几何专练(4) 与切线的判定、性质有关的计算与证明（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

几何专练（四）与切线的判定、性质有关的计算与证明 (时间：40分钟满分：60分) 1.(8分)如图，点A,B,C,D均在⊙O上，连 (2)若AB=10,AC=6,求AF的长. 接AB,BC,AC,AD,CD,且AD经过圆 心，延长BC交⊙O的切线AE于点E,切 0】 点是A.求证：∠B=∠CAE 2.(8分)如图，在△ABC中，O是AC的中 点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O,⊙O 4.(10分)如图，在平面直角坐标系中， 恰好经过AB的中点D,且AD=CD Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与 (1)求∠A的度数； x轴交于点D,AE平分∠BAC,交BC于 (2)求证：BC是⊙O的切线. 点E,经过点A,D,E的圆的圆心F恰好 D 在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G. (1)求证：BC是⊙F的切线； (2)若点A,D的坐标分别为A(0,一1)， D(3,0),求⊙F的半径. 3.(10分)如图，以AB为直径的⊙O经过 △ABC的顶点C,CD是⊙O的切线，过 点A作CD的垂线AD,并延长AD,交 BC的延长线于点E,延长DA,交⊙O于 点F. (1)求证：AB=AE; ·21· 5.(12分)如图①，过山车是一种机动游乐设 6.(12分)已知□ABCD,过A,B,C三点的 施，常见于游乐园中，深受年轻游客的喜 ⊙O与AD相切于点A. 爱.如图②，过山车的轨道近似看成⊙O, (1)如图①，若∠ABC=60°，求证：CD是 轨道的支撑架AB,CD均与地面BC垂 ⊙O的切线； 直，且与⊙O相切，E为CD上一点，连接 (2)如图②，若AD=8,CD=4√5，求⊙O AE,交⊙O于点F,连接DF并延长，交 的半径. BC于点G.已知AB=AD. (1)求证：△ADE≌△DCG; (2)若DE=25,⊙O的半径为3，求AF 的长 B 图① 图② B G 图① 图② ·22·13.解：(1)设电流1关于电阻R的函数关系式为1=只把(9,4)代人，得4=号，解得 U=36.∴电流1关于电阻R的函数关系式为1-股(2)当I=6时，R-0=6.当I 10时，R=38-86.6-3.6=2.4(0,电阻R减少了2.4n. 14.解：10在y=-合x中，当y=1时，1=-合，解得x=-2.5A(-2,10.把 4(-2,1D代入y=冬得及=-2X1=-2.“反比例函数的解析式为y=一是.(2)把 x=2代入y=一子x,得y=-1.“BC2,-1).根据题意，得直线的函数解析式为y =-x+2.令x=0,则y=2,M0,2).0M=2.Saw=0M(8-)= 号×2×[2-(-20]=4 易错章测（六） 1.D【易错点拨】对中心对称图形的定义理解不到位致错.快速解题小技巧：把页面倒 过来观察四个图形，颠倒前后图形不变的即是中心对称图形， 2.D3.B 4.C【易错点拨】未理解关于原点对称的点的坐标特征以及各象限点的坐标特征而致错. 5.A6.D7.908.75°9.6√2 10.(0,一√2)【易借点拨】对规律探究类题目，未能准确归纳出旋转点的坐标规律而 致错. 11.解：(1)如图，△ABC即为所求.A(1,-5).(2)如图，△ABC即为所求.A(5,1). 12.证明：，△AGB与△CGD关于点G对称，∴.BG=DG,AG=CG.AE=CF,∴.AG -AE=CG-CF,即EG=FG.又∠DGE=∠BGF,∴△DGE≌△BGF(SAS).∴.BF =DE. 13.解：(1)由旋转的性质，得∠A'=∠A=20°，∠A'CB'=∠ACB=90°，BC=BC. .∠CBB=∠B=90°-∠A'=70°..∠BCB=180°-∠CBB-∠B'=40°..a= 40°.(2)由旋转的性质，得BC=BC,∠B=∠CBD,∠BCB=∠ACA',∠A'CB'= ∠ACB=90.∴∠B'=∠CBB'.CD=CB',.BC=CD.∴∠CBD=∠CDB.∴∠B' =∠CDB=∠CBB=∠CBD.CB=CB,∴△BCB'≌△BCD(AAS).∴.∠BCB'= ∠BCD=2∠A'CB'=45.a=45 14.(1)证明：△ABC是等边三角形，∴.BA=BC,∠ABC=60°.由旋转的性质，得BD =BE,∠DBE=6O°，∴.∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD,即∠ABD=∠CBE. ∴△ABD≌△CBE(SAS).AD=CE.(2)解：AD=CE,AC=BC=6,∴.CE+CD= AD十CD=AC=6.:BD=BE,∠DBE=60°，△DBE是等边三角形..DE=BD= 5.5..△DCE的周长是DE+CE+CD=11.5. 阶段小测（七） 1.D2.D3.D4.C5.D6.B7.4答案不唯-）8.100°9.2E10.号 58 11.证明：AB,CD是⊙O的直径，CFD=AEB.:DF=BE,.DF=BE..CFD- DF=AEB-BE,即CF=AE..∠D=∠B. 12.解：OA=OC=OD=5,CE=2,∴.OE=OC-CE=3..DE=OE+OD=8.AE =BE,∴.OE⊥AB..AE=√OA2-OE=4.∴.AD=√AE+DE=4V5. 13.解：(1)如图，点M的坐标为(2,0).(2)连接AM.A(0,4),M(2,0),AO=4,OM =2..AM=√O+OA=2√5.∴.⊙M的半径为2√5.(3)D(5,-2),M(2,0), .DM=√(5-2)2+22=√13.√13<2√5，点D在⊙M内. M 14.(1)解：∠ADC=2∠B,∠ADC+∠B=180°，.2∠B+∠B=180°.∠B=60°. (2)证明：连接DO.∠B=60°，∴∠AOC=120°.：D是AC的中点，.AD=CD. ∴∠A0D=∠C0D=号∠A0C=60,:A0=D0=C0,∴△A0D,△C0D为等边三角 形..AD=AO=CO=CD.∴.四边形AOCD是菱形. 15.(1)解：AB=AC,∠BAC=40,∴∠ABC=∠ACB=合(180°-∠BAC)=70 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴.∠ADC=180°-∠ABC=110°.(2)证明：连 接CF.:AF是⊙O的直径，，∠ACF=90.BD⊥AC,∴.CF∥BD.∠CBD= ∠BCF.·∠DAC=∠CBD,∴.∠DAC=∠BCF.AB=AC,.AB=AC.又：AF是 ⊙O的直径，∴ACF=ABF.CF=BF..∠CAF=∠BAF=∠BCF.∠BAC= 2∠BCF.∴.∠BAC=2∠DAC. 几何专练（四）与切线的判定、性质有关的计算与证明 1.证明：：AD是⊙O的直径，.∠ACD=90°.∴.∠D十∠CAD=90°.：AE与⊙O相 切，AE⊥AD.∴∠CAE+∠CAD=90°.∴∠D=∠CAE.'∠B=∠D,∴.∠B= ∠CAE. 2.(1)解：连接CD.:AD=CD,AD=CD.AC为⊙O的直径，∠ADC=90 ∴∠A=∠ACD=45°.(2)证明：D为AB的中点，∴AD=BD.AD=CD,.BD= CD.∠B=∠BCD=45°.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90.∴.AC⊥BC.OC为半 径，∴BC是⊙O的切线. 3.(1)证明：连接OC.CD是⊙O的切线，.OC⊥CD.,AE⊥CD,.OC∥AE. .∠OCB=∠E.,OB=OC,∠OBC=∠OCB.∴.∠OBC=∠E..AB=AE.(2)解： 连接BF.AB为直径，∠ACB=∠F=90°.AC=6,AB=10,BC= VAB2-AC=8.AB=AE,..EC=BC=8...BE=16..BF=AB2-AF2=BE2- EF,102-AF=162-(AP+10只.AF=4 4.(1)证明：连接EF.:AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠FAE.:FA=FE,∴∠FEA= ∠FAE.∴∠CAE=∠FEA.∴.FE∥AC.∴∠FEB=∠C=90°，即BC⊥EF.,EF为 ⊙F的半径，BC是⊙F的切线.(2)解：连接FD,设⊙F的半径为r.D(3,0),A(0, -1),∴.OA=1,OD=3,OF=r-1.在Rt△ODF中，OF2+OD2=DF2,即(r-1)2+32 =,解得r=5..⊙F的半径为5. 5.(1)证明：由题意，得AB⊥BC,CD⊥BC,且AB,CD与⊙O相切，.∠ADE=∠DCG =∠ABC=∠BAD=90°.∴.四边形ABCD为矩形.，AB=AD,∴.四边形ABCD为正 59 方形.AD=DC.:AD为⊙O的直径，∴∠AFD=90°..∠DAE十∠ADF=90°. :∠CDG+∠ADF=90°，.∠DAE=∠CDG.在△ADE和△DCG中， '∠ADE=∠DCG, AD=DC ∴.△ADE≌△DCG(ASA).(2)解：由(1)得∠ADE=∠AFD=90°， N∠DAE=∠CDG, :O0的半径为3，AD=6.AE=VAD+DE=4VF.:SAme=号AD:DE= 2AE·DF,∴DF=ADDE=3.∴AF=VAD-DF=3V5. AE 6.(1)证明：连接AC.∠ABC=60°，∴.∠AOC=2∠ABC=120°..OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA=30°.，⊙O与AD相切于点A,.∠DAO=90°，.∠DAC= ∠DAO-∠OAC=60°.，四边形ABCD为平行四边形，∴.∠D=∠ABC=60°. ∴.∠DCA=l80°-∠DAC-∠D=60.°.∠DCO=∠DCA+∠OCA=90°..OCLCD. ,OC为⊙O的半径，.CD是⊙O的切线.(2)解：连接AO并延长，交BC于点E,连接 OB.,⊙O与AD相切于点A,∴.∠DAO=90°.：四边形ABCD为平行四边形，∴AB =CD=45,BC=AD=8,AD∥BC.·∠OEB=∠DA0=90.∴BE=EC=2BC=4. 在Rt△AEB中，由勾股定理，得AE=√AB2-BE=8.设⊙O的半径为r,则OE=8一 r.在Rt△OBE中，由勾股定理，得OB2=OE2+BE,即2=(8-r)2十4，解得r=5. .⊙0的半径为5. 易错章测（八） 1.B2.C3.D4.D5.B 6.B【易错点拨】点I是△ABC的角平分线的交点.∠DBC无法直接求解，需先证∠D =∠C. 7.相离8.65°9.4 10.4【易错点拨】先要理解题意，并求出OE的长，然后画出相切时的图形. 11.解：过点P作PC⊥OB,垂足为C,则∠OCP=90°.，∠AOB=30°，OP=24cm, :PC=20P=12cm,1:PC==12cm,OP与0B相切，即⊙P与0B的位置 关系是相切.(2)当⊙P与OB相离时，r<PC,∴.r需满足的条件是0cm<r<12cm. 12.解：连接OB,OC,则OB=OC=4.:六边形ABCDEF是正六边形，∠BOC-360° 6 =60°.∴△OBC是等边三角形.∴.BC=OB=4,C正六边形ABCDEF=6X4=24,OH⊥ BC,BH=号BC=2.OH=VOB-BF=2V5.S*0E=6X合×4X2g =24√3..这个正六边形的周长为24，面积为24√3. 13.解：(1)AD,CD是⊙O的切线，∴.CD=AD.同理EC=EB,PA=PB.∴△PDE的 周长=PD+PE+DE=PD+AD+PE+BE=PA+PB=2PA=8.(2)连接OA. PA,PB分别为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°.∴∠AOB=360°-∠P- ∠0AP-∠OBP=140.∠F=z∠A0B=10, 14.(1)证明：连接OD,AD.,AC是⊙O的直径，∠ADC=90°..AD⊥BC.AB= AC,∴.BD=CD,∠B=∠C.:OA=OC,∴.OD∥AB.:四边形AEDC是⊙O的内接四 边形，∠AED+∠C=180°.∠AED+∠DEB=180°，∴∠DEB=∠C.∠DEB= ∠B.DE=BD.F是BE的中点，.DF⊥AB..DF⊥OD.:OD是⊙O的半径， DF是O0的切.线(2)解：AB=AC=13,ADLBC,BD=号BC=5.AD= VAB-BD-12:Sw=合AD:BD-名AB:DF,DF-ADBD-8 AB —60