广东省深圳市南山区2025-2026学年第二学期八年级数学下学期期末复习专题五 新定义问题

**基本信息** 聚焦新定义问题，融合三角形、不等式组等多模块知识，通过概念理解与知识迁移考查抽象能力、推理意识和应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形相关|5题（特征值、奇妙线等）|以新定义（如倍长三角形）为载体，结合等腰三角形性质计算|新定义→图形性质分析→数量关系推导| |不等式组相关|6题（新运算、和谐解等）|定义新运算或关系，转化为不等式（组）求解|新运算规则→不等式构建→解集确定| |分式相关|4题（和谐分式等）|新定义分式运算或类型，结合分式化简与方程求解|分式概念拓展→运算规则应用→方程求解| |旋转平移相关|3题（邻等对补四边形等）|定义特殊四边形，通过旋转平移探究性质与证明|图形变换→性质猜想→逻辑证明| |平行四边形相关|4题（垂中平行四边形等）|新定义平行四边形类型，结合中点、对角线性质应用|平行四边形性质→新定义特征→综合计算与证明|

深圳市南山区2025-2026学年第二学期八年级数学下学期 期末复习专题五 新定义问题 类型一．三角形相关 1．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个三角形的“特征值”．若在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的“特征值”k＝　 　 ． 2．定义：如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的奇妙线，称这个三角形为奇妙三角形．若△ABC是奇妙三角形，∠A＝36°，∠ABC为钝角，则∠ABC所有可能的度数　 　 ． 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，且腰长为4，则等腰△ABC的底边上的中线的长度为　 　 ． 4．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，，若AC为△BCD的“妙分线”，则CD的长为　 　 ． 5．定义：MN为某个三角形的边，若MN与其边上的高相等，则称该三角形为边MN的“伴随三角形”．△ABC为边AB的“伴随三角形”，AB＝4． ①若∠B＝90°，则∠A＝　 　 °； ②若AC＝5，过点C作直线AB的高，垂足为点D，则BD的长为　 　 ． 类型二：．一元一次不等式组相关问题 6．我们定义：ad﹣bc，例如2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，若x，y为不同的整数，且满足14，则x+y的值是　 　 ． 7．定义一种新运算“⋆”．规定m⋆n＝m﹣3n．若关于x的不等式组的解集为x＞9，则a的取值范围是　 　 ． 8．定义一种运算：当a≥b时，a*b＝a﹣2b；当a＜b时，a*b＝2b﹣a．如，4*1＝4﹣2×1＝2．根据定义求不等式（2x2+2x+3）*（x2+4x+1）＜9的解，其正确的解是（　　） A． B． C． D． 9．新定义规定以下变换：，若f（1，x）≥2，则x的取值范围是　 　 ． 10．定义新运算F：，若关于正数x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是　 　 ． 11．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”． 例如：已知方程3x﹣6＝0和不等式x﹣1＞0，对于未知数x，当x＝2时，使得3×2﹣6＝0，x﹣1＝2﹣1＝1＞0同时成立，则称x＝2是方程3x﹣6＝0与不等式x﹣1＞0的“和谐解”． （1）x＝3是否是方程3x﹣9＝0与不等式3（x﹣2）＜6的“和谐解”？　 　 ；（填“是”或“不是”） （2）x＝2是方程4x﹣5＝3与不等式（组）①，②，③中　 　 的“和谐解”；（只填序号） （3）如果x＝2是关于x的方程3x﹣a＝0与关于x的不等式组的“和谐解”，那么a＝　 　 ，b的取值范围是　 　 ； （4）如果x＝n是关于x的方程x+2m＝3与关于x的不等式组的“和谐解”，求出n的取值范围． 类型三：．分式与分式方程相关问题 12．定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简（1﹣x）※（x2﹣1）的结果是（　　） A． B．x+1 C． D． 13．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为　 　 ． 14．定义运算“※”：．若5※x＝﹣1，则x的值为（　　） A． B．或10 C．10 D．不存在 15．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ． 则和都是“和谐分式”． （1）有下列各式：①；②；③；④．其中，属于“和谐分式”的是　 　 （填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）已知方程组有正整数解．求整数m的值． 类型四：旋转与平移相关问题 16．综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　 　 （填写序号）． 