6.1　数列的概念与简单表示训练-2027届高考数学一轮专题复习（通用版）

**基本信息** 以题载法系统覆盖数列概念、通项求法及性质应用，通过分层题型构建"概念辨析-方法迁移-综合应用"的逻辑链条，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|定义辨析与通项验证|从数列定义到通项公式的生成| |通项求解|3题|累加法/前n项和作差法/二阶差分|递推关系到通项公式的转化| |性质应用|5题|周期规律归纳/单调性分析/最值判断|数列性质的应用拓展| |综合应用|2题|数列与不等式结合/新数列构造|知识的综合迁移与模型构建|

6．1　数列的概念与简单表示 一、 单选题 1 [2025西交大苏州附中期中]意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2 024项中奇数的个数是(　　) A. 1 012 B. 1 348 C. 1 350 D. 1 352 2 [2026淮安月考]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋log2，则a8的值为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 4 3 已知在正项数列{an}中，若＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　) A. an＝n B. an＝n2 C. an＝ D. an＝ 4 [2026天津新华中学开学考试]设数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}是递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、 多选题 5 [2026如皋中学月考]下列有关数列的说法中，正确的是(　　) A. 数列－2 024，0，4与数列4，0，－2 024是同一个数列 B. 数列{an}的通项公式为an＝n(n－1)，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，…中，第8个数是2 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n＋1 6 [2025南通海门期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，＝1＋(n∈N*)，则下列结论中正确的是(　　) A. a2n<a2n＋1　　　 B. 2an＝an－1＋an＋1(n≥2) C. ＝ D. 数列的前n项和为 7 [2025盐城期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an－anan＋1＝1，则下列结论中正确的是(　　) A. a3＝ B. a4>0 C. a2 025＝－1 D. S2 025＝ 三、 填空题 8 [2026怀仁大地高中等校期末]已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝－1，则a2 025＝________． 9 [2025南京期中]已知某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝(a1，a2，a3，…)升级为新序列A*＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，A*中的第n项为 an＋1－an，若(A*)*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝________． 10 已知数列{an}的通项公式为an＝，数列{an}的前n项积为Tn，则当Tn取得最大值时，n的值为________． 四、 解答题 11 [2026南京六校联合体学情调研]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝，数列{bn}为公比大于0的等比数列，且b2＝a3，b4＝a27. (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； (2) 若在an与an＋1之间插入bn个1，由此构成一个新的数列{cn}，记{cn}的前n项和Tn，求T45的值． 12 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝2a1，＝. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若数列{bn}满足bn＝求{bn}中的最大项与最小项． 6．1　数列的概念与简单表示 1. C　解析：对数列中的数归纳发现，从第1项起，依次每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数．又2 024＝3×674＋2，所以该数列的前2 024项中有2×674＋2＝1 350(个)奇数． 2. C　解析：由an＋1＝an＋log2，可得an＋1－an＝log2＝log2(n＋1)－log2n，当n≥2时，利用累加法可得an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＝log2n－log2(n－1)＋log2(n－1)－log2(n－2)＋…＋log22－log21，化简，得an＝a1＋log2n，所以a8＝1＋log28＝4. 3. B　解析：当n≥2时，由＋＋…＋＝，得＋＋…＋＝，两式相减，得＝n，解得an＝n2.当n＝1时，＝1，即a1＝1，满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝n2. 4. A　解析：因为an＝＝＝k－，且数列{an}为递减数列，所以对任意的n∈N*，an＋1<an，即k－<k－，可得－＝<0对任意的n∈N*恒成立，所以2k＋1<0，解得k<－，即实数k的取值范围是. 5. BC　解析：对于A，在数列－2 024，0，4中，a1＝－2 024，a2＝0，a3＝4，在数列4，0，－2 024中，a1＝4，a2＝0，a3＝－2 024，所以它们不是同一个数列，故A错误；对于B，a11＝11×10＝110，则110是该数列的第11项，故B正确；对于C，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，所以第8个数是a8＝＝2，故C正确；对于D，a3＝2×3＋1＝7≠9，所以an＝2n＋1不是该数列的通项公式，故D错误．故选BC. 6. ABD　解析：由题意，得＝1＋(n∈N*)，a1＝1，所以＝1＋>1，则{an}为正项递增数列，所以a2n<a2n＋1，故A正确；因为＝1＋＝，所以当n≥2时，an＝··…··a1＝××…××1＝n.又a1＝1也符合上式，所以an＝n.当n≥2时，an－1＋an＋1＝n－1＋n＋1＝2n＝2an，故B正确；由等差数列求和公式，得Sn＝，所以＝，故C错误；因为＝＝2，所以数列的前n项和为＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝，故D正确．故选ABD. 7. BCD　解析：由an－anan＋1＝1，且a1＝2，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，故A错误，B正确；易得数列{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 025＝a3＝－1，故C正确；由上可得S2 025＝675(a1＋a2＋a3)，所以S2 025＝675×＝，故D正确．故选BCD. 8. 2　解析：因为an＋1＝，a1＝－1，所以a2＝＝，a3＝＝2，a4＝＝－1，a5＝＝，…，所以{an}是周期为3的周期数列．又2 025÷3＝675，所以a2 025＝a3＝2. 9. 8　解析：由题意，得A＝(a1，a2，a3，a4，a5，…)，A*＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，…)，(A*)*＝(a3－2a2＋a1，a4－2a3＋a2，a5－2a4＋a3，…).因为(A*)*的所有项都是3，所以a3－2a2＋a1＝3，a4－2a3＋a2＝3，a5－2a4＋a3＝3.又a4＝11，a5＝18，所以由a5－2a4＋a3＝3，得18－22＋a3＝3，解得 a3＝7.由a4－2a3＋a2＝3，得11－14＋a2＝3，解得a2＝6.由a3－2a2＋a1＝3，得7－12＋a1＝3，解得a1＝8. 10. 3或4　解析：由题意，得an＋1－an＝－＝＝，则当n＝1或n＝2时，an＋1－an>0；当n≥3时，an＋1－an<0，即a1<a2<a3，且a3>a4>a5>a6>…>an.因为a1＝<1，a2＝1，a3＝>1，a4＝1，a5＝，当n≥5时，易知2n>n2恒成立，所以0<an<1，所以当n≥5时，Tn≤T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝.又T1＝a1＝，T2＝a1·a2＝，T3＝a1·a2·a3＝，T4＝a1·a2·a3·a4＝，所以当Tn取得最大值时，n的值为3或4. 11. (1) 由题意，得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n(n≥2); 当n＝1时，a1＝S1＝1，也符合上式， 所以an＝n. 设等比数列{bn}的公比为q(q>0). 由题意，得b2＝a3＝3，b4＝a27＝27， 所以解得q＝3(负值舍去)，所以b1＝1， 所以bn＝3n-1. (2) 根据题意，在an与an＋1之间插入bn个1， 即在1和2之间插入1个1； 在2和3之间插入3个1； 在3和4之间插入9个1； 在4和5之间插入27个1， 此时刚好有45项， 所以T45＝(1＋3＋9＋27)＋(1＋2＋3＋4＋5)＝55， 即T45的值为55. 12. (1) 方法一：在＝中，令n＝1，得a1＝1， 则a2＝2a1＝2. 因为2Sn＝n(an＋1)，① 所以2Sn＋1＝(n＋1)(an＋1＋1)，② 由②－①，得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1， 即(n－1)an＋1＝nan－1.③ 当n≥2时，将③式两边同时除以n(n－1)， 得＝＋－， 所以＝＝…＝＝1， 所以{}为常数列，所以＝1， 所以当n≥2时，an＝n. 当n＝1时，a1＝1也符合上式， 所以an＝n. 方法二：在＝中，令n＝1，得a1＝1， 则a2＝2a1＝2. 因为2Sn＝n(an＋1)，① 所以2Sn＋1＝(n＋1)(an＋1＋1)，② 由②－①，得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1， 即(n－1)an＋1＝nan－1，③ 则nan＋2＝(n＋1)an＋1－1.④ 由④－③，得nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan， 即an＋2＋an＝2an＋1， 所以{an}为等差数列． 又a1＝1，a2＝2，所以an＝n. (2) 由(1)，得bn＝ 当n≥2时，bn＋1－bn＝－＝>0， 且bn＝＝<， 所以b2<b3<b4<…<bn<<1＝b1， 所以{bn}中的最大项为b1＝1，最小项为b2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $