菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是结合作图过程，利用三线合一，灵活选择方法证明菱形． 四、解答题（二）（本大题4小题，第20、21题各7分，第22、23题各9分，共32分） 20. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下： 100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148 152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190 对这组数据进行整理和分析，结果如下： 平均数 众数 中位数 145 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ （3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）解：是，理由如下： ∵中位数为， ∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生． 【解析】 【分析】（1）根据众数与中位数的定义进行计算即可求解； （2）根据样本估计总体，用跳绳165次及以上人数的占比乘以总人数，即可求解； （3）根据中位数的定义即可求解； 【小问1详解】 解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多 ∴， 这组数据从小到大排列，第10个和11个数据分别为， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵跳绳165次及以上人数有7个， ∴估计七年级240名学生中，有个优秀， 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了求中位数，众数，样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义是解题的关键． 21. 如图，以一边为直角边构造，且，，，． （1）求证：为直角三角形． （2）若点P为上一动点，连接，，求最小值． 【答案】（1） 证明：根据题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴△ABC为直角三角形； （2）最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，根据三角形内角和定理得，即可得，则，根据勾股定理的逆定理即可得，即可得； （2）延长至M，使得，连接，，过点B作于点N， 则，，根据矩形的性质和勾股定理得，根据，得当B、P、M三点共线时，取最小值为，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长至M，使得，连接，，过点B作于点N， 则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， 当B、P、M三点共线时，取最小值为， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，解题的关键是掌握这些知识点，确定的最小是． 22. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长和的面积． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）；的面积为 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到； （2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； 过D作交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元． ①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元； （2）①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元． 【解析】 【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得； ②由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元； 【小问2详解】 解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元， 由题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得：， ∴w与m的函数关系式为； ②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134， ∴当时，w最大，最大值， 则， 答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 用四根一样长的木棍搭成菱形，P是线段上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线上取一点M，连接，使． （1）如图1，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，则______，______； 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，求证：； 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点P在射线上，点M在射线上，且当时，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2）四边形是菱形，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，作交于，则，， 在中，，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）证明得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到； （3）当时，过点作于点，证明为等腰直角三角形，得到，在中，，，则，可得，解得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵在菱形， ∴四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， 故答案为：，； （2）略 （3）当时， 如图3，当点在线段的延长线时，过点作于点，连接， 在射线上取一点N，使，连接，如图所示， 同理可证明， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，不符合题意， ∴此时点M与点N重合，即如下图所示： 设， ，， 为等腰直角三角形， ， 四边形是菱形，，， ，， 由菱形的对称性及可得， 在中，，， ， ， ， ； 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理、菱形的性质、正方形的性质与判定、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，且与x轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）点E为射线上一点，过点E作轴交于点F，且，设点E的横坐标为m． ①求m的值； ②在y轴上取点M，在直线上取点N，在平面内取点Q，使得点E，M，N，Q构成的四边形是以为对角线的正方形，直接写出此正方形的面积． 【答案】（1） （2） （3）①；②或450 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等： （1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A的坐标，再求出的长，最后根据三角形面积计算公式求解即可； （3）①分别表示出，的坐标，再根据建立方程，可求得的值．②由，两点在直线上，且点为定点作为突破口，以为对角线分两类讨论，再结合正方形的性质，可解决问题． 【小问1详解】 解；在中，当时，，则， 把，代入中得：， 解得． 直线的表达式：； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①点为射线上一点， ， ∵轴交于点， ∴． ， ， ， 又， ， 解得：； ②由①知：． 当为正方形的对角线，点在点的右上方时，如图， 分别过点，作轴垂线，垂足为，． ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 当为正方形的对角线，点在点的左下方时，如图， 分别过点，作轴垂线，垂足为H，K． 同理可得， ∴，， 方法同上，令，则， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 即． 综上所述：正方形的面积为或450． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期期末学生学业质量评估 八年级数学 总分：120分考试 时间：120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. 4 C. D. 2. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ） A. B. C. D. 2 3. 如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 5. 清溪中学在劳动基地开展主题为“春种秋收”的劳动教育活动，九年级（1）班师生共参与了剪枝、锄地、除草、浇水、施肥五项实践活动，已知五个项目的参与人数分别是，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 11，9 B. 10，9 C. 10，11 D. 11，11 6. 如图，数轴上点、、表示的数分别为，和3，点为原点，则以、、为边长构造三角形，则构造的三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7. 为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如右图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（ ） A. 13.5尺 B. 14尺 C. 14.5尺 D. 15尺 9. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是______． 12. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，记录每人10次射击成绩，得到各人的射击成绩平均数和方差如表中所示，则成绩最稳定的是______． 统计量 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.2 9.2 方差 0.60 0.62 0.50 0.44 13. 如图，在中，平分交于点E，若，则的大小为__________． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为______． 15. 如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为__________． 16. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 三、解答题（一）（本大题3小题，第17、18题各5分，第19题6分，共16分） 17. 计算：． 18. 一次函数图象经过，两点． （1）求此一次函数表达式； （2）当时，求y的值． 19. 如图，是等腰三角形，． （1）利用直尺和圆规作边上的中线（不写做法，保留作图痕迹）； （2）延长到D，使，连接，． 求证：四边形是菱形． 四、解答题（二）（本大题4小题，第20、21题各7分，第22、23题各9分，共32分） 20. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下： 100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148 152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190 对这组数据进行整理和分析，结果如下： 平均数 众数 中位数 145 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ （3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 21. 如图，以一边为直角边构造，且，，，． （1）求证：为直角三角形． （2）若点P为上一动点，连接，，求最小值． 22. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长和的面积． 23. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元． ①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 24. 用四根一样长的木棍搭成菱形，P是线段上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线上取一点M，连接，使． （1）如图1，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，则______，______； 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，求证：； 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点P在射线上，点M在射线上，且当时，请直接写出的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，且与x轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）点E为射线上一点，过点E作轴交于点F，且，设点E的横坐标为m． ①求m的值； ②在y轴上取点M，在直线上取点N，在平面内取点Q，使得点E，M，N，Q构成的四边形是以为对角线的正方形，直接写出此正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $