精品解析：江苏扬州市邗江区梅苑双语学校2025-2026学年八年级下学期数学期末模拟试卷（一）

八年级数学期末模拟试卷（一） 一、选择题：（每题3分，共计24分） 1. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 守株待兔 B. 大海捞针 C. 水中捞月 D. 冬去春来 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 某农科院选育了新品种耐盐碱水稻，为了了解稻穗的生长情况，抽取了100个稻穗，测量了稻穗的长度．下列说法正确的是（ ） A. 该新品种水稻所有稻穗的长度是总体 B. 每一个新品种稻穗是个体 C. 抽取的100个新品种稻穗是总体的一个样本 D. 100个新品种稻穗是样本容量 5. A、B两种品牌牛奶销售增长率折线统计图如图．则下列三种说法： ①B品牌的牛奶销售量逐年在增加 ②A品牌的牛奶销售量在2023年到2024年呈下降趋势 ③2022年到2025年，B品牌的牛奶销售量都比A品牌多，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ① 6. 小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（ ） ；；；； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若m为任意正整数，则的值总能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 8. 如图，在四边形中，E，F分别是的中点，连接 ．若，则 的长为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. D. 二、填空题（每题3分，共计30分） 9. 若式子有意义，则的取值范围是_______． 10. 一个样本共有60个数据，这些数据分别落在5个组内，第1，2，3，4组数据的频率分为0.1，0.3，0.2，0.1，则第5组数据的频数为_________． 11. 为了解某初中学校学生的视力情况，该校数学兴趣小组设计了如下三种调查方案：①随机抽取300名女生调查；②分别从三个年级中各随机抽取100名学生调查；③从初一年级中随机抽取300名学生调查，其中抽取的样本具有代表性的是______（填序号） 12. 如图，点E是矩形内一点，连接、， ．若，则的度数为________． 13. 已知，则多项式的值是_______． 14. 若实数x、y同时满足，则的值为________． 15. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为____． 16. 若关于的分式方程无解，则_________． 17. 已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 ___． 18. 如图①，点是矩形各边和对角线上一动点，若点从边上的一点开始移动，设点运动的路程为，， 与的函数关系如图②所示，则矩形的周长为_______ 三、解答题（共计96分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解分式方程． （1）； （2）． 21. 在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1），估计盒子里白球有______个，假如摸一次，摸到白球的概率为______； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 22. 某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是___________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为___________人； （2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________度； （3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？ 23. 如图，在四边形中， ，平分， ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积． 24. 定义：若两个含二次根式的代数式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若a与是关于6的友好二次根式，则a的值为________； （2）若与是关于8的友好二次根式，求x． （3）已知，，若m与n是关于1的“友好二次根式”，且a，b为整数，请求出a，b的值． 25. 2026年3月，贵州科学城企业融云创新的配送机器人和翰凯斯的无人驾驶小巴成功出口海外．已知一台配送机器人的出口成本比一台无人驾驶小巴贵1万元，用60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同． （1）求配送机器人和无人驾驶小巴每台的出口成本各是多少万元？ （2）企业计划出口配送机器人和无人驾驶小巴共6台，要求小巴的数量不超过配送机器人数量的一半，且两种产品都要出口（即每种至少1台）．已知每台配送机器人的出口售价为5万元，每台无人驾驶小巴的出口售价为3万元．请写出所有可能的出口方案，并指出哪种方案的总利润最大． 26. 我们在遇到梯形问题的时候，通常通过分割的方法将其转化为我们熟悉的图形来解决 （1）仅用无刻度的直尺和圆规将等腰梯形进行分割（保留作图痕迹，无需写作法） ①分割成一个平行四边形和一个三角形； ②分割成一个矩形和两个直角三角形； （2）苏科版教材给出了如下定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形； 两腰相等的梯形叫作等腰梯形． 请你结合第（1）题的分割方法证明：等腰梯形的对角线相等． 27. 已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． （1）下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与 ②与 （2）若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； （3）若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 28. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使 ，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： （1）精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为______． 探究发现： （2）博雅小组发现，如图2，只要 ，四边形的形状都是正方形，请证明. （3）卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由. 拓展应用： （4）在（3）的条件下，已知，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末模拟试卷（一） 一、选择题：（每题3分，共计24分） 1. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 守株待兔 B. 大海捞针 C. 水中捞月 D. 