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：AC平分∠DCB，请你对猜想进行证明． 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了“邻等对补四边形”结构．如图2是该零件的示意图，其中AB＝AD，主支架BC为10米，辅助支架DC为4米，支架夹角∠BCD＝60°，工程师需要计算该零件四边形ABCD的材料用量，请你求出四边形ABCD的面积． 17．定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若四边形ABCD的面积为8，求BD的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝a（a＞0），求四边形ABCD面积的最大值．（用含a的代数式表示） 18．在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．例如，图1四边形ABCD中，AC＝BD且AC⊥BD，那么四边形ABCD就叫作对等垂美四边形． （1）如图2，在对等垂美四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OD，OB＝OC，将△COB绕点O逆时针旋转（点B′在点A的顺时针方向，0°＜∠AOB′≤90°）B、C的对应点分别为B′、C′．请判断如图3中四边形AB′C′D是否为对等垂美四边形，并说明理由（仅就图3的情况证明即可）； （2）在（1）的条件下，若OB＝3，OA＝5，当△OAB为直角三角形时，则四边形AB′C′D的面积是 　 　 ． 类型五：平行四边形相关问题 19．定义：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”，如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，若BE＝5，CE＝2AE＝12，以BC为边构造“垂中平行四边形”BCMN，使点A落在“垂中平行四边形”BCMN的边MN上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过MN的中点时，则CM的长为　 　 ． 20．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． （1）作图与操作：如图1，画任意四边形ABCD，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形EFGH．请你画出图2、图3、图4中四边形ABCD的中点四边形EFGH（用刻度尺度量画图即可）； （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线AC与BD 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 AC＝BD，但AC与BD不垂直 图3 AC≠BD，AC⊥BD 图4 AC＝BD，AC⊥BD （3）证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 　 　 ，已知：四边形ABCD中，E，F，G，H是四边的中点，　 　 ．求证：四边形EFGH是 　 　 ． 21．【问题情境】 定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． 【数学思考】 如图1，在▱ABCD中，若，AC＝4，试判断▱ABCD是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． 【深入探究】 如图2，▱ABCD为“倍线平行四边形”（BD＞AC），E是BC上的动点，连结AE交BD于点F．若E是BC的中点，AC⊥AB，，求AE的长． 22．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”． 性质：“朋友三角形”的面积相等． 如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线． 那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S△ACD＝S△BCD． 应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O． （1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”； （2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市南山区2025-2026学年第二学期八年级数学下学期 期末复习专题五 新定义问题 参考答案与试题解析 类型一．三角形相关 1．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个三角形的“特征值”．若在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的“特征值”k＝　或．　 ． 【分析】等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：50°， ∴特征值k； ②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°， ∴特征值k． 