25.3 第3课时 循环、数字与销售问题（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第3课时 循环 【基础过关 逐点击破 知识点1循环问题 1.科技前沿情境化某高校科研团队为了选拔 参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用 分组单循环（每两个人形机器人之间都只进 行一场比赛)制，每组x个机器人.若每组共 需进行15场比赛，则可列方程为() A.x(x-1)=15 B.x(x+1)=15 C.x(x。1D=15 D.xx+1D=15 2 2 【变式题】更改赛制：单循环→双循环 参加排球邀请赛的每两队之间都进行两场 比赛（这样的比赛叫作双循环比赛），共要比 赛110场，则参加比赛的球队有支. 2.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的 相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班 共送了1640张相片，全班有多少名学生？ 知识点2数字问题 3.(教材P24习题T1变式)两个连续奇数的积 为323，设其中较小的一个奇数为x,则可列 方程为 A.x(x-2)=323 B.x(x+2)=323 C.x(x-1)=323 D.(2x-1)(2x+1)=323 4.一个两位数，十位数字比个位数字大1，个位数 字与十位数字的平方和比这个两位数少19，则 这个两位数是 21数学九年级上册配RJ版 数字与销售问题 5.一个两位数，个位数字比十位数字小1，且个 位数字与十位数字的乘积等于72.求这个两 位数. 知识点3销售问题 6.某商品进价为3元/件，当售价为x元/件时可 销售该商品(x十3)件，此时获利160元，则该商 品每件售价为元. 7.(郑州期中)近年来，河南省旅游产业蓬勃发 展，促进了文创商品的销售.某商店销售一 批文创商品，售价为每件80元，每月可售出 200件；经调查发现，每件的售价每降低 1元，每月可多售出20件，已知该文创商品 的进价是50元. (1)若每件文创商品降价10元，则每月可售出 件，每月的销售利润为元； (2)商店为了减少库存，决定降价销售这批 文创商品，同时确保每月的销售利润为 7500元，求每件文创商品应降价多少元. 口能力提升 ·>●整合运用 8.(晋城期中)某旅行社国庆期间接待了一个 亲友旅游团.游玩时，导游先给该亲友团拍 了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张 合影.为了保证每位亲友团成员都能拿到有 自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256 张照片，则这个亲友团的人数为 () A.12 B.14 C.16 D.18 9.学科融合新趋势小明同学是一名古诗文爱 好者，在学习了一元二次方程这一章后，改 编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江 东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东 吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位 平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数 周瑜？”可算出周瑜去世时年龄是岁. 10.(教材P23练习T1变式)在一次聚会上，规 定每两个人见面必须握手，且握手1次. (1)若参加聚会的人共握手28次，请求出 参加聚会的人数： (2)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若 线段AB上共有m个点（不含端点A,B), 线段总数为21，求m的值. (3)琪琪想到另一个数学问题：若边形的 边数增加1，对角线总数增加9，求边数 n的值. 【思维拓展 ···强化素养 11.自“苏超”开赛以来，江苏各市文旅不断推 动观赛体验与文化体验紧密串联，有效带 动了江苏文旅消费.某旅行社推出了“跟着 苏超去旅行”活动，现要对活动方案进行升 级，需要对定价和报名人数进行调研。 “跟着苏超去旅行”的活动调研 6月份，报名参加“跟着苏超去旅行”活 素材1动的人数是1500，随着“苏超”热度不 断提升，8月份的报名人数达到2160 经过研讨，旅行社初步制定方案为： 素材2 30人起组团；每人团费为900元 在统计游客的反馈后，发现每人团费每 素材3 下降10元，平均每个团的报名人数会 增加1人，但每人团费不低于750元 问题解决 求从6月份到8月份“跟着苏 确定 任务1 超去旅行”活动报名人数的平 增长率 均增长率 若旅行社要使平均每个团的 拟定价 任务2 总团费为32000元，求下调后 格方案 每人的团费 请完成“问题解决”中的任务1和任务2. 提示 请完成基本功专练（二） 第二十五章一元二次方程2225.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础过关 2.C3.D4.解：(1)十x=二（-4)=4，x1=1,(2)z1十x三 八2 6 xm=3=-2.(3)方程化为x2十8x-10=0m十x2=-8,x1x=-10. 5.A6m>号7.58-29.解：佳佳的解题过程末考虑△≥0这个条件.正确的 解题过程如下：根据题意，得△=[一(2m-1)]-4m2≥0，解得m≤子.由根与系数的 关系，得a十b=2m-1,ab=m2,,a十b=ab-4,.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2= 3.m≤心m=-1. 能力提升 10.C11.B12.C13.202714.解：，方程x2十(a-2a)x十a一1=0的两个实数 根互为相反数，.x1十x2=-a2十2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2 1=0,符合题意；当a=2时，原方程为x2十1=0，方程无实数根，舍去，∴a=0. 思维拓展 15.解：(1)71 0右 =3.(3)令=a,-n=6,则d2+a-7=0,+b-7=0.:m≠-1. :元≠一n,即a≠k.