冬去春来 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间， 其中水中捞月是不可能事件，可能性为0， 大海捞针、守株待兔是发生可能性极低的随机事件，可能性远小于1， 冬去春来是必然事件，发生可能性为1， ∴ 四个选项中，冬去春来发生的可能性最大． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母，2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件的即为所求． 【详解】解：A．，分母含根号，不是最简二次根式； B．，被开方数含分母，不是最简二次根式； C．，被开方数是小数即含分母，不是最简二次根式； D．的被开方数13是质数，不含分母，也没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，∴D符合要求． 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解的定义为：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，从整式乘积得到多项式，不符合因式分解定义． 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解要求． 选项C中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义． 选项D中，等式右边是是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义． 4. 某农科院选育了新品种耐盐碱水稻，为了了解稻穗的生长情况，抽取了100个稻穗，测量了稻穗的长度．下列说法正确的是（ ） A. 该新品种水稻所有稻穗的长度是总体 B. 每一个新品种稻穗是个体 C. 抽取的100个新品种稻穗是总体的一个样本 D. 100个新品种稻穗是样本容量 【答案】A 【解析】 【详解】统计中，所要考察对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中抽取的部分考察对象叫做样本，样本中个体的数目叫做样本容量． A、该新品种水稻所有稻穗的长度是总体，符合题意； B、每一个新品种稻穗的长度是个体，不符合题意； C、抽取的100个新品种稻穗的长度是总体的一个样本，不符合题意； D、样本容量是100，不符合题意． 5. A、B两种品牌牛奶销售增长率折线统计图如图．则下列三种说法： ①B品牌的牛奶销售量逐年在增加 ②A品牌的牛奶销售量在2023年到2024年呈下降趋势 ③2022年到2025年，B品牌的牛奶销售量都比A品牌多，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ① 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图的分析，解题的关键是区分增长率与销售量的概念，增长率为正则销售量增加，增长率下降但仍为正，销售量仍增加，增长率无法直接反映销售量的大小． 根据折线统计图中增长率的正负判断销售量的增减，结合增长率的含义分析各说法的正误． 【详解】解：①B品牌牛奶的销售增长率始终为正，故销售量逐年增加，此说法正确； ②A品牌牛奶2023到2024年的增长率虽下降，但仍为正，销售量仍在增加，并非下降，此说法错误； ③折线图反映的是增长率，无法比较销售量的大小，此说法错误． 综上，只有①正确，故选：． 6. 小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（ ） ；；；； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可． 【详解】解：四边形 中，，不能判定四边形 是平行四边形，故①错误； 平行四边形 中， ∵， 四边形 是矩形，故②正确； 平行四边形 中， ∵ ， 四边形 是矩形，不是菱形，故③错误； 矩形 中， ∵， 四边形 是正方形，故④正确； 菱形 中， ∵ ， 四边形 是正方形，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤共3个． 7. 若m为任意正整数，则的值总能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】B 【解析】 【分析】将原式因式分解得到整式乘积形式，即可判断其整除性． 【详解】解： ， ∵为任意正整数， ∴是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 8. 如图，在四边形中，E，F分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位数定理，勾股定理，连接，取的中点 ，连接，根据三角形的中位线定理，得到，，根据平行线的性质，结合角的和差关系以及三角形的外角的性质，得到 ，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，取的中点 ，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（每题3分，共计30分） 9. 若式子有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：若式子有意义，需满足被开方数非负，同时分式的分母不能为 ， 因此可得， 解得． 10. 一个样本共有60个数据，这些数据分别落在5个组内，第1，2，3，4组数据的频率分为0.1，0.3，0.2，0.1，则第5组数据的频数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】用1减去其它四组的频率可得第5组数据的频率，再用总数乘以第5组数据的频率即可得到第5组数据的频数． 【详解】解：∵第5组数据的频率为， ∴第5组数据的频数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查频率、频数的关系，熟知频数等于总数乘以频率是解题的关键． 11. 为了解某初中学校学生的视力情况，该校数学兴趣小组设计了如下三种调查方案：①随机抽取300名女生调查；②分别从三个年级中各随机抽取100名学生调查；③从初一年级中随机抽取300名学生调查，其中抽取的样本具有代表性的是______（填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】根据样本需涵盖总体的各个部分，且为随机抽样，即可判断各方案． 【详解】解：要判断样本是否具有代表性，需保证样本能反映总体的特征，涵盖总体中不同群体，且为随机抽样 方案①只抽取女生，未涵盖男生群体，无法反映全校学生的整体视力情况，不具有代表性. 方案③只抽取初一年级学生，未涵盖初二、初三年级群体，无法反映全校学生的整体视力情况，不具有代表性. 方案②分别从三个年级中各随机抽取100名学生，覆盖了全校各个年级的学生，属于随机抽样，能够反映全校学生的视力情况，因此具有代表性． 12. 如图，点E是矩形内一点，连接、， ．若，则的度数为________． 【答案】40 【解析】 【分析】先根据矩形性质得到，，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，，然后进行角度运算可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13. 已知，则多项式的值是_______． 【答案】-20 【解析】 【分析】将因式分解，再将已知等式整体代入计算． 