25.3 第3课时 循环、数字与销售问题（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第3课时 循环 A分点训练 。夯实基础 知识点①循环问题 1.情境题体育运动某地区举办一场足球赛，小 组内比赛采用单循环制，即每支球队必须和 其余球队比赛一场.现A组有x支球队参 加，共比赛了45场，根据题意，可列方程为 【变式题】背景不变，更改赛制：单循环→双循环 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比 赛（这样的比赛叫作双循环比赛），共要比赛 110场，则参加比赛的球队有支. 2.新年到了，班上数学兴趣小组的同学互赠新 年贺卡，每两名同学都相互赠送一张，小明 统计出全组共送了210张贺卡，那么数学兴 趣小组的人数是多少？ 知识点2数字问题 3.（教材P24习题T1变式)两个相邻奇数的积 是143，求这两个奇数.设较小的奇数为x, 则可列方程为 ) A.x(x+1)=143 B.(2x+1)(2x-1)=143 C.x(x-2)=143 D.x(x+2)=143 22数学九年级上册人教版 数字与销售问题 4.某月的月历如图所示，用一个“Z”字形框框 出6个数，其中最小的数与最大的数的积是 144,求最小的数与最大的数分别是多少， 日一二三四五六 12345 6789101112 13141516171819 20212223242526 2728293031 知识点3销售问题 5.某商品每件进价为3元，当每件售价为x元 时可销售该商品(x十3)件，此时获利160 元，则根据题意可列方程为 x的值为 6.某商品现在的售价是每件130元，每日的销 售量是70件.经市场调查反映，若每件商品 的售价每上涨1元，则每日的销售量就减少 1件.已知该商品的进价是每件120元，那么 该商品的售价定为多少元时，每日可盈利 1600元？ 解：设每件商品的售价上涨x元. (1)用含x的代数式表示： ①每件商品的售价为 元； ②日销售量为 件； (2)根据题意，列出方程为 (3)解这个方程，得 (4)130+x= ； (5)答：每件商品的售价定为 元时，每 日可盈利1600元. B综合运用 。提升能力 7.新趋势数学文化我国古代著作《四元玉鉴》 记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代 买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每 株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩 下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，则 6210文能买多少株椽？设这批椽共有x株， 则符合题意的方程是 () A.3(x-1)x=6210 B.3(x-1)=6210 C.(3x-1)x=6210D.3x=6210 8.某地区有x个机场，为确保任意两个机场之 间都有直飞的航班，一共设有56种直飞机 票，则x的值为 9.学科融合读诗词算年龄读诗词解题： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 上述问题中，周瑜去世时的年龄为 岁 10.某服装店销售一款大衣，每天可售出20 件，每件盈利40元.为了扩大销量，增加盈 利，该服装店采取了降价措施，经过一段时 间后，发现销售单价每降低1元，每天可多 售出2件大衣.设该款大衣每件降价x元. (1)服装店每天可售出这款大衣 件， 每件大衣可盈利 元；（用含x的代 数式表示) (2)为了尽快减少库存，且要使该服装店每 天销售这款大衣的利润为1200元，每 件大衣应降价多少元？ C创新拓展 ⊙发展素养 11.(教材P23练习T2变式)如图，四边形ABCD 共有2条对角线，五边形ABCDE共有5条 对角线，六边形ABCDEF共有9条对角线 … (1)n边形共有 条对角线.（用含n 的代数式表示) (2)若一个多边形共有35条对角线，这个 多边形的边数是多少？ (3)A同学说：“我求得一个多边形共有10 条对角线.”你认为A同学的说法正确 吗？为什么？ 图① 图② 图③ 提示 请完成应用专练（一） 第二十五章一元二次方程23两个根是x1=n,x2=一3，且与方程a.x2+bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，n=一1或3. 专题特训一元二次方程的解法【热点】 1,解：1)移项，得红=25.二次项系数化为1，得2-空根据平方根的意义，得x 土号∴=号=一号.(2)移项，得(x一1=25，根据平方根的意义，得x-1= .5 士5.∴x-1=5,或x-1=-5..=6,x2=-4.(3)配方，得x2-23x+(W3)2=1十 (W3)2,即(x-√3)2=4..x-√5=2，或x-√3=-2..x1=√3+2，x2=√5-2.(4)移 项，得x2-7x十12=0.，a=1,b=-7,c=12,.△=2-4ac=(-7)2-4×1×12=1> 0.方程有两个不相等的实数根。=二（2生-7生.=4，=8，(5)整 2×1 理，得2x2-7x+7=0.a=2,b=-7,c=7,∴.△=b-4ac=（-7)2-4×2×7=-7< 0.∴.原方程无实数根.(6)左边因式分解，得(x一1)(x-3)=0.∴x-1=0,或x-3= 0..x1=1,x2=3.(7)整理，得2x2十2V2x十1=0.a=2,b=2√2，c=1,∴.△=b2- 4如c=(2v②)-4X2X1=0.∴方程有两个相等的实数根.==一号-一. 2X2 2· (8)移项，得(2x一1)2一(3-x)2=0.左边因式分解，得(2x一1十3-x)(2x一1-3十x) =0,即(x十2)(3x-)=0.∴x十2=0，或3x-4=0.∴=-2，=手(9)整理，得 x2十9x十20=0.a=1,b=9,c=20,.△=b2-4ac=92-4×1X20=1>0..∴.方程有 两个不相等的实数根.=装-号=一4=-5. 2×1 2.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十2)=0..x十1=0，或x+2=0..x1=一1，x2 =-2.(2)左边因式分解，得(x-4)(x十2)=0.∴.x-4=0,或x十2=0.∴.x=4,x2= -2.(3)左边因式分解，得(2x-3)(x十2)=0.2x-3=0,或x十2=0.a=号， =一2.(4)左边因式分解，得(x-√2)(x一1)=0.∴x一√2=0，或x-1=0.∴.x1=√2， x2=1. 3.解：(1)设3x一5=y,则原方程可化为y2十4y十3=0，解得y=-3,y2=一1.∴.3x一 5=-3,或3x-5=-1.函=号w=专(2)设2=y,则原方程可化为-y一6= 0,解得y=3,y2=-2(舍去).x2=3.∴.x1=√3，x2=一√3.(3)设x2-x=y,则原方 程可化为y(y-4)=-4,解得1=y2=2.x2一x=2..x1=2,x2=一1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.C2.B3.D 4.解：函十=-吾4=0.2a+名=-2E,=-号.(8)方程化为5 3z3=0.心西十2三号，x4=-号 5.B6.47.m>号 8.解：(1)，一元二次方程x2一(2k十1)x十2+1=0有两个不相等的实数根，.△= [-(2+1DP-4(+1)>0,解得>.(2)答案不唯一，如：选①.由题意，得= 皮+1=2解得k=士1.由(1)，得>k=1. 9.D10.D11.C 12.解：西是方程2x+3x一8=0的两个根，面十=-一多，=-1.(1 十店+a=(国十-=（是）-(-10=终.(2)要+号- 西+-2盟-+2（) -2= -2=-17 X1X2 X1X2 一1 Γ4 13.解：(1)，关于x的一元二次方程kx2十x一3=0有两个不相等的实数根，∴.△=12 一4X(一3)>0，解得>-立又：≠0，实数及的取值范围为>一立且≠0. (2由根与系数的关系，得西十=一名函=一是“（西一）十5函=（国十 )+-(-安)》-是=4，阁得=6-1.心一立且0=子 1 14.C【解析】设菱形的两条对角线的长分别为a,6.“菱形的面积为11，之ab=11, 即ab=22.由根与系数的关系，得a+6=10.菱形的边长为√（受）+（名）= 7Va+6-2a6=710-2x2=Vm. 专题特训根与系数的关系的运用【新教改变化】 1.D2.B3.-3 4.(1)解：将x=1代入方程x2十ax+a一3=0，得1十a+a一3=0，解得a=1.∴.原方程 为x2十x一2=0.设另一个根为x1,则1·x1=一2，解得x1=一2..该方程的另一个根 为一2.(2)证明：，△=a2一4(a一3)=(a一2)2+8>0，.不论a取何实数，该方程都有 两个不相等的实数根。 5.C 6.解：方程化为4x2-7x-3=0,.x1十x2 、 x2= 7 =-子2+=+2-2=(）‘-2x(-）=得 4 【变式题1】C 【变式题2】解：·a,b是互不相等的两个实数，且分别满足a2-a-1=0,-b-1=0, ∴.a,b可看作方程x2-x-1=0的两个实数根.