第28章 旋转 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第二十八章质量评估 (时间：90分钟满分：100分) 香 、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.每小题均有A, B,C,D四个选项，其中只有一个选项正确) 北 题号 3 5 6 7 10 答案 1.下列现象属于旋转的是 A.太阳缓缓升起 B.雪花在天空中飘落 C.拧开瓶盖 D.运动员在100m跑道上赛跑 2.传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴.下列 纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 B 3.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转至△OA'B',使点B恰好 落在边A'B′上.已知AB=4,BB=1,则AB的长为( A.3 B.4 C.5 D.6 O(C') (第3题图) (第5题图)》 (第6题图) 4.在平面直角坐标系中，与点P(一m2一1,1)关于原点对称的 点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°能与△ADE重合，点 D在线段BC的延长线上.若∠BAC=20°，则∠AED的度 数为 ( A.135° B.125° C.120 D.115 6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'成中心对称， 则对称中心的坐标为 ( A.(0,0) B.(-1,0) C.(-1,-1) D.(0,-1) 25 7.在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一个方 块正在向下运动，为了使所有图案消失，需进行的操作是( A.顺时针旋转90°，向右平移 平 B.逆时针旋转90°，向右平移 田 C.顺时针旋转90°，向左平移 D.逆时针旋转90°，向左平移 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4,将 △CAB绕点C逆时针旋转得到△CDE,点D恰好在AB边 上，连接BE,则BE的长为 ( A.8 B.4√2 C.4√3 D.6 (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，点A在y轴正 半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2.将△AOB绕点O顺时针 旋转90°得到△A'OB',则点B的对应点B'的坐标是( A.(3,1) B.(3,√3) C.(√，3) D.（-3,3) 10.如图，P是正三角形ABC内一点，且AP=6,BP=8,CP= 10,将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P'AB.有下列结 论：①PP′=6；②AP2+BP2=CP2;③∠APB=150°； ④S△BPp=24,其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 11.在平面直角坐标系中，点（一2,1）关于原点O对称的点的坐 标是 12.如图，该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则 n的最小值为 (第12题图) (第13题图) （第14题图) 13.如图，将口ABCD绕点A逆时针旋转70°得到□AEFG.若 ∠CBE=25°，则∠BEF的度数为 26 14.如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=2,将OA绕点 O旋转到OC,连接AC,D是AC的中点.当∠CAB=15°时， OD的长为 三、解答题（本大题共7题，共54分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分8分)(1)已知点A(a,b)和点B(m,n)关于原点对 称，且a十b=2,求m十n的值； (2)如图，在6X5的正方形网格中，作出△ABC关于点O对 称的△DCB. ○ 16.(本题满分6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 坐标分别为A(-5,5),B(-6,0),C(-1,1). (1)画出将△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1; (2)画出将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到的△A2B2C, 并写出点A2,B2的坐标. -27 17.（本题满分6分)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140°得 到△ADE,B,C,D三点恰好在同一直线上，连接CE. (1)直接写出△ACE的形状为 (2)若CE⊥BD,求∠BAC的度数. 18.（本题满分8分)如图，在边长为1的小菱形构成的网格中， 已有两个小菱形涂色，请你再将两个小菱形涂色，使得整个 涂色部分图形满足下列条件： (1)图①中，整个涂色部分图形是中心对称图形，但不是轴对 称图形； (2)图②中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对 称图形， 图① 图② 一 28 19.(本题满分8分)如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC 45°，△AEF是由△ABC绕点A逆时针旋转得到的，连接 BE,CF,交于点D. (1)求证：BE=CF; (2)当四边形ABDF为菱形时，求CF的长 20.(本题满分8分)如图，E为正方形ABCD内一点，∠BEC=90°， 将△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△BFA(,点E的对应 点为点F),延长CE,交AF于点G. (1)试判断四边形BEGF的形状，并说明理由； (2)若AB=5,AG=1,求CG的长. -29 21.（本题满分10分)【问题情境】数学兴趣小组遇到这样一个问 题：如图①，D为等边三角形ABC的边BC上一点，将线段 AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE (1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并证明. (2)【探究应用】如图②，D为等边三角形ABC内一点，将线 段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE.若 B,D,E三点共线，求证：EB平分∠AEC (3)【拓展提升】如图③，若△ABC是边长为4的等边三角 形，D是线段BC上的动点（不与点B,C重合），将线段 DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,连接CE.在点 D的运动过程中，△DEC的周长的最小值为 图① 图② 图③ —30人y=冬，得4=合，解得k=8“反比例函数的解析式为y=(2)两个函数图象的 另一交点的坐标为（一2，一4）. 17.解：(1)：抛物线的顶点为(2,3)，∴.设抛物线的函数解析式为y=a(x一2)2十3.将 (4,5)代人，得5=a(4-2)2+3,解得a=号.“抛物线的函数解析式为y=分(x-2)2 十3.（②）：抛物线的函数解析式为y一号（红一2）2+3，∴在抛物线对称轴直线x=2的 左侧，y随x的增大而减小.：一4<一2，y>y2. 18.解：(1)根据题意，得△=(-2m)2-4(m2-m-1)≥0，解得m≥-1.(2)：x1,x2是 方程的两个实数根，.x1十x2=2m,x1x2=m2-m-1.'x1十x2=1一x1x2,.2m=1一 (m2-m-1),解得m1=1,m2=-2.m≥-1，∴.m=1. 19.解：（间题1D230(何题2）设CD段函数解折式为y-二将(24,16)代入，得16 -一会解得=384.y-38当y=24时，x=16,CD段温度为24℃的时刻为16 时.易得AB段函数解析式为y=2x+16.把y=24代人，得24=2x十16，解得x=4, ∴AB段温度为24℃的时刻为4时.16-4=12(h).答：大棚在0-24时内，温度不低于 24℃的时长是12h. 20,解：1抛物线)-2x+红+c的对称轴是直线工=号一2x之-一号解 b 得b=2..y=-2x2+2x十c.把B(2,0)代人，得-8十4十c=0,解得c=4.∴.抛物线的 函数解析式为y=-2x2+2x十4.(2)把x=0代入y=-2x2+2x十4，得y=4.∴.C(0, (2k+t=0, 4).设直线BC的函数解析式为y=kx十t.把B(2,0),C(0,4)代人，得 解得 (t=4, k=一2， .直线BC的函数解析式为y=-2x十4.设点P的坐标为(m,-2m2+2m十 t=4. 4),且0<m<2,则点M的坐标为(m,-2m十4)..PM=MH,.-2m+2m+4= 2(-2m+4),解得m1=1,m2=2(舍去).∴.点P的坐标为(1,4).，C(0,4),.CP=1. ∴S=3CP·p=号×1X4=2. 21.解：(1)①C②k>0(2):抛物线的顶点坐标为(b,c十b),且顶点为该函数图象 上的一个“自对应点”，∴.b=c十b.c=b-b.(3)根据题意，得y=(x一20)(30-x)= 一x2十50x-600.令x=一x2+50x一600，解得x1=25,x2=24,.该函数是“自对应点 函数”.“自对应点”表达的实际意义为：在这段时间内，当每件商品的售价为24元或25 元时，销售利润与其相等. 第二十八章质量评估 1.C2.B3.A4.D5.D6.B7.A8.C9.B10.D 11.(2,-1)12.7213.135°14.1或W3 15.解：(1).点A(a,b)和点B(m,n)关于原点对称，∴.m=一a,n=-b,a十b=2,.m 十n=一a-b=一(a十b)=一2.(2)如图所示. 0 B (第15题图) (第16题图) 16.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)如图，△A2B2C即为所求，A2(一5，一3)， B2(0,-4). 37 17.解：(1)等腰三角形(2)由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE=140°，AB=AD,AC= AE.∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD)=20,∠ACE=∠AEC=合(180-∠CAE) =20°.CE⊥BD,.∠ECB=90°.∠ACB=∠ECB-∠ACE=70°.∴.∠BAC=180 -∠B-∠ACB=90°. 18.解：(1)(2)如图所示.（答案不唯一） 图① 图② 19.(1)证明：由旋转的性质，得AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠BAC=45°， ·∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠BAE=∠CAF..△ABE≌△ACF(SAS). .BE=CF.(2)解：，四边形ABDF为菱形，.DF=AF=AB=2,DF∥AB.∠AFC =∠ACF=∠BAC=45°.∴.∠CAF=180°-∠AFC-∠ACF=90°.∴.CF= √AC+AF=2√2. 20.解：(1)四边形BEGF为正方形.理由如下：由旋转的性质，得∠F=∠BEC=90°， ∠EBF=90°，BF=BE,∴.∠BEG=180°-∠BEC=90°..四边形BEGF为矩形.又 ,BE=BF,.四边形BEGF为正方形.(2)设正方形BEGF的边长为x,则AF=x十 1,BF=x.在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AF2十BF2=AB,即(x十1)2十x2=52, 解得x=3(负值已舍去)..AF=4.∴.CE=AF=4..CG=CE+GE=7. 21.(1)解：BD=CE.证明如下：由旋转的性质，得AD=AE,∠DAE=60°.：△ABC是 等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE.∴∠BAC-∠CAD=∠DAC- ∠CAD,即∠BAD=∠CAE.∴.△ABD≌△ACE(SAS)..BD=CE.(2)证明：由旋转 的性质，得AD=AE,∠DAE=60°..△ADE是等边三角形.∴.∠ADE=∠AED= 60°.·∠ADB=180°-∠ADE=120°.，△ABC是等边三角形，.AB=AC,∠BAC= 60°=∠DAE.∴∠BAC-∠CAD=∠DAC-∠CAD,即∠BAD=∠CAE.∴△ABD≌ △ACE(SAS).∴.∠AEC=∠ADB=120°.∴.∠BEC=∠AEC-∠AED=60°. ∴∠AEB=∠BEC,即EB平分∠AEC.(3)解：4十2√3【解析】连接AE.由旋转的性 质，得AD=DE,∠ADE=60°，∴.△ADE是等边三角形..AE=AD.同(1)可证BD= CE,∴.CAcE=CD+CE+DE=CD+BD+AD=BC+AD=4+AD.当AD⊥BC时， AD的长最小，此时△DCE的周长最小.：△ABC是等边三角形，AD⊥BC,∴.BD= 号BC=2.∴AD=VAB-BD=2V反.：△DCE的周长的最小值为4+2E 第二十九章质量评估 1.C2.D3.A4.D5.D6.D7.D8.C9.A10.B 1.BD是直径12.38°13.214.号x-25 15.(1)证明：AB=CD,.AB=CD..AB-AD=CD-AD,即BD=AC.∠A= ∠B.AD∥BC.(2)解：∠BAC=90°，AB=6,BC=10,.AC=√BC-AB=8. :D是BC的中点，AD=号BC=5.”点B,D,C均在⊙A外，0<<5. 16.解：AB是⊙0的直径，∠ADB=90.AD=AD,∠ABD=∠ACD=30°. .AB=2AD=8cm.∴.⊙O的直径为8cm. 17.证明：连接0A,0C,0D.·∠1=合∠A0D,∠2=合∠C0D.:∠1=∠2， .∠AOD=∠COD.∴.AD=DC.·四边形ABCD内接于⊙O,.∠BAD+∠BCD= 180°.，∠DCE+∠BCD=180°，.∠A=∠DCE.又，AB=CE,.△ABD≌△CED (SAS)..'BD=ED. —38 18.(1)证明：：AC=BD,AC=BD.∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD.∴∠A ∠D.(2)解：连接OC,OD.AC⊥BD,.∠AED=90°..∠A=∠ADE=45. ∠C0D=2∠A=90.:⊙0的半径为2,1临=90mX2=元 180 19.解：(1)由题意可知CB=BD=号CD=6m,:0A⊥CD,设半径长为rm在 Rt△OBC中，由勾股定理，得OC=OB2+BC,即2=(r-4.5)2+62,解得r=6.25. 答：这个圆弧形洞口的半径OC的长度为6.25m.(2)100° 20.解：(1)正确.设AB所对的半径为R,CD所对的半径为r,∠COD=∠AOB=n°.由题 意，得R-=d花坛的面积为合马R-合=名··R-之··r=名· 0(R-)=之·需(R+rR-)=号(+需)·d=合4+)d.(2)360 -135°=225°.灯罩的上边缘花边长为25X12=15元(cm),灯罩的下边缘花边长为 180 225xX24=30x(cm),至少需要花边15π十30元=45元(cm).新灯罩所需环保材料的面 180 积为号15x+0)×24-12)+·(受）°-105(cm). 4 21.解：(1)，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°.∠BCD =2∠BAD,.3∠BAD=180°..∠BAD=60°.(2)①过点O作OE⊥BD于点E,连接 OB,OD..BE=DE,∠BOD=2∠BAD=120°，OB=OD=5.∴.∠OBD=∠ODB= 合180-∠B0D)=30.∴0E=号0B=号.在R△B0E中，BE=VOB-0E- 9.BD=2BE=5原.②延长CD至点P,使DF=BC,连接AP,则BC+CD=DF +CD=CF.·'CA平分∠BCD,·∠DCA=∠BCA.易得AB=AD.'∠ABC+∠ADC =180°，∠ADC+∠ADF=180°，.∠ABC=∠ADF..△ABC≌△ADF(SAS).AC =AF,∠DAF=∠BAC.∴.∠CAF=∠CAD+∠DAF=∠CAD+∠BAC=∠BAD= 60°.∴.△ACF为等边三角形.∴.CF=AC.当AC为⊙O的直径时，AC的长最大，此时 BC+CD有最大值，最大值为5×2=10.(3)BC+2CD=√3AB.【解析】延长BC,AD交 于点G,·AC是⊙O的直径，.∠B=∠ADC=90°.∴∠G=90°-∠BAD=30°.∴.AG =2AB,CG=2CD.在Rt△ABG中，由勾股定理，得BG=√AG一AB=√3AB.又 BG=BC+CG,∴.BC+2CD=√3AB. 第三十章质量评估 1.D2.B3.C4.C5.A6.C7.A8.B9.A10.D 11.212.313.69°14.2或-2或0 15.(1)证明：连接OD.AD平分∠BAC,.∠OAD=∠CAD.,OA=OD,.∠ODA =∠OAD.∴.∠ODA=∠CAD..AG∥OD.∠ODG+∠G=180°.又DG是⊙O的 切线，∠ODG=90°.∠G=180°-∠ODG=90°..DG⊥AG.(2)解：过点C作CD⊥ AB于点D.:∠ACB=90°，AC=5,BC=12,∴AB=V√AC+BC=13.:S△ABC= 合CD·AB=AC,BC,CD=ACBC=0当⊙C与斜边AB有公共点时，7 AB 的取值范围为鹘<<12。 16.解：(1)点M的坐标为(3,2).(2)⊙M与y轴相交.理由如下：由勾股定理，得MA= √12+3z=√10，即⊙M的半径r=√10.，3<√10，∴.⊙M与y轴相交. 17.解：1：正五边形ABCDE内接于⊙0，∠A0C=360×号=144.∠ADC= 名∠A0C-72.(2):∠A0C-14,00的半径为1，扇形A0C(阴影部分)的面积 39