【详解】解：∵， ∴===-20， 故答案为：-20． 【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，解题的关键是将所求式子合理变形． 14. 若实数x、y同时满足，则的值为________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 15. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 总面积乘落在黑色阴影的频率稳定值即可得出答案． 【详解】解：∵一个面积为的正方形，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 左右， ∴据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为， 故答案为： ． 16. 若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 17. 已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 ___． 【答案】2 【解析】 【分析】先将 进行分母有理化，再分别求出的值，然后将已知等式变形为，最后代入解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得 或 （与为正整数不符，舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、二次根式的分母有理化等知识点，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 18. 如图①，点 是矩形各边和对角线上一动点，若点 从边上的一点开始移动，设点 运动的路程为，，与的函数关系如图②所示，则矩形的周长为_______ 【答案】28 【解析】 【分析】根据函数图象可知，当时，说明起点 为中点；当时，说明 到达点，由此可求出的长；当 时，说明 到达对角线交点，由此可求出及的长，利用勾股定理求出的长，进而求出矩形周长． 【详解】解：由图②可知，当时，，即， ，   四边形是矩形，   ，   点 到的距离等于点 到的距离，   点 为的中点，   当时，，即，  此时点 与点重合，  ，   当时，随的增大而增大，且当 时，，   此时，点 运动到了对角线交点处，  ，   四边形是矩形，  ，， 在中， ，   矩形的周长为． 三、解答题（共计96分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，找到最简公分母将分式方程转化为整式方程是解题的关键． （1）方程两边乘 ，再化简求解，检验即可； （2）方程两边乘，再化简求解，检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边乘 ，得， 整理，得：， 解得：． 检验：当时，， 原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：方程两边乘，得， 解得：． 检验：当时，， 原分式方程的解为． 21. 在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1），估计盒子里白球有______个，假如摸一次，摸到白球的概率为______； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）；15； （2）：需要往盒子里再放入15个白球 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据“摸到白色球”的概率折线统计图，得出摸到白球的频率；由，即可得出结果；用频率的稳定值得出摸到白球的概率即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 由摸到白色球”的概率折线统计图可得，摸到白球的频率将会接近0.5， ， 盒子里白球为15， 随实验次数的增多，频率的值稳定于0.50， 摸到白球的概率， 故答案为：0.5，15，； 【小问2详解】 设需要往盒子里再放入个白球； 根据题意得：， 解得 ； 经检验， 是原方程的解，且符合实际意义， 故需要往盒子里再放入15个白球． 22. 某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是___________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为___________人； （2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________度； （3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？ 【答案】（1）100 （2） （3）见解析 （4）估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键． （1）从两个统计图中可知，选择“B（轻松游戏类）”的人数是35人，占调查人数的 ，可求出调查人数； （2）求出选择“A（体育竞技类）”所占的百分比，即可求出相应的圆心角度数； （3）用总人数减去A、B、D的人数，求出选择“C（自由交流类）”的人数，即可补全条形统计图； （4）利用样本中“D（艺术创作）”的百分比估计总体2000人喜爱“D（艺术创作）”的学生的人数． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：， 故答案为： ； 【小问3详解】 解：（人），补全条形统计图如下： 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人． 23. 如图，在四边形中， ，平分， ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】（1） （1）证明：∵平分， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是菱形． （2）24 【解析】 【分析】（1）因为平分 ，所以可得一组相等的角，结合上述平行线的角的关系，可推出；因为 ，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据 的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ，，． ∵，的周长为18， ∴ ，则 ． 在中， ， ∴ ． ∴菱形的面积为． 24. 定义：若两个含二次根式的代数式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若a与是关于6的友好二次根式，则a的值为________； （2）若与是关于8的友好二次根式，求x． （3）已知，，若m与n是关于1的“友好二次根式”，且a，b为整数，请求出a，b的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义列方程求解即可； （2）根据定义列方程求解即可； （3）根据定义得到，整理可得，由于结果是有理数， 为整数，是无理数，因此无理项系数为0，据此得到二元一次方程组求解． 【小问1详解】 解：由题意得，   解得； 【小问2详解】 解：由题意得，   展开左边得，   整理得，  分母有理化求解得； 【小问3详解】 解：由题意得，  展开左边得，   整理得，  因为结果是有理数， 为整数，是无理数， 因此无理项系数为0，可得方程组，  由第一个方程得 ， 代入第二个方程得，   解得， 将代入得，  即． 