∴.a十b=1,ab=-1.∴.a十b十2ab=1 +2×(-1)=-1. 7.解：(1)根据题意，得△=(-6)2-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)根据题意，得x十x2 =6,x1x2=2m+1.2x1x2十1十x2≥20，.2(2m十1)+6≥20，解得m≥3.m≤4， .3≤m4. 8.解：1)由题意，得4=[-(2m+3)]3-4(m+2)≥0，解得m≥-立(2)根据题意， 得x十x2=2m+3,x1x2=m2+2.x号+x号=16十x1x2,.(1十x2)2=16+3x1x2. .(2m十3)2=16+3(m2+2),解得m=-13(不合题意，舍去)，m2=1..m的值为1. 9.解：1)根据题意，得4=（一42-4(-2m十5）>0，解得m>号，(2)设，a是方程 的两根根据题意，得=-2m十5>0，解得m<号.“m>名合<m<号∴m 的最小整数值是1.当m=1时，原方程是x2一4x十3=0，解得x1=1,x2=3. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.C2.4 3.解：设一直角边的长为xcm,根据勾股定理，得(24一10-x)2十x2=102,解得x1=6, x2=8.当x=6时，24一10-x=8:当x=8时，24一10-x=6.答：这个直角三角形两直 角边的长分别为6cm和8cm. 4.B 5 5.解：设小路的宽为xm(0<x8).根据题意，得(16一2x)(9一x)=112,解得x1=1, x2=16(舍去)..x=1.答：小路的宽应为1m. 6.D7.5 8.解：设甲、乙、丙三块绿地周围的硬化路面的宽为x(0<x<15).根据题意，得(60一 4x)(40-2x)=60×40×7,解得x1=5,=30(舍去).·x=5.答：三块绿地周围的 硬化路面的宽为5m. 9.解：(1)根据题意，得AQ=tcm,BP=2tcm,.AP=(6-2t)cm,DQ=(4-t)cm.四 边形ABCD为矩形，∠A=90.Sm=号DQ·AP=6,即2（4-)(6-2)=6， 解得i=1,t=6(不合题意，舍去)..当t的值为1时，△PDQ的面积为6cm2.(2)不 存在.理由如下：由(1)，得AQ=tcm,AP=(6-2t)cm,DQ=(4-t)cm..PQ=AQ+ AP=t+(6-2t)2.,△PDQ为等腰三角形，∴DQ=PQ.∴.DQ=PQ,即(4-t)2= +(6-2t)2.整理，得t-4t十5=0.，△=(-4)2-4×1×5=-4<0，.原方程无实 数根.∴.不存在t的值，使△PDQ为等腰三角形. 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 1.A2.8 3.解：(1)设每轮传染中平均一人传染了x人.根据题意，得1十x十(x十1)x=144,解得 x1=11,x2=一13（不合题意，舍去）.答：每轮传染中平均一人传染了11人.(2)144十11 ×144=1728(人).答：经过三轮传染后共有1728人患流感. 4.A5.A 6.解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x.由题意，得20(1+x)2=24.2,解得 x1=0.1=10%,x2=一2.1（不合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增长率为 10%.(2)由题意，得24.2×(1+10%)=26.62（万元）.答：预计该商场七月份投人资金 将达到26.62万元. 7.C8.6 9.解：(1)设该市近两年商品房成交均价平均每年的降价率为x.根据题意，得10000(1 -x)2=10000×(1一36%)，解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意，舍去).答：该市 近两年商品房成交均价平均每年的降价率为20%.(2)10000×(1一36%)×(1一20%) =5120(元/m2).答：明年该市商品房的成交均价约为5120元/m2. 10.解：设每个人每天把消息转发给了x个人.根据题意，得9(1十x)2=1089.解得x1 =10,x2=一12（不合题意，舍去）.答：每个人每天把消息转发给了10个人. 11.解：(1)20000÷20=1000(kg/亩).答：去年种植南瓜的亩产量为1000kg/亩. (2)20(1+2x)(3)根据题意，得1000(1十x)·20(1十2x)=26400,解得x1=0.1= 10%,x2=一1.6（不合题意，舍去）.