综上所述，特征值k或k． 故答案为：或． 2．定义：如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的奇妙线，称这个三角形为奇妙三角形．若△ABC是奇妙三角形，∠A＝36°，∠ABC为钝角，则∠ABC所有可能的度数　108°或126°或132°　 ． 【分析】根据奇妙线的定义可得出奇妙线必经过三角形的顶点，然后分奇妙线经过点A、点B、点C讨论，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解即可． 【解答】解：∵奇妙线将原三角形分成两个等腰三角形， ∴奇妙线必经过三角形的顶点， 当奇妙线经过点A时，如图， ∵∠ADC＞∠ABC，∠ABC是钝角， ∴∠ADC是钝角， ∵△ADC是等腰三角形， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠DAC 同理∠DAB＝∠ADB， ∴∠BAC＝∠DAC+∠DAB＝3∠DAC＝36°， ∴∠DAC＝12°＝∠C， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝132°； 当奇妙线经过点C时，如图， 同理可求AD＝CD，BC＝BD， ∴∠ACD＝∠A＝36°，∠BCD＝∠BDC， ∴∠BCD＝∠BDC＝∠ACD+∠A＝72°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝36°，不符合题意，舍去； 当奇妙线经过点B时，如图， 当AD＝BD时，∠DBA＝∠A＝36°， ∴∠CDB＝72°， 若BC＝CD，则∠CBD＝∠CDB＝72°， ∴∠C＝36°， ∴∠ABC＝108°，符合题意； 若BC＝BD，则∠C＝∠CDB＝72°， ∴∠ABC＝72°，不符合题意，舍去； 若BD＝CD，则， ∴∠ABC＝90°，不符合题意，舍去； 当AB＝BD时， 则∠ADB＝∠A＝36°， ∴∠BDC＝144°， 若△BCD是等腰三角形，则BD＝CD， ∴， ∴∠ABC＝126°，符合题意； 当AD＝AB时， 则， ∴∠CDB＝108°， 若△BCD是等腰三角形，则BD＝CD， ∴， ∴∠ABC＝108°，符合题意； 综上，∠ABC所有可能的度数为108°或126°或132°． 故答案为：108°或126°或132°． 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，且腰长为4，则等腰△ABC的底边上的中线的长度为　　 ． 【分析】根据“倍长三角形”的定义可分成两种情况：腰长是底边长的2倍和底边长是腰长的2倍，根据构成三角形的条件可验证只有腰长是底边长的2倍符合题意，再根据等腰三角形的性质，底边中线也是高，利用勾股定理求解． 【解答】解：如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，过点A作AD⊥BC于点D， 当腰长是底边长的2倍时，则底边长为2，此时该等腰三角形的三边长分别为4，4，2， ∵4+2＝6＞4， ∴根据三角形的三边关系，此时能构成三角形， ∵AB＝AC＝4，BC＝2，AD⊥BC， ∴BDBC2＝1， ∴根据勾股定理得，，即等腰△ABC的底边上的中线的长度为； 当底边长是腰长的2倍时，则底边长为8，此时该等腰三角形的三边长分别为4，4，8， ∵4+4＝8， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，等腰△ABC的底边上的中线的长度为， 故答案为：． 4．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，，若AC为△BCD的“妙分线”，则CD的长为　或　 ． 【分析】注意分类讨论．过点A作AH⊥BC于点H，先求出∠B＝∠C＝30°，再分∠ADC＝90°和∠ACD＝90°两种情况进行讨论． 【解答】解：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”． 如图，过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC＝4，AH⊥BC， ∴，∠AHB＝∠AHC＝90°，， ∵， ∴， 在Rt△AHC中， ∵∠AHC＝90°，，AC＝4， ∴， ∴∠C＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°． 分两种情况进行讨论： ①如图，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝∠ACB＝30°， ∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝60°， ∵∠ADC＝90°，∠DAC＝60°，AC＝4， ∴； ②如图，当∠ACD＝90°时， ∵∠B＝∠ACB＝30°， ∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝60°， ∵∠ACD＝90°，∠DAC＝60°，AC＝4， ∴； 故答案为：或． 5．定义：MN为某个三角形的边，若MN与其边上的高相等，则称该三角形为边MN的“伴随三角形”．△ABC为边AB的“伴随三角形”，AB＝4． ①若∠B＝90°，则∠A＝　45　 °； ②若AC＝5，过点C作直线AB的高，垂足为点D，则BD的长为　1或7　 ． 