“a,b是方程r十x一7=0的两个不相等的实数根.∴a士b正 a6=-.+n=d+=(a+b-2a=(-1-2X(-0=15. 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·热点】 1.A2.-33.C41)-号(2)片(3)号（④）-}(6)@【变式题 25 5 5.解：(1)由题意，得△=(-6)2-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)由根与系数的关系，得 1十x2=6,x12=2m十1.：2x1x2十x1十x2≥20，.2(2m十1)十6≥20，解得m≥3. :m≤4，.3≤m≤4.6.解：(1)：方程有两个实数根，∴△=[-(2k十1)]-4×1× (:十2)≥0.4十4k十1-4状一8≥0.-4k十1≥0.解得≤子(2)由根与系数 的关系，得x1十x2=2k十1，x1x2=k2十2k.:x1十x号=(x1十x2)2-2x1x2=11, (2k十1)2-2(k2+2k)=11.整理，得2k2十1=11，.k2=5.解得k1=√5，k2=-√5. :≤子=后 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 基础过关 1.A2.43.解：设这个矩形菜园垂直于墙的边长为xm.根据题意，得x(32一2x)= 120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，32一2x=20>18,不合题意，舍去：当x=10时，32 -2x=12<18,符合题意..x=10.答：这个矩形菜园垂直于墙的边长为10m.4.C 5.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9.解得x1=0.5, x2=8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m.6.2 能力提升 7.C8.29.√5-110.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为 (80-x)cm根据题意得（学）十(0)=20.解得==40.要使这两个正 方形的面积之和为200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为 yem,则另一段绳长为(80-m根据题意，得（宁）+(0)=8，解得 一8（不符合题意，舍去），y2=88(不符合题意，舍去).∴这两个正方形的面积之和不可 能为488cm. 思维拓展 11.解：，四边形ABCD为矩形，∴.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN CM-BC-BM-8-2t,DN-CD-CN-6-1SAAMNxA8X6- 合×6×21-号×(8-24)×1-7×8X(6-)=号×8×6.整理，得-6t+8=0.解 得有=2，=4.当=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的3 -52 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 基础过关 1.D2.63.解：设每个人一节课教会了x名同学.根据题意，得1十x十x(1十x)= 49.解得x1=6,x2=一8（不符合题意，舍去）.答：每个人一节课教会了6名同学，4.C 5.20%6.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x,根据题意，得1200(1一x) =972.解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年 平均下降率为10%. 能力提升 7.C8.69.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200× (1-20%)(1十x)=193.6.解得1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去).答： 11,12这两个月销售额的月平均增长率为10%.10.解：(1)根据题意，得1十x十x2= 111.解得x1=10,x2=一11（不符合题意，舍去）.∴.x的值为10.(2)经过三轮转发之 后，参与人数为1十10十100十1000=1111（人），四轮转发之后，参与人数为1十10十 100十1000+10000=11111（人）.：11111>10000，.再经过两轮转发后，参与人数 会超过10000人. 思维拓展 11,解：(1)10000(1+2x)10000(1+x)2(2)根据题意，得10000(1十x)2-10000 (1十2x)=25.解得x1=0.05=5%,x2=-0.05(不符合题意，舍去).答：该理财产品的 年利率为5%， 第3课时循环、数字与销售问题 基础过关 1.C【变式题】112.解：设全班有x名学生，根据题意，得x(x-1)=1640.解得 x1=41,x2=-40(不符合题意，舍去).答：全班有41名学生，3.B4.325.解：设 这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十1).根据题意，得x(x十1)=72.解得 x1=8,x2=一9（不符合题意，舍去）.答：这个两位数为98.6.137.解：(1)400 8000(2)设每件文创商品应降价x元.根据题意，得(80-50-x)(200十20x)= 7500.解得x1=5,x2=15..商店要减少库存，降价越多，销售量越大，库存越少， .x=15.答：每件文创商品应降价15元. 能力提升 8.C9.3610.解：(1)设参加聚会的人数为x.根据题意，得2x(x-1)=28.解得 x1=8,x2=-7(不符合题意，舍去).答：参加聚会的人数为8.(2)根据题意，得 (m+2)(m十1)=21.解得m=5,m=-8(不符合题意，舍去).∴m的值为5.(3)根 1 据题意，得2n-3)十9=2(m十1D(m十1-3).解得n=10.∴边数n的值为10. 思维拓展 11,解：（任务1）设从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为 x.根据题意，得1500(1十x)2=2160.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍 去).答：从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为20%.（任 务2)设下调后每人的用费为y元，根据短意：得(30十909。产)=3200.解得1二 400,y2=800.y≥750，∴.y=800.答：下调后每人的团费为800元. 阅读与思考一元二次方程与黄金分割数 1.A2.解：(1)设AC=a,则BC=AB-AC=1-a.:AC=AB·BC,.a=1-a,解 得a=5a=有（不符合题意，含去.∴AC=5.(2)设AC=则BC=: 2 -2.∴.AB=AC十BC=2x-2.,AC=AB·BC,∴x2=(2x-2)(x-2).解得x1=3 十√5，x2=3-√5（不符合题意，舍去）.∴.AB=2x-2=4十25.3.解：【实践操作】 ,1【实践探索】：二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，“千斤”下面一截 2 琴弦长为80×5,1=405-40(cm. 数学活动探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 1解：)r-x+1-(-号)+子>0，a+6叶c=0.(2a+b+c=0b=-a -c..ax2-bx十c=0可化为ax2十(a十c)x十c=0..A=(a十c)2-4ac=(a-c)2>0. x=二a法0n=台=-1.2解将a20+c代入2+名=号 2a 2 得方千十+方=心2c十(2b十c)c=(26+c)6.化简，得2b-36c一c2=0.把c看作常 数，利用求根公式进行计算，得6=3±四.：b>c>0,b=3士亚。.a= 53 5士亚。.a:6:c=5十厘：3士应：1，答案不唯一，取满足这个比例式的正数 2 4 值即可，如：a=10十2√17，b=3十√17，c=4, 第二十五章章末复习 思维导图 一 整式2不相等相等无一bC aa 考点整合 1.B2.C3.x2-3x=0(答案不唯一)4.45.A6.D7.解：(1)整理，得(x-2)2 =24.由此可得x-2=士2√6，x-2=2√6，或x-2=-2V6,即x1=2+2√6，x2= 2-2√6.(2)整理，得(x十1)(x-2)十2(x一2)=0.左边分解因式，得(x-2)(x十1十2) =0.于是x-2=0,或x十3=0，即x1=2,x2=-3.(3)方程化为2x2十2√2x十1=0，此 时a=2,b=2√2，c=1,∴.△=b2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0.方程有两个相等的实数 根1==一名 三6=_22=，一号.8.C9.一110.解：(1)根据题意，得4= [-2(m十1)]2-4(m2十5)>0，解得m>2.(2)由根与系数的关系，得十x2= 2(m十1)，x1x2=m2+5.(x1-1)(x2-1)=7,x1x2-(x1十x2)十1=7，即m2+5- 2(m十1)十1=7，解得m1=3,m2=-1.由(1)知m>2,.m=3.(3):x1≠x2,∴.7是方 程的一个根.将x=7代入原方程，得49-14(m十1)十m2十5=0，解得m1=4,m2=10.当 m=4时，方程的另一个根为3，此时三边长分别为7,7,3，符合三边关系；当m=10时， 方程的另一个根为15，此时三边长分别为7,7,15，不能构成三角形，舍去.∴.这个三角 形的周长为7十7十3=17.11，B12.-2或113.解：(1)设该店11、12月份销量的 月增长率为x.根据题意，得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍 去).答：该店11、12月份销量的月增长率为20%.(2)设每箱的售价应定为m元.根据 题意，得(-60)[300+(100-m)×10]=12000.解得m1=100,m2=90.:要尽可能 让顾客得到优惠，.m=90.答：每箱的售价应定为90元. 聚焦课标 14.解：(1)①相等②1(2)设矩形花圃的一边AB的长为ym,则BC的长为(150-3y)m. :水池长70m,150-3y≤70，解得≥26号.根据题意，得y(150-3y)=180.解 得y=30,y2=20(不符合题意，舍去).答：矩形花圃的一边AB的长为30m. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 基础过关 1.B2.y=5x2-5x5-53.-24.A5.y=-2x2+8x6.y=-10x2+560x -735021x≤25.2 能力提升 7.C8.B9.y=60十60(1十x)十60(1十x)10.解：(1)由题意，得y=x[30-x-(x -2)]=-2x十32x.自变量x的取值范围是2<x<16.(2)由题意，得y=-2x2十32x =56,解得x1=2(不合题意，舍去)x2=14..x的值为14. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 基础过关 1.D2.A3.解：(1)如图所示 6 (2)开口向上，对称轴为y轴，顶点 -6-4-20246x -2 -4 -6 坐标为(0,0).(3)当x>2时，y>1.4.B5.D6.<【变式题】<7.解：(1)将(2， 一2)代入y=a2,得-2=4a,解得a=一合这个二次函数的解析式为y=一号. (2)这个二次函数的最大值为0.(3)当x<0时，函数值y随x的增大而增大.8.士4 能力提升 9.B10.2(答案不唯一)11.a>b>c>d12.解：(1)根据题意，得k十20，且k2十k 一4=2，解得k=一3.(2)由(1)，得k=一3，则y=x2..函数图象的顶点坐标为 (0,0),对称轴为y轴.(3)一1≤x≤2，-1<0，∴.当x=0时，y有最大值，最大值为 0:当x=2时，y有最小值，最小值为-2=-4.13.解：(1)1.8(2)由题意，得CE= 0.2m,则z=0.2-1.8=-16.令y=-1.6,则-号r=-1.6,解得x=士E.EF =√2-(-J2)=22(m) 54