答：今年平均亩产量的增长率为10%. 第3课时循环、数字与销售问题 1.7x(x一1)=45【变式题1 2.解：设数学兴趣小组的人数是x.根据题意，得x(x一1)=210，解得x1=15,x2=一14 (不合题意，舍去).答：数学兴趣小组的人数是15. 3.D 4.解：设最小的数为x,则最大的数为x十10.根据题意，得x(x十10)=144，解得x1= 8,x2=-18(舍去)..x十10=18.答：最小的数为8，最大的数为18. 5.(x-3)(x+3)=160136.(1)①(130+x)②(70-x)(2)(130+x-120)(70 -x)=1600(3)x1=x2=30(4)160(5)1607.A8.89.36 10.解：(1)(20+2x)(40-x)(2)根据题意，得(20十2x)(40-x)=1200,解得x1= 10,x2=20.,要尽快减少库存，.x=20.答：每件大衣应降价20元. 6 11.解：(1)”3》(2)设这个多边形的边数是x.根据题意，得(，3》=35，解得x 2 2 =一7（不合题意，舍去），x2=10.∴.这个多边形的边数是10.(3)A同学的说法不正确. 理由如下：当n3》=10时，整理，得-3m-20=0,解得n=3±)√8丽.：n为正整 2 2 数，多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确. 阅读与思考一元二次方程与黄金分割数 1.A 2.解：(1)设AC=a,则BC=AB-AC=1-a.,AC=AB·BC,.a2=1-a,解得a1= 5,a:=5(含去).iAC-5号.2)设AC-,则BC=-2∴AB=AC+ BC=2x-2.AC2=AB·BC,∴.x2=(2x-2)(x-2),解得x1=3十√5，x2=3-√5（舍 去)..AB=2x-2=4+2√5. 3.解：【实践操作5,1【实践探索】：二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处， :“千斤”下面一截琴弦长为80×5,1=405-40(cm). 数学活动探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 1.解：1：2-x+1=(x-2)）°+>0，a+b计c=0.(2)ra+b+c=0,b=-a -c..ax2-bx+c=0可化为ax2+(a+c)x+c=0.∴.△=(a+c)2-4ac=(a-c)2>0. x=二a+o法ad.a=-台m=-l. 2a 2解：将a=26+c代人2+合=，得异e+合=22x+(26+0c=(2b+e6 化简，得26-3bc一c2=0.把c看作常数，利用求根公式进行计算，得6=3±√区。.：6 >>0,6=3+亚。.a=5+,区。.a:6:c=5+,亚：3+厘：1，答案不唯 4 2 2 4 一，取满足这个比例式的正数值即可，如：a=10十2√17，b=3十√/17，c=4. 第二十五章归纳与提升 思维导图梳理 一整式？不相等相等无一夕 aa 核心考点突破 1.A2.-23.-44.C 5.解：(1)整理，得(x一2)2=24.根据平方根的意义，得x一2=土2√6.∴.x1=2十2√6， x2=2一2√6.(2)整理，得(x十1)(x-2)+2(x-2)=0.左边因式分解，得(x-2)(x+1 +2)=0.x-2=0,或x+3=0.=2,=-3.(3)a=2b=-56=1,4 =-4ac=(-)2-4X分×1=1>0.·方程有两个不相等的实数根.·x -b±B-4ac=-（-3±-3士1.即x1=3+1,x=3-1. 2a 2× 6.C7.C8.-2(答案不唯-，m<-号即可) 9.解：(1)由题意，得△=22-4×1×(3-k)>0,解得>2.(2)·方程的两个根为a,B, ∴a8=3-k.k2=3-k十3k,解得k1=3,k2=一1.由(1)知k>2,∴.k=3. 10.10% 7 11.解：（任务一）设扩建后正方形就餐区域的边长为xm.根据题意，得(x一6)(x一8) =168,解得x1=20,x2=一6（舍去）.答：扩建后正方形就餐区域的边长为20m.(任务 二)设收费标准降低y元/人.根据题意，得(200-)(50+六×5)-11250，解得一 y2=50.200-50=150(元/人).答：收费标准应定为150元/人. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 1.D2.y=5.x2-5.x5-53.-14.A5.y=-元x2+16π 6.(1)20x2二次(2)2x2+80x二次7.C8.y=-3x2+30x6≤x<10 9.解：1Dy=2×1500×(10+z)-号×150X102=750r+1500x(2)当x=5 时，y=750×52+15000×5=93750.答：当该车行驶速度增加5m/s时，它的动能增加 93750J. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 1.A2.D3.> 4.解：(1)如图所示.(2)开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0).(3)当x>2时，y< -1. 6-42 46x 5.B6.B7.a>b>c>d 8.解：(1)由题意，得m2十m-4=2,且m十2≠0，解得m1=2,m2=-3.∴.m的值为2 或-3.(2)由(1)，得m的值为2或-3.，当x<0时，y随x的增大而增大，m十2< 0,解得m<-2.∴.m=一3. 26.2.2二次函数y=a(x-h)2十k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 1.C2.B3.C4.B5.<【变式题】< 6.解：(1)当x>0时，函数值y随x的增大而减小.(2)，a=一3<0，∴.当x=0时，函 数值y取得最大值，最大值为3. 7.y=3x2-2 8.解：两个函数的图象如图所示.(1)抛物线y=一3x2十2的开口向下，对称轴为y轴， 顶点坐标为(0,2)；抛物线y=一3x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0). (2)上2 y 5 4 y=-3x+2 54-3-2-112345x 3 44 -5 9.D10.D11.2 8 12.解：(1)11(2)如图所示.(3)由(1)知y=x2-b-1=x2-2.当-4≤x≤1时，y =x2-2的最小值为一2，最大值为(-4)2-2=14.y=x-2的最大值和最小值的差 为14-(-2)=16.(4)6 y=x+1 5 4 3 2 VEX-2 5-43-21 -5 (第12题图) (第13题图) 13.解：1x为任意实数（②）① 3②③如图所示.(3)B(4)a<b 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 1.A2.A3.B4.C5.A【变式题】< 6.解：，抛物线y=a(x一h)2有最大值，该抛物线的开口向下.：当x=2时，函数有 最大值，.该抛物线的对称轴是直线x=2..当x>2时，y随x的增大而减小. 7.(1)y=-2(x十4)2(2)右5 8.解：(1)可以.抛物线y=(x一3)2向左平移10个单位长度可得到抛物线y=(x十 7)2.(2)需要向右平移6个单位长度. 9.C10.C11.C12.2≤d3或4≤d≤5 13.解：(1)由题意，得h=3,∴y=a(x-3)2.把B(0,4)代入，得4=a×(0-3)2,解得a =号.∴抛物线的函数解析式为y=号（红一3只.(2）能，设平移后的抛物线的函数解析 式为y=号(x-3十m2,把C(7,4)代入，得号×(7-3+m)2=4,解得m=-1,m -7.“把抛物线y=号(x一3严向右平移1个单位长度或7个单位长度经过点C7,40. 14.解：(1)h(2)如图，分三种情况讨论：①若h<2,则当x=2时，y=-1,∴.一（2 h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去)；②若2≤h≤5，则y=一(x-h)2的最大值为0，不 符合题意；③若h>5,则当x=5时，y=-1,∴.-(5-h)2=-1,解得h1=4(舍去)，h2 =6.综上所述，h的值为1或6. y 1 第3课时二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 1.A2.D3.D4.C5.y=(x+1)+3(答案不唯一) 6.解：(1)二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，一1).(2)'y =合(x-2)-1,1<x<5,当x=2时，y取最小值-1；当x=5时y取最大值名 7 “当1<<5时，二次函数的取值范围是-1<？ 7.D 8.解：(1)a=-2,h=-5,k=-2.(2)由(1)知y=a(x-h)2+k=-2(x+5)2-2.设平 移后的抛物线的函数解析式为y=一2(x十5)2-2+m.将（一2，一10）代入，得-2× (一2十5)2-2十m=一10，解得m=10.∴.平移后的抛物线的函数解析式为y=-2(x十 5)2+8. 9