【分析】①根据“伴随三角形”的定义可得BC＝4，根据等边对等角和三角形内角和定理，即可求解； ②分为两种情况：当△ABC是锐角三角形时，根据“伴随三角形”的定义可得CD＝AB＝4，根据勾股定理求得AD＝3，根据BD＝AB﹣AD即可求解；当△ABC是钝角三角形，，根据“伴随三角形”的定义可得CD＝AB＝4，根据勾股定理求得AD＝3，根据BD＝AB+AD即可求解． 【解答】解：定义：MN为某个三角形的边，若MN与其边上的高相等，则称该三角形为边MN的“伴随三角形”． ①如图： ∵△ABC为边AB的“伴随三角形”， ∴AB边上的高等于AB的长度， ∵∠B＝90°， 故BC为△ABC为边AB上的高， ∴BC＝4， 即AB＝BC， ∴． ②如图，△ABC是锐角三角形，CD⊥AB交AB于点D， ∵△ABC为边AB的“伴随三角形”， ∴AB边上的高等于AB的长， 即CD＝AB＝4， 在Rt△ACD中，， 则BD＝AB﹣AD＝4﹣3＝1． 如图，△ABC是钝角三角形，CD⊥AB交AB于点D， ∵△ABC为边AB的“伴随三角形”， ∴AB边上的高等于AB的长度， 即CD＝AB＝4， 在Rt△ACD中，， 则BD＝AB+AD＝4+3＝7． 故BD的长为1或7． 类型二：．一元一次不等式组相关问题 6．我们定义：ad﹣bc，例如2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，若x，y为不同的整数，且满足14，则x+y的值是　±3　 ． 【分析】先根据新定义得到1＜1×4﹣xy＜4，即可求出0＜xy＜3，再由x，y为不同的整数，确定x，y的值，即可求解． 【解答】解：由题意得1＜4﹣xy＜4， ∴0＜xy＜3， ∴xy＝2或xy＝1， 当xy＝1时，x＝1，y＝1或x＝﹣1，y＝﹣1，不符合题意，舍去； 当xy＝2时，x＝1，y＝2或x＝﹣1，y＝﹣2或x＝2，y＝1或x＝﹣2，y＝﹣1， ∴x+y＝3或﹣3， ∴x+y的值是±3． 故答案为：±3． 7．定义一种新运算“⋆”．规定m⋆n＝m﹣3n．若关于x的不等式组的解集为x＞9，则a的取值范围是a　 ． 【分析】根据新运算法则得出不等式组，然后求解，再根据其解集即可确定a的取值范围． 【解答】解：根据题意得， 解不等式①，得x＞9， 解不等式②，得x＞4a， ∵关于x的不等式组的解集为x＞9， ∴4a≤9， 解得a， 故答案为：a． 8．定义一种运算：当a≥b时，a*b＝a﹣2b；当a＜b时，a*b＝2b﹣a．如，4*1＝4﹣2×1＝2．根据定义求不等式（2x2+2x+3）*（x2+4x+1）＜9的解，其正确的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】分若2x2+2x+3≥x2+4x+1，即x2﹣2x+2＞0和若2x2+2x+3＜x2+4x+1，即x2﹣2x+2＜0两种情况分析即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：∵当a≥b时，a*b＝a﹣2b；当a＜b时，a*b＝2b﹣a．， 若2x2+2x+3≥x2+4x+1，即x2﹣2x+2≥0恒成立， ∴（2x2+2x+3）﹣2（x2+4x+1）＜9， 2x2+2x+3﹣2x2﹣8x﹣2＜9， ﹣6x＜8， ， 若2x2+2x+3＜x2+4x+1，即x2﹣2x+2＜0， ∴（x﹣1）2+1＜0， ∴x无解， 综上可得：， 故选：B． 9．新定义规定以下变换：，若f（1，x）≥2，则x的取值范围是x≤﹣3或x≥5　 ． 【分析】根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可． 【解答】解：当 1≥x（即 x≤1）时，则2， 解得：x≤﹣3； 当 1＜x（即 x＞1）时，则2， 解得：x≥5， 所以x的取值范围是：x≤﹣3或x≥5． 故答案为：x≤﹣3或x≥5． 10．定义新运算F：，若关于正数x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是　8≤m＜9　 ． 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数m的取值范围即可． 【解答】解：对于， ∵，即， ∴， 由得x+1＞4，解得x＞3， 对于F（﹣1，x）， ∵x＞0＞﹣1，即﹣1＜x， ∴F（﹣1，x）＝x﹣2×（﹣1）＝x+2， 由F（﹣1，x）≤m得x+2≤m，解得x≤m﹣2． 因此不等式组的解集为3＜x≤m﹣2． 由条件可知6≤m﹣2＜7， 不等式两边同时加2，得8≤m＜9． 故答案为：8≤m＜9． 11．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”． 例如：已知方程3x﹣6＝0和不等式x﹣1＞0，对于未知数x，当x＝2时，使得3×2﹣6＝0，x﹣1＝2﹣1＝1＞0同时成立，则称x＝2是方程3x﹣6＝0与不等式x﹣1＞0的“和谐解”． （1）x＝3是否是方程3x﹣9＝0与不等式3（x﹣2）＜6的“和谐解”？　是　 ；（填“是”或“不是”） （2）x＝2是方程4x﹣5＝3与不等式（组）①，②，③中　③　 的“和谐解”；（只填序号） （3）如果x＝2是关于x的方程3x﹣a＝0与关于x的不等式组的“和谐解”，那么a＝　6　 ，b的取值范围是b≥14　 ； （4）如果x＝n是关于x的方程x+2m＝3与关于x的不等式组的“和谐解”，求出n的取值范围． 