25. 2026年3月，贵州科学城企业融云创新的配送机器人和翰凯斯的无人驾驶小巴成功出口海外．已知一台配送机器人的出口成本比一台无人驾驶小巴贵1万元，用60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同． （1）求配送机器人和无人驾驶小巴每台的出口成本各是多少万元？ （2）企业计划出口配送机器人和无人驾驶小巴共6台，要求小巴的数量不超过配送机器人数量的一半，且两种产品都要出口（即每种至少1台）．已知每台配送机器人的出口售价为5万元，每台无人驾驶小巴的出口售价为3万元．请写出所有可能的出口方案，并指出哪种方案的总利润最大． 【答案】（1）无人驾驶小巴每台的出口成本是2万元，则配送机器人每台的出口成本是3万元 （2）所有出口方案为：①配送机器人4台，无人驾驶小巴2台；②配送机器人5台，无人驾驶小巴1台；其中方案2总利润最大 【解析】 【分析】（1）设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是万元，根据“60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶小巴台，根据“小巴的数量不超过配送机器人数量的一半”及“每种至少1台”列出不等式组，求出m的取值范围，得出配送方案，并求出每一种方案的利润，得出最大值． 【小问1详解】 解：设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是万元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 此时， 答：无人驾驶小巴每台的出口成本是2万元，则配送机器人每台的出口成本是3万元； 【小问2详解】 解：设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶小巴台，根据题意得 ，解得， ∵m为整数， ∴或5， 方案1：配送机器人4台，无人驾驶小巴2台， 总利润：（万元）； 方案2：配送机器人5台，无人驾驶小巴1台， 总利润：（万元）； ∴方案2的利润最大，最大为11万元． 答：所有出口方案为：①配送机器人4台，无人驾驶小巴2台；②配送机器人5台，无人驾驶小巴1台；其中方案2总利润最大． 26. 我们在遇到梯形问题的时候，通常通过分割的方法将其转化为我们熟悉的图形来解决 （1）仅用无刻度的直尺和圆规将等腰梯形 进行分割（保留作图痕迹，无需写作法） ①分割成一个平行四边形和一个三角形； ②分割成一个矩形和两个直角三角形； （2）苏科版教材给出了如下定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形； 两腰相等的梯形叫作等腰梯形． 请你结合第（1）题的分割方法证明：等腰梯形的对角线相等． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接即可；②分别过点作即可； （2）在（1）①的图中连接 ，证明，即可证明结论． 【小问1详解】 解：①如图所示为所求： ∵等腰梯形 中， ， 由作图知 ， ∴四边形 是平行四边形， ②如图所示为所求： 由作图知， ∴， ∴均为直角三角形， ∵等腰梯形 中， ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 证明：如图，在（1）①的图中连接 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵等腰梯形 中，， ∴ ， ∴， ∴， ∵等腰梯形 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即等腰梯形的对角线相等． 27. 已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． （1）下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与 ②与 （2）若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； （3）若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 【答案】（1）② （2）， （3）； 【解析】 【分析】（1）利用“值分式”的定义进行逐一判断即可； （2）利用“2值分式”的定义列出，根据多项式恒等对应项系数相等列方程求解即可； （3）先分别化简A、B的分子，再通分计算，约分后得到的常数即为值；先对进行通分化简，结合的关系，再利用完全平方公式推导的取值． 【小问1详解】 解：① ② 因此，②是关于x的“4值分式”； 【小问2详解】 解：由题意得：， 则， 去分母得：， 整理得：， 则， 解得：； 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ， 由于分式与是关于x的“k值分式”， 则； ， ， ， ， ． 28. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使 ，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： （1）精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为______． 探究发现： （2）博雅小组发现，如图2，只要 ，四边形的形状都是正方形，请证明. （3）卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由. 拓展应用： （4）在（3）的条件下，已知，，直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2）见解析 （3），理由见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质即可得出结论； （2）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （3）利用正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的特点，推理证明即可； （4）取的中点M，取的中点N，连接，求得，再证明 ，利用勾股定理求得，即可求得． 【小问1详解】 解：点E在对角线中点O处，点F与点B重合，四边形 是正方形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ， ， 点E绕点C逆时针旋转得到点， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【小问3详解】 解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形，O是的中点，  O是的中点，， 四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形，O是的中点， ， G是的中点， ， ， 四边形是正方形， ， G是的中点， ， ， ． 【小问4详解】 解：取的中点M，取的中点N，连接， ， 根据（3）得， ，， ， 四边形是正方形，O是的中点， ，，， ， ， 过点M作于点Q， ∵， ∴是等腰直角三角形 ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $