阅读与思考 一元二次方程与黄金分割数&数学活动 探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 贵州专版）

阅读与思考一元二 1.黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领 域.例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割.如 图，枫叶的叶脉AC长为14cm,B为线段 AC上-点(AB>BC.且满足S-A是则 称点B为线段AC的黄金分割点.若BC的 长为xcm,则根据题意可列方程为 ( A.(14-x)2=14x B.x2=14(14-x) C.x(14-x)=142 D.14(1-x)2=14-x 2.（教材P24习题T9变式)如图，已知点C在 线段AB上，且满足AC2=AB·BC. (1)若AB=1,求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长. 次方程与黄金分割数 3.综合与实践 【主题】黄金分割数 【素材】如图①，我们知道，如果点P是线段 AB上一点(AP>BP),且满足BP:AP= AP:AB,那么这种分割就叫作黄金分割.其 中，线段AP与AB的比值或线段BP与AP 的比值叫作黄金分割数 【实践操作】若线段AB=1,设AP的长为x, 则BP=1-x. .BP:AP=AP:AB, .（1-x):x=x:1. 。 根据此方法可计算出黄金分割数为 (结果保留根号) 【实践探索】二胡是我国古老的民族拉弦乐 器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴 弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦 比下面一截琴弦短)，奏出来的音调最和谐 悦耳.如图②，一把二胡的琴弦长为80cm, 求“千斤”下面一截琴弦长.（结果保留根号） 一琴头 琴轴 千斤 弓杆 弓毛、入 应琴筒 琴托琴皮 图① 图② 九年级数学人教版全一册23 数学活动 探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 活动1探究方程有公共解的条件 活动2神奇的线段分割 1.若一元二次方程ax2-bx十c=0,bx2-cx+ 2.【阅读材料】老师出了一道题：如果三条线段 a=0,cx2-ax十b=0(a≠b≠c,abc≠0)恰有 的长度分别为a,b,c,且a>b>c,试找出一 一个公共解， 组a,6c的值，使a=b+c和名+同时 (1)求证：a十b+c=0; 成立 证明：将三个方程相加，得(a十b十c)x2 (a+b+c)x+(a+b+c)=0, 小明是这么解答的：将Q=b十c代入2+1=3 ∴.(a+b+c)(x2-x+1)=0. 化简可得=3c2,把c看作常数，可得b=√3c, ∴.a=(√/3+1)c. 请将后面的证明过程补充完整. ∴.a:b:c=(3+1):√3：1. (2)求方程ax2-bx十c=0的解. 我们可以用两种方法进行求解： 答案不唯一，取满足这个比例式的正数值即 可，如：a=√3+1，b=√3，c=1. 方法一：用因式分解法求解。 【尝试应用】仿照上面小明的解题思路，解答 a十b+c=0,∴.b=-a-c. 下列问题： .ax2-bx+c=ax2+(a+c)x+c=ax2+ax+ cx+c=a.x(x+1)+c(x+1)=(x+1)(a.x+c). 如果三条线段的长度分别为a,b,c,且a> .ax2-bx十c=0, b>c,试找出一组a,b,c的值，使a=2b+c .x十1=0或a.x十c=0..=-1,x2=一 a 和总+方2同时成立 方法二：用公式法求解. …… 请你写出方法二的具体过程。 24第二十五章一元二次方程易错典例 【例2】A 基础过关 1.B2.B3.324.135.解：(1)(120十10x)(16-x)(2)根据题意，得(16一x)(120十 10x)=1800.整理，得x2-4x一12=0.解得x1=6,x2=-2(不符合题意，舍去).答：每箱应 降价6元. 能力提升 6.367.解：(1)设参加聚会的人数为x.根据题意，得7x(x-1)=28,解得x1=8,x2=一7 (不符合题意，舍去).答：参加聚会的人数为8.(2)根据题意，得2(m十2)(m十1)=21，解得 m=5,m=一8（不符合题意，含去）.m的值为5.(3)根据题意，得号m0a一3)十9=号(n十 1 1)(n-2),解得n=10. 思维拓展 8.解：（任务1）设从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为x.根 据题意，得1500(1十x)2=2160,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答： 从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为20%.（任务2）设下调 后每人的团费为y元.根据题意，得y(30+09之)=3200，解得n=400,=80。 :y≥750，∴y=800.答：下调后每人的团费为800元. 阅读与思考一元二次方程与黄金分割数 1.A2.解：(1)设AC=a,则BC=AB-AC=1-a.AC=AB·BC,∴a2=1-a,解得 a=5号a:=有1（含去.AC=.@)设AC=,则C=r-2AB=AC+ BC=2x-2.AC2=AB·BC,.x2=(2x-2)(x-2),解得x1=3十√5，x2=3-√5（舍去）. “AB=2x-2=4针25.3.解：【实骏操作【实践探索】：二胡的“千斤“”钩在琴弦 长的黄金分割点处，.“千斤”下面一截琴弦长为80×5,1=405-40(cm. 2 数学活动探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 1.解：1：-x+1=(-合)+是>0a+6+e=0.(2a+6+(=0,6=-a- 1 .ax2-bx十c=0可化为ax2十(a十c)x十c=0.∴.△=(a十c)2-4ac=(a-c)2>0.∴.x= 二0+若0口a=一日，=-1.2.解将a=2bc代人2合得品。 2a 六-2次十(2b十c0c=(26十c)6化简，得28-3次-2=0，把c看作常数，利用求根公 式进行计算，得b=3①。.：b>c>0,b=3十亚。.a=5十亚。.a:b:c= 2 十亚：3十亚：1，答案不唯一，取满足这个比例式的正数值即可，如：a=10十27， b=3十√17，c=4, 第二十五章章末复习 思维导图 一 整式2不相等相等无一二 a a 考点整合 1.B2.C3.x2-3x=0(答案不唯一)4.45.D6.x1=1,x2=-17.解：(1)整理，得 (x-2)2=24.由此可得x-2=士2√6..x-2=2√6，或x-2=-2√6.x1=2+2√6， x2=2-2√6.(2)整理，得(x十1)(x-2)十2(.x-2)=0.左边因式分解，得(x一2)(x十1十2)= 0.于是得x-2=0,或x十3=0.x1=2,x2=-3.(3)原方程可化为2x2十2√2x十1=0. :a=2,b=2√2，c=1,∴.△=b-4ac=(2√2)-4×2X1=0.∴.方程有两个相等的实数根. .8.A9.-110.解：(1)根据题意，得△=[-2(m十 61 1)]-4(m2+5)>0,解得m>2.(2)由根与系数的关系，得x1十x2=2(m十1)，x1x2=m2十 5.(x1-1)(x2-1)=7,.x1x2-(.x1十x2)十1=7，即m2十5-2(m十1)十1=7，解得1= 3,2=-1.由(1)知m>2,.m=3.(3)x1≠x2,.7是方程的一个根.将x=7代入原方 程，得49一14(m十1)十m2十5=0，解得m1=4,2=10.当m=4时，方程的另一个根为3， 此时三边长分别为7,7,3，符合三边关系：当m=10时，方程的另一个根为15，此时三边长 分别为7,7,15，不能构成三角形，舍去.，，这个三角形的周长为7十7十3=17.11.D 12.10%13.解：)(4-3)(2)根据题意，得x(4-3)=160,解得=9=8.当 x=9时，4-3x=24>2,不符合题意，舍去：当x=8时，4-3x=20<2,符合题意.答： 重建后的养鸡场的宽AB为8m 聚焦课标 14.解：（任务1）设民宿宣传海报边框的宽为acm.根据题意，得(30十2a)(20十2a)=816,解 得a1=2,a2=-27(不符合题意，舍去).答：民宿宣传海报边框的宽为2cm(任务2)①(200十 z) (30-0) ②根据题意，得(200十)(30-)一20(30-后)=860.整理，得x- 120.x十32000=0.4=(-120)2-4×32000=-113600<0，∴.该方程无实数根..无法 满足要求.（任务3）答案不唯一，合理即可，如：建议加强宣传推广，融合特色文化等. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 基础过关 1.B2.y=5x2-5x5-53.-24.A5.y=-2x2+8x6.(1)y=-25x2+250x十 5000(2)5525 能力提升 7.C8.B9.y=60十60(1十x)十60(1十x)210.解：(1)由题意，得y=x[30-x-(x 2)]=-2x2十32.x.自变量x的取值范围是2<x<16.(2)由题意，得y=-2x2十32x=56, 解得x1=2(不合题意，舍去)，x2=14.∴.x的值为14. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 新知梳理 ①y轴原点上低下高小②减小增大增大减小 例题引路 【例】解：(1)如表所示。 y=x? y=2x2 y=-2x2 8 (2)如图所示. (3)对称轴都是y轴，顶点都是原点， 基础过关 1.D2.A3.解：(1)如图所示 (2)开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标 -6-4-20246x 为(0,0).(3)当x>2时，y>1,4.B5.<【变式题】< -62 能力提升 6.B7.C8.2(答案不唯一)9.解：(1)根据题意，得k十2<0，且2十k一4=2，解得k= 一3.(2)由(1)，得k=一3，则y=一x2,.函数图象的顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴. (3):-1≤x≤2，-1<0，.当x=0时，y有最大值，最大值为0；当x=2时，y有最小值，最 小值为-22=-4.10.解：(1)1.8(2)由题意，得CE=0.2m,则yE=0.2-1.8=-1.6. 令y=-1.6,则-号x2=-1.6,解得x=士瓦.EF=巨-(-2)=2Em). 思维拓展 11.解：(1)1(2)由(1)知a=1,即y=x2.将C(-1,n)代入，得n=(-1)=1,.C(-1,1). 将D(m,9)代入，得m2=9,解得m=3(负值已舍去)，∴.D(3,9).设直线CD的函数解析式 为)=十6，将C(一1,1)，D(3,9)代入，得+6=1 36。解得{，m∴·y=2x十3.令xs。 b=3. 则y=3,即P(0,3).5Sw=Sa0m十S6m=号×3X1+号X3X3=6. 26.2.2二次函数y=a(x-h)2十k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 新知梳理 ①y轴(0，k)上低小k下高大k②上k下k 例题引路 【例】解：(1)如图所示 抛物线的函数解析式是y=之一2，顶点坐 4-301234文 标是(0，-2)，对称轴是y轴.(2)当x=0时，y2有最小值-2.(3)0≤y2≤6 基础过关 1.A2.C3.D4.解：1)当x=2时y=×4十3=4.点(2,40在该函数的图象上。 (2)<5.A6.1 能力提升 7.D8.C9.1610.解：(1)2-5(2)抛物线的函数解析式为y=2x2-5,∴.顶点坐标 为(0，一5)，对称轴为y轴.(3)当一3≤x1时，函数值y的取值范围是一5y13. 思维拓展 11.解：1)x为任意实数(2)03 44 ②③如图所示， (3)B (4)ab 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 新知梳理 ①x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右h|左h 例题引路 【例1】解：(1)y=5(x十2)2(2)当x>一2时，y随x的增大而增大.(3)将抛物线y=5(x十 2)2向右平移2个单位长度可得到抛物线y=5x. 易错典例 【例2】a≤2 基础过关 1.D2.A3.B4.-1(答案不唯一)5.解：(1)把(1，-3)代入，得-3=a(1十2)2，解得 -63