【分析】（1）根据“和谐解”的定义进行判断即可； （2）根据“和谐解”的定义进行判断即可； （3）根据“和谐解”的定义进行计算即可； （4）根据“和谐解”的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）由3x﹣9＝0得，x＝3， 当x＝3时，3（x﹣2）＝3×（3﹣2）＝3＜6， 所以x＝3是方程3x﹣9＝0与不等式3（x﹣2）＜6的“和谐解”． 故答案为：是； （2）由①得，x＞3； 由②得，x＜1； 由③得，1＜x＜3； 因为2＜3，2＞1，1＜2＜3， 所以x＝2是方程4x﹣5＝3与不等式组③得“和谐解”． 故答案为：③； （3）由题知， 3×2﹣a＝0， a＝6． 由得，x＜6， 由2﹣3（x﹣a）≤b得，， 则， 解得b≥14． 故答案为：6，b≥14； （4）由题知， n+2m＝3， 则m． 将x＝n代入不等式组得， ， 解得﹣2＜n＜7， 所以n的取值范围是﹣2＜n＜7． 类型三：．分式与分式方程相关问题 12．定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简（1﹣x）※（x2﹣1）的结果是（　　） A． B．x+1 C． D． 【分析】先根据新定义代入式子，再根据异分母分式进行加减运算即可． 【解答】解：（1﹣x）※（x2﹣1） ． 故选：D． 13．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为　　 ． 【分析】先利用异分母分式的加减得出x﹣y＝2xy，再代入求值． 【解答】解：∵x*y＝2， ∴， 即x﹣y＝2xy， ∴． 故答案为：． 14．定义运算“※”：．若5※x＝﹣1，则x的值为（　　） A． B．或10 C．10 D．不存在 【分析】根据新定义可分两种情况：当x＜5时，；当x＞5时，，分别解方程可求解． 【解答】解：由题意得： 当x＜5时，， 即x＝10，经检验x＝10不符合题意； 当x＞5时，， 即，经检验不符合题意； 综上x的值不存在． 故选：D． 15．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ． 则和都是“和谐分式”． （1）有下列各式：①；②；③；④．其中，属于“和谐分式”的是　①③④　 （填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）已知方程组有正整数解．求整数m的值． 【分析】（1）根据“和谐分式”进行判断即可； （2）将原式变形后化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式即可； （3）解关于x，y的方程组后并变形，然后求得整数m的值即可． 【解答】解：（1）①1，它是“和谐分式”， ②1，它不是“和谐分式”， ③1，它是“和谐分式”， ④1，它是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2） ＝x+7； （3）原方程组整理得， ①﹣②得：（m+2）y＝3m+11， 由题意可知m+2≠0， 则y3， ∵原方程组有正整数解， ∴3为正整数， ∵m为整数， ∴m＝﹣7或﹣1或3， 当m＝﹣7时，y＝2，此时x＝25，符合题意， 当m＝﹣1时，y＝8，此时x＝19，符合题意， 当m＝3时，y＝4，此时x＝﹣1，不符合题意， 综上，m为﹣7或﹣1． 类型四：旋转与平移相关问题 16．综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　②④　 （填写序号）． 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：AC平分∠DCB，请你对猜想进行证明． 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了“邻等对补四边形”结构．如图2是该零件的示意图，其中AB＝AD，主支架BC为10米，辅助支架DC为4米，支架夹角∠BCD＝60°，工程师需要计算该零件四边形ABCD的材料用量，请你求出四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形即可得解； （2）设∠BAD＝α，将△ADC绕着点A顺时针旋转α度得到△ABE，则△ADC≌△ABE，再由全等三角形的性质可得∠D＝∠2，∠4＝∠E，AE＝AC，再证明C，B，E三点共线，由等边对等角得出∠3＝∠E＝∠4，即可得证； （3）过点A作AF⊥CE交CE于F，由等腰三角形的性质可得（米），由角平分线的定义可得，由直角三角形的性质可得AC＝2AF，再由勾股定理计算可得米，即可得解． 【解答】解：（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形可得：是邻等对补四边形的有②④； 故答案为：②④； （2）设∠BAD＝α，将△ADC绕着点A顺时针旋转α度得到△ABE， ∴△ADC≌△ABE， ∴∠D＝∠2，∠4＝∠E，AE＝AC， ∵∠D+∠1＝180°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴C，B，E三点共线， 在△AEC中，AE＝AC， ∴∠3＝∠E＝∠4，即：AC平分∠DCB； （3）过点A作AF⊥CE交CE于F， CE＝CB+BE＝CB+CD＝10+4＝14（米）， ∵AE＝AC，AF⊥CE， ∴（米）， ∵， ∴AC＝2AF， AC2＝AF2+CF2， ∴4AF2＝AF2+CF2， ∴米， ∴四边形ABCD的面积即为（平方米）． 17．定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若四边形ABCD的面积为8，求BD的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝a（a＞0），求四边形ABCD面积的最大值．（用含a的代数式表示） 【分析】（1）根据旋转性质得到AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，结合∠ADC+∠ADB＝180°即可判断； （2）根据∠ABC＝90°，AB＝BC得到△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，即可得到D、G、C三点共线，结合面积即可得到答案； （3）根据旋转得到A、D、E三点共线，得到S四边形ABCD＝S△BDE，结合当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，求解即可得到答案； 【解答】解：（1）是等补四边形， 理由：由旋转得AD＝AE，∠ADB＝∠AEC， ∵∠ADC+∠ADB＝180°， ∴∠ADC+∠AEC＝180°， ∴四边形ADCE是等补四边形． （2）如图2，∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG， ∴∠BAD＝∠BCG，BD＝BG，∠DBG＝90°， ∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD+∠BCG＝180°， ∴D、C、G三点共线， ∵S四边形ABCD＝8， ∴， ∴BD＝4（负值舍去）． （3）∵AB＝BC， ∴将△BCD绕点B逆时针旋转使AB与BC重合， 得△BAE，如图3， ∴BD＝BE＝a，∠BAE＝∠C，S△ABE＝S△BCD， ∵∠BAD+∠C＝180°， ∴∠BAD+∠BAE＝180°， ∴A、D、E三点共线， ∴S四边形ABCD＝S△BDE， ∴当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，为． ∴四边形ABCD面积的最大值为． 18．在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．例如，图1四边形ABCD中，AC＝BD且AC⊥BD，那么四边形ABCD就叫作对等垂美四边形． （1）如图2，在对等垂美四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OD，OB＝OC，将△COB绕点O逆时针旋转（点B′在点A的顺时针方向，0°＜∠AOB′≤90°）B、C的对应点分别为B′、C′．请判断如图3中四边形AB′C′D是否为对等垂美四边形，并说明理由（仅就图3的情况证明即可）； （2）在（1）的条件下，若OB＝3，OA＝5，当△OAB为直角三角形时，则四边形AB′C′D的面积是 　32或29　 ． 【分析】（1）连接AC′，BD，交于点N，设OA与BD交于点E，证明△AOC'≌△DOB'得AC′＝DB′，∠C′AO＝∠B′DO，再证明AC⊥B′D即可； （2）分两种情况：当∠AOB是直角时，当∠AB′O为直角时，求出解即可． 【解答】解：（1）四边形AB′C′D是对等垂美四边形，理由如下： 连接AC′，BD′，交于点N，设OA与BD交于点E，由题意知OA＝OD，OB′＝OC′，∠AOD＝∠B'OC'＝90°， ∴∠AOD+∠AOB'＝∠B'OC'+∠AOB'，即∠DOB'＝∠AOC'， ∴△AOC'≌△DOB'（SAS）， ∴AC′＝DB′，∠C′AO＝∠B′DO． ∵∠DEO＝∠AEN， ∴∠AOD＝∠AND＝90°， ∴AC′⊥B′D，在四边形ABCD中，AC′⊥B′D，AC′＝DB′， ∴四边形AB′C′D是对等垂美四边形； （2）①当∠AOB是直角时，如图， ∵OB＝3，OB＝OC， ∴OC＝3． ∴ 32； 当∠ABO为直角时，如图，过点D作OC的垂线，垂足为H， ∵OD＝OA，∠OHD＝∠ABO，∠AOB'+∠HOA＝90°，∠DOH+∠AOH＝90°， ∴∠DOH＝∠AOB， ∴△DOH≌△AOB（AAS）， ∴DH＝AB． ∵OB＝3，OA＝5， ∴， ∴四边形ABCD的面积OC′•OB′B′A•OB′OD•OAOC′•DH 29． 综上所述，四边形AB′C′D的面积是32或29． 故答案为：32或29． 类型五：平行四边形相关问题 19．定义：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”，如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，若BE＝5，CE＝2AE＝12，以BC为边构造“垂中平行四边形”BCMN，使点A落在“垂中平行四边形”BCMN的边MN上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过MN的中点时，则CM的长为　或　 ． 【分析】根据题意分当BE⊥CN时和当CE⊥BM时这两种情况进行推导即可． 【解答】解：分以下两种情况： ①当BE⊥CN时，如图1，此时点N与点A重合，以BC为边构造“垂中平行四边形”BCMN，使点A落在“垂中平行四边形”BCMN的边MN上，延长BE交MN于点K，则K为MN的中点． 在△ABC中，BE⊥AC于点E，BE＝5，CE＝2AE＝12， ∴AE＝6， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， ∴； ②当CE⊥BM时，如图2，则A为MN的中点． ∵AM∥BC，CE＝2AE， ∴， ∴， ∴． 在Rt△CEM中，由勾股定理，得：， 综上所述，CM的长为或 ， 故答案为：或 ． 20．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． （1）作图与操作：如图1，画任意四边形ABCD，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形EFGH．请你画出图2、图3、图4中四边形ABCD的中点四边形EFGH（用刻度尺度量画图即可）； （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线AC与BD 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 AC＝BD，但AC与BD不垂直 图3 AC≠BD，AC⊥BD 图4 AC＝BD，AC⊥BD （3）证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 　2　 ，已知：四边形ABCD中，E，F，G，H是四边的中点，　对角线AC＝BD，AC与BD不垂直　 ．求证：四边形EFGH是 　菱形　 ． 【分析】（1）依题意画出图形即可： （2）图2中的中点四边形EFGH是菱形，图3中的中点四边形EFGH是矩形，图中的中点四边形EFGH是正方形，然后填入表格即可； （3）选择图2时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC与BD不垂直，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是菱形；根据中位线定理得EF∥BD，EFBD，GHGH，GH∥BD，EHAC，EH∥AC，结合已知条件即可判定四边形EFGH是菱形； 选择图3时，已知四边形ABCD中，对角线AC≠BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是矩形；根据中位线定理得EF∥BD，EFBD，GHGH，GH∥BD，EHAC，EH∥AC，结合已知条件即可判定四边形EFGH是矩形； 选择图4时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是正方形；根据中位线定理得EF∥BD，EFBD，GHGH，GH∥BD，EHAC，EH∥AC，结合已知条件即可判定四边形EFGH是正方形． 【解答】解：（1）依题意画出图形如图所示： （2）图2中的中点四边形EFGH是菱形， 图3中的中点四边形EFGH是矩形， 图中的中点四边形EFGH是正方形， 填表如下： 图形 原四边形对角线AC与BD 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 AC＝BD，但AC与BD不垂直 菱形 图3 AC≠BD，AC⊥BD 矩形 图4 AC＝BD，AC⊥BD 正方形 （3）选择图2时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC与BD不垂直，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是菱形． 证明：∵点E，F分别是AD，AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF∥BD，EFBD， 同理：GH是△CBD的中位线， ∴GHGH，GH∥BD， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 同理：EH是△DAC的中位线， ∴EHAC，EH∥AC， ∵AC＝BD， ∴EF＝EH， 又∵EF∥BD，EH∥AC，AC与BD不垂直， ∴EF与EH不垂直， ∴平行四边形EFGH是菱形； 选择图3时，已知四边形ABCD中，对角线AC≠BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是矩形． 证明：∵点E，F分别是AD，AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF∥BD，EFBD， 同理：GH是△CBD的中位线， ∴GHGH，GH∥BD， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 同理：EH是△DAC的中位线， ∴EHAC，EH∥AC， ∵AC≠BD， ∴EF≠EH， 又∵EF∥BD，EH∥AC，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠FEH＝90°， ∴平行四边形EFGH是矩形； 选择图4时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是正方形． 