25.3第三课时实际问题与一元二次方程(3)学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程解决循环类（单双循环）及数字实际问题，课堂导入以排球单循环赛制为例，引导学生从赛程安排中提炼等量关系，衔接方程解法知识，通过具体实例搭建从实际情境到数学模型的学习支架。 资料特色在于以真实问题驱动学习，通过单双循环对比、周瑜年龄等实例培养学生抽象能力与模型意识，结合课堂检测和变式练习，强化用数学思维分析数量规律、用数学语言表达现实问题的能力，助力核心素养提升。

人教版九年级数学上册：第25章一元二次方程 25.3第三课时：实际问题与一元二次方程(3)学案 一、素养目标 1.能从循环类实际问题中提炼等量关系，建立一元二次方程数学模型； 2.会熟练列出并求解一元二次方程，能结合实际情境检验根的合理性、舍去不合理解； 3.学会分析问题中的数量变化规律，理清事物间关联，提升分析与推理归纳能力. 二、教学重点、难点 重点：掌握建立数学模型解决循环、数字等问题. 难点：能根据具体问题中的数量关系，建立正确的数学模型. 三、教学过程 课堂导入 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ ( A队和B队的比赛会被A队算一次，也会被B队算一次，相当于每场比赛都被重复计算了 2 次.因此需要除以 2 ，得到实际总场次： . )解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x－1) 支球队各赛1场，则可列得方程 方程化为 x2－x－56＝0 解方程，得 x1＝8，x2＝－7(不合题意，舍去) 因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛. 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛.如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n－1). ( 由总场数为 n ( n － 1 ) 可知，其必为两个连续正整数的乘积，如 2 ， 6 ， 12 ， 20 ， 240 ， 272 ， 306 ， … . ) 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么 n(n－1)＝300 解方程，得 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 归纳总结 1.握手问题，循环比赛问题(单循环)： 2.互送礼物问题，循环比赛问题(双循环)： n(n－1) 例题 解读改编诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意如下：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位上的数字比个位上的数字小三，个位上的数字的平方等于他去世时的年龄. 解：设周瑜去世时的年龄的个位上的数字为x，则十位上的数字为x－3，依题意得 10(x－3)＋x＝x2 解方程，得 x1＝5，x2＝6 当x＝5时，25＜30，不合题意，舍去； 当x＝6时，36＞30，符合题意. ∴ 周瑜去世时的年龄为36岁. 练习 1. n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 2.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 参考答案： 1、 解：设有n人参加，列方程得，n(n-1)=20,解得n=5 答：略 2、 解，设n边形，列方程得，n(n-3)=40,解得n=8 答：略 当有18条对角线的多边形，列方程得，n(n-3)=36，方程无解。 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课聚焦循环类实际问题，教学中通过单循环、双循环实例引导学生找准等量关系，建立一元二次方程模型。多数学生能理解比赛、握手类问题的数量规律，但部分学生仍混淆单双循环列式，建模思路不够清晰。课堂缺少足够变式练习，对易错点点拨不够到位。后续教学应多借助画图分析数量关系，增加对比训练，强化建模思想，规范解题步骤，提升学生应用方程解决实际问题的能力。 六、课堂检测 1、解方程 （1）（3x+4）(3x-4)=9 (2) (3) 7x(2-x)=3(x-2) (4) 2、参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，那么共有多少人参加同学聚会？ 3、在古代有一部落，15位族人外出狩猎回来，其中有5个人染上了瘟疫，经过两轮传染后部落里共有125个人染上了瘟疫，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 4.某商店6月份的利润是2.5万元，要使8月份的利润达到3.6万元，这两个月的月平均增长率是多少？ 参考答案; 1、（1） （2）（3）2， （4） 2、解：设共有x人参加同学聚会，列方程为：x(x-1)=90,得x=10 答：略 3、解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程 5+5x+x(5+5x)=125，整理得 5(1+x)2=125 解方程，得 x1=4，x2=-6(不合题意，舍去) 答：每轮传染中平均一个人传染了4个人. 4、解：设这两个月的月平均增长率是x.根据题意，列出方程 2.5(1+x)2=3.6 解方程，得 x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去) 答：这两个月的月平均增长率为20%. 学科网（北京）股份有限公司 $