证明：∵点E，F分别是AD，AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF∥BD，EFBD， 同理：GH是△CBD的中位线， ∴GHGH，GH∥BD， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 同理：EH是△DAC的中位线， ∴EHAC，EH∥AC， ∵AC＝BD， ∴EF＝EH， ∴平行四边形EFGH是菱形， 又∵EF∥BD，EH∥AC，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠FEH＝90°， ∴菱形EFGH是正方形． 故答案为：2；对角线AC＝BD，AC与BD不垂直；菱形（答案不唯一）． 21．【问题情境】 定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． 【数学思考】 如图1，在▱ABCD中，若，AC＝4，试判断▱ABCD是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． 【深入探究】 如图2，▱ABCD为“倍线平行四边形”（BD＞AC），E是BC上的动点，连结AE交BD于点F．若E是BC的中点，AC⊥AB，，求AE的长． 【分析】【数学思考】由平行四边形的性质推出AO＝OCAC＝2，BD＝2OB．由等腰三角形的性质推出BO⊥AC，由勾股定理得到OB＝6，因此BD＝12，得到BD＝3AC，判定▱ABCD是“倍线平行四边形”． 【深入探究】由“倍线平行四边形”的定义得到BO＝3AO，由勾股定理得到9AO2﹣AO2，求出OA＝1，得到AC＝2，由勾股定理求出BC＝2，由直角三角形斜边中线的性质推出AEBC． 【解答】解：【数学思考】 ▱ABCD是“倍线平行四边形”，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OCAC4＝2，BD＝2OB， ∵AB＝BC＝2， ∴BO⊥AC， ∴∠AOB＝90°， ∴OB6， ∴BD＝12， ∵AC＝4， ∴BD＝3AC， ∴▱ABCD是“倍线平行四边形”． 【深入探究】 ∵▱ABCD是“倍线平行四边形”， ∴BD＝3AC，OBBD，OAAC， ∴BO＝3AO， ∵AC⊥AB， ∴∠BAO＝90°， ∵OB2﹣AO2＝AB2， ∴9AO2﹣AO2， ∴OA＝1（舍去负值）， ∴AC＝2， ∴BC2， ∵E是BC的中点，∠BAC＝90°， ∴AEBC． 22．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”． 性质：“朋友三角形”的面积相等． 如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线． 那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S△ACD＝S△BCD． 应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O． （1）求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”； （2）连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积． 【分析】（1）由AAS证明△AOF≌△EOB，得出OF＝OB，AO是△ABF的中线，即可得出结论； （2）△AOF和△DOF是“朋友三角形”，即可得到F是AD的中点，则可求出AF＝FD＝2，S△AOF＝S△DOF，由△AOB和△AOF是“朋友三角形”及△AOF≌△EOB，可求出S△AOF＝S△DOF＝S△AOB＝S△BOE，进而求出S△ABE和S△AOD，再利用S四边形CDOE＝S梯形ABCD﹣S△ABE﹣S△AOD即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OEB，∠OFA＝∠OBE， ∵BE＝AF， ∴△AOF≌△EOB（ASA）， ∴BO＝FO， ∴AO是△ABF的中线， ∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”； （2）解：∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”， ∴OF是△DOA的中线，S△AOF＝S△DOF， ∵AB＝AD＝4， ∴AF＝FDAD4＝2， ∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”， ∴S△AOB＝S△AOF， ∵△AOF≌△EOB， ∴S△EOB＝S△AOF，BE＝AF＝2， ∴S△AOF＝S△DOF＝S△AOB＝S△BOE， ∴S△ABE＝S△AOD， ∵∠ABC＝90°， ∴S△ABE＝S△AOD4×2＝4， ∴S四边形CDOE＝S梯形ABCD﹣S△ABE﹣S△AOD （4+6）×4﹣4﹣4 ＝20﹣4﹣4 ＝12． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/15 18:09:32